Un projet en C++ - LUTH - Observatoire de Paris

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Un projet en C++:
résolution d’équations
différentielles linéaires.
Jérôme Novak
Jerome.Novak@obspm.fr
http://luth.obspm.fr/minisite.php?nom=Novak
Laboratoire Univers et Théories (LUTH)
CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot
Master 2 e année recherche, Septembre 2011

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Outline
1 Introduction : représentation des fonctions
2 Transformée de Tchebychev, dérivée
3 Résolution d’équations différentielles

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Outline
1 Introduction : représentation des fonctions
2 Transformée de Tchebychev, dérivée
3 Résolution d’équations différentielles

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Outline
1 Introduction : représentation des fonctions
2 Transformée de Tchebychev, dérivée
3 Résolution d’équations différentielles

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Introduction :
Représentation des fonctions

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Fonctions sur un ordinateur
Approche simplifiée
Comment représenter une fonction sur un ordinateur ?
⇒un ordinateur ne sait gérer que des entiers
Afin de représenter une fonctions φ(x) (par ex. interpoler), on
peut utiliser :
un ensemble fini de ses valeurs {φi} i=0...N sur une grille
{xi} i=0...N ,
un ensemble fini de ses coefficients sur une base de
fonctions φ(x) N
i=0 ciΨi(x).
Afin de manipuler une fonction (par ex. dériver), chaque
méthode s’apparente :
aux différences finies
φ ′ (xi) φ(xi+1) − φ(xi)
xi+1 − xi
aux méthodes spectrales
φ ′ (x)
N
ciΨ ′ i(x)
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Fonctions sur un ordinateur
Approche simplifiée
Comment représenter une fonction sur un ordinateur ?
⇒un ordinateur ne sait gérer que des entiers
Afin de représenter une fonctions φ(x) (par ex. interpoler), on
peut utiliser :
un ensemble fini de ses valeurs {φi} i=0...N sur une grille
{xi} i=0...N ,
un ensemble fini de ses coefficients sur une base de
fonctions φ(x) N
i=0 ciΨi(x).
Afin de manipuler une fonction (par ex. dériver), chaque
méthode s’apparente :
aux différences finies
φ ′ (xi) φ(xi+1) − φ(xi)
xi+1 − xi
aux méthodes spectrales
φ ′ (x)
N
ciΨ ′ i(x)
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Fonctions sur un ordinateur
Approche simplifiée
Comment représenter une fonction sur un ordinateur ?
⇒un ordinateur ne sait gérer que des entiers
Afin de représenter une fonctions φ(x) (par ex. interpoler), on
peut utiliser :
un ensemble fini de ses valeurs {φi} i=0...N sur une grille
{xi} i=0...N ,
un ensemble fini de ses coefficients sur une base de
fonctions φ(x) N
i=0 ciΨi(x).
Afin de manipuler une fonction (par ex. dériver), chaque
méthode s’apparente :
aux différences finies
φ ′ (xi) φ(xi+1) − φ(xi)
xi+1 − xi
aux méthodes spectrales
φ ′ (x)
N
ciΨ ′ i(x)
i=0

Projet de
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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Fonctions sur un ordinateur
Approche simplifiée
Comment représenter une fonction sur un ordinateur ?
⇒un ordinateur ne sait gérer que des entiers
Afin de représenter une fonctions φ(x) (par ex. interpoler), on
peut utiliser :
un ensemble fini de ses valeurs {φi} i=0...N sur une grille
{xi} i=0...N ,
un ensemble fini de ses coefficients sur une base de
fonctions φ(x) N
i=0 ciΨi(x).
Afin de manipuler une fonction (par ex. dériver), chaque
méthode s’apparente :
aux différences finies
φ ′ (xi) φ(xi+1) − φ(xi)
xi+1 − xi
aux méthodes spectrales
φ ′ (x)
N
ciΨ ′ i(x)
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Fonctions sur un ordinateur
Approche simplifiée
Comment représenter une fonction sur un ordinateur ?
⇒un ordinateur ne sait gérer que des entiers
Afin de représenter une fonctions φ(x) (par ex. interpoler), on
peut utiliser :
un ensemble fini de ses valeurs {φi} i=0...N sur une grille
{xi} i=0...N ,
un ensemble fini de ses coefficients sur une base de
fonctions φ(x) N
i=0 ciΨi(x).
Afin de manipuler une fonction (par ex. dériver), chaque
méthode s’apparente :
aux différences finies
φ ′ (xi) φ(xi+1) − φ(xi)
xi+1 − xi
aux méthodes spectrales
φ ′ (x)
N
ciΨ ′ i(x)
i=0

Projet de
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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence des séries de Fourier
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψ2k = cos(kx), Ψ2k+1 = sin(kx)
i=0

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence des séries de Fourier
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψ2k = cos(kx), Ψ2k+1 = sin(kx)
i=0

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Tchebychev
Equa. diff.
Convergence des séries de Fourier
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψ2k = cos(kx), Ψ2k+1 = sin(kx)
i=0

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence des séries de Fourier
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψ2k = cos(kx), Ψ2k+1 = sin(kx)
i=0

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence des séries de Fourier
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψ2k = cos(kx), Ψ2k+1 = sin(kx)
i=0

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence des séries de Fourier
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
Relative accuracy (max-norm)
1
0,01
0,0001
1e-06
1e-08
1e-10
1e-12
1e-14
1e-16
0 10 20 30 40 50 60 70
Number of coefficients N

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence de la dérivée
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ ′ (x)
N
i=0
aiΨ ′ i(x) avec Ψ ′ 2k = −k sin(kx), Ψ′ 2k+1
= k cos(kx)

Projet de
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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence de la dérivée
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ ′ (x)
N
i=0
aiΨ ′ i(x) avec Ψ ′ 2k = −k sin(kx), Ψ′ 2k+1
= k cos(kx)

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence de la dérivée
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ ′ (x)
N
i=0
aiΨ ′ i(x) avec Ψ ′ 2k = −k sin(kx), Ψ′ 2k+1
= k cos(kx)

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence de la dérivée
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ ′ (x)
N
i=0
aiΨ ′ i(x) avec Ψ ′ 2k = −k sin(kx), Ψ′ 2k+1
= k cos(kx)

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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence de la dérivée
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
φ ′ (x)
N
i=0
aiΨ ′ i(x) avec Ψ ′ 2k = −k sin(kx), Ψ′ 2k+1
= k cos(kx)

Projet de
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Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Convergence de la dérivée
φ(x) = 1.5 + cos(x) + sin 7 x
Relative accuracy (max-norm)
1
0,01
0,0001
1e-06
1e-08
1e-10
1e-12
1e-14
1e-16
0 10 20 30 40 50 60 70
Number of coefficients N

Projet de
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Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

Projet de
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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

Projet de
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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

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Tchebychev
Equa. diff.
Phénomène de Gibbs
pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou
non-périodiques) !
φ(x) =
x pour x ∈ [0, π]
x − 2π pour x ∈]π, 2π[

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Interpolation polynomiale
y
D’après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue
peut être approximée comme limite d’une suite de fonctions
polynomiales.
En pratique, si l’on connaît les valeurs de la fonctions sur des
points de grille {xi} i=0...N , on peut interpoler par des
polynômes de Lagrange :
1
0.5
0
-0.5
N=4
f = 1/(1+16x 2 )
Uniform interpolant
-1 -0.5 0 0.5 1
x
li(x) =
N
x − xj
xi − xj
j=0,j=i
mais une grille uniforme
n’est pas un bon choix
⇒phénomène de Runge

Projet de
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Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Interpolation polynomiale
y
D’après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue
peut être approximée comme limite d’une suite de fonctions
polynomiales.
En pratique, si l’on connaît les valeurs de la fonctions sur des
points de grille {xi} i=0...N , on peut interpoler par des
polynômes de Lagrange :
1
0.5
0
-0.5
N=4
f = 1/(1+16x 2 )
Uniform interpolant
-1 -0.5 0 0.5 1
x
li(x) =
N
x − xj
xi − xj
j=0,j=i
mais une grille uniforme
n’est pas un bon choix
⇒phénomène de Runge

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Interpolation polynomiale
y
D’après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue
peut être approximée comme limite d’une suite de fonctions
polynomiales.
En pratique, si l’on connaît les valeurs de la fonctions sur des
points de grille {xi} i=0...N , on peut interpoler par des
polynômes de Lagrange :
1
0.5
0
-0.5
N=13
f=1/(1+16x 2 )
Uniform interpolant
-1 -0.5 0 0.5 1
x
li(x) =
N
x − xj
xi − xj
j=0,j=i
mais une grille uniforme
n’est pas un bon choix
⇒phénomène de Runge

Projet de
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Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes orthogonaux
Les solutions (λi, ui)i∈N d’un problème de Sturm-Liouville
singulier sur l’intervalle x ∈ [−1, 1] :
avec p > 0, C 1 , p(±1) = 0
− pu ′ ′ + qu = λwu,
forment une famille orthogonale par rapport au poids w :
(ui, uj) =
1
−1
ui(x)uj(x)w(x)dx = 0 pour m = n,
forment une base spectrale telle que, pour f(x) régulière
(C∞ )
N
f(x) ciui(x)
i=0
converge plus vite que toute puissance de 1/N.
Les polynômes de Tchebychev, Legendre et, plus généralement
de Jacobi font partie de cette catégorie.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes orthogonaux
Les solutions (λi, ui)i∈N d’un problème de Sturm-Liouville
singulier sur l’intervalle x ∈ [−1, 1] :
avec p > 0, C 1 , p(±1) = 0
− pu ′ ′ + qu = λwu,
forment une famille orthogonale par rapport au poids w :
(ui, uj) =
1
−1
ui(x)uj(x)w(x)dx = 0 pour m = n,
forment une base spectrale telle que, pour f(x) régulière
(C∞ )
N
f(x) ciui(x)
i=0
converge plus vite que toute puissance de 1/N.
Les polynômes de Tchebychev, Legendre et, plus généralement
de Jacobi font partie de cette catégorie.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes orthogonaux
Les solutions (λi, ui)i∈N d’un problème de Sturm-Liouville
singulier sur l’intervalle x ∈ [−1, 1] :
avec p > 0, C 1 , p(±1) = 0
− pu ′ ′ + qu = λwu,
forment une famille orthogonale par rapport au poids w :
(ui, uj) =
1
−1
ui(x)uj(x)w(x)dx = 0 pour m = n,
forment une base spectrale telle que, pour f(x) régulière
(C∞ )
N
f(x) ciui(x)
i=0
converge plus vite que toute puissance de 1/N.
Les polynômes de Tchebychev, Legendre et, plus généralement
de Jacobi font partie de cette catégorie.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes orthogonaux
Les solutions (λi, ui)i∈N d’un problème de Sturm-Liouville
singulier sur l’intervalle x ∈ [−1, 1] :
avec p > 0, C 1 , p(±1) = 0
− pu ′ ′ + qu = λwu,
forment une famille orthogonale par rapport au poids w :
(ui, uj) =
1
−1
ui(x)uj(x)w(x)dx = 0 pour m = n,
forment une base spectrale telle que, pour f(x) régulière
(C∞ )
N
f(x) ciui(x)
i=0
converge plus vite que toute puissance de 1/N.
Les polynômes de Tchebychev, Legendre et, plus généralement
de Jacobi font partie de cette catégorie.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Quadrature de Gauss
Afin de représenter une fonction f(x) à l’aide de ses
coefficients {ci} i=0...N , il suffit d’être capable de calculer
∀i, ci =
1
−1 f(x)ui(x)w(x)dx
1
−1 (ui(x)) 2 w(x)dx .
En pratique, il est avantageux d’utiliser la quadrature de Gauss
(ici : Gauss-Lobatto) : étant donnés w(x) et N, on peut trouver
deux familles {wi} k=0...N et {xi} k=0...N ∈ [−1, 1] telles que
∀g ∈ P2N−1,
1
−1
g(x)w(x)dx =
N
g(xk)wk.
k=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Quadrature de Gauss
Afin de représenter une fonction f(x) à l’aide de ses
coefficients {ci} i=0...N , il suffit d’être capable de calculer
∀i, ci =
1
−1 f(x)ui(x)w(x)dx
1
−1 (ui(x)) 2 w(x)dx .
En pratique, il est avantageux d’utiliser la quadrature de Gauss
(ici : Gauss-Lobatto) : étant donnés w(x) et N, on peut trouver
deux familles {wi} k=0...N et {xi} k=0...N ∈ [−1, 1] telles que
∀g ∈ P2N−1,
1
−1
g(x)w(x)dx =
N
g(xk)wk.
k=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Exemple avec les polynômes de
Tchebychev
φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 )
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψk = Tk(x) = cos(k arccos(x))
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Exemple avec les polynômes de
Tchebychev
φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 )
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψk = Tk(x) = cos(k arccos(x))
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Exemple avec les polynômes de
Tchebychev
φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 )
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψk = Tk(x) = cos(k arccos(x))
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Exemple avec les polynômes de
Tchebychev
φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 )
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψk = Tk(x) = cos(k arccos(x))
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Exemple avec les polynômes de
Tchebychev
φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 )
φ(x)
N
aiΨi(x) avec Ψk = Tk(x) = cos(k arccos(x))
i=0

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Exemple avec les polynômes de
Tchebychev
φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 )
Relative accuracy (max - norm)
1
0,01
0,0001
1e-06
1e-08
1e-10
1e-12
1e-14
1e-16
10 20 30 40 50 60
Number of coefficients N

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff. Étape
n o 1 :
Transformée de Tchebychev,
interpolation et dérivée

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes de Tchebychev
Définition
Les fonctions associées aux polynômes de Tchebychev
{Tn(x)} n∈N sont définies par :
∀x ∈ [−1, 1], Tn(x) = cos (n arccos x) .
〈Tn, Tp〉 =
1
−1
Tn(x)Tp(x)
√ 1 − x 2
Ils sont orthogonaux par
rapport au poids
w(x) =
1
√ 1 − x 2
π
dx = (1 + δ0n)δnp.
2

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes de Tchebychev
Calcul des coefficients
Les coefficients peuvent se calculer par quadrature de Gauss
-Lobatto. Les poids wi et les points de grille sont connus
analytiquement. Si
N
∀x ∈ [−1, 1], f(x) ciTi(x),
i=0
alors on a, avec une très bonne approximation :
ci 1
N
f(xk)Ti(xk)wk,
où
xk = − cos
γi
k=0
kπ
, w0 = wN =
N
π
2N , wk = π
(k = 1 . . . N−1);
N
et γi =
N
k=0
T 2
i (xk)wk.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes de Tchebychev
Interpolation
Pour calculer la valeur de Tn en un point x, on utilise la
récurrence :
T0(x) = 1, T1(x) = x;
∀x ∈ [−1, 1], ∀n ≥ 2, Tn(x) = 2xTn−1(x) − Tn−2(x).
Cela permet de calculer les 6 premiers polynômes de
Tchebychev...
T0(x) = 1,
T1(x) = x,
T2(x) = 2x 2 − 1,
T3(x) = 4x 3 − 3x,
T4(x) = 8x 4 − 8x 2 + 1,
T5(x) = 16x 5 − 20x 3 + 5x,
T6(x) = 32x 6 − 48x 4 + 18x 2 − 1.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Polynômes de Tchebychev
Dérivation
Si on approxime
f(x)
N
i=0
ci Ti(x),
alors la dérivée peut être approximée de la même manière :
avec
di =
f ′ (x)
2
1 + δ0i
N
i=0
di Ti(x),
N
k=i+1, (k+i) impair
k ck.
Cette formule vient de la dérivation de la relation de récurrence.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
TPn o 6
une classe de fonctions
En partant des classes Tab et Matrice, implémenter une classe
Fonction représentant des fonctions définies sur [−1, 1] :
chaque instance de la classe contiendra la grille de points
de Gauss-Lobatto et les valeurs de la fonctions en ces
points ;
les coefficients seront calculés par quadrature de
Gauss-Lobatto et stockés comme membres ;
la classe possédera une méthode de calcul de la valeur en
un point quelconque de [−1, 1] et de transformation
inverse (coefficients → valeurs aux points de grille) ;
elle aura aussi une méthode renvoyant la Fonction
dérivée.
Pour un ≪ cahier des charges ≫, voir le fichier
Donnees cheb/ppl.cpp.

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Étape n o 2 :
Résolution d’équations
différentielles linéaires à coefficients
constants

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Opérateurs différentiels linéaires
⎛
⎜
⎝
f ↦→ f ′
⎞ ⎛
c0
.
cN
⎟
⎠
⎜
⎝
d0
.
dN
⎞
⎟
⎠ =
⎡
⎣ D
Tout opérateur différentiel linéaire :
⎤
⎛
c0
⎦ ⎜
× ⎝ .
f ↦→ af ′′ + bf ′ + c (a, b, c) ∈ R 3 ,
peut être vu comme une matrice.
cN
⎞
⎟
⎠
L’inversion de cet opérateur ⇐⇒ inversion d’un système
linéaire
La matrice générale est-elle inversible ?

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Opérateurs différentiels linéaires
⎛
⎜
⎝
f ↦→ f ′
⎞ ⎛
c0
.
cN
⎟
⎠
⎜
⎝
d0
.
dN
⎞
⎟
⎠ =
⎡
⎣ D
Tout opérateur différentiel linéaire :
⎤
⎛
c0
⎦ ⎜
× ⎝ .
f ↦→ af ′′ + bf ′ + c (a, b, c) ∈ R 3 ,
peut être vu comme une matrice.
cN
⎞
⎟
⎠
L’inversion de cet opérateur ⇐⇒ inversion d’un système
linéaire
La matrice générale est-elle inversible ?

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
Conditions initiales
La matrice ≪ brute ≫ n’est pas inversible, il n’y a pas unicité de
la solution tant que les conditions initiales n’ont pas été
spécifiées.
Méthode τ
Pour chaque condition, une ligne du système différentiel est
remplacée par la condition, exprimée en termes des coefficients
inconnus.
On choisit évidemment la ligne concernant le plus haut degré
du système différentiel.
En pratique :
pour une condition du type f(x0) = y0, on remplace les
aNi de l’opérateur par Ti(x0) et le N e coefficient du
membre de droite par y0 ;
pour f ′ (x0) = y0, on fait la même chose, mais avec
T ′ (x0).

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
TPn o 7
les classes d’équations différentielles
Concevoir une classe abstraite Equa diff contenant :
n, le degré de représentation spectrale des fonctions et une
Matrice contenant l’opérateur ;
le vecteur (Tab) membre de droite de l’équation et le
nombre de conditions au bord à imposer ;
des fonctions impose conditions bord(), resout() ;
une fonction calcule operateur homogene() virtuelle
pure.
À partir de cette classe de base, faire deux classes dérivées :
Equa un représentant les équations différentielles du
premier ordre ay ′ + by = f, où (a, b) ∈ R 2 et la fonction f
sont donnés. (a, b) seront les nouvelles données et la
fonctions virtuelle pure définie.
Equa deux représentant les équations différentielles du
second ordre ay ′′ + by ′ + cy = f, où (a, b, c) ∈ R 3 et la
fonction f sont donnés. . .

Projet de
C++
Jérôme Novak
Introduction
Tchebychev
Equa. diff.
TPn o 7
les classes d’équations différentielles
Concevoir une classe abstraite Equa diff contenant :
n, le degré de représentation spectrale des fonctions et une
Matrice contenant l’opérateur ;
le vecteur (Tab) membre de droite de l’équation et le
nombre de conditions au bord à imposer ;
des fonctions impose conditions bord(), resout() ;
une fonction calcule operateur homogene() virtuelle
pure.
À partir de cette classe de base, faire deux classes dérivées :
Equa un représentant les équations différentielles du
premier ordre ay ′ + by = f, où (a, b) ∈ R 2 et la fonction f
sont donnés. (a, b) seront les nouvelles données et la
fonctions virtuelle pure définie.
Equa deux représentant les équations différentielles du
second ordre ay ′′ + by ′ + cy = f, où (a, b, c) ∈ R 3 et la
fonction f sont donnés. . .