Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr 133
pour la Terre, on obtient la valeur numérique suivante
dϕ
dt = 0.22′′ an −1
R⊕
r
3
. (5.52)
Cette valeur minuscule peut être mise en évidence en mesurant la précession d’un gyroscope
en orbite terrestre par rapport à une étoile lointaine. C’est le but de l’expérience
Gravity Probe B de la NASA et de l’Université de Stanford, qui a été satellisée en avril
2004 [Fig. 5.5]. La phase d’acquisition des données (16 mois) est achevée et leur analyse
est en cours. Les résultats sont attendus pour mai 2008. Pour plus de détails, cf.
http://einstein.stanford.edu/.
Dans le cas du trou noir de Kerr, si on applique la formule (5.49) en r = rH et que
l’on compare avec (5.31), on constate que
dϕ
dt
r=rH
= ΩH. (5.53)
Ainsi, lorsqu’elle atteint l’horizon des événements, la particule vue de l’infini a la même
vitesse de rotation que les générateurs lumière de l’horizon.
5.6.3 Orbites circulaires dans l’espace-temps de Kerr
Reprenons l’analyse du mouvement d’une particule matérielle dans l’espace-temps de
Kerr à partir des Eqs. (5.43)-(5.44). Il est facile de résoudre le système (5.43)-(5.44) en
u 0 et u ϕ ; on obtient
u 0 = 1
∆
u ϕ = 1
∆
aR∗
r
1 + R∗
ε aR∗ ℓ
− (5.54)
r c2 r c
ε
+ 1 −
c2 R∗
ℓ
, (5.55)
r c
r 2 + a 2
où ∆ = r 2 (1 − R∗/r) + a 2 [Eq. (5.25)]. On poursuit ensuite comme pour la métrique de
Schwarzschild (cf. § 3.5.2), c’est-à-dire que l’on utilise la normalisation u · u = −1 de la
4-vitesse pour déterminer u r :
g00u 0 + 2g0ϕu 0 u ϕ + grr(u r ) 2 + gθθ(u θ ) 2 + gϕϕ(u ϕ ) 2 = −1. (5.56)
En reportant les valeurs (5.54), (5.55), (5.40) et (5.24) pour respectivement u 0 , u ϕ , u θ et
gαβ, il vient, après quelques simplifications et en écrivant u r = c −1 dr/dτ,
avec le potentiel effectif
1
2
2 dr
+ Veff(r) =
dτ
ε2 − c4 2c2 , (5.57)
Veff(r) := − GM
r + ℓ2 − a2 (ε2 /c2 − c2 )
2r2 − GM
c2r3
ℓ − aε
c
2
. (5.58)