Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

106 Équation d’Einstein
4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann
Par construction, le tenseur de Riemann est un tenseur de type 1
qui est anti-
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symétrique dans ses deux derniers indices :
R α βµν = −R α βνµ . (4.102)
Deux autres propriétés sont (i) l’antisymétrie des deux premiers indices abaissés
où
Rαβµν = −Rβαµν , (4.103)
Rαβµν := gασR σ βµν, (4.104)
et (ii) la symétrie par permutation des première et deuxième paires d’indices :
Rαβµν = Rµναβ . (4.105)
On a également une symétrie cyclique sur les trois derniers indices :
R α βµν + R α µνβ + R α νβµ = 0 . (4.106)
Toutes ces symétries réduisent à 20 le nombre de composantes indépendantes du tenseur
de Riemann (au lieu de 4 4 = 256 !).
Enfin les dérivées covariantes du tenseur de Riemann vérifient une propriété très importante,
appelée identité de Bianchi :
∇ρR α βµν + ∇µR α βνρ + ∇νR α βρµ = 0 . (4.107)
Remarque : Il n’y a pas de consensus dans la littérature sur l’ordre des indices du tenseur
de Riemann. Nous utilisons ici la même que dans les livres de Carroll [2],
Hartle [4], Hawking & Ellis [10], Misner, Thorne & Wheeler [11] et Poisson [12].
Elle diffère de celle utilisée par Wald [14]. Pour vérifier quelle convention est utilisée
dans un ouvrage donné, un bon moyen consiste à regarder comment est écrite
l’identité de Ricci (4.99).
4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d’Einstein
Le tenseur de Ricci R est le tenseur de type 0
(forme bilinéaire) obtenu par contrac-
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tion des premier et troisième indices du tenseur de Riemann :
Rαβ := R σ ασβ . (4.108)
En vertu de la propriété (4.105), R est une forme bilinéaire symétrique :
Rαβ = Rβα . (4.109)