Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

114 Équation d’Einstein
où K est une constante. On a donc
α(r) = − 1
2 ln
1 + K
. (4.170)
r
En reportant cette valeur dans (4.165), il vient
soit
2rν ′ + 1 −
ν ′ = 1
2
1
1 + K/r
−K/r 2
1 + K/r
= 0, (4.171)
(4.172)
On en déduit immédiatement que
ν(r) = 1
2 ln
1 + K
, (4.173)
r
la constante d’intégration étant choisie nulle pour assurer ν → 0 lorsque r → +∞. On
peut vérifier que les fonctions α(r) et ν(r) données par (4.170) et (4.173) satisfont la
troisième équation [Eq. (4.166)].
En reportant α et ν dans (4.142), on obtient l’expression de la solution de l’équation
d’Einstein dans le vide, dans le cas statique et à symétrie sphérique :
gαβ dx α dx β
= − 1 + K
c
r
2 dt 2
+ 1 + K
−1 dr
r
2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) . (4.174)
En comparant avec l’Eq. (3.6), on reconnaît tout de suite la solution de Schwarzschild
correspondant à une masse centrale
M = − c2K . (4.175)
2G
Remarque : Dans le cas T = 0 (vide) et Λ = 0 (pas de constante cosmologique),
l’équation d’Einstein (4.136) est équivalente à
R = 0. (4.176)
En effet, en prenant la trace de (4.136) avec T = 0 et Λ = 0, on obtient R −
1/2 R × 4 = 0, c’est-à-dire R = 0. Le report de cette valeur dans (4.136) conduit
à (4.176). Une solution de l’équation d’Einstein du vide avec Λ = 0, comme la
solution de Schwarzschild (4.174), est donc une métrique dont le tenseur de Ricci
est identiquement nul. Par contre, le tenseur de Riemann n’est pas nul, sauf dans
le cas de la solution triviale constituée par la métrique de Minkowski (espace-temps
plat).