Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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104 Équation d’Einstein<br />
Fig. 4.2 – Transport parallèle d’un vecteur v0 <strong>de</strong>puis un point A jusqu’à un point B en suivant <strong>de</strong>ux<br />
chemins infinitésimaux : A → I → B et A → I ′ → B. Dans le premier cas, le transport parallèle génère<br />
un champ vectoriel noté v, dans le second, un champ vectoriel noté v ′ . Le fait que v ′ (B) = v(B) traduit<br />
la courbure <strong>de</strong> la connexion ∇ qui a assuré le transport parallèle.<br />
En reportant (4.88) et (4.90) dans (4.89), il vient<br />
<br />
v α (B) = v α 0 − Γ α βµ v β<br />
0 dx µ<br />
1 −<br />
Γ α βν + ∂Γαβν dxµ<br />
∂x µ 1<br />
<br />
v β<br />
0 − Γ β σµ v σ 0 dx µ<br />
1<br />
<br />
dx ν 2, (4.91)<br />
où l’on a effectué v α (A) = v α 0 et où toutes les valeurs <strong>de</strong> Γ α µν et <strong>de</strong> ses dérivées sont prises<br />
au point A. En développant, il vient<br />
v α (B) = v α 0 − Γ α βµ v β<br />
0 dx µ<br />
1 − Γ α βνv β<br />
0 dx ν 2 + Γ α βνΓ β σµ v σ 0 dx µ<br />
1dx ν 2 − ∂Γαβν ∂x<br />
vβ<br />
µ 0 dx µ<br />
1dx ν 2. (4.92)<br />
Considérons à présent le trajet <strong>de</strong> A à B en passant par le point I ′ <strong>de</strong> coordonnées<br />
(cf. Fig. 4.2)<br />
x α (I ′ ) = x α 0 + dx α 2 . (4.93)<br />
Soit alors v ′ le champ vectoriel obtenu par transport parallèle <strong>de</strong> v0 <strong>de</strong> A à I ′ , puis <strong>de</strong> I ′<br />
à B. La seule différence avec le calcul précé<strong>de</strong>nt est que l’on intervertit dx µ<br />
1 et dxν 2. Par<br />
conséquent<br />
v ′α (B) = v α 0 − Γ α βµ v β<br />
0 dx µ<br />
2 − Γ α βνv β<br />
0 dx ν 1 + Γ α βνΓ β σµ v σ 0 dx µ<br />
ou encore en permutant les indices muets µ et ν :<br />
v ′α (B) = v α 0 − Γ α βν v β<br />
0 dx ν 2 − Γ α βµv β<br />
0 dx µ<br />
1 + Γ α βµΓ β σν v σ 0 dx µ<br />
En soustrayant (4.92) <strong>de</strong> (4.95), il vient<br />
v ′α (B) − v α (B) =<br />
α ∂Γ βν<br />
vβ<br />
∂x µ<br />
0 − ∂Γαβµ ∂x<br />
2dx ν 1 − ∂Γαβν ∂x<br />
1dx ν 2 − ∂Γαβµ ∂x<br />
vβ<br />
ν 0 + Γ α βµΓ β σν v σ 0 − Γ α βνΓ β σµ v σ 0<br />
vβ<br />
µ 0 dx µ<br />
vβ<br />
ν 0 dx µ<br />
<br />
2dx ν 1, (4.94)<br />
1dx ν 2. (4.95)<br />
dx µ<br />
1dx ν 2, (4.96)