Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

108 Équation d’Einstein
• La composante i (i = 1, 2, 3) de la densité d’impulsion de la matière mesurée par O
est
p i = − 1
c T (u0, ei), (4.117)
où (ei) constitue une base orthonormale de l’espace local de repos de O, c’est-à-dire
de l’hyperplan orthogonal à O (cf. § 2.5.2). Le vecteur densité d’impulsion mesuré
par O est alors
p = p i ei. (4.118)
• Le tenseur des contraintes mesuré par O est
Sij = T (ei, ej). (4.119)
Autrement dit, T (ei, ej) est la force exercée par la matière dans la direction de ei
sur l’unité de surface dont ej est la normale.
Remarque : Quand nous disons “matière” dans les expressions ci-dessus, il faut le
prendre au sens large, c’est-à-dire inclure toute forme d’énergie-impulsion présente
dans l’espace-temps, y compris celle du champ électromagnétique.
On dit que la matière satisfait à la condition d’énergie faible si l’énergie ε = T (u0, u0)
est positive quelle que soit la 4-vitesse u0. Si de plus, p · p c 2 ≤ ε quelle que soit u0, on
dit que la matière satisfait à la condition d’énergie dominante. Toutes les formes ordinaires
de matière, ainsi que le champ électromagnétique, satisfont à la condition d’énergie
dominante (et donc à la condition d’énergie faible).
4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait
Un modèle de matière très important est constitué par le fluide parfait. Dans ce cas,
la matière est décrite par un champ de 4-vitesses u, qui représente en chaque point la
4-vitesse d’une particule fluide, et par une pression isotrope dans le référentiel du fluide
(c’est-à-dire vis-à-vis d’un observateur dont la 4-vitesse serait u). Plus précisément, un
fluide parfait est défini par le tenseur énergie-impulsion suivant :
où
T = (ρc 2 + p) u ⊗ u + p g , (4.120)
• ρ et p sont deux champs scalaires, qui représentent respectivement la densité d’énergie
du fluide (divisée par c 2 ) et la pression du fluide, toutes deux mesurées dans le
référentiel du fluide ;
• u est la forme linéaire associée au vecteur u par le tenseur métrique via
u : TP (E ) −→ R
v ↦−→ g(u, v) = u · v.
(4.121)
En termes des composantes : si u = u α e α et u = u α eα où (eα) est une base
vectorielle et (e α ) sa base duale, alors
u α = gαβ u β . (4.122)