Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

116 Équation d’Einstein
l’Eq. (4.184) se simplifie considérablement et devient
m ′ (r) = 4πr 2 ρ. (4.189)
Dans le cas de Schwarzschild, on aurait eu ρ = 0 (vide) et donc m(r) = const. = M.
De son côté, l’Eq. (4.185) devient, lorsqu’on y reporte (4.187),
ν ′ (r) = G
c2
1 − 2Gm(r)
c2 −1
m(r) p
+ 4πr
r r2 c2
. (4.190)
Enfin, plutôt que d’utiliser la composante (4.186) de l’équation d’Einstein, il est plus
commode de considérer l’équation de conservation de l’énergie-impulsion ∇ · T = 0
[Eq. (4.135)]. Rappelons qu’en vertu de l’identité de Bianchi, cette équation est une
conséquence de l’équation d’Einstein. Dans le cas présent, elle n’a qu’une seule composante
non nulle, la composante r, qui s’écrit très simplement
dp
dr + (ρc2 + p) dν
dr
= 0. (4.191)
Posons
ν(r) =: Φ(r)
,
c2 (4.192)
de manière à ce qu’à la limite non relativiste, Φ(r) redonne le potentiel gravitationnel
newtonien [comparer le terme g00 dans (4.142) et (4.139)]. On peut alors réécrire les
équations (4.189), (4.190) et (4.191) sous la forme
dm
dr = 4πr2 ρ(r) (4.193)
dΦ
dr =
1 − 2Gm(r)
c2 −1
Gm(r)
r r2 p(r)
+ 4πGr
c2
(4.194)
dp
= − ρ(r) +
dr p(r)
c2
dΦ
.
dr
(4.195)
Ce système d’équations différentielles du premier order en m(r), Φ(r), ρ(r) et p(r) s’appelle
système de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV ). Il doit être complété par la donnée
d’une équation d’état reliant p et ρ ( 6 ) :
p = p(ρ). (4.196)
Il détermine alors complètement la structure d’une étoile relativiste statique et à symétrie
sphérique.
6 Nous ne considérons ici que de la matière froide, pour laquelle la pression est uniquement fonction de
la densité. C’est une excellente approximation pour les naines blanches et les étoiles à neutrons [cf. cours
F1 (Philippe Grandclément)]. Si on doit prendre en compte la température, l’équation d’état devient
p = p(ρ, T ) et il faut ajouter une loi qui gouverne T (r) pour fermer le système.