Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

5.3 Horizon des événements 123
[Exercice : le faire]. On note que RαβµνR αβµν diverge lorsque r → 0. Il s’agit là d’une
singularité du tenseur métrique g, et non d’une simple singularité de coordonnées, car
RαβµνR αβµν étant un champ scalaire, sa valeur en un point est indépendante de tout
système de coordonnées.
Remarque : Un autre invariant auquel on aurait pu penser est le scalaire de Ricci R =
g αβ Rαβ [cf. Eqs. (4.111) et (4.150)]. Mais ce dernier est identiquement zéro, ainsi
qu’on peut aisément le vérifier sur l’Eq. (4.150), car la métrique de Schwarzschild
est solution de l’équation d’Einstein du vide (cf. la remarque faite page 114).
Remarque : Le déterminant de la matrice des composantes gαβ n’est pas un invariant. Il
dépend en effet du choix des coordonnées (x α ). Ce n’est donc pas une bonne quantité
pour localiser les singularités du tenseur métrique.
La singularité du tenseur métrique g en r = 0 marque la limite de la description des
trous noirs par la relativité générale. Il faudrait sans doute recourir à une théorie quantique
de la gravitation — qui n’existe pas encore vraiment à ce jour 2 — pour avoir une
description de la région centrale exempte de tout singularité. Du point de vue astrophysique,
tout cela n’est pas important puisque, comme nous allons le voir, la singularité est
cachée sous l’horizon des événements et ne peut, en aucune manière, influencer le monde
extérieur.
5.3 Horizon des événements
5.3.1 Caractérisation
Déterminons l’équation des géodésiques lumière radiales en coordonnées d’Eddington-
Finkelstein 3+1 : en effectuant dans (5.12) g ˜α ˜ β dx ˜α dx ˜ β = 0 (géodésique lumière) et dθ =
dϕ = 0 (trajectoire radiale), il vient
1 + RS
2 V
+ 2RS
r c2 r
où l’on a noté V la vitesse-coordonnée des photons :
V
c
− 1 + RS
r
L’équation du second degré (5.15) admet deux racines :
= 0, (5.15)
V := dr
. (5.16)
d˜t
V = −c (5.17)
1 − RS/r
V = c .
1 + RS/r
(5.18)
2 les recherches actuelles dans cette voie sont essentiellement basées sur deux approches alternatives :
la théorie des cordes d’un côté, et la théorie de la gravité quantique en boucles de l’autre, cf. par exemple
le livre récent de Lee Smolin [35].