Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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132 Trous noirs Fig. 5.5 – Satellite Gravity Probe B lancé en avril 2004 pour tester l’effet Lense-Thirring (5.51) engendré par la rotation de la Terre [source : Stanford University]. On déduit donc de (5.47) que dϕ dt aR∗ = c r r2 + a2 1 + R∗ . (5.49) r Loin du trou noir, on peut négliger a 2 devant r 2 et cette formule se simplifie en dϕ dt caR∗ r 3 (r → ∞). (5.50) En exprimant a en fonction du moment cinétique J via (5.26), il vient dϕ dt 2GJ c 2 r 3 (r → ∞). (5.51) La formule (5.49) ou (5.51) signifie qu’une particule en chute radiale vers le trou noir acquiert un mouvement suivant ϕ, autrement dit sa trajectoire ne peut rester purement radiale. Elle a tendance à s’enrouler dans le sens de rotation du trou noir. C’est l’effet Lense-Thirring, encore appelé effet gravito-magnétique ou entraînement des référentiels inertiels. Le terme gravito-magnétique vient de ce que le mouvement de la particule dans le champ gravitationnel du trou noir en rotation peut être perçu comme obéissant à une “force” du même type que la force de Lorentz v ∧ B, en plus de la “force” gravitationnelle centripète. De son côté, la dénomination entraînement des référentiels inertiels fait référence au fait que la particule est en chute libre, si bien qu’on ne perçoit pas d’accélération due à la gravitation dans son référentiel local. Ce dernier peut donc être considéré comme un référentiel (local) inertiel. On peut montrer que l’effet Lense- Thirring se traduit également par la précession par rapport à l’infini d’un gyroscope d’un observateur localement inertiel. Bien que nous l’ayons établie dans le cas spécifique du trou noir de Kerr, la formule asymptotique (5.51) est en fait valable pour tous les corps en rotation 5 . En particulier, 5 rappelons que la métrique de Kerr n’est pas la métrique externe d’un corps quelconque en rotation, mais seulement celle d’un trou noir ; par opposition avec la métrique de Schwarzschild qui est la métrique externe de tous les corps à symétrie sphérique et sans rotation.
5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr 133 pour la Terre, on obtient la valeur numérique suivante dϕ dt = 0.22′′ an −1 R⊕ r 3 . (5.52) Cette valeur minuscule peut être mise en évidence en mesurant la précession d’un gyroscope en orbite terrestre par rapport à une étoile lointaine. C’est le but de l’expérience Gravity Probe B de la NASA et de l’Université de Stanford, qui a été satellisée en avril 2004 [Fig. 5.5]. La phase d’acquisition des données (16 mois) est achevée et leur analyse est en cours. Les résultats sont attendus pour mai 2008. Pour plus de détails, cf. http://einstein.stanford.edu/. Dans le cas du trou noir de Kerr, si on applique la formule (5.49) en r = rH et que l’on compare avec (5.31), on constate que dϕ dt r=rH = ΩH. (5.53) Ainsi, lorsqu’elle atteint l’horizon des événements, la particule vue de l’infini a la même vitesse de rotation que les générateurs lumière de l’horizon. 5.6.3 Orbites circulaires dans l’espace-temps de Kerr Reprenons l’analyse du mouvement d’une particule matérielle dans l’espace-temps de Kerr à partir des Eqs. (5.43)-(5.44). Il est facile de résoudre le système (5.43)-(5.44) en u 0 et u ϕ ; on obtient u 0 = 1 ∆ u ϕ = 1 ∆ aR∗ r 1 + R∗ ε aR∗ ℓ − (5.54) r c2 r c ε + 1 − c2 R∗ ℓ , (5.55) r c r 2 + a 2 où ∆ = r 2 (1 − R∗/r) + a 2 [Eq. (5.25)]. On poursuit ensuite comme pour la métrique de Schwarzschild (cf. § 3.5.2), c’est-à-dire que l’on utilise la normalisation u · u = −1 de la 4-vitesse pour déterminer u r : g00u 0 + 2g0ϕu 0 u ϕ + grr(u r ) 2 + gθθ(u θ ) 2 + gϕϕ(u ϕ ) 2 = −1. (5.56) En reportant les valeurs (5.54), (5.55), (5.40) et (5.24) pour respectivement u 0 , u ϕ , u θ et gαβ, il vient, après quelques simplifications et en écrivant u r = c −1 dr/dτ, avec le potentiel effectif 1 2 2 dr + Veff(r) = dτ ε2 − c4 2c2 , (5.57) Veff(r) := − GM r + ℓ2 − a2 (ε2 /c2 − c2 ) 2r2 − GM c2r3 ℓ − aε c 2 . (5.58)
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