Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale 121
(v, r, θ, ϕ) introduites au § 3.3.2, plutôt que les coordonnées de Schwarzschild (ct, r, θ, ϕ).
Les composantes du tenseur métrique sont alors données par (3.40) :
g˜α β˜ dx ˜α dx ˜
β
= − 1 − RS
dv
r
2 + 2 dv dr + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (5.6)
Les hypersurfaces x ˜0 = v = const sont du genre lumière. Cela signifie que la métrique
induite y est dégénérée 1 : sa signature est (0, +, +) comme le montre l’absence de terme
en dr 2 dans (5.6). Pour retrouver le cas plus familier des hypersurfaces x ˜0 = const
du genre espace (c’est-à-dire avec une métrique induite définie positive), choisissons pour
x ˜0 la coordonnée
˜t := 1
(v − r)
c
(5.7)
plutôt que v. En remplaçant v par son expression (3.34), on peut relier ˜t à la coordonnée
de Schwarzschild t :
˜t = t + RS
c ln
r
RS
− 1 . (5.8)
On appelle alors coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 les coordonnées
x ˜α = (c˜t, r, θ, ϕ). (5.9)
Remarquons qu’elles ne diffèrent des coordonnées de Schwarzschild que par ˜t à la place
de t. Le premier vecteur de la base naturelle associée à ces coordonnées n’est autre que
le vecteur de Killing ξ0 associé à la stationnarité de la métrique de Schwarzschild [cf.
Eq. (3.41)] :
∂˜t = ∂t = c ξ(0). (5.10)
Il est facile d’établir (5.10) : pour tout champ scalaire f sur E , on a en effet, au vu de la
transformation (5.8),
∂˜t(f) = ∂f
∂˜t
= ∂f
∂t
∂t
∂˜t
=1
+ ∂f
∂r
∂r
∂˜t
=0
+ ∂f
∂θ
∂θ
∂˜t
=0
+ ∂f
∂ϕ
∂ϕ
=
∂˜t
=0
∂f
∂t = ∂t(f). (5.11)
En différenciant (5.7), il vient dv = c d˜t + dr, que l’on reporte dans (5.6) pour obtenir
les composantes de la métrique dans les coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 :
g˜α β˜ dx ˜α dx ˜
β
= − 1 − RS
c
r
2 d˜t 2 + 2 RS
r c d˜t
dr + 1 + RS
dr
r
2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 .
(5.12)
Ces composantes ne sont pas singulières en r = RS. En particulier, grr| = 2. On
r=RS
= 0, mais cela n’implique pas que g soit dégénérée en ce point, car la
a certes g˜t˜t|
r=RS
matrice g˜α β˜ n’est pas diagonale. Son déterminant vaut d’ailleurs
1 cf. § 2.3.1 pour un rappel de la définition de dégénérée.
det(g ˜α ˜ β ) = −r 4 sin 2 θ. (5.13)