Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

110 Équation d’Einstein
On retrouve ainsi l’interprétation des champs scalaires ρ et p donnée plus haut.
Un fluide parfait satisfait la condition d’énergie faible ssi ρ ≥ 0 et ρ + p ≥ 0 et à la
condition d’énergie dominante ssi ρ ≥ |p|.
4.5 Équation d’Einstein
4.5.1 Énoncé
L’équation d’Einstein relie le tenseur d’Einstein G au tenseur énergie-impulsion T via
G + Λ g = 8πG
T , (4.134)
c4 où Λ est une constante, appelée constante cosmologique, et G est la constante de Newton
donnée par (3.7). Une des motivations d’Einstein était en effet de trouver une formulation
qui assure que le tenseur énergie-impulsion soit à divergence nulle, ce qui est une forme de
conservation locale de l’énergie et de l’impulsion. Comme on l’a vu au § 4.3.3, le tenseur
d’Einstein vérifie cette propriété [identité de Bianchi contractée (4.115)] et par ailleurs
∇ · g = 0, puisque la connexion ∇ est compatible avec la métrique g [Eq. (4.62)]. La
forme (4.134) implique donc
∇ · T = 0 . (4.135)
En explicitant le tenseur d’Einstein en terme du tenseur de Ricci [cf Eq. (4.114)],
l’équation d’Einstein s’écrit sous la forme
R − 1
8πG
R g + Λ g = T . (4.136)
2 c4 On peut soit postuler l’équation d’Einstein (ce que nous ferons ici), soit la dériver à
partir d’un principe variationnel, en utilisant l’action d’Hilbert-Einstein (cf. le cours de
gravitation de Jérôme Perez).
4.5.2 Limite newtonienne
En champ gravitationnel faible, on peut toujours trouver un système de coordonnées
(xα ) = (ct, x, y, z) où les composantes de la métrique s’écrivent
gαβdx α dx β
= − 1 + Φ
c2 2 c 2 dt 2
+ 1 + Φ
c2 −2 dx2 2 2
+ dy + dz . (4.137)
Φ désigne le potentiel gravitationnel newtonien et doit vérifier
|Φ| ≪ c 2 . (4.138)
On peut également écrire (4.137) sous la forme équivalente au premier ordre en Φ/c2 :
gαβdx α dx β
= − 1 + 2 Φ
c2
c 2 dt 2
+ 1 − 2 Φ
c2
dx2 2 2
+ dy + dz . (4.139)