Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

148 Ondes gravitationnelles
coordonnées TT (ct, x, y, z) de manière à ce que la propagation s’effectue suivant l’axe
des z : ainsi kα = (ω/c, 0, 0, −ω/c) et la condition de jauge de Lorenz (6.56) devient
Aα0ω − Aαzω = 0. (6.74)
Tenant compte de Aα0 = 0 en jauge TT [Eq. (6.68)], on en déduit immédiatement
Azα = 0. (6.75)
Ainsi les seules composantes non nulles de A sont Axx, Axy et Ayy. La condition de jauge
TT (6.64) impose alors Axx + Ayy = 0. En notant Axx = a+ et Axy = a×, on en déduit
que hαβ a la forme suivante :
avec
hαβ =
⎛
⎜
⎝
0 0 0 0
0 h+(t − z/c) h×(t − z/c) 0
0 h×(t − z/c) −h+(t − z/c) 0
0 0 0 0
h+(t − z/c) := a+e iω(t−z/c)
⎞
⎟
⎠ , (6.76)
(6.77)
h×(t − z/c) := a×e iω(t−z/c) . (6.78)
Les quantités h+ et h× sont appelées les deux modes de polarisation de l’onde gravitationnelle.
6.4 Effets d’une onde gravitationnelle sur la matière
6.4.1 Équation du mouvement en coordonnées TT
Considérons une onde gravitationnelle plane monochromatique (fréquence ω) se déplaçant
le long de l’axe des z. Plaçons-nous en jauge TT. La perturbation métrique vérifie
alors (6.72)-(6.73), si bien que dans les coordonnées TT (x α ) = (ct, x, y, z), le tenseur
métrique g a pour composantes
gµνdx µ dx ν = −c 2 dt 2 + (δij + h TT
ij ) dx i dx j , (6.79)
où nous avons introduit le suffixe TT sur la perturbation métrique pour souligner que
cette expression utilise la propriété (6.73) de la jauge TT.
Considérons une particule A qui n’est soumise à aucune autre interaction que l’interaction
gravitationnelle. Sa ligne d’univers est donc une géodésique de la métrique (6.79).
Soit
x α = X α A(τ) (6.80)
l’équation de cette géodésique par rapport aux coordonnées TT, paramétrée par le temps
propre τ de la particule. Supposons qu’en l’absence d’onde gravitationnelle, la particule