Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
120 Trous noirs Laplace à la fin du XVIIIème siècle, la vitesse de libération d’un corps (sphérique) de masse M et de rayon R atteint la vitesse de la lumière lorsque 1 2 c2 = GM R . (5.1) Ainsi, un corps dont le rapport M/R obéirait à l’équation ci-dessus ne laisserait pas s’échapper la lumière : ce serait donc un trou noir. Comme nous l’avons déjà souligné dans la remarque faite page 55, les trous noirs ne correspondent pas nécessairement à des objets extrêmement denses. En effet le critère (5.1) est en M/R, alors que la densité varie comme M/R 3 . Si l’on définit la densité moyenne par ¯ρ := M/(4/3 πR 3 ), on peut réécrire (5.1) comme 1 2 c2 = 4 3 πG¯ρR2 , (5.2) de sorte que pour toute valeur de ¯ρ, même petite, il suffit que le corps soit suffisamment étendu (R grand) pour vérifier le critère de trou noir. Ainsi Michell avait calculé qu’un astre de même densité que le Soleil mais de rayon 500 fois plus grand serait un trou noir. Remarquons qu’en terme du paramètre de compacité Ξ introduit au Chap. 3, le critère (5.1) se traduit par Ξ = 1 , (5.3) 2 ce qui montre bien que les trous noirs doivent avoir un champ gravitationnel intense. Il convient donc d’arrêter là leur description newtonienne et de se tourner vers la relativité générale. 5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale 5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild Un trou noir statique est décrit par la métrique de Schwarzschild, qui est la solution du vide de l’équation d’Einstein que nous avons dérivée au § 4.6.2. Dans les coordonnées (x α ) = (ct, r, θ, ϕ) dites coordonnées de Schwarzschild, cette solution prend la forme (3.6) : gαβ dx α dx β = − 1 − RS c r 2 dt 2 + 1 − RS −1 dr r 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 , (5.4) où RS est le rayon de Schwarzschild défini par RS := 2GM c 2 . (5.5) Ainsi que nous l’avons déjà noté au § 3.2.2, on constate sur (5.4) que les composantes gαβ sont singulières en r = 0 et r = RS. Examinons tout d’abord la nature de la singularité en r = RS. Pour ce faire, utilisons les coordonnées d’Eddington-Finkelstein entrantes x ˜α =
5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale 121 (v, r, θ, ϕ) introduites au § 3.3.2, plutôt que les coordonnées de Schwarzschild (ct, r, θ, ϕ). Les composantes du tenseur métrique sont alors données par (3.40) : g˜α β˜ dx ˜α dx ˜ β = − 1 − RS dv r 2 + 2 dv dr + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (5.6) Les hypersurfaces x ˜0 = v = const sont du genre lumière. Cela signifie que la métrique induite y est dégénérée 1 : sa signature est (0, +, +) comme le montre l’absence de terme en dr 2 dans (5.6). Pour retrouver le cas plus familier des hypersurfaces x ˜0 = const du genre espace (c’est-à-dire avec une métrique induite définie positive), choisissons pour x ˜0 la coordonnée ˜t := 1 (v − r) c (5.7) plutôt que v. En remplaçant v par son expression (3.34), on peut relier ˜t à la coordonnée de Schwarzschild t : ˜t = t + RS c ln r RS − 1 . (5.8) On appelle alors coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 les coordonnées x ˜α = (c˜t, r, θ, ϕ). (5.9) Remarquons qu’elles ne diffèrent des coordonnées de Schwarzschild que par ˜t à la place de t. Le premier vecteur de la base naturelle associée à ces coordonnées n’est autre que le vecteur de Killing ξ0 associé à la stationnarité de la métrique de Schwarzschild [cf. Eq. (3.41)] : ∂˜t = ∂t = c ξ(0). (5.10) Il est facile d’établir (5.10) : pour tout champ scalaire f sur E , on a en effet, au vu de la transformation (5.8), ∂˜t(f) = ∂f ∂˜t = ∂f ∂t ∂t ∂˜t =1 + ∂f ∂r ∂r ∂˜t =0 + ∂f ∂θ ∂θ ∂˜t =0 + ∂f ∂ϕ ∂ϕ = ∂˜t =0 ∂f ∂t = ∂t(f). (5.11) En différenciant (5.7), il vient dv = c d˜t + dr, que l’on reporte dans (5.6) pour obtenir les composantes de la métrique dans les coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 : g˜α β˜ dx ˜α dx ˜ β = − 1 − RS c r 2 d˜t 2 + 2 RS r c d˜t dr + 1 + RS dr r 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (5.12) Ces composantes ne sont pas singulières en r = RS. En particulier, grr| = 2. On r=RS = 0, mais cela n’implique pas que g soit dégénérée en ce point, car la a certes g˜t˜t| r=RS matrice g˜α β˜ n’est pas diagonale. Son déterminant vaut d’ailleurs 1 cf. § 2.3.1 pour un rappel de la définition de dégénérée. det(g ˜α ˜ β ) = −r 4 sin 2 θ. (5.13)
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Laplace à la fin du XVIIIème siècle, la vitesse <strong>de</strong> libération d’un corps (sphérique) <strong>de</strong><br />
masse M et <strong>de</strong> rayon R atteint la vitesse <strong>de</strong> la lumière lorsque<br />
1<br />
2 c2 = GM<br />
R<br />
. (5.1)<br />
Ainsi, un corps dont le rapport M/R obéirait à l’équation ci-<strong>de</strong>ssus ne laisserait pas<br />
s’échapper la lumière : ce serait donc un trou noir.<br />
Comme nous l’avons déjà souligné dans la remarque faite page 55, les trous noirs ne<br />
correspon<strong>de</strong>nt pas nécessairement à <strong>de</strong>s objets extrêmement <strong>de</strong>nses. En effet le critère (5.1)<br />
est en M/R, alors que la <strong>de</strong>nsité varie comme M/R 3 . Si l’on définit la <strong>de</strong>nsité moyenne<br />
par ¯ρ := M/(4/3 πR 3 ), on peut réécrire (5.1) comme<br />
1<br />
2 c2 = 4<br />
3 πG¯ρR2 , (5.2)<br />
<strong>de</strong> sorte que pour toute valeur <strong>de</strong> ¯ρ, même petite, il suffit que le corps soit suffisamment<br />
étendu (R grand) pour vérifier le critère <strong>de</strong> trou noir. Ainsi Michell avait calculé qu’un<br />
astre <strong>de</strong> même <strong>de</strong>nsité que le Soleil mais <strong>de</strong> rayon 500 fois plus grand serait un trou noir.<br />
Remarquons qu’en terme du paramètre <strong>de</strong> compacité Ξ introduit au Chap. 3, le critère<br />
(5.1) se traduit par<br />
Ξ = 1<br />
, (5.3)<br />
2<br />
ce qui montre bien que les trous noirs doivent avoir un champ gravitationnel intense. Il<br />
convient donc d’arrêter là leur <strong>de</strong>scription newtonienne et <strong>de</strong> se tourner vers la relativité<br />
générale.<br />
5.2 Singularité <strong>de</strong> coordonnées et singularité centrale<br />
5.2.1 Nature <strong>de</strong> la singularité au rayon <strong>de</strong> Schwarzschild<br />
Un trou noir statique est décrit par la métrique <strong>de</strong> Schwarzschild, qui est la solution<br />
du vi<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’équation d’Einstein que nous avons dérivée au § 4.6.2. Dans les coordonnées<br />
(x α ) = (ct, r, θ, ϕ) dites coordonnées <strong>de</strong> Schwarzschild, cette solution prend la forme (3.6) :<br />
gαβ dx α dx β <br />
= − 1 − RS<br />
<br />
c<br />
r<br />
2 dt 2 <br />
+ 1 − RS<br />
−1 dr<br />
r<br />
2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 , (5.4)<br />
où RS est le rayon <strong>de</strong> Schwarzschild défini par<br />
RS := 2GM<br />
c 2 . (5.5)<br />
Ainsi que nous l’avons déjà noté au § 3.2.2, on constate sur (5.4) que les composantes gαβ<br />
sont singulières en r = 0 et r = RS. Examinons tout d’abord la nature <strong>de</strong> la singularité en<br />
r = RS. Pour ce faire, utilisons les coordonnées d’Eddington-Finkelstein entrantes x ˜α =
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