Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
140 Ondes gravitationnelles Ainsi, on écrit le produit matriciel η −1 × η = Id comme mais, numériquement, η αµ ηµβ = δ α β, (6.5) η αβ = diag(−1, 1, 1, 1), (6.6) soit la même valeur que (6.2). La matrice inverse de gαβ, g αβ , peut s’écrire comme η αβ , plus une petite perturbation k αβ : g αβ = η αβ + k αβ , avec |k αβ | ≪ 1. (6.7) Il est facile de relier k αβ à hαβ en utilisant la définition de g αβ comme inverse de gαβ : g αµ gµβ = δ α β (η αµ + k αµ ) (ηµβ + hµβ) = δ α β η αµ hµβ + k αµ ηµβ + k αµ hµβ = 0. (6.8) Au premier ordre en hαβ ou k αβ , on peut négliger le terme quadratique k αµ hµβ. On obtient alors k αµ ηµβ = −η αµ hµβ, (6.9) c’est-à-dire, après multiplication matricielle par η −1 : Cette expression suggère d’introduire k αβ = −η αµ hµνη νβ = −η αµ η βν hµν. (6.10) Notons qu’en tant que matrice, h αβ est identique à hαβ. h αβ := η αµ η βν hµν. (6.11) Remarque : Contrairement à g αβ qui désigne l’inverse de la matrice gαβ, ou η αβ qui désigne l’inverse de la matrice η αβ , h αβ n’est pas l’inverse de la matrice hαβ. Cette dernière n’est d’ailleurs pas forcément inversible. Au vu de (6.10), on peut écrire (6.7) sous la forme 6.2.2 Équation d’Einstein linéarisée g αβ = η αβ − h αβ . (6.12) La première étape consiste à calculer les symboles de Christoffel associés à la métrique g et aux coordonnées (x α ) via l’expression (4.51). En y portant (6.1) et (6.12) et en utilisant ∂ηαβ/∂x γ = 0, il vient Γ α βγ = 1 2 (ηαν − h αν ∂hνγ ) ∂x ∂x ∂x ν ∂hβν ∂hβγ + − β γ , (6.13)
d’où, au premier ordre en h, 6.2 Linéarisation de l’équation d’Einstein 141 Γ α βγ = 1 2 ηαν ∂hνγ ∂x ∂x ∂x ν ∂hβν ∂hβγ + − β γ . (6.14) L’étape suivante passe par le calcul du tenseur de Ricci via l’Eq. (4.110). Comme les symboles de Christoffel obtenus ci-dessus sont du premier ordre en h, on peut négliger les termes en Γ × Γ dans (4.110), qui se réduit donc à En y reportant (6.14), il vient Rαβ = 1 2 ηµν Rαβ = ∂Γµ αβ ∂x µ − ∂Γµ αµ . (6.15) ∂xβ − ∂2 hαβ ∂x µ ∂x ν + ∂2 hβν ∂x α ∂x µ + ∂2 hαν ∂x β ∂x µ où l’on a introduit la trace de h par rapport à η : − 1 2 ∂2h ∂xα , (6.16) ∂xβ h := η µν hµν . (6.17) Le scalaire de courbure R se déduit ensuite du tenseur de Ricci suivant (4.111). Au premier ordre en h, cette relation devient R = η µν Rµν. (6.18) Avec l’expression (6.16) de Rαβ, on obtient R = η µν − ∂2h ∂x µ ∂xν + ηρσ ∂2hσν ∂xρ∂x µ . (6.19) On peut ensuite former le tenseur d’Einstein suivant (4.114). Au premier ordre en h, il vient Gαβ = Rαβ − 1 = 1 2 η µν 2 +η µν ∂2 h R ηαβ − ∂2 hαβ ∂x µ ∂x ν + ∂2 hβν ∂x α ∂x µ + ∂2 hαν ∂x β ∂x µ ∂x µ ∂xν ηαβ − η µν η ρσ ∂2hσν ∂xρ ηαβ ∂x µ − ∂2 h ∂x α ∂x β . (6.20) On peut faire disparaître les termes en h de cette expression si l’on introduit la quantité ¯hαβ := hαβ − 1 2 h ηαβ , (6.21) qui est appelée perturbation métrique à trace renversée. Puisque η µν ηµν = 4, on a en effet η µν¯ hµν = h − 2h = −h. En remplaçant hαβ par ¯ hαβ + (h/2)ηαβ dans (6.20), les dérivées secondes de h s’éliminent et il ne reste que des dérivées de ¯ hαβ : Gαβ = 1 −η 2 µν ∂2¯ hαβ ∂x µ ∂Vα ∂Vβ + + ∂xν ∂xβ ∂x ∂x ∂Vµ − ηµν ηαβ α ν , (6.22)
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140 On<strong>de</strong>s gravitationnelles<br />
Ainsi, on écrit le produit matriciel η −1 × η = Id comme<br />
mais, numériquement,<br />
η αµ ηµβ = δ α β, (6.5)<br />
η αβ = diag(−1, 1, 1, 1), (6.6)<br />
soit la même valeur que (6.2). La matrice inverse <strong>de</strong> gαβ, g αβ , peut s’écrire comme η αβ ,<br />
plus une petite perturbation k αβ :<br />
g αβ = η αβ + k αβ , avec |k αβ | ≪ 1. (6.7)<br />
Il est facile <strong>de</strong> relier k αβ à hαβ en utilisant la définition <strong>de</strong> g αβ comme inverse <strong>de</strong> gαβ :<br />
g αµ gµβ = δ α β<br />
(η αµ + k αµ ) (ηµβ + hµβ) = δ α β<br />
η αµ hµβ + k αµ ηµβ + k αµ hµβ = 0. (6.8)<br />
Au premier ordre en hαβ ou k αβ , on peut négliger le terme quadratique k αµ hµβ. On obtient<br />
alors<br />
k αµ ηµβ = −η αµ hµβ, (6.9)<br />
c’est-à-dire, après multiplication matricielle par η −1 :<br />
Cette expression suggère d’introduire<br />
k αβ = −η αµ hµνη νβ = −η αµ η βν hµν. (6.10)<br />
Notons qu’en tant que matrice, h αβ est i<strong>de</strong>ntique à hαβ.<br />
h αβ := η αµ η βν hµν. (6.11)<br />
Remarque : Contrairement à g αβ qui désigne l’inverse <strong>de</strong> la matrice gαβ, ou η αβ qui<br />
désigne l’inverse <strong>de</strong> la matrice η αβ , h αβ n’est pas l’inverse <strong>de</strong> la matrice hαβ. Cette<br />
<strong>de</strong>rnière n’est d’ailleurs pas forcément inversible.<br />
Au vu <strong>de</strong> (6.10), on peut écrire (6.7) sous la forme<br />
6.2.2 Équation d’Einstein linéarisée<br />
g αβ = η αβ − h αβ . (6.12)<br />
La première étape consiste à calculer les symboles <strong>de</strong> Christoffel associés à la métrique<br />
g et aux coordonnées (x α ) via l’expression (4.51). En y portant (6.1) et (6.12) et en<br />
utilisant ∂ηαβ/∂x γ = 0, il vient<br />
Γ α βγ = 1<br />
2 (ηαν − h αν <br />
∂hνγ<br />
)<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂x ν<br />
∂hβν ∂hβγ<br />
+ − β γ<br />
<br />
, (6.13)