Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

100 Équation d’Einstein
On dit alors que ∇ est une connexion sans torsion. Comme on va le voir au § 4.3, cette
propriété de commutativité des dérivées covariantes ne s’étend pas, en général, aux champs
tensoriels autres que des scalaires.
Une autre propriété fondamentale de la connexion riemannienne est que la dérivée
covariante du tenseur métrique est identiquement nulle :
∇ g = 0 . (4.62)
Il est facile de l’établir à partir des composantes de ∇ g que l’on déduit de (4.39) :
∇ρ gαβ = ∂gαβ
∂xρ − Γσαρ gσβ − Γ σ βρ gασ. (4.63)
Exercice : le faire.
En raison de (4.62), on dit que la connexion ∇ est compatible avec la métrique g. C’est
en fait la seule connexion sans torsion sur E qui soit compatible avec g. Autrement dit,
on aurait pu utiliser (4.62) et la condition (4.61) pour définir ∇ plutôt que (4.59).
Exemple : Reprenons l’exemple du champ de vecteur constant dans E = R 4 donné au
§ 4.2.4 :
v := ∂x, (4.64)
où ∂x est le vecteur de la base naturelle des coordonnées cartésiennes (ct, x, y, z) sur
R 4 . En prenant pour g la métrique de Minkowski, ses composantes par rapport aux
coordonnées cartésiennes sont gαβ = diag(−1, 1, 1, 1) [cf. Eq. (2.64)], de sorte que
les symboles de Christoffel par rapport à ces coordonnées sont identiquement nuls.
On a donc dans ces coordonnées ∇βv α = ∂v α /∂x β , ce qui, avec v α = (0, 1, 0, 0)
conduit à
∇v = 0. (4.65)
Si l’on considère maintenant les coordonnées sphériques (xα ) = (x0 = ct, r, θ, ϕ), les
composantes de g sont données par la matrice (2.65) :
⎛
⎞
gαβ =
⎜
⎝
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 r 2 0
0 0 0 r 2 sin 2 θ
⎟
⎠ . (4.66)
Les symboles de Christoffel correspondants s’obtiennent en utilisant (4.51) ; ils sont
tous nuls sauf
Γ r θθ = −r et Γ r ϕϕ = −r sin 2 θ (4.67)
Γ θ rθ = Γ θ θr = 1
r
Γ ϕ rϕ = Γ ϕ ϕr = 1
et Γ θ ϕϕ = − cos θ sin θ (4.68)
r
.
tan θ
(4.69)
On peut alors calculer les composantes de la dérivée covariante de v suivant la formule
(4.32). En utilisant les composantes vα données par (4.46), on obtient [Exercice
: le faire]
∇βv α = 0, (4.70)
comme il se doit.
et Γ ϕ
1
θϕ = Γϕ
ϕθ =