Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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116 Équation d’Einstein l’Eq. (4.184) se simplifie considérablement et devient m ′ (r) = 4πr 2 ρ. (4.189) Dans le cas de Schwarzschild, on aurait eu ρ = 0 (vide) et donc m(r) = const. = M. De son côté, l’Eq. (4.185) devient, lorsqu’on y reporte (4.187), ν ′ (r) = G c2 1 − 2Gm(r) c2 −1 m(r) p + 4πr r r2 c2 . (4.190) Enfin, plutôt que d’utiliser la composante (4.186) de l’équation d’Einstein, il est plus commode de considérer l’équation de conservation de l’énergie-impulsion ∇ · T = 0 [Eq. (4.135)]. Rappelons qu’en vertu de l’identité de Bianchi, cette équation est une conséquence de l’équation d’Einstein. Dans le cas présent, elle n’a qu’une seule composante non nulle, la composante r, qui s’écrit très simplement dp dr + (ρc2 + p) dν dr = 0. (4.191) Posons ν(r) =: Φ(r) , c2 (4.192) de manière à ce qu’à la limite non relativiste, Φ(r) redonne le potentiel gravitationnel newtonien [comparer le terme g00 dans (4.142) et (4.139)]. On peut alors réécrire les équations (4.189), (4.190) et (4.191) sous la forme dm dr = 4πr2 ρ(r) (4.193) dΦ dr = 1 − 2Gm(r) c2 −1 Gm(r) r r2 p(r) + 4πGr c2 (4.194) dp = − ρ(r) + dr p(r) c2 dΦ . dr (4.195) Ce système d’équations différentielles du premier order en m(r), Φ(r), ρ(r) et p(r) s’appelle système de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV ). Il doit être complété par la donnée d’une équation d’état reliant p et ρ ( 6 ) : p = p(ρ). (4.196) Il détermine alors complètement la structure d’une étoile relativiste statique et à symétrie sphérique. 6 Nous ne considérons ici que de la matière froide, pour laquelle la pression est uniquement fonction de la densité. C’est une excellente approximation pour les naines blanches et les étoiles à neutrons [cf. cours F1 (Philippe Grandclément)]. Si on doit prendre en compte la température, l’équation d’état devient p = p(ρ, T ) et il faut ajouter une loi qui gouverne T (r) pour fermer le système.
4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique 117 À la limite newtonienne (Gm(r)/(c 2 r) ≪ 1) et pour un fluide non relativiste (p/c 2 ≪ ρ), le système TOV se réduit aux équations de l’hydrostatique bien connues : dm dr = 4πr2 ρ(r) (4.197) dΦ dr dp dr 4.6.4 Pour aller plus loin... = Gm(r) r 2 (4.198) = −ρ(r)dΦ . (4.199) dr Nous renvoyons au livre récent de Haensel, Potekhin & Yakovlev [26] pour une discussion approfondie des solutions du système TOV et de leur stabilité, ainsi que pour une introduction aux modèles stellaires axisymétriques en rotation.
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