Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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128 Trous noirs 5.5.2 Théorème d’unicité (absence de chevelure) L’immense intérêt de la métrique de Kerr pour l’astrophysique vient du théorème d’unicité démontré au début des années 1970 par Brandon Carter, Stephen Hawking et Werner Israel. Ce théorème stipule que tous les trous noirs stationnaires en rotation et non chargés électriquement sont décrits par la métrique de Kerr. Ce théorème confirme la conjecture dite d’absence de chevelure établie au milieu des années 1960 par les physiciens soviétiques Vitaly L. Ginzburg, Yakov B. Zeldovich et Igor D. Novikov (cf. l’excellent livre de Thorne pour un compte rendu de cette épopée [37]). L’absence de chevelure signifie que la structure d’un trou noir en rotation est extrêmement simple. Il suffit en effet de deux nombres réels, M et a, pour la décrire entièrement. Le contraste avec les étoiles en rotation est patent : pour ces dernières, la métrique ne peut pas être décrite par seulement quelques paramètres scalaires, même à l’extérieur de l’étoile. Elle dépend en effet de la distribution de masse et d’impulsion à l’intérieur de l’étoile. Remarque : Il n’existe pas d’équivalent axisymétrique du théorème de Birkhoff énoncé au § 3.2.4. Autrement dit, la métrique de Kerr n’est pas la solution de l’équation d’Einstein à l’extérieur d’une étoile axisymétrique en rotation. Elle ne décrit que les trous noirs. 5.5.3 Horizon des événements Pour un paramètre de Kerr ā ≤ 1, nous admettrons que l’horizon des événements H de la métrique de Kerr est l’hypersurface définie par r = RH, où RH := GM c 2 1 + √ 1 − ā2 . (5.29) À la limite a = 0, on retrouve RH = 2GM/c 2 = RS. Pour ā > 1, la métrique de Kerr n’admet pas d’horizon des événements : elle décrit alors une singularité nue et non un trou noir. Le cas critique ā = 1 est appelé espace-temps de Kerr extrême. L’horizon des événements H est une hypersurface de genre lumière (cf. § 5.3.2), qui admet le vecteur suivant comme normale : avec ℓ := ξ(0) + ΩH ξ(z), (5.30) ΩH := c ā 2RH . (5.31) En tant que combinaison linéaire de vecteurs de Killing avec des coefficients constants (1 et ΩH), ℓ est également un vecteur de Killing4 . On peut vérifier que ℓ · ℓ = 0, (5.32) r=RH 4 comme ℓ n’est pas linéairement indépendant de ξ(0) et ξ (z), il n’introduit pas de nouvelle symétrie de l’espace-temps de Kerr
5.5 Trous noirs en rotation 129 horizon ergosphère Fig. 5.4 – Coupe dans un plan-coordonnées {t = const, ϕ = const} de l’espace-temps de Kerr pour ā = 0.9. L’horizon des événements et l’ergosphère sont dessinés comme des courbes en coordonnées polaires, d’équation r = RH et r = Rergo(θ), où r et θ sont les coordonnées de Boyer-Lindquist et RH et Rergo(θ) sont définis par respectivement (5.29) et (5.36). NB : l’horizon des événements H, dessiné comme un cercle sur cette figure puique RH ne dépend pas de θ, n’est pas aussi sphérique qu’il paraît, car pour ā = 0 la métrique induite sur H n’est pas la métrique canonique d’une sphère. comme il se doit pour toute normale à une hypersurface lumière. Les lignes de champ du vecteur ℓ sont des géodésiques lumière tangentes à H. ΩH mesure leur enroulement et on l’appelle vitesse de rotation du trou noir de Kerr. Une autre interprétation de ΩH sera fournie par l’Eq. (5.53) plus bas. 5.5.4 Ergosphère Le carré scalaire du vecteur de Killing ξ(0) = ∂0 est Les zéros de cette fonction sont ξ(0) · ξ(0) = g00 = −1 + r = GM c 2 2GMr c2 (r2 + a2 cos2 . (5.33) θ) 1 ± √ 1 − ā2 cos2 θ . (5.34) On en déduit qu’à l’extérieur de l’horizon des événements (r ≥ rH), le vecteur ξ(0) est du genre espace pour r < Rergo(θ), (5.35) avec Rergo(θ) = GM c 2 1 + √ 1 − ā2 cos2 θ . (5.36) À t fixé, la surface r = Rergo(θ) est appelée ergosphère et le domaine compris entre l’horizon des événements et l’ergosphère est appelé ergorégion. L’ergosphère est représentée sur la
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