Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.2 Dérivation covariante (connexion) 101
4.2.5 Divergence d’un champ vectoriel
Étant donné un champ vectoriel v, on définit sa divergence vis-à-vis de la connexion
∇ comme le champ scalaire formé par la trace de ∇v :
∇ · v := ∇αv α . (4.71)
L’expression ci-dessus est indépendante du choix de la base vectorielle où l’on définit les
composantes (v α ).
Remarque : Il faut prendre garde aux notations et ne pas confondre ∇·v (la divergence),
qui est un champ scalaire, avec ∇v, qui est un champ tensoriel de type 1
. 1
En utilisant les composantes de v dans une base naturelle, il vient, grâce à la formule
(4.32),
Or, d’après l’expression (4.51) des symboles de Christoffel,
∇ · v = ∂vµ
∂x µ + Γν µν v µ . (4.72)
Γ ν µν = 1
2
∂gσν
gσν . (4.73)
∂x µ
Comme (g σν ) est la matrice inverse de (gσν) et que l’on se souvient de l’expression de la
variation du déterminant d’une matrice A inversible :
il vient [en faisant A = (gσν)]
où l’on a posé :
Γ ν µν = 1
δ ln | det A| = Tr (A −1 × δA), (4.74)
∂ ∂
ln |g| =
2 ∂x µ ∂x µ ln |g| = 1 ∂
√
−g ∂x µ
√
−g, (4.75)
g := det(gαβ) . (4.76)
La valeur de g dépend du choix des coordonnées où l’on exprime gαβ, mais on a toujours
g < 0. En reportant (4.75) dans (4.72), on obtient une formule simple pour la divergence
de v :
∇ · v = 1
√ −g
∂
∂x µ
√ µ
−g v . (4.77)
Exemple : Prenons pour (E , g) l’espace-temps de Minkowski. Dans un système de coordonnées
cartésiennes (x α ) = (ct, x, y, z) liées à un repère inertiel, on a gαβ =
diag(−1, 1, 1, 1), de sorte que g = −1 et la formule ci-dessus s’écrit tout simplement
∇ · v = ∂v0 ∂vx ∂vy
+ +
∂x0 ∂x ∂y
∂vz
+ . (4.78)
∂z