Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

c’est-à-dire
6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT 147
2kµB µ = −η µν Aµν
(6.62)
kiB 0 − k0B i = iA0i. (6.63)
Il s’agit d’un système linéaire de 4 équations pour les 4 inconnues B α . Le déterminant de
ce système est k 2 0(k 2 0 + k 2 1 + k 2 2 + k 2 3) = 0. Le système est donc toujours inversible. On en
conclut qu’il existe une sous-jauge de la jauge de Lorentz où (on enlève les primes)
η µν Aµν = 0 (6.64)
A0i = 0. (6.65)
La condition de jauge de Lorenz (6.56) pour α = 0 conduit alors à
c’est-à-dire (puisque k 0 = 0),
A00k 0 + A0i
=0
Ainsi nous pouvons remplacer (6.65) par
k i = 0, (6.66)
A00 = 0. (6.67)
A0α = 0. (6.68)
Retranscrites en terme de ¯ hαβ via Eq. (6.52), les propriétés (6.64) et (6.68) deviennent
¯h = 0 (6.69)
¯h0α = 0. (6.70)
Comme les traces de ¯h et h sont reliées par ¯ h = −h, on a donc h = 0 et par conséquent :
Ainsi (6.69) et (6.70) s’écrivent tout aussi bien
¯hαβ = hαβ. (6.71)
h = 0 (6.72)
h0α = 0, α ∈ {0, 1, 2, 3} (6.73)
Ces conditions fixent complètement la jauge, qu’on appelle alors jauge transverse et sans
trace ou encore jauge TT (de l’anglais transverse-traceless). L’appellation sans trace vient
évidemment de (6.72) et transverse vient de ce que hαβ est transverse à la direction ∂t
[Eq. (6.73)].
La jauge TT épuise tous les degrés de liberté possibles dans le choix du potentiel
¯hαβ. ¯ hαβ étant une matrice 4 × 4 symétrique, on a au départ 10 degrés de liberté. La
condition de jauge de Lorenz (6.40), qui a 4 composantes, réduit ce nombre à 6. Ensuite
les 4 conditions (6.64)-(6.65) le réduisent à 2. Ce sont les 2 degrés de liberté fondamentaux
du champ gravitationnel. On peut exhiber ces deux degrés de liberté en choisissant les