Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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102 Équation d’Einstein Si on utilise plutôt les coordonnées sphériques (xα′ ) = (ct, r, θ, ϕ) liées aux coor- données cartésiennes via les formules (2.21), les composantes gα ′ β ′ de g sont données par la matrice (4.66), dont le déterminant vaut g = −r 4 sin 2 θ. (4.79) La divergence en terme des composantes sphériques s’écrit donc ∇ · v = ∂v0 1 + ∂x0 r2 ∂ 2 r r v ∂r + 1 sin θ ∂ ∂θ θ sin θ v + ∂vϕ . (4.80) ∂ϕ Les composantes (v0 , vr , vθ , vϕ ) ci-dessus sont relatives à la base naturelle ( ∂0, ∂r, ∂θ, ∂ϕ) associée aux coordonnées sphériques. Si on utilise plutôt une base orthonormale (eˆα) reliée à la base naturelle par (2.66), les composantes (v ˆα ) dans cette base sont telles que v 0 = v ˆ0 r ˆr θ v , v = v , v = ˆ θ r , vϕ ˆϕ v = . (4.81) r sin θ L’Eq. (4.80) devient alors ∇ · v = ∂vˆ0 1 + ∂x0 r2 ∂ 2 ˆr r v ∂r + 1 r sin θ On retrouve là une formule bien connue. 4.3 Tenseur de courbure ∂ sin θ v ∂θ ˆ θ + 1 r sin θ 4.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure ∂v ˆϕ . (4.82) ∂ϕ La variation d’un vecteur δv d’un champ vectoriel v lors d’un déplacement infinitésimal a été définie grâce à la connexion ∇ au § 4.2.2, suivant l’Eq. (4.20) : δv := ∇−→ dP v. (4.83) On peut alors définir la variation du champ v entre deux points A et B non infiniment proches en intégrant (4.83) le long d’un chemin reliant A à B. Mais en général, le résultat dépend du choix de ce chemin. D’une manière équivalente, si l’on transporte un vecteur de A à B parallèlement à lui même (c’est-à-dire en assurant δv = 0 sur chaque tronçon infinitésimal), le vecteur obtenu en B dépend du choix du chemin (cf. Fig. 4.1). Il s’agit d’une manifestation de la courbure de la connexion ∇. Voyons cela dans le détail. Considérons le cas simple où il y ne faut que deux tronçons élémentaires −→ dP 1 et −→ dP 2 pour aller de A à B. Autrement dit, nous considérons un point intermédiaire I entre A et B. Fixons un système de coordonnées (xα ) et écrivons les coordonnées de ces points comme (cf. Fig. 4.2) : x α (A) = x α 0 x α (I) = x α 0 + dx α 1 x α (B) = x α 0 + dx α 1 + dx α 2 (4.84)
4.3 Tenseur de courbure 103 Fig. 4.1 – Transport parallèle d’un vecteur depuis un point A jusqu’à un point B en suivant deux chemins différents à la surface d’une sphère : (i) A → B le long d’un méridien, (ii) A → I le long de l’équateur, puis I → B le long d’un méridien. Le vecteur au point d’arrivée dépend du chemin suivi, en raison de la courbure de la sphère. Soit v0 un vecteur au point A, c’est-à-dire un élément de l’espace tangent TA(E ). On peut étendre v0 en un champ de vecteurs propagés parallèlement à eux-même le long d’un déplacement −→ dP en imposant ∇−→ v = 0. (4.85) dP En composantes, cette condition s’écrit (les composantes de −→ dP étant (dx µ )) ∇µv α dx µ = 0, (4.86) d’où, en vertu de (4.32) ∂vα ∂x µ dxµ = −Γ α βµv β dx µ . (4.87) On déduit immédiatement de cette formule que si on propage v parallèlement à lui-même de A à I, on a : v α (I) = v α (A) − Γ α βµ(A) v β (A) dx µ 1. (4.88) De même, si on propage ensuite v parallèlement à lui-même de I à B, (4.87) conduit à avec, au premier ordre en dx µ 1, v α (B) = v α (I) − Γ α βν(I) v β (I) dx ν 2, (4.89) Γ α βν(I) = Γ α βν(A) + ∂Γαβν (A) dxµ ∂x µ 1. (4.90)
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Fig. 4.1 – Transport parallèle d’un vecteur <strong>de</strong>puis un point A jusqu’à un point B en suivant <strong>de</strong>ux<br />
chemins différents à la surface d’une sphère : (i) A → B le long d’un méridien, (ii) A → I le long <strong>de</strong><br />
l’équateur, puis I → B le long d’un méridien. Le vecteur au point d’arrivée dépend du chemin suivi, en<br />
raison <strong>de</strong> la courbure <strong>de</strong> la sphère.<br />
Soit v0 un vecteur au point A, c’est-à-dire un élément <strong>de</strong> l’espace tangent TA(E ). On<br />
peut étendre v0 en un champ <strong>de</strong> vecteurs propagés parallèlement à eux-même le long d’un<br />
déplacement −→<br />
dP en imposant<br />
∇−→ v = 0. (4.85)<br />
dP<br />
En composantes, cette condition s’écrit (les composantes <strong>de</strong> −→<br />
dP étant (dx µ ))<br />
∇µv α dx µ = 0, (4.86)<br />
d’où, en vertu <strong>de</strong> (4.32)<br />
∂vα ∂x µ dxµ = −Γ α βµv β dx µ . (4.87)<br />
On déduit immédiatement <strong>de</strong> cette formule que si on propage v parallèlement à lui-même<br />
<strong>de</strong> A à I, on a :<br />
v α (I) = v α (A) − Γ α βµ(A) v β (A) dx µ<br />
1. (4.88)<br />
De même, si on propage ensuite v parallèlement à lui-même <strong>de</strong> I à B, (4.87) conduit à<br />
avec, au premier ordre en dx µ<br />
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v α (B) = v α (I) − Γ α βν(I) v β (I) dx ν 2, (4.89)<br />
Γ α βν(I) = Γ α βν(A) + ∂Γαβν (A) dxµ<br />
∂x µ 1. (4.90)