Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

122 Trous noirs
Fig. 5.1 – Espace-temps de Schwarzschild en coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 (c˜t, r, θ, ϕ). Les
lignes en traits continus représentent les hypersurfaces t = const où t est la coordonnée de Schwarzschild.
Les droites en pointillés inclinées à 45 degrés représentent les géodésiques lumière radiales entrantes et
les autres lignes en pointillés les géodésiques lumière radiales sortantes. H est l’horizon des événements,
situé en r = RS. Le vecteur de Killing associé à la stationnarité, ξ (0) = c−1 ∂˜t , est une normale lumière
de H. Il est donc tangent à H.
Puisque det(g˜α β ˜) = 0, g n’est donc pas dégénérée en r = RS. Nous concluons donc
r=RS
que la singularité r = RS des coefficients métriques gαβ dans les coordonnées de Schwarzschild
est due à ces coordonnées et ne reflète pas une singularité du tenseur métrique g.
C’est un exemple de ce que l’on appelle une singularité de coordonnées.
L’espace-temps de Schwarzschild est représenté sur la Fig. 5.1 en coordonnées d’Eddington-Finkelstein
3+1. On voit clairement sur cette figure que les coordonnées de Schwarzschild
(ct, r, θ, ϕ) sont pathologiques en r = RS car les hypersurfaces de coordonnée t
constante ne traversent jamais l’hypersurface r = RS (elles “s’accumulent” en r = RS).
5.2.2 Singularité centrale
Examinons à présent la singularité en r = 0, qui est présente, non seulement dans les
composantes du tenseur métrique en coordonnées de Schwarzschild [Eq. (5.4)], mais aussi
dans celles en coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 [Eq. (5.12)]. Après avoir évalué le
tenseur de Riemann associé à la métrique de Schwarzschild [par exemple en calculant ses
composantes en coordonnées de Schwarzschild via l’Eq. (4.98)], on peut former le scalaire
RαβµνR αβµν , où Rαβµν := gασR σ βµν et Rαβµν := g βγ g µρ g νσ R α γρσ. On obtient
RαβµνR αβµν = 12 R2 S
. (5.14)
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