Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

c’est-à-dire
avec
4.3 Tenseur de courbure 105
v ′α (B) − v α (B) = R α βµν v β
0 dx µ
1dx ν 2 , (4.97)
R α βµν := ∂Γα βν
∂x µ − ∂Γα βµ
∂x ν + Γα σµΓ σ βν − Γ α σνΓ σ βµ . (4.98)
Ainsi si Rα βµν = 0, le vecteur v ′ (B) obtenu par transport parallèle du vecteur v0 de A à
B en passant par I ′ n’est pas égal au vecteur v(B) obtenu par transport parallèle de v0
de A à B en passant par I. Rα βµν est donc l’expression de la courbure de l’espace-temps
E muni de la connexion ∇.
Bien que cela ne soit pas évident sur l’expression (4.98), les quantités Rα βµν sont les
composantes d’un tenseur, appelé tenseur de courbure ou tenseur de Riemann et noté4 Riem. Pour le voir, il suffit d’établir que pour tout champ vectoriel v, on a
∇µ∇νv α − ∇ν∇µv α = R α βµν v β . (4.99)
En effet, si cette identité est vraie, comme le membre de gauche désigne clairement les
composantes d’un champ tensoriel, il en va de même du membre de droite et donc de
Rα βµν . L’identité (4.99) s’appelle identité de Ricci. Pour l’établir, il suffit d’exprimer la
dérivée covariante du tenseur ∇v en employant (4.39) avec p = 1 et q = 1 :
∇µ∇νv α = ∂
∂x µ (∇νv α ) + Γ α σµ∇νv σ − Γ σ νµ∇σv α . (4.100)
En remplaçant ∇νvα , ∇νvσ et ∇σvα par les expressions déduites de (4.32), puis en permutant
µ et ν et en soustrayant, on constate que les dérivées partielles premières et secondes
de v α disparaissent et on obtient (4.99) avec R α βµν
tel que donné par (4.98).
L’identité de Ricci (4.99) implique qu’un tenseur de courbure non nul est une obstruction
à la commutativité des doubles dérivées covariantes d’un vecteur. A cet égard,
il convient de rappeler que pour un champ scalaire, les doubles dérivées covariantes commutent
toujours, ainsi que nous l’avons vu plus haut [cf. Eq. (4.61), absence de torsion].
Remarque : Nous avons défini le tenseur de courbure pour la connexion compatible avec
la métrique g, mais il peut être défini pour n’importe quelle connexion. Il suffirait
de remplacer les symboles de Christoffel par des coefficients de connexion généraux
γ α µν dans les calculs ci-dessus. On remarque en effet que nous n’avons nulle part
utilisé explicitement la métrique g.
On dit que l’espace-temps (E , g) est plat si, et seulement si,
Riem = 0. (4.101)
En supposant que E ait la topologie de R 4 , on peut montrer que cette condition est
nécessaire et suffisante pour que (E , g) soit l’espace-temps de Minkowski : on peut alors
trouver un système de coordonnées (x α ) = (ct, x, y, z) tel que les composantes de g soient
gαβ = diag(−1, 1, 1, 1).
4 Afin de réserver le symbole R pour un autre tenseur, celui de Ricci, nous utilisons Riem pour le
tenseur de Riemann. Cependant, comme il n’y a pas d’ambiguïté au niveau des composantes, puisque les
tenseurs de Riemann et de Ricci n’ont pas le même nombre d’indices, nous utilisons le symbole R pour
les composantes des deux tenseurs.