Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique 111
Un exemple de coordonnées où gαβ a la forme (4.139) est constitué par les coordonnées
cartésiennes associées aux coordonnées isotropes (ct, ¯r, θ, ϕ) introduites au § 3.2.5 pour
l’espace-temps de Schwarzschild. En effet si l’on fait Φ = −GM/¯r dans l’Eq. (3.18) et que
l’on effectue un développement limité en Φ/c 2 , on obtient (4.139).
En calculant les symboles de Christoffel à partir des composantes (4.139), puis le
tenseur de Ricci via (4.110), le tout au premier ordre en Φ/c 2 , on constate que les dix
composantes de l’équation d’Einstein avec comme source un fluide parfait non relativiste
(p ≪ ρc 2 ) se réduisent à une seule équation non triviale (la composante 00), qui est
∆Φ = 4πG ρ. (4.140)
On retrouve donc l’équation de Poisson de la gravitation newtonienne, ce qui montre que
la relativité générale est bien une extension de cette dernière.
4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique
Cherchons à présent les solutions de l’équation d’Einstein avec Λ = 0 dans le cas
simple, mais astrophysiquement intéressant, d’un corps à symétrie sphérique et statique.
On supposera que le tenseur énergie-impulsion T est soit nul dans tout l’espace, soit celui
d’un fluide parfait dans une région limitée de l’espace. Dans le premier cas, la solution
correspondra à un trou noir de Schwarzschild, et dans le deuxième à une étoile fluide.
4.6.1 Écriture de l’équation d’Einstein
Nous avons vu au § 3.2.1, que dans tout espace-temps à symétrie sphérique, on peut
choisir des coordonnées (x α ) = (x 0 = ct, r, θ, ϕ) telles que les composantes du tenseur
métrique se mettent sous la forme (3.3). Si de plus on suppose que l’espace-temps est
statique, alors on peut supprimer la dépendence en t dans les composantes (3.3) et obtenir :
gαβ dx α dx β = −N(r) 2 c 2 dt 2 + A(r) 2 dr 2 + B(r) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (4.141)
De plus, on peut toujours choisir comme coordonnée r le rayon aréolaire des sphères
d’invariance liées à la symétrie sphérique (cf. page 57). Cela revient à faire B(r) = r. On
a alors
gαβ dx α dx β = −e 2ν(r) c 2 dt 2 + e 2α(r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) , (4.142)
où l’on a posé ν(r) := ln N(r) et α(r) := ln A(r). Nous avons besoin de la matrice inverse
g αβ , qui est évidemment
g αβ
= diag −e −2ν(r) , e −2α(r) , 1
,
r2 1
r2 sin2
. (4.143)
θ