Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

130 Trous noirs
Fig. 5.4. Il est à noter que pour l’espace-temps de Schwarzschild, l’ergosphère est confondue
avec l’horizon des événements (ā = 0 ⇒ Rergo(θ) = RS), de sorte qu’il n’existe pas
d’ergorégion dans ce cas.
La propriété importante de l’ergorégion est qu’il ne peut y exister d’observateur statique
par rapport à l’infini. En effet, un observateur statique par rapport à l’infini est un
observateur dont la ligne d’univers est à (r, θ, ϕ) fixés. Sa 4-vitesse est donc nécessairement
colinéaire à ∂t :
u = u t ∂t = u 0 ξ(0). (5.37)
ξ(0) étant du genre espace dans l’ergorégion et la 4-vitesse u devant être du genre temps,
nous concluons qu’il ne peut exister d’observateur statique dans l’ergorégion. Autrement
dit, toutes les lignes d’univers du genre temps sont “entraînées” par le mouvement de
rotation du trou noir.
5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de
Kerr
5.6.1 Quantités conservées
Les orbites des particules matérielles dans l’espace-temps de Kerr sont beaucoup plus
compliquées que celle dans l’espace-temps de Schwarzschild. En particulier, elles ne sont
en général pas planes, sauf pour celles confinées dans le plan équatorial θ = π/2. Nous ne
discuterons ici que ce dernier cas. La situation est alors assez similaire à celle traitée au
§ 3.5, car on dispose du même nombre de quantités conservées le long d’une géodésique
du genre temps.
Considérons en effet une particule matérielle soumise uniquement à la gravitation
dans l’espace-temps de Kerr (E , g). Sa ligne d’univers L est alors une géodésique du
genre temps. En désignant par u, p et m respectivement la 4-vitesse, la 4-impulsion et la
masse de la particule, les quantités suivantes sont conservées le long de L :
ε := − c
m ξ(0) · p = −c 2 ξ(0) · u , (5.38)
ℓ := 1
m ξ(z) · p = c ξ(z) · u (5.39)
u θ = 0. (5.40)
Tout comme dans le cas traité au § 3.5, les deux premières quantités s’interprètent comme
l’énergie par unité de masse et la composante z du moment cinétique par unité de masse,
toutes deux mesurées par un observateur à l’infini (dans le cas où la particule atteint
cette région). La conservation de ε et de ℓ le long de la géodésique L est assurée par le
fait que ξ(0) et ξ(z) sont deux vecteurs de Killing, tout comme dans le cas de la métrique
de Schwarzschild (cf. § 3.4.1). Enfin, la conservation de u θ = c −1 dθ/dτ n’est autre que la