Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

More documents

Recommendations

Info

150 Ondes gravitationnelles Fig. 6.3 – Diagramme d’espace (en haut) et d’espace-temps (en bas) illustrant le principe de la mesure de la distance L entre deux masses ponctuelles par la méthode “radar”. 6.4.2 Variation des distances Un effet mesurable du passage d’une onde gravitationnelle est la variation de distance entre deux masses d’épreuve en chute libre (c’est-à-dire soumises aux seuls effets de la gravitation). Comme toujours en relativité, il faut convenir de ce que l’on entend par distance. Donnons la définition opérationnelle suivante : associons à la première masse un observateur O. Ce dernier chronomètre le temps d’aller-retour d’un flash lumineux qu’il émet en direction de la deuxième masse au temps propre t1 (cf. Fig. 6.3). Le flash est réfléchi par la deuxième masse et est capté par l’observateur au temps propre t2. La distance L est alors définie par L = c 2 (t2 − t1). (6.93) En plus d’être une quantité déterminable physiquement, L correspond à la distance entre les points A et B de la Fig. 6.3 telle que donnée par le tenseur métrique g, à condition que les deux masses soient infiniment proches. En effet en reprenant l’analyse et les notations du § 2.5.2 (comparer la Fig. 2.15 et la Fig. 6.3), on a g( −−−→ A1B, −−−→ A1B) = g( =0 −−−→ A1A + −−→ AB, −−−→ A1A + −−→ AB) 0 = g( −−−→ A1A, −−−→ A1A) + 2 g( −−−→ A1A, −−→ AB) +g( =0 −−→ AB, −−→ AB) 0 = c − 2 (t2 2 − t1) + g( −−→ AB, −−→ AB). (6.94) En comparant avec (6.93), on constate que, comme annoncé, L = g( −−→ AB, −−→ AB). (6.95)
6.4 Effets d’une onde gravitationnelle sur la matière 151 Pour calculer la variation de L au passage d’une onde gravitationnelle, introduisons un système de coordonnées TT (ct, x, y, z), telle que la position de l’observateur O assis sur la première masse soit (x, y, z) = (0, 0, 0) et que la position de la deuxième masse soit (x, y, z) = (xB, yB, zB). Ainsi que nous l’avons vu au § 6.4.1, l’avantage de la jauge TT est que ces coordonnées restent constantes au cours du mouvement. La distance L peut alors être facilement calculée en partant de la formule (6.95) et en utilisant les composantes (6.79) de g. En supposant les deux masses infiniment proches, il vient L 2 = gµν(x µ B − xµ A )(xνB − x ν A) = gij(x i B − x i A)(x j B − xj A ) = gijx i Bx j B = (δij + h TT ij )x i Bx j B , (6.96) où l’on a utilisé x0 A = ct = x0 B pour avoir la deuxième ligne et xiA = 0 pour la troisième. Soit n le vecteur spatial unitaire (pour la métrique de fond, η) joignant A à B. On a alors avec L0 = δijxi Bxj B , si bien que (6.96) devient Au premier ordre en h, il vient x i B = L0n i , (6.97) L = L 2 0(δij + h TT ij )n i n j1/2 TT = L0 1 + hij n i n j1/2 . (6.98) L = L0 1 + 1 2 hTT ij n i n j . (6.99) La variation de longueur δL := L−L0 par rapport à la situation où l’onde gravitationnelle est absente (L = L0) est donc δL L = 1 2 hTT ij n i n j . (6.100) Pour visualiser la déformation d’une assemblée de particules au passage d’une onde gravitationnelle, introduisons au voisinage de la ligne d’univers de l’observateur O un système de coordonnées “physiques” (ˆx α ) (par opposition aux coordonnées TT qui sont purement mathématiques) comme suit : ˆx 0 /c est le temps propre de O et (ˆx i ) sont les longueurs physiques (au sens ci-dessus) suivant trois axes mutuellement orthogonaux de l’espace local de repos de O, ces trois axes pointant dans des directions fixes par rapport aux gyroscopes dont dispose O (pour s’assurer que le repère n’est pas en rotation). Les coordonnées ainsi définies sont telles que ˆx i = 0 le long de la ligne d’univers (géodésique) de O et qu’au voisinage de cette dernière les composantes du tenseur métrique ont une forme minkowskienne à des termes du second ordre en ˆx i près : ˆgαβdˆx α dˆx β = −(dˆx 0 ) 2 + δijdˆx i dˆx j + O(|ˆx i | 2 )αβ dx α dx β . (6.101) Les coordonnées (ˆx i ) sont appelées coordonnées de Fermi associées à l’observateur O.
Page 1:
Observatoire de Paris, Universités
Page 4 and 5:
4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équati
Page 6 and 7:
6 TABLE DES MATIÈRES 6.4.1 Équati
Page 8 and 9:
8 TABLE DES MATIÈRES
Page 10 and 11:
10 Introduction purement newtonienn
Page 12 and 13:
12 Introduction
Page 14 and 15:
14 Cadre géométrique Fig. 2.1 - V
Page 16 and 17:
16 Cadre géométrique 2.2.3 Courbe
Page 18 and 19:
18 Cadre géométrique Fig. 2.4 - E
Page 20 and 21:
20 Cadre géométrique x e x z e z
Page 22 and 23:
22 Cadre géométrique Remarque : L
Page 24 and 25:
24 Cadre géométrique • de signa
Page 26 and 27:
26 Cadre géométrique 2.3.3 Bases
Page 28 and 29:
28 Cadre géométrique Fig. 2.6 - 4
Page 30 and 31:
30 Cadre géométrique que l’on d
Page 32 and 33:
32 Cadre géométrique de signature
Page 34 and 35:
34 Cadre géométrique Fig. 2.10 -
Page 36 and 37:
36 Cadre géométrique Rappelons qu
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
40 Cadre géométrique t 2 t’ 2 t
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
46 Cadre géométrique Les lignes d
Page 48 and 49:
48 Cadre géométrique où x0 0, x1
Page 50 and 51:
50 Cadre géométrique
Page 52 and 53:
52 Champ gravitationnel à symétri
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
90 Équation d’Einstein 4.2 Déri
Page 92 and 93:
92 Équation d’Einstein 4.2.2 Dé
Page 94 and 95:
94 Équation d’Einstein Remarque
Page 96 and 97:
96 Équation d’Einstein formes li
Page 98 and 99:
98 Équation d’Einstein les géod
Page 100 and 101: 100 Équation d’Einstein On dit a
Page 102 and 103: 102 Équation d’Einstein Si on ut
Page 104 and 105: 104 Équation d’Einstein Fig. 4.2
Page 106 and 107: 106 Équation d’Einstein 4.3.2 Pr
Page 108 and 109: 108 Équation d’Einstein • La c
Page 110 and 111: 110 Équation d’Einstein On retro
Page 112 and 113: 112 Équation d’Einstein On peut
Page 114 and 115: 114 Équation d’Einstein où K es
Page 116 and 117: 116 Équation d’Einstein l’Eq.
Page 118 and 119: 118 Équation d’Einstein
Page 120 and 121: 120 Trous noirs Laplace à la fin d
Page 122 and 123: 122 Trous noirs Fig. 5.1 - Espace-t
Page 124 and 125: 124 Trous noirs La première soluti
Page 126 and 127: 126 Trous noirs Fig. 5.3 - Diagramm
Page 128 and 129: 128 Trous noirs 5.5.2 Théorème d
Page 130 and 131: 130 Trous noirs Fig. 5.4. Il est à
Page 132 and 133: 132 Trous noirs Fig. 5.5 - Satellit
Page 134 and 135: 134 Trous noirs On retombe donc dan
Page 136 and 137: 136 Trous noirs
Page 138 and 139: 138 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 140 and 141: 140 Ondes gravitationnelles Ainsi,
Page 142 and 143: 142 Ondes gravitationnelles où l
Page 144 and 145: 144 Ondes gravitationnelles On peut
Page 146 and 147: 146 Ondes gravitationnelles Chercho
Page 148 and 149: 148 Ondes gravitationnelles coordon
Page 152 and 153: 152 Ondes gravitationnelles Remarqu
Page 154 and 155: 154 Ondes gravitationnelles Puisque
Page 156 and 157: 156 Ondes gravitationnelles On reco
Page 158 and 159: 158 Ondes gravitationnelles Si M es
Page 160 and 161: 160 Ondes gravitationnelles
Page 162 and 163: 162 Solutions cosmologiques 7.2 Sol
Page 164 and 165: 164 Solutions cosmologiques dans l
Page 166 and 167: 166 Relativité et GPS Fig. A.1 - C
Page 168 and 169: 168 Relativité et GPS donné par g
Page 170 and 171: 170 Relativité et GPS où la const
Page 172 and 173: 172 Relativité et GPS Il vient alo
Page 174 and 175: 174 Relativité et GPS
Page 176 and 177: 176 Problèmes l’ordre de grandeu
Page 178 and 179: 178 Problèmes avec v 2 1 := v1 ·
Page 180 and 181: 180 Problèmes B.4 Observateur acc
Page 182 and 183: 182 Problèmes sorte que l’inters
Page 184 and 185: 184 Problèmes 3.8 Calculer les sym
Page 186 and 187: 186 Problèmes B.6 Quadriaccéléra
Page 188 and 189: 188 Problèmes
Page 190 and 191: 190 Solutions des problèmes C.4 Ob
Page 192 and 193: 192 Solutions des problèmes a c t
Page 194 and 195: 194 Solutions des problèmes sont c
Page 196 and 197: 196 Solutions des problèmes − co
Page 198 and 199: 198 Solutions des problèmes d’o
Page 200 and 201:
200 Solutions des problèmes Au vu
Page 202 and 203:
202 Solutions des problèmes qui co
Page 204 and 205:
204 Solutions des problèmes La dé
Page 206 and 207:
206 BIBLIOGRAPHIE [13] N. Straumann
Page 208 and 209:
Index (GCRS), 168 (TAI), 170 (TT),
Page 210:
210 INDEX paramètres affines, 49 p
show all

Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?