Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

124 Trous noirs
La première solution correspond aux géodésiques lumière entrantes et ne doit pas nous
surprendre : de par leur définition, les coordonnées d’Eddington-Finkelstein entrantes
(v, r, θ, ϕ) assurent v = const le long de ces géodésiques, ce qui, via (5.7), implique r =
−c˜t + const et donc V = −c. C’est d’ailleurs pour cette raison que les géodésiques lumière
entrantes sont simplement des droites inclinées à 45 ◦ sur la Fig. 5.1.
La deuxième solution (5.18) correspond aux géodésiques “sortantes”. On constate
qu’elle vérifie
r < RS ⇐⇒ V < 0. (5.19)
Cela signifie qu’un photon émis dans la direction radiale depuis un point situé en r < RS
voit sa coordonnée r décroître. En conséquence il n’atteindra jamais la région de l’espacetemps
située en r > RS. Autrement dit, pour r < RS, les géodésiques radiales “sortantes”
se comportent comme les géodésiques entrantes (cf. Fig. 5.1).
L’hypersurface r = RS sépare donc l’espace-temps de Schwarzschild en deux régions
bien distinctes : l’une (r > RS) où les photons peuvent atteindre l’infini s’ils sont émis
dans la direction radiale sortante et l’autre (r < RS) où les photons sont piégés, quelle que
soit leur direction d’émission. Cette deuxième région ne peut donc pas avoir d’influence
causale sur la première. Pour cette raison, on dit que l’hypersurface3 r = RS est un
horizon des événements. On le notera H dans ce qui suit.
D’une manière plus générale, c’est l’existence d’un horizon des événements qui définit
un trou noir, et non l’existence d’une singularité centrale. Une singularité qui ne serait
pas entourée d’un horizon des événements est appelée singularité nue.
La conjecture de censure cosmique stipule que tout effondrement gravitationnel d’étoile
conduit à un trou noir et non à une singularité nue. À ce jour, cette conjecture n’a pas
été rigoureusement démontrée.
5.3.2 Genre lumière de l’horizon des événements
L’horizon des événements H est une hypersurface du genre lumière, c’est-à-dire que
la métrique induite par g y est dégénérée. En effet, puisque l’horizon des événements
correspond à r = const. = RS, le triplet (˜t, θ, ϕ) constitue un système de coordonnées sur
H où la métrique induite s’écrit, d’après (5.12),
ds 2 H = −0 × c 2 d˜t 2 + R 2 S
2 2 2
dθ + sin θ dϕ = R 2 2 2 2
S dθ + sin θ dϕ . (5.20)
L’absence de terme en d˜t 2 dans l’expression ci-dessus montre clairement que la direction
˜t constitue une direction de dégénérescence de la métrique induite. Pour cette raison, les
cônes de lumière sont tangents à H, ainsi que dessiné sur la Fig. 5.1.
Le vecteur de Killing ξ(0) = c −1 ∂˜t [cf. (5.10)] est du genre lumière sur H, car
ξ(0) · ξ(0) = g00|
r=RS
r=RS
= − 1 − RS
r=RS
= 0. (5.21)
r
3 dans l’espace-temps E couvert par les coordonnées (˜t, r, θ, ϕ), la condition r = const défini une sousvariété
de dimension 4 − 1 = 3, donc une hypersurface