Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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144 On<strong>de</strong>s gravitationnelles<br />
On peut l’établir pour le tenseur <strong>de</strong> Ricci en injectant (6.36) dans (6.16) :<br />
R ′ αβ = Rαβ. (6.39)<br />
Pour le tenseur <strong>de</strong> Riemann, il faudrait obtenir d’abord une expression analogue à (6.16).<br />
[Exercice : le faire et en déduire (6.38)].<br />
Autrement dit, on peut considérer la gravitation linéarisée comme une théorie <strong>de</strong>s<br />
champs sur l’espace-temps <strong>de</strong> Minkowski, avec un potentiel tensoriel hαβ dont les transformations<br />
<strong>de</strong> jauge sont <strong>de</strong> la forme (6.36). ξα ne s’interprète alors plus comme un change-<br />
ment <strong>de</strong> coordonnées mais comme le potentiel donnant le changement <strong>de</strong> jauge. Le champ<br />
physique qui dérive du potentiel hαβ est le tenseur <strong>de</strong> Riemann Rα βµν , qui est invariant<br />
<strong>de</strong> jauge. Il représente le champ gravitationnel, <strong>de</strong> la même manière que les vecteurs E<br />
et B représentent le champ électromagnétique et dérivent du potentiel Aα qui est sujet à<br />
<strong>de</strong>s transformations <strong>de</strong> jauge.<br />
Pour cette raison, on qualifie le changement <strong>de</strong> coordonnées infinitésimal (6.26) <strong>de</strong><br />
changement <strong>de</strong> jauge.<br />
6.3.3 Jauge <strong>de</strong> Lorenz<br />
On dit que le potentiel ¯ hαβ satisfait à la jauge <strong>de</strong> Lorenz (on rencontre aussi parfois<br />
l’appellation jauge <strong>de</strong> Hilbert [13]) ssi<br />
c’est-à-dire [cf. (6.23)]<br />
∂<br />
∂x µ<br />
<br />
η<br />
µν¯<br />
<br />
hαν = 0 , (6.40)<br />
Vα = 0. (6.41)<br />
Cette appellation est faite par analogie avec l’électromagnétisme, où la jauge <strong>de</strong> Lorenz 1<br />
est définie par l’annulation <strong>de</strong> la divergence du 4-potentiel :<br />
∂<br />
∂x µ (ηµν Aν) = 0. (6.42)<br />
Montrons que l’on peut toujours trouver un changement <strong>de</strong> coordonnées infinitésimal<br />
ξ α qui conduise à la jauge <strong>de</strong> Lorenz. Constatant que la loi <strong>de</strong> transformation <strong>de</strong> jauge<br />
(6.36) conduit à la loi suivante pour la trace <strong>de</strong> hαβ :<br />
h ′ = h − 2 ∂ξµ<br />
, (6.43)<br />
∂x µ<br />
1 Il s’agit bien <strong>de</strong> Lorenz, du nom du physicien danois Ludvig Valentin Lorenz (1829-1891), et non <strong>de</strong><br />
Lorentz, qui désigne le physicien hollandais Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928). Ce <strong>de</strong>rnier a donné son<br />
nom à la transformation <strong>de</strong> Lorentz, au facteur <strong>de</strong> Lorentz et à la force <strong>de</strong> Lorentz, mais pas à la jauge,<br />
qui a été publiée en 1867 par L. Lorenz (cf. par exemple Ref. [29]). De nombreux ouvrages se trompent<br />
sur ce point (dont les célèbres manuels <strong>de</strong> Jackson, Landau & Lifchitz et Feynman).