Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

6.4 Effets d’une onde gravitationnelle sur la matière 149
soit immobile à l’origine du système de coordonnées (x, y, z). La ligne d’univers est alors
la droite de l’espace-temps de Minkowski définie par
X 0 A(τ) = cτ et X i A(τ) = 0. (6.81)
En présence de l’onde gravitationnelle, les quatre fonctions Xα A (τ) obéissent à l’équation
des géodésiques (2.133) :
d2X α A
dτ 2 + Γα µν
dX µ
A
dτ dτ
= 0. (6.82)
Les symboles de Christoffel sont donnés par la formule (6.14), que l’on peut réécrire comme
⎧
⎪⎨ Γ
⎪⎩
0
∂h0γ ∂hβ0 1 ∂hβγ
βγ = −1 + −
2 ∂xβ ∂xγ c ∂t
Γi
1 ∂hiγ ∂hβi ∂hβγ
βγ = + −
2 ∂xβ ∂xγ ∂xi
(6.83)
.
dX ν A
Pour la perturbation métrique en jauge TT, la propriété (6.73) conduit à
Γ 0 0α = 0 (6.84)
Γ 0 ij = 1 ∂hTT ij
(6.85)
2c
∂t
Γ i 00 = 0 (6.86)
Γ i 0j = 1 ∂hTT ij
(6.87)
Γ i jk = 1
2
2c ∂t
∂hTT La composante α = i de (6.82) est alors
d 2 X i A
Au vu de (6.81), Xi A
ainsi que ∂hTT ij /∂t et Γi jk
∂h TT
ij
dX 0 A
∂x
∂hTT
ik ji ∂hTT jk
+ − j k
dX j
A
∂x
dX j
A
∂x i
dX k A
. (6.88)
1
+
dτ 2 c ∂t dτ dτ + Γi jk = 0. (6.89)
dτ dτ
(τ) est un terme du premier ordre dans la perturbation métrique,
[Eq. (6.88)]. L’ordre des termes de l’équation ci-dessus est donc
O(1) + O(1) × O(1) × O(1) + O(1) × O(1) × O(1) = 0. (6.90)
En se limitant au premier ordre, il ne reste que le premier terme :
d2X i A
= 0. (6.91)
dτ 2
Étant données les conditions initiales à l’instant τ = 0 avant l’arrivée de l’onde gravitationnelle,
Xi A (0) = 0 et dXi A /dτ = 0, on en déduit
X i A(τ) = 0 . (6.92)
Autrement dit, la particule reste au point de coordonnées (x, y, z) = (0, 0, 0) Il s’agitlà
d’une propriété remarquable des coordonnées TT : les particules ne “bougent” pas
dans ces coordonnées lors du passage d’une onde gravitationnelle. Bien entendu, il s’agit
d’un pur effet de coordonnées, sans signification physique. Comme nous allons le voir les
distances mesurées physiquement varient elles bel et bien lors du passage de l’onde.