Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

128 Trous noirs
5.5.2 Théorème d’unicité (absence de chevelure)
L’immense intérêt de la métrique de Kerr pour l’astrophysique vient du théorème
d’unicité démontré au début des années 1970 par Brandon Carter, Stephen Hawking et
Werner Israel. Ce théorème stipule que tous les trous noirs stationnaires en rotation et
non chargés électriquement sont décrits par la métrique de Kerr. Ce théorème confirme la
conjecture dite d’absence de chevelure établie au milieu des années 1960 par les physiciens
soviétiques Vitaly L. Ginzburg, Yakov B. Zeldovich et Igor D. Novikov (cf. l’excellent livre
de Thorne pour un compte rendu de cette épopée [37]). L’absence de chevelure signifie
que la structure d’un trou noir en rotation est extrêmement simple. Il suffit en effet de
deux nombres réels, M et a, pour la décrire entièrement. Le contraste avec les étoiles en
rotation est patent : pour ces dernières, la métrique ne peut pas être décrite par seulement
quelques paramètres scalaires, même à l’extérieur de l’étoile. Elle dépend en effet de la
distribution de masse et d’impulsion à l’intérieur de l’étoile.
Remarque : Il n’existe pas d’équivalent axisymétrique du théorème de Birkhoff énoncé
au § 3.2.4. Autrement dit, la métrique de Kerr n’est pas la solution de l’équation
d’Einstein à l’extérieur d’une étoile axisymétrique en rotation. Elle ne décrit que les
trous noirs.
5.5.3 Horizon des événements
Pour un paramètre de Kerr ā ≤ 1, nous admettrons que l’horizon des événements H
de la métrique de Kerr est l’hypersurface définie par r = RH, où
RH := GM
c 2
1 + √ 1 − ā2
. (5.29)
À la limite a = 0, on retrouve RH = 2GM/c 2 = RS.
Pour ā > 1, la métrique de Kerr n’admet pas d’horizon des événements : elle décrit
alors une singularité nue et non un trou noir. Le cas critique ā = 1 est appelé
espace-temps de Kerr extrême.
L’horizon des événements H est une hypersurface de genre lumière (cf. § 5.3.2), qui
admet le vecteur suivant comme normale :
avec
ℓ := ξ(0) + ΩH ξ(z), (5.30)
ΩH :=
c ā
2RH
. (5.31)
En tant que combinaison linéaire de vecteurs de Killing avec des coefficients constants (1
et ΩH), ℓ est également un vecteur de Killing4 . On peut vérifier que
ℓ ·
ℓ = 0, (5.32)
r=RH
4 comme ℓ n’est pas linéairement indépendant de ξ(0) et ξ (z), il n’introduit pas de nouvelle symétrie
de l’espace-temps de Kerr