Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

conduit à
∂x µ
∂x ′α = δµ α − ∂ξµ
∂xν soit, au premier ordre en ∂ξ µ /∂x ν ,
6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT 143
∂xν ∂x ′α = δµ α − ∂ξµ
∂xν
δ ν α − ∂ξν
∂xρ ∂xρ ∂x ′α
, (6.31)
∂x µ
∂x ′α = δµ α − ∂ξµ
∂xν δνα = δ µ α − ∂ξµ
. (6.32)
∂xα En reportant cette relation dans (6.29), il vient, en ne gardant que les termes du premier
ordre,
g ′ αβ =
gµν δ µ α − ∂ξµ
∂xα
δ ν β − ∂ξν
∂xβ
=
∂ξ
gαβ − gαν
ν ∂ξ
− gβµ
∂xβ µ
∂xα =
∂ξ
ηαβ + hαβ − ηαν
ν ∂ξ
− ηβµ
∂xβ µ
,
∂xα où l’on a posé
= ηαβ + hαβ − ∂ξα ∂ξβ
− , (6.33)
∂xβ ∂xα ξα := ηαµξ µ . (6.34)
La relation (6.33) montre que les composantes du tenseur métrique dans les nouvelles
coordonnées sont de la forme (6.1)-(6.3), à savoir
avec
6.3.2 Point de vue “théorie de jauge”
g ′ αβ = ηαβ + h ′ αβ, (6.35)
h ′ αβ = hαβ − ∂ξα ∂ξβ
− . (6.36)
∂xβ ∂xα La relation (6.36) rappelle celle d’un changement de jauge en électromagnétisme, où
le 4-potentiel Aα se transforme comme
A ′ α = Aα + ∂Ψ
∂x α
(6.37)
sans modifier le champ électromagnétique ( E, B). La différence principale est que hαβ est
une forme bilinéaire, alors que Aα est une forme linéaire : le scalaire Ψ est ainsi remplacé
par la forme linéaire ξα. On peut même pousser l’analogie plus loin en constatant que les
composantes du tenseur de Riemann sont invariantes dans le changement de coordonnées
(6.26) :
R ′α
βµν = R α βµν. (6.38)