Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.4 Tenseur énergie-impulsion 107
Les composantes du tenseur de Ricci se déduisent de (4.98) :
Rαβ = ∂Γµ αβ
∂x µ − ∂Γµ αµ
∂x
+ Γµ
β αβΓν µν − Γ ν αµΓ µ
νβ
. (4.110)
On définit le scalaire de courbure (également appelé scalaire de Ricci) comme la trace
du tenseur de Ricci prise à l’aide de la métrique g :
R := g αβ Rαβ . (4.111)
En contractant l’identité de Bianchi (4.107), on obtient l’équation différentielle suivante
:
∇ β
Rαβ − 1
2 Rgαβ
= 0, (4.112)
où
L’Eq. (4.112) suggère d’introduire le tenseur suivant :
∇ β := g βσ ∇σ. (4.113)
G := R − 1
R g , (4.114)
2
qui est appelé tenseur d’Einstein. L’Eq. (4.112) signifie que ce tenseur est à divergence
nulle :
∇ · G = 0 . (4.115)
C’est en fait le seul tenseur symétrique de valence 2 que l’on peut former à partir des
dérivées secondes de g qui ait cette propriété.
4.4 Tenseur énergie-impulsion
4.4.1 Définition
La dernière pièce manquante avant de mettre en place l’équation d’Einstein est le tenseur
énergie-impulsion de la matière. Ce dernier est un champ tensoriel T sur E qui décrit
le contenu en matière de l’espace-temps. En fait, il ne décrit que l’énergie et l’impulsion
associée à la matière, ou à tout autre forme de champ non gravitationnel, comme par
exemple le champ électromagnétique. Ainsi T ne contient pas toute l’information sur le
détail microscopique des constituants de la matière. Plus précisément, T est un champ
5 , symétrique qui vérifie les propriétés suivantes, étant donné un
tensoriel de type 0
2
observateur O de 4-vitesse u0 :
• La densité d’énergie de la matière mesurée par O est
ε = T (u0, u0) (4.116)
5 T est donc une forme bilinéaire symétrique, tout comme le tenseur métrique, le tenseur de Ricci ou
le tenseur d’Einstein