Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

d’où, au premier ordre en h,
6.2 Linéarisation de l’équation d’Einstein 141
Γ α βγ = 1
2 ηαν
∂hνγ
∂x
∂x
∂x ν
∂hβν ∂hβγ
+ − β γ
. (6.14)
L’étape suivante passe par le calcul du tenseur de Ricci via l’Eq. (4.110). Comme les
symboles de Christoffel obtenus ci-dessus sont du premier ordre en h, on peut négliger les
termes en Γ × Γ dans (4.110), qui se réduit donc à
En y reportant (6.14), il vient
Rαβ = 1
2 ηµν
Rαβ = ∂Γµ αβ
∂x µ − ∂Γµ αµ
. (6.15)
∂xβ
− ∂2 hαβ
∂x µ ∂x ν + ∂2 hβν
∂x α ∂x µ + ∂2 hαν
∂x β ∂x µ
où l’on a introduit la trace de h par rapport à η :
− 1
2
∂2h ∂xα , (6.16)
∂xβ h := η µν hµν . (6.17)
Le scalaire de courbure R se déduit ensuite du tenseur de Ricci suivant (4.111). Au
premier ordre en h, cette relation devient
R = η µν Rµν. (6.18)
Avec l’expression (6.16) de Rαβ, on obtient
R = η µν
− ∂2h ∂x µ ∂xν + ηρσ ∂2hσν ∂xρ∂x µ
. (6.19)
On peut ensuite former le tenseur d’Einstein suivant (4.114). Au premier ordre en h,
il vient
Gαβ = Rαβ − 1
= 1
2
η µν
2
+η µν ∂2 h
R ηαβ
− ∂2 hαβ
∂x µ ∂x ν + ∂2 hβν
∂x α ∂x µ + ∂2 hαν
∂x β ∂x µ
∂x µ ∂xν ηαβ − η µν η ρσ ∂2hσν ∂xρ ηαβ
∂x µ
− ∂2 h
∂x α ∂x β
. (6.20)
On peut faire disparaître les termes en h de cette expression si l’on introduit la quantité
¯hαβ := hαβ − 1
2 h ηαβ , (6.21)
qui est appelée perturbation métrique à trace renversée. Puisque η µν ηµν = 4, on a en effet
η µν¯ hµν = h − 2h = −h. En remplaçant hαβ par ¯ hαβ + (h/2)ηαβ dans (6.20), les dérivées
secondes de h s’éliminent et il ne reste que des dérivées de ¯ hαβ :
Gαβ = 1
−η
2
µν ∂2¯ hαβ
∂x µ ∂Vα ∂Vβ
+ +
∂xν ∂xβ ∂x ∂x
∂Vµ
− ηµν ηαβ
α ν
, (6.22)