Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique 113
Grr = 1
r2 ′ 2α
2rν + 1 − e
Gθθ = e−2α
r 2
Gϕϕ = e−2α
r 2
(4.156)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′
)
(4.157)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′
) sin 2 θ. (4.158)
Les composantes non triviales de l’équation d’Einstein (4.134) avec Λ = 0 s’écrivent alors
2rα ′ + e 2α − 1 = 8πG
c 4 r2 T00 e 2(α−ν)
(4.159)
2rν ′ + 1 − e 2α = 8πG
c 4 r2 Trr (4.160)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′ ) = 8πG
c 4 r2 Tθθ e 2α
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′ ) = 8πG
c4 Les autres composantes conduisent à la contrainte
4.6.2 Solution de Schwarzschild
(4.161)
r 2 Tϕϕ
sin 2 θ e2α . (4.162)
Tαβ = 0 pour α = β. (4.163)
Nous sommes à présent en mesure de dériver la solution de Schwarzschild, que nous
avions admise au Chap. 3. Il s’agit d’une solution du vide, c’est-à-dire de tenseur énergieimpulsion
identiquement nul sur E : T = 0. Les dix équations d’Einstein (4.159)-(4.163)
se réduisent alors à
2rα ′ + e 2α − 1 = 0 (4.164)
2rν ′ + 1 − e 2α = 0 (4.165)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′ ) = 0. (4.166)
La première équation est simple car elle ne contient que la fonction α(r). En posant
elle devient
e 2α(r) =:
1
f(r)
⇐⇒ α(r) =: −1 ln f(r), (4.167)
2
rf ′ + 1 − f = 0. (4.168)
La solution qui vaut 1 lorsque r → +∞ (de manière à assurer α = 0 et donc une métrique
asymptotiquement plate) est
f(r) = 1 + K
, (4.169)
r