Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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126 Trous noirs Fig. 5.3 – Diagramme d’espace-temps décrivant l’effondrement gravitationnel d’une étoile dans des coordonnées de type Eddington-Finkelstein 3+1. La partie de l’espace-temps occupée par la matière est la partie coloriée en jaune. Les lignes avec des extrémités fléchées représentes les lignes d’univers des photons émis vers l’extérieur. A l’instant initial ˜t0, le rayon de l’étoile est R0. A l’instant ˜t1 l’horizon des événements H apparaît au centre de l’étoile. Tous les photons émis a l’intérieur du domaine délimité par H sont piégés. A l’instant ˜t2 l’effondrement est achevé et une singularité apparaît en r = 0. 5.4 Effondrement gravitationnel Les trous noirs stellaires se forment lors de l’effondrement du cœur de fer d’une étoile massive en fin d’évolution, événement qui donne lieu au phénomène de supernova. L’effondrement gravitationnel est représenté schématiquement sur la Fig. 5.3. Nous renvoyons au cours de Philippe Grandclément (unité d’enseignement thématique F1) pour plus de détails. 5.5 Trous noirs en rotation 5.5.1 Solution de Kerr Comme tous les corps dans l’Univers, les trous noirs réels doivent être en rotation. La solution de Schwarzschild, qui est statique, ne fournit alors qu’une description approchée. Les trous noirs étant accélérés par l’accrétion de matière, on s’attend à ce que les trous noirs réels soient en fait en rotation rapide. La description par la métrique de Schwarzschild n’est alors pas satisfaisante. Or il se trouve qu’une solution exacte de l’équation d’Einstein correspondant à un trou noir en rotation a été découverte en 1963 par le mathématicien néo-zélandais Roy Kerr. De plus, cette solution, comme nous le verrons au § 5.5.2, recouvre
5.5 Trous noirs en rotation 127 tous les trous noirs stationnaires en rotation ! Dans un système de coordonnées x α = (ct, r, θ, ϕ), appelées coordonnées de Boyer-Lindquist, la métrique de Kerr a pour composantes : gαβ dxα dxβ = − 1 − 2GMr c2ρ2 c 2 dt 2 − 4GMar sin2 θ c2ρ2 +ρ 2 dθ 2 + r 2 + a 2 + 2GMa2r sin2 θ c2ρ2 sin 2 θ dϕ 2 où ρ 2 := r 2 + a 2 cos 2 θ, ∆ := r 2 − 2GM c2 r + a 2 c dt dϕ + ρ2 ∆ dr2 , (5.24) (5.25) et a et M sont deux constantes, respectivement de la dimension d’une longueur et d’une masse. M est en fait la masse du trou noir et a est relié au moment cinétique du trou noir J par a = J . (5.26) cM La constante sans dimension ā := c2 G a M = c G J M 2 (5.27) est appelée paramètre de Kerr de la solution. Exercice : vérifier avec Mathematica ou Mapple que la métrique donnée par (5.24) est bien une solution de l’équation d’Einstein du vide. Au vu de (5.24), on peut faire les constatations suivantes : • L’espace-temps de Kerr (E , g) est stationnaire et axisymétrique : les composantes gαβ sont indépendantes des coordonnées t et ϕ (cf. § 3.2.1). Les vecteurs de Killing correspondant à ces deux symétries sont ξ(0) := ∂0 = c −1 ∂t et ξ(z) := ∂ϕ . (5.28) Contrairement à l’espace-temps de Schwarzschild, il n’y a pas d’autres symétries. • L’espace-temps de Kerr n’est pas statique car ξ(0) n’est pas orthogonal aux hypersurfaces t = const, en raison du terme gtϕ = 0 dans (5.24) (cf. § 3.2.1). • Lorsque a = 0, ρ = r et l’espace-temps de Kerr se réduit à celui de Schwarzschild, puisque (5.24) redonne alors les composantes (5.4) de la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Schwarzschild. Les coordonnées de Boyer-Lindquist peuvent donc être perçues comme une généralisation des coordonnées de Schwarzschild au cas en rotation. • Tout comme la métrique de Schwarzschild, la métrique de Kerr est asymptotiquement plate. • Les composantes gαβ sont singulières en ρ = 0 et ∆ = 0. On peut montrer que la singularité en ∆ = 0 est une simple singularité des coordonnées de Boyer-Lindquist, qui généralise la singularité des coordonnées de Schwarzschild en r = RS (cf. § 5.2.1). Par contre, la singularité en ρ = 0 est une singularité du tenseur métrique g, tout comme la singularité en r = 0 de la métrique de Schwarzschild.
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Observatoire de Paris, Universités
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