Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

142 Ondes gravitationnelles
où l’on a posé
Vα := η µν ∂¯ hαν ∂
=
∂x µ ∂x µ
η
µν¯
hαν . (6.23)
Le premier terme dans l’expression de Gαβ ci-dessus n’est autre que l’opérateur d’Alembertien
associé à la métrique de Minkowski et appliqué à ¯ hαβ :
¯ hαβ := η µν ∂2¯ hαβ
∂x µ 1
= −
∂xν c2 ∂2¯ hαβ
∂t2 + ∂2¯ hαβ
∂x2 + ∂2¯ hαβ
∂y2 + ∂2¯ hαβ
∂z2 . (6.24)
L’équation d’Einstein (4.134) sans constante cosmologique s’écrit alors
¯ hαβ − ∂Vα ∂Vβ ∂Vµ
− + ηµν
∂xβ ∂xα ∂xν ηαβ = − 16πG
c4 Tαβ . (6.25)
Il s’agit-là de la forme générale de l’équation d’Einstein linéarisée. Si il n’y avait pas de
termes en Vα, ce serait une équation d’onde pour la perturbation hαβ par rapport à la
métrique de Minkowski. Nous allons voir qu’on peut toujours se ramener à ce cas-là par
un choix de coordonnées.
6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT
6.3.1 Changement de coordonnées infinitésimal
Remarquons que la forme (6.1)-(6.3) des composantes gαβ ne fixe absolument pas les
coordonnées x α sur E . Considérons en effet un changement de coordonnées
x ′α = x α + ξ α
où les quatre fonctions ξ α = ξ α (x β ) sont telles que
(6.26)
∂ξ
α
∂xβ
∼ |hαβ|, (6.27)
“∼” signifiant “du même ordre de grandeur que”. En particulier
∂ξ
α
∂xβ
≪ 1. (6.28)
On qualifie un tel changement de coordonnées d’infinitésimal. D’après la loi (2.57) de
transformation des composantes du tenseur métrique, les composantes de g dans les co-
ordonnées (x ′α ) sont
Or
g ′ ∂x
αβ = gµν
µ
∂x ′α
x µ = x ′µ − ξ µ
∂xν . (6.29)
∂x ′β
(6.30)