Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

146 Ondes gravitationnelles
Cherchons une solution en onde plane progressive monochromatique : c’est-à-dire de la
forme
¯hαβ(x µ ) = Aαβ e ikµxµ
, (6.52)
où Aαβ est une matrice symétrique 4×4 constante et kα est une forme bilinéaire constante.
Pour que (6.52) soit une solution de (6.50), il faut et il suffit que kα soit du genre lumière
pour la métrique de Minkowski :
kµk µ = 0, (6.53)
avec
k α := η αµ kµ. (6.54)
Par exemple, pour une propagation dans la direction z, kα = (ω/c, 0, 0, −ω/c), de sorte
que kµx µ = ω(x 0 /c − z/c) = ω(t − z/c). Par ailleurs, la condition de Lorenz (6.51) est
équivalente à
c’est-à-dire à
∂
∂x µ
µν
η Aαν e ikσxσ = 0, (6.55)
Aαµk µ = 0. (6.56)
Cela réduit de 10 à 6 le nombre de composantes indépendantes Aαβ. Effectuons, au sein
de la jauge de Lorenz, un changement de coordonnées infinitésimal de manière à annuler
certaines composantes Aαβ. Pour cela posons
ξ α = B α ikµx µ
e , (6.57)
où B α sont quatre constantes infinitésimales (c’est-à-dire du même ordre de grandeur que
Aαβ) à déterminer. Par construction, ξ α est solution de l’équation de d’Alembert (6.49). Il
génère donc un changement infinitésimal de coordonnées qui préserve la jauge de Lorenz.
La valeur de la perturbation métrique résultant du changement de jauge généré par ξ α
est donnée par la formule (6.44) ; en notant Bα := ηαµB µ , il vient :
avec
¯h ′ αβ = ¯ hαβ − ∂
∂xβ
Bα e ikµx µ ∂
−
∂xα
Bβ e ikµx µ ∂
+
∂xσ σ ikµx
B e µ
ηαβ
=
ikµx µ
ikµx µ
ikµx µ
Aαβ e − iBαkβ e − iBβkα e + B σ ikµx µ
kσ e ηαβ
= A ′ ikµx µ
αβ e , (6.58)
A ′ αβ = Aαβ − iBαkβ − iBβkα + B σ kσ ηαβ. (6.59)
Demandons les quatre conditions suivantes 2 η µν A ′ µν = 0 et A ′ 0i = 0 pour i = 1, 2, 3. Cela
revient à avoir
η µν Aµν − ikµB µ − ikµB µ + B σ kσ × 4 = 0 (6.60)
A0i − ik0B i + ikiB 0 + B σ kσ × 0 = 0, (6.61)
2 Rappelons que par convention les indices latins i, j, . . . varient dans {1, 2, 3}, alors que les indices
grecs α, β, . . . varient dans {0, 1, 2, 3}.