Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique 115
4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
Traitons à présent le cas où l’espace-temps n’est pas vide, mais contient une étoile
centrale, que nous supposerons constituée d’un fluide parfait. Le tenseur énergie-impulsion
est donc de la forme (4.120), avec toutefois des restrictions sur la 4-vitesse u en raison
des hypothèses de symétrie sphérique et de staticité. Cette dernière condition impose que
u soit colinéaire au vecteur de Killing ∂0 = c −1 ∂t (cf. § 3.2.1) :
u = u 0 ∂0. (4.177)
La relation de normalisation u · u = −1 permet alors de déterminer u 0 en fonction de la
composante g00 de la métrique, puisque (4.177) implique u · u = g00(u 0 ) 2 = −e 2ν (u 0 ) 2 .
On a ainsi
u = e −ν ∂0. (4.178)
Pour former le tenseur énergie-impulsion, il nous faut la forme linéaire u associée à u
par le tenseur métrique. Ses composantes sont uα = gαβuβ [Eq. (4.122)]. Étant donnée la
forme (4.142) de gαβ et le fait que uα = (e−ν , 0, 0, 0), on obtient
uα = (−e ν , 0, 0, 0). (4.179)
Les composantes du tenseur énergie-impulsion sont alors [cf. Eq. (4.124)]
T00 = (ρc 2 + p)e 2ν + p(−e 2ν ) = e 2ν ρc 2
(4.180)
Trr = e 2α p (4.181)
Tθθ = p r 2
(4.182)
Tϕϕ = p r 2 sin 2 θ, (4.183)
les composantes non diagonales étant nulles. En reportant ces valeurs dans les composantes
(4.159)-(4.162) de l’équation d’Einstein, il vient
2rα ′ e −2α − e −2α + 1 = 8πG
c 2 r2 ρ (4.184)
(2rν ′ + 1)e −2α − 1 = 8πG
c 4 r2 p (4.185)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′ ) = 8πG
c 4 p e2α . (4.186)
Par analogie avec la métrique de Schwarzschild, effectuons le changement de variable
suivant :
e −2α(r) =: 1 − 2Gm(r)
c2 ,
r
(4.187)
où m(r) est la nouvelle inconnue. En remarquant que
2α ′ e −2α(r) = − d
dr e−2α(r) = − d
1 −
dr
2Gm(r)
c2
=
r
2G
c2 ′ m (r) m(r)
−
r r2
, (4.188)