Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

102 Équation d’Einstein
Si on utilise plutôt les coordonnées sphériques (xα′ ) = (ct, r, θ, ϕ) liées aux coor-
données cartésiennes via les formules (2.21), les composantes gα ′ β ′ de g sont données
par la matrice (4.66), dont le déterminant vaut
g = −r 4 sin 2 θ. (4.79)
La divergence en terme des composantes sphériques s’écrit donc
∇ · v = ∂v0 1
+
∂x0 r2 ∂ 2 r
r v
∂r
+ 1
sin θ
∂
∂θ
θ
sin θ v + ∂vϕ
. (4.80)
∂ϕ
Les composantes (v0 , vr , vθ , vϕ ) ci-dessus sont relatives à la base naturelle ( ∂0, ∂r, ∂θ, ∂ϕ)
associée aux coordonnées sphériques. Si on utilise plutôt une base orthonormale (eˆα)
reliée à la base naturelle par (2.66), les composantes (v ˆα ) dans cette base sont telles
que
v 0 = v ˆ0 r ˆr θ v
, v = v , v = ˆ θ
r , vϕ ˆϕ v
= . (4.81)
r sin θ
L’Eq. (4.80) devient alors
∇ · v = ∂vˆ0 1
+
∂x0 r2 ∂ 2 ˆr
r v
∂r
+ 1
r sin θ
On retrouve là une formule bien connue.
4.3 Tenseur de courbure
∂
sin θ v
∂θ
ˆ
θ
+ 1
r sin θ
4.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure
∂v ˆϕ
. (4.82)
∂ϕ
La variation d’un vecteur δv d’un champ vectoriel v lors d’un déplacement infinitésimal
a été définie grâce à la connexion ∇ au § 4.2.2, suivant l’Eq. (4.20) :
δv := ∇−→ dP v. (4.83)
On peut alors définir la variation du champ v entre deux points A et B non infiniment
proches en intégrant (4.83) le long d’un chemin reliant A à B. Mais en général, le résultat
dépend du choix de ce chemin. D’une manière équivalente, si l’on transporte un vecteur
de A à B parallèlement à lui même (c’est-à-dire en assurant δv = 0 sur chaque tronçon
infinitésimal), le vecteur obtenu en B dépend du choix du chemin (cf. Fig. 4.1). Il s’agit
d’une manifestation de la courbure de la connexion ∇.
Voyons cela dans le détail. Considérons le cas simple où il y ne faut que deux tronçons
élémentaires −→
dP 1 et −→
dP 2 pour aller de A à B. Autrement dit, nous considérons un point
intermédiaire I entre A et B. Fixons un système de coordonnées (xα ) et écrivons les
coordonnées de ces points comme (cf. Fig. 4.2) :
x α (A) = x α 0
x α (I) = x α 0 + dx α 1
x α (B) = x α 0 + dx α 1 + dx α 2
(4.84)