Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Roland Schilling, MPQ Garching, 21.02.97 17:59:41
6.2 Linéarisation de l’équation d’Einstein 139
Fig. 6.2 – Mouvement orbital autour du Soleil des trois capsules qui formeront le détecteur interférométrique
LISA (lancement en 2019 ?). Le rayon de l’orbite est 1 UA (LISA suivra la Terre à 20
degré en arrière). Le plan des trois capsules est incliné de 60 o par rapport au plan de l’écliptique. La
longueur des bras de l’interféromètre est de 5 millions de km [d’après Schutz (2002)].
où ηαβ est la matrice de Minkowski définie par (2.62) :
et
ηαβ = diag(−1, 1, 1, 1) (6.2)
|hαβ| ≪ 1. (6.3)
Cela revient à considérer que la métrique g est celle de l’espace-temps de Minkowski plus
une petite déviation h. Au voisinage d’un objet non compact, de paramètre de compacité
Ξ (cf. § 3.2.3) nous avons vu au § 4.5.2 que
|hαβ| ∼ Ξ. (6.4)
Les ordres de grandeur donnés dans le tableau 3.1 montrent que la condition (6.3) est
largement satisfaite au voisinage de la Terre (Ξ ∼ 10 −10 ), du Soleil (Ξ ∼ 10 −6 ) et même
des naines blanches (Ξ ∼ 10 −3 ). L’idée est alors de linéariser l’équation d’Einstein, c’està-dire
de l’écrire au premier ordre en h.
Auparavant, introduisons quelques notations. La matrice de Minkowski η est sa propre
inverse. Nous la désignerons toutefois par η αβ lorsque nous l’utiliserons en tant qu’inverse.