Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT 145
on obtient facilement la loi de transformation de ¯ hαβ sous l’effet du changement de coordonnées
infinitésimal (6.26) :
On en déduit [cf. (6.23)]
soit puisque η µν ηαµ = δ ν α,
Ainsi
¯h ′ αβ = ¯ hαβ − ∂ξα ∂ξβ ∂ξµ
− +
∂xβ ∂xα ∂x µ ηαβ. (6.44)
V ′ α = Vα − η µν ∂2 ξα
∂x µ ∂x ν − ηµν ∂2 ξµ
∂x α ∂x ν + ηµν ∂2 ξ ρ
∂x ρ ∂x ν ηαµ, (6.45)
V ′ α = Vα − ξα. (6.46)
V ′ α = 0 ⇐⇒ ξα = Vα. (6.47)
Autrement dit, étant donné un potentiel ¯ hαβ qui ne satisfait pas la jauge de Lorenz
(Vα = 0), il suffit de résoudre l’équation de d’Alembert ξα = Vα pour obtenir un ξ α qui
conduit à la jauge de Lorenz.
L’intérêt de la jauge de Lorenz est de réduire l’équation d’Einstein linéarisée (6.25) à
une équation d’ondes :
¯ hαβ = − 16πG
c 4 Tαβ . (6.48)
On déduit immédiatement de cette équation une propriété fondamentale des ondes
gravitationnelles : puisque c’est l’opérateur d’Alembertien de la métrique de Minkowski
qui apparaît dans le membre de gauche, les ondes gravitationnelles se propagent à la
vitesse de la lumière par rapport à l’espace-temps plat (dont on considère qu’elles sont
des perturbations).
6.3.4 Jauge TT
La jauge de Lorenz ne détermine pas complètement le système de coordonnées, ou
autrement dit le potentiel ¯ h αβ . En effet, au vu de (6.47), étant donné un système de
coordonnées (x α ) en jauge de Lorenz, tout quadruplet de fonctions infinitésimales ξ α tel
que
ξ α = 0 (6.49)
conduit à un système de coordonnées x ′α = x α + ξ α qui satisfait lui aussi à la jauge
de Lorenz. Pour fixer complètement la jauge, il faut donc se donner des conditions
supplémentaires.
Considérons une propagation dans le vide (Tαβ = 0) et en jauge de Lorenz : les
équations (6.48) et (6.40) conduisent au système
¯ hαβ = 0 (6.50)
∂
∂x µ
η
µν¯
hαν = 0. (6.51)