Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr 131
conséquence de θ = const. = π/2. En utilisant les composantes de la métrique dans les
coordonnées de Boyer-Lindquist données par (5.24), il vient
ε
c2 = −gαβ(∂0) α u β = −g0βu β = −g00u 0 − g0ϕu ϕ
(5.41)
ℓ
c = gαβ(∂ϕ) α u β = gϕβu β = gϕ0u 0 + gϕϕu ϕ , (5.42)
c’est-à-dire, en faisant sin θ = 1 et ρ = r (puisque θ = π/2) dans (5.24),
ε
=
c2 ℓ
c
1 − R∗
r
= −aR∗
r u0 +
où nous avons introduit la notation
u 0 + aR∗
r uϕ
r 2 + a 2 + a2 R∗
r
(5.43)
u ϕ , (5.44)
R∗ := 2GM
c 2 . (5.45)
R∗ est en fait la même quantité que le rayon de Schwarzschild associé à la masse M, mais
nous préférons utiliser la notation R∗ plutôt que RS dans le cas présent, afin d’éviter toute
confusion [en particulier, le rayon de l’horizon n’est pas R∗, mais RH = R∗(1+ √ 1 − ā 2 )/2].
On peut vérifier qu’à la limite a = 0, les Eqs. (5.43) et (5.44) se réduisent bien à (3.90)
et (3.92).
5.6.2 Effet Lense-Thirring
La formule (5.44) permet de mettre en évidence un effet classique de la relativité
générale : l’effet Lense-Thirring. Considérons en effet une particule matérielle lâchée sans
vitesse initiale depuis l’infini. Loin du trou noir, elle va avoir une direction purement
radiale, si bien que son moment cinétique est nul :
ℓ = 0. (5.46)
Comme ℓ est conservé le long de la géodésique suivie par la particule, on déduit de (5.44)
qu’en tout point de la trajectoire
aR∗
r u0
= r 2 + a 2 + a2
R∗
u
r
ϕ . (5.47)
Par le même argument que celui présenté au § 3.5.3, la vitesse angulaire de la particule
dans la direction azimutale mesurée par un observateur au repos à l’infini est dϕ/dt. Or,
en introduisant le temps propre τ de la particule,
dϕ
dt
= dϕ
dτ
× dτ
dt = cuϕ × (cu t ) −1 = cu ϕ × (u 0 ) −1 . (5.48)