Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

112 Équation d’Einstein
On peut alors calculer les symboles de Christoffel suivant (4.51) ; on obtient
Γ 0 0r = Γ 0 r0 = ν ′
Γ r 00 = e 2(ν−α) ν ′ Γ r rr = α ′ Γ r θθ = −re−2α Γ r ϕϕ = −r sin 2 θ e −2α
Γ θ rθ = Γθ θr = 1/r Γθ ϕϕ = − cos θ sin θ
Γϕ rϕ = Γϕ ϕr = 1/r Γ ϕ
1
θϕ = Γϕ
ϕθ =
tan θ ,
(4.144)
où ν ′ = dν/dr et α ′ = dα/dr. Tous les autres symboles de Christoffel sont nuls. On vérifie
que si ν = 0 et α = 0 (métrique de Minkowski), on retrouve bien (4.67)-(4.69).
À partir des symboles de Christoffel, nous pouvons calculer les composantes du tenseur
de Ricci suivant (4.110) ; il vient
R00 = e 2(ν−α)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 2
r ν′
Rrr = −ν ′′ − (ν ′ ) 2 + ν ′ α ′ + 2
r α′
(4.145)
(4.146)
Rθθ = e −2α [r(α ′ − ν ′ ) − 1] + 1 (4.147)
Rϕϕ = sin 2 θ e −2α [r(α ′ − ν ′ ) − 1] + 1 . (4.148)
Tous les autres composantes sont nulles. On vérifie que pour ν = 0 et α = 0, Rαβ = 0.
Le scalaire de Ricci s’obtient par R = g αβ Rαβ [Eq. (4.111)] :
R = −e −2ν R00 + e −2α Rrr + 1
r 2 Rθθ +
1
r 2 sin 2 θ Rϕϕ. (4.149)
Avec les valeurs ci-dessus, il vient
R = 2e −2α
−ν ′′ − (ν ′ ) 2 + ν ′ α ′ + 2
r (α′ − ν ′ ) + 1
r2 2α
e − 1
. (4.150)
À partir de Rαβ et R, on forme le tenseur d’Einstein via l’Eq. (4.114) :
G00 = R00 − 1
2 R(−e2ν ) (4.151)
Grr = Rrr − 1
2 Re2α
Gθθ = Rθθ − 1
2 Rr2
(4.152)
(4.153)
Gϕϕ = Rϕϕ − 1
2 Rr2 . (4.154)
En remplaçant Rαβ et R par leurs valeurs ci-dessus, on obtient
G00 = e2(ν−α)
r 2
2rα ′ + e 2α − 1
(4.155)