Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.4 Tenseur énergie-impulsion 109
On dit que l’on a “baissé” l’indice de u α à l’aide de g. Comme il n’y a pas d’ambiguïté,
on note souvent uα à la place de u α.
• Le produit tensoriel u ⊗ u est défini de manière similaire à (4.23) :
u ⊗ u : TP (E ) × TP (E ) −→ R
(v, w) ↦−→ 〈u, v〉〈u, w〉
. (4.123)
Les composantes du tenseur énergie-impulsion par rapport à une base vectorielle (eα)
sont
Tαβ = (ρc 2 + p) uαuβ + p gαβ. (4.124)
Considérons un observateur O de 4-vitesse u0. D’après la formule (4.116), cet observateur
mesure la densité d’énergie du fluide suivante :
ε = T (u0, u0) = (ρc 2 + p) (u · u0 )(u · u0 ) + p g(u0, u0) ,
(4.125)
=−Γ =−Γ
=−1
où l’on a introduit le facteur de Lorentz Γ (à ne pas confondre avec les symboles de
Christoffel !). On a donc
ε = Γ 2 (ρc 2 + p) − p. (4.126)
Le lecteur pourra être surpris par le carré du facteur de Lorentz, car il s’attendait peutêtre
à un facteur Γ et non Γ 2 , en vertu de la formule E = Γmc 2 [cf. Eq. (2.106)]. En
fait, il ne faut pas oublier que ε est une densité d’énergie et non une énergie. Le facteur
Γ supplémentaire vient donc de la “contraction des longueurs” dans la direction du
mouvement, qui diminue le volume et augmente la densité.
Par ailleurs, la densité d’impulsion du fluide mesurée par O s’obtient en appliquant la
formule (4.117) :
p i = − 1
c T (u0, ei) = − 1
c (ρc2 + p) (u · u0
=−Γ
)( u · ei ) − p
c g(u0, ei) , (4.127)
=ΓV i /c
où V i := cΓ−1ei · u désigne la vitesse du fluide par rapport à O dans la direction ei. On
a donc
p i = Γ 2
ρ + p
c2
V i . (4.128)
Enfin, le tenseur des contraintes mesuré par O est donné par (4.119) :
soit
Sij = T (ei, ej) = (ρc 2 + p) ( u · ei )( u · ej ) + p g(ei, ej) , (4.129)
=ΓV i /c
Sij = p δij + Γ 2
ρ + p
c 2
=ΓV j /c
=0
=δij
V i V j . (4.130)
Dans le cas où O est comobile avec le fluide, u0 = u, Γ = 1, V i = 0, et les formules
ci-dessus se réduisent à
ε = ρc 2 , (4.131)
p i = 0, (4.132)
Sij = p δij. (4.133)