Objets compacts - LUTH - Observatoire de Paris

Master Astronomie et Astrophysique
Année M2 - Parcours Recherche
2008 - 2009
Module F1
Objets compacts
Philippe Grandclément
Laboratoire de l’Univers et de ses THéories (LUTH)
(CNRS / Observatoire de Paris)
philippe.grandclement@obspm.fr
Naines blanches
Supernovæ
Sursauts Gamma
Etoiles à neutrons
Trous noirs
Ondes gravitationnelles

Table des matières
1 Introduction 1
Introduction 1
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 La compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Énergies mises en jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Accrétion par un objet compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Effondrement gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Naines blanches 5
Naines blanches 5
2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Diagramme Herzsprung-Russel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 L’apport de Sirius B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Évolution d’une étoile de faible masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Impulsion de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Température de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.4 Pression de dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.5 Cas limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.6 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Masse de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Argument énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Un modèle plus raffiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Classification spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Rayons et masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Refroidissement des naines blanches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Les novae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1 Mécanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ii TABLE DES MATIÈRES
3 Supernovae 29
Supernovae 29
3.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Classification spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Courbes de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Galaxies hôtes et fréquence d’apparition . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Conclusion sur les observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Supernovae de type Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Le scénario standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Relation avec les observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 Contenu énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4 Application en cosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.5 Une SNIa atypique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Supernovae gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Structure des étoiles massives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.2 L’effondrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3 L’onde de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.4 Comment “revigorer” le choc ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.5 Bilan énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.6 Influence du progéniteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.7 Neutrinos émis par 1987a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Sursauts Gamma 55
Sursauts Gamma 55
4.1 Les missions spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 VELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 BATSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.3 BeppoSAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.4 SWIFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Les observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Deux familles de sursauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Courbes de lumière et variabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.4 Contenu énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.5 Les spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Le modèle de la boule de feu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 Des vitesses relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Chocs internes et externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Succès du modèle de la boule de feu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Prédiction des spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

TABLE DES MATIÈRES iii
4.4.2 Taille de l’éjecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Présence de jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 Le moteur central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Étoiles à neutrons 85
Étoiles à neutrons 85
5.1
5.2
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
86
5.2.1 La métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Le tenseur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.3
5.2.4
Le système TOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
87
5.2.5 Intégration du système et raccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.6 Grandeurs globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.7 Masse maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1 Découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2 Nature de la source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.3
5.3.4
Modèle du dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramme P
94
˙ P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.5 Mécanisme d’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Le problème de l’équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Contraintes observationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.1 Masse maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.2 Influence de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5.3 Mesure de la compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5.4 Tremblements d’étoile à neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5.5 Scénario de formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6 Questions ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.1 Des étoiles étranges ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.2 Sursauts récurrents de γ mous (SGR) et magnétars . . . . . . . . . 108
6 Trous noirs 113
Trous noirs 113
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Trous noirs en relativité générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.1 métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.2 Singularité de coordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.3 La singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.4 “Un trou noir n’a pas de cheveux” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.5 La métrique de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

iv TABLE DES MATIÈRES
6.3 Quelques propriétés amusantes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.1 Horizon des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.2 Horizon apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.3 La censure cosmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.4 L’ergosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.5 Seconde loi de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.6 Radiation de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Deux classes de trous noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5 Trous noirs stellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5.1 Critère de masse dans les binaires X . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5.2 Horizon des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.6 Trous noirs supermassifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6.1 Sagittarius A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6.2 Dynamique stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6.3 Dynamique dans les AGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.6.4 Mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.6.5 Démographie et formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7 Ondes gravitationnelles 135
Ondes gravitationnelles 135
7.1 Équations d’Einstein linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.1.1 Jauge harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.1.2 Solutions ondulatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.1.3 Jauge transverse et sans trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.1.4 Action d’une onde plane sur la matière . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Génération d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.1 Formule du quadrupôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.2 Ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Le pulsar binaire PSR 1913+16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.4 Observation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.5 Les détecteurs terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.5.1 Les barres résonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.5.2 Détecteurs interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.5.3 Les binaires coalescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.5.4 Les supernovae gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.5.5 Étoile à neutrons en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.6 Détecteur spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.6.1 La mission spatiale LISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.6.2 Trous noirs supermassifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.6.3 Binaires à rapport de masse extrème . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.6.4 Binaires galactiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.6.5 Fond stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Chapitre 1
Introduction
1.1 Généralités
Les objets compacts constituent l’étape ultime de l’évolution des étoiles, une fois que
les réactions thermonucléaires ont cessé. La nature du produit final de l’évolution dépend
essentiellement de la masse du progéniteur (voir Fig 1.1). Plus cette masse est importante
et plus l’objet formé est compact. Par ordre de compacité croissante, on trouve les naines
blanches, les étoiles à neutrons et les trous noirs.
Comme leur nom l’indique, ces objets ont également comme caractéristique commune
d’être le siège de densités extrèmes, bien supérieures à celles que l’ont peut rencontrer dans
les étoiles habituelles. Ceci implique que l’on doive tenir compte des effets relativistes pour
décrire de manière satisfaisante ces astres. De telles densités peuvent être atteintes quand
les forces de pressions usuelles ne peuvent plus compenser la gravité et que l’on doit
invoquer des mécanismes de pression différents. Le cas du trou noir est un peu particulier,
une densité ne pouvant être définie stricto-sensu.
Un astre auto-gravitant est en équilibre quand les forces de pression compensent
son propre poids. Pour une étoile habituelle, ces forces de pression sont essentiellement
générées par la pression de radiation des photons et par celle du gaz habituel constituant
l’étoile. Toutefois, si les réactions nucléaires s’arrêtent et donc l’émission de photons, la
pression diminue et l’étoile commence à se contracter. Ce phénomène se poursuit jusqu’à
ce que la densité soit suffisante pour que d’autres sources de pression puissent compenser
l’action de la gravité. C’est le mécanisme de formation des naines blanches et nous verrons
que la force qui compense la gravité est alors la pression de dégénérescence des électrons,
pression trouvant sa source dans le principe d’exclusion de Pauli.
Mis à part la contraction, une augmentation globale de masse peut également être à
l’origine de la naissance d’un objet compact. C’est ce qui se produit pour les étoiles à
neutrons et les trous noirs. Typiquement un coeur de fer dégénéré se forme au centre de
l’étoile, ce fer étant le produit des réactions nucléaires au sein de l’étoile. Quand la masse
atteint une certaine valeur critique, la pression ne peut plus supporter la gravité et le
coeur s’effondre. Selon la masse du progéniteur, le résultat est soit une étoile à neutrons,
où l’interaction forte entre les baryons contrebalance la gravitation, soit un trou noir. Ce

2 Introduction
Fig. 1.1 – Devenir des étoiles en fonction de leur masse initiale.
dernier cas est le cas limite où aucune force ne peut plus compenser la gravitation et où
plus rien ne peut stopper l’effondrement.
1.2 La compacité
Nous allons ici définir le paramètre de relativité ou de compacité d’un objet compact.
Une bonne mesure de la compacité d’un objet peut-être obtenue en faisant le rapport
entre l’énergie gravitationnelle newtonienne et l’énergie de masse du système.
Supposons que le corps soit une sphère homogène de masse M et de rayon R. On peut
alors montrer que l’énergie gravitationnelle, en théorie newtonienne est simplement :
Egrav. = − 3 GM
5
2
R
tandis que l’énergie de masse est obtenue par la fameuse formule :
(1.1)

Le rapport des énergies est donc :
1.3 Énergies mises en jeu 3
Emasse = Mc 2 . (1.2)
Egrav.
Emasse
Ici on voit apparaitre le paramètre sans dimension :
= − 3 GM
. (1.3)
5 Rc2 Ξ = GM
Rc 2
(1.4)
qui est précisément ce que nous appellerons le paramètre de relativité ou de compacité.
Bien entendu plus un objet est compact et plus le rapport M/R augmente et donc plus
Ξ est grand.
Il est intéressant de noter que l’on peut faire apparaitre Ξ d’au moins deux autres
façons. Par exemple, on peut espérer mesurer la compacité d’un astre en comparant son
rayon avec celui de Schwarzschild (le rayon d’un trou noir statique de même masse). En
coordonnées du même nom, le rayon de Schwarzschild est donné par
si bien que
RS
RS = 2GM
c 2 , (1.5)
= 2GM Ξ. (1.6)
R Rc2 Enfin, considérons la valeur du potentiel gravitationnel à la surface de l’étoile Φ. En
théorie newtonienne, on a simplement :
Φ = − GM
R
(1.7)
Or Φ a la dimension d’une vitesse au carré et on peut donc le comparer à c2 en
formant :
|Φ| GM
= = Ξ.
c2 Rc2 (1.8)
On trouvera dans le tableau 1.1 quelques unes des valeurs typiques de Ξ pour les trois
types d’objets compacts.
1.3 Énergies mises en jeu
De part l’intense champs gravitationnel qu’ils génèrent, les objets compacts sont un
réservoir d’énergie sans commune mesure. C’est la raison pour laquelle leur présence est
invoquée dans la plupart des évènements énergétiques observés dans l’univers (AGN,
supernovae, sursauts γ etc...). Voici deux exemples de mécanismes qui peuvent permettre
d’extraire une partie de cette énergie.

4 Introduction
astre
naine blanche
contrepoids
de la gravitation
press. de dégénéresc.
des électrons (Pauli)
masse M
[M⊙]
rayon R
[km]
densité ρ
[kg m −3 ]
paramètre de
relativité Ξ
0.1 à 1.4 ∼ 10 4 ∼ 10 9−10 10 −4 à 10 −3
étoile à neutrons interaction forte 1 à ∼ 3 ∼ 10 ∼ 10 18 ∼ 0.2
trou noir
stellaire
trou noir
supermassif
pas de
contrepoids
pas de
contrepoids
>∼ 3
9
(M = 3 M⊙) - 1
∼ 10 9 20 UA - 1
Tab. 1.1 – Caractéristiques moyennes des objets compacts
1.3.1 Accrétion par un objet compact
Soit une particule de masse m qui chute radialement sur un objet compact. A l’infini,
la particule a une énergie nulle tandis qu’au contact de l’objet, elle a acquit une énergie
cinétique :
∆E = m |Φ| = Ξmc 2
(1.9)
Cette énergie cinétique peut ensuite être convertie en rayonnement ou en chaleur. Le
rendement, en terme d’énergie de masse, est de l’ordre de Ξ et donc de 20% pour une
étoile à neutrons typique. Pour comparaison, on peut noter que le rendement de la réaction
nucléaire de fusion de l’hydrogène en hélium est de l’ordre de 10 −2 .
1.3.2 Effondrement gravitationnel
Nous allons estimer ici l’énergie libérée par l’effondrement d’une étoile en un astre
compact. Ce phénomène, connu sous le nom de supernovae gravitationnelle, sera vu en
détail plus loin. L’énergie libérée est donnée par :
∆E = Egrav (etoile) − Egrav (compact) . (1.10)
On peut négliger l’énergie de l’étoile et il vient alors :
∆E = ΞMc 2 . (1.11)
Comme dans le cas de l’accrétion, on libère une fraction Ξ de l’énergie de masse. La
différence de taille est qu’il s’agit ici de l’énergie de masse de l’astre tout entier. Pour une
étoile à neutrons typique, on obtient ∆E = 10 46 J ce qui est gigantesque (équivalent au
rayonnement de toutes les étoiles de notre galaxie, pendant 30 ans).

Chapitre 2
Naines blanches
2.1 Historique
2.1.1 Diagramme Herzsprung-Russel
Dès les premiers diagrammes construits par Russel, il apparait une étoile plus petite
et chaude que les autres (point en bas à gauche sur la Fig. 2.1). Il s’agit de 40 Eridani et
donc de la première naine blanche mise en évidence.
Si on suppose que cette étoile rayonne comme un corps noir, on peut estimer sa taille.
La luminosité totale est simplement donnée par via la loi de Stefan par :
L = 4πR 2 σT 4 eff
(2.1)
où la température est connue par le type spectral. La luminosité absolue se relie à celle
observée via une simple conservation de flux f = L/4πd 2 ce qui permet de déterminer le
rayon de l’objet
R 2 = fd2
σT 4 eff
(2.2)
Les premières applications numériques donnent des rayons de l’ordre de rayons planétaires.
2.1.2 L’apport de Sirius B
Sirius A, l’une des étoiles les plus brillantes du ciel, était connue depuis Bessel en 1844
pour être dans un système binaire. La masse du compagnon Sirius B a été obtenue en 1910
par application de la troisième loi de Kepler : M = 0.94M⊙ . Toutefois, jusqu’en 1914,
Sirius B n’est pas observée directement. C’est à cette date que W.S. Adams la détecte et
peut lui affecter une température effective. Il propose Teff. = 8000K et en déduit que le
rayon est R = 18800km. En fait le rayon est encore plus petit, la température effective
moderne étant plus proche de Teff. = 24000K. Il n’en reste pas moins que la densité déduite
par Adams est impressionnante : ρ = 5 · 10 7 kg m −3 (2000 fois celle du platine).
Ces données observationnelles frappent le célèbre Sir Arthur Eddington qui note, en
1926 : ”we have a star of a mass about equal to the sun and a radius much less than

6 Naines blanches
Fig. 2.1 – Magnitude en fonction du type spectral (H.R. Russel 1910-1914).
Uranus” et il insiste sur le fait que la pression responsable de l’équilibre de tels astres ne
peut être celle des gaz parfaits : ”it seems likely that the ordinary failure of the gas laws
due to finite sizes of molecules will occur at these high densities, and I do not suppose
that the white dwarfs behave like perfect gas”. On verra que l’intuition d’Eddington est
correcte puisque c’est bien le principe d’exclusion de Pauli qui est la source de pression
des naines blanches.
2.1.3 Évolution d’une étoile de faible masse
Les naines blanches sont l’état final de l’évolution des étoiles de faible masses, comme
le soleil (schématiquement représenté sur la Fig. 2.2). Pendant les 8-10 premiers milliards
d’années de sa vie, l’étoile brûle l’hydrogène en hélium en son centre et reste pratiquement
au même point du diagramme HR. Une fois que le combustible est épuisé au centre, la
zone de fusion se déplace dans les couches externes. Ceci s’accompagne d’une dilatation
de l’étoile qui se déplace sur la branche des géantes rouges.
Petit à petit, le coeur se contracte et on finit par atteindre des densité où la fusion de
l’hélium en carbone et oxygène est possible. Durant la première centaine d’années, cette
réaction se fait de façon non-contrôlée pour cause de dégénérescence de la matière (comme
lors du phénomène de novae ; voir Sec. 2.6). Ensuite, la matière redevient ordinaire et la
fusion de l’hélium se poursuit de façon contrôlée. L’étoile monte alors le long de la branche

2.2 Équation d’état 7
Fig. 2.2 – Évolution d’une étoile de masse solaire sur le diagramme HR.
asymptotique des géantes.
Au somment de cette branche, une instabilité provoque l’éjection de la quasi-totalité
de l’enveloppe d’hydrogène. Dans le même temps, le coeur d’hélium se contracte ce qui
provoque une augmentation de la température. L’enveloppe d’hydrogène éjectée est visible
sous forme de nébuleuse planétaire. Les réactions nucléaires finissent par s’arrêter
et l’étoile amorce son refroidissement pour atteindre le domaine des naines blanches, qui
sont donc essentiellement constituées de carbone et d’oxygène.
2.2 Équation d’état
2.2.1 Ordres de grandeur
Dans la suite, pour les applications numériques, nous considérerons les ordres de grandeurs
modernes pour les caractéristiques des naines blanches, soit :
R ≈ 5000 km (2.3)
M ≈ 0.5 M⊙ (2.4)
ρc ≈ 2 10 9 kg m −3
(2.5)
Tc ≈ 10 7 K. (2.6)

8 Naines blanches
Quand à la composition chimique, on considérera que la naine blanche est constituée
principalement des produits de la fusion thermonucléaire de l’hélium, soit de carbone 12
et d’oxygène 16. On aura essentiellement besoin de connaître le nombre moyen d’électrons
par baryons : Ye = ne
. On prendra comme valeur numérique :
nB
Ye ≈ 0.5 (2.7)
qui est exacte pour le carbone 12 et l’oxygène 16.
Sachant que pratiquement, seuls les baryons contribuent à la masse, on a : nB = ρ
où mB ≈ 1.7 · 10−27kg. est la masse d’un baryon. On peut alors exprimer la densité
électronique :
ne = ρ
Ye ≈ 6 · 10 35 m −3 . (2.8)
mB
Pour la composition des noyaux, on supposera un nombre atomique moyen A ≈ 15,
soit une composition de 75% d’oxygène et de 25% de carbone.
2.2.2 Impulsion de Fermi
Vues les densité mises en jeu dans les naines blanches, on se doit d’invoquer la
mécanique quantique pour expliquer la stabilité de tels objets. Plus précisément, c’est
la pression de dégénescence des électrons, via la statistique de Fermi, qui est la source de
pression qui contrebalance la gravitation.
Un ensemble de fermions indépendants, obéit à la statistique de Fermi :
f (ε) =
1
ε − µ
exp + 1
kT
mB
,
(2.9)
où k est la constante de Boltzmann, T la température, µ le potentiel chimique et ɛ l’énergie.
A température non nulle, les calculs analytiques sont impossibles. On se placera donc dans
le cas T = 0 et nous verrons, a posteriori, que cela constitue une bonne approximation
pour les électrons de la naine blanche.
A température nulle, la fonction de distribution est simplement une fonction créneau,
comme celle présentée sur la figure 2.3, en terme de quantité de mouvement.
Les électrons sont considérés comme
des particules libres et leur fonction d’onde est
donc proportionnelle à exp k · r . Si on quantifie en imposant que la fonction d’onde soit
périodique dans une boite de dimensions Lx, Ly et Lz, on demande que :
k = 2πnx
Lx
ex + 2πny
Ly
ey + 2πnz
ez
Lz
(2.10)
où les ni sont des entiers. Or, la mécanique quantique nous apprend que p k. Chaque
état de quantité de mouvement p occupe donc un volume (2π)3 3 . Le nombre d’électrons
V

2.2 Équation d’état 9
Fig. 2.3 – Fonction de distribution, à température nulle.
ayant une quantité de mouvement p à dp près est donc :
dn = V
4π 3 3 d3 p, (2.11)
où l’on a multiplié par un facteur 2 pour tenir compte des deux états possibles de spins.
L’expression de l’impulsion de Fermi est obtenue est explicitant le nombre total d’électrons
Ne via :
Ne =
f (p) dn =
pF
0
V
4π 3 3 4πp2 dp. (2.12)
Tous calculs effectués, on obtient l’expression de la quantité de mouvement de Fermi,
en fonction de la densité électronique ne :
pF = 3π 2 1/3 ne . (2.13)
Une application numérique permet d’obtenir : pF ≈ 3 · 10 −22 kg m s −1 . En particulier,
cette valeur du même ordre que mec = 2.7 10 −22 kg m s −1 . Ceci indique que les électrons
sont relativistes. On peut noter que plus R est petit, et donc plus ne est grand et plus les
électrons sont relativistes. Notons pour terminer, que le même calcul mené à température
non-nulle, typiquement numériquement, aurait permis de déterminer le potentiel chimique.
2.2.3 Température de Fermi
La température de Fermi est la température telle que l’énergie cinétique, à la surface
de Fermi (i.e. quand p = pF ) soit égale à kTF . Les électrons étant relativistes, on obtient :
TF = 1
p
k
2 F c2 + m2 ec4 − mec 2
. (2.14)
Compte tenu des valeurs obtenues précédemment, on trouve TF ≈ 3 10 9 K. La température
de Fermi est donc bien supérieure à la température des naines blanches. Cela justifie que,

10 Naines blanches
Fig. 2.4 – Calcul de la pression cinétique.
du point de vue des électrons, on se trouve à T = 0 K. En d’autres termes, la fonction de
partition des électrons est bien la fonction créneau considérée plus haut.
2.2.4 Pression de dégénérescence
Même à température nulle, pour cause de principe d’exclusion de Pauli, les électrons
ne peuvent être à vitesse nulle. Ces vitesses résiduelles provoquent l’apparition d’une
pression, dont nous allons déterminer l’expression, en nous basant sur la théorie cinétique
des gaz.
Soit une surface d S traversée par un électron d’impulsion p, sous un angle θ, pendant
un temps dt. La force résultante est donc 2p cos θ/dt (voir Fig. 2.4). Dans ce même
temps,tous les électrons de quantité de mouvement p situés à moins de v (p) dt vont intersecter
la surface. v est la vitesse associée à la quantité de mouvement p. Le volume du
cylindre en question est donc :
Vcyl. = v (p) cos θdtdS. (2.15)
Par application de (2.11), le nombre d’électrons contenus dans un tel cylindre est
dn = 1
4π 3 3 v (p) cos θdtdSd3 p. (2.16)
Connaissant la force générée et, sachant que la pression est la force par unité de surface,
on obtient la pression élémentaire générées par les électrons d’impulsion p :
dP = 1
2π 3 3 cos2 θv (p) pd 3 p = 1
2π 3 3 v (p) p3 cos 2 θ sin θdpdθdϕ. (2.17)
L’intégration doit se faire pour 0 ≤ p ≤ pF , 0 ≤ θ ≤ π/2 et 0 ≤ ϕ ≤ 2π. En explicitant
les intégrations par rapport aux angles, on obtient :

2.2 Équation d’état 11
P = 1
3π23 pF
v (p) p
0
3 dp. (2.18)
L’utilisation des transformations de Lorentz permet de montrer que v (p) =
Si on pose x = p
, on obtient finalement :
mc
P = m4c5 3π23 pF /mc
0
L’intégrale peut être obtenue analytiquement pour donner :
2.2.5 Cas limites
p 2
p
+ m2
c2 x4 √ dx. (2.19)
1 + x2 P = m4c5 24π2 F (x) (2.20)
3 F (x) = 2x 3 − 3x √ 1 + x2
+ 3 ln x + √ 1 + x2
(2.21)
x = pF
. (2.22)
mc
Il est possible d’obtenir des expressions plus simples de la pression en se plaçant dans
les cas limites non relativistes ou ultra-relativistes.
Dans les cas non relativiste, x ≪ 1, si bien que le terme dans l’intégrale de l’équation
(2.19) se réduit à x 4 . On peut ensuite remplacer l’impulsion de Fermi pF par sa valeur
(2.13) et faire apparaître la densité totale. On obtient finalement :
Pnon rel. = (3π2 ) 2/3 2Y 5/3
e
5m 5/3
B me
ρ 5/3 . (2.23)
Comme attendu dans le cas non relativiste, le résultat ne dépend pas de c.
Dans le cas ultra-relativiste, on a, cette fois ci, x ≫ 1 et le terme dans l’intégrale de
l’équation (2.19) se réduit à x 3 . On obtient alors :
Pultra rel. = (3π2 ) 1/3 cY 4/3
e
4m 4/3 ρ
B
4/3 . (2.24)
On notera que, cette fois-ci, le résultat ne dépend plus de la masse des électrons (tout se
passe comme si elle était nulle).
On peut noter, que dans ces deux cas, la pression ne dépend que de la densité via une
loin de puissance : il s’agit d’équations d’état dites polytropiques.
.

12 Naines blanches
2.2.6 Ordres de grandeur
En utilisant les ordres de grandeurs typiques, on trouve que les deux expressions ont
sensiblement la même valeur :
Pnon rel. ≈ Pultra rel. ≈ 10 22 Pa (2.25)
Cet ordre de grandeur peut être comparé à quelques unes des autres sources de pression
possibles. Par exemple, on peut estimer la pression produite par les noyaux. Sous les
conditions des naines blanches, la loi des gaz parfaits peut leur être appliquée si bien que :
Pnoyaux = ρ
kT, (2.26)
AmB
ce que nous pouvons estimer à Pnoyaux ≈ 1019Pa. Les photons peuvent également être source de pression. La pression de radiation s’exprime
simplement par Prad = 4 σ
3 c T 4 . L’application numérique donne : Prad ≈ 2.5 1012Pa. 2.3 Masse de Chandrasekhar
Nous allons ici montrer que, malgré sa force, la pression de dégénerescence des électrons,
ne peut supporter une masse arbitrairement grande. La masse maximale des naines
blanches est alors connue sous le nom de masse de Chandrasekhar. Nous allons calculer
sa valeur par deux approches différentes.
2.3.1 Argument énergétique
Il est basé sur un raisonnement de Landau. Pour cet argument, on va faire l’hypothèse
grandement simplificatrice que la naine blanche est une sphère de densité uniforme (ce qui
est certes un peu fort !). On va d’abord estimer l’énergie interne de l’étoile, en supposant
qu’elle est due uniquement aux électrons. En terme d’intégrale sur les impulsions :
Eint. =
f (p) ec (p) dn =
pF
0
V
4π 3 3 4πp2 ec (p) dp (2.27)
où ec (p) est l’énergie cinétique associée à p.
Tout d’abord, si l’on se place dans le cas ultra-relativiste, ec (p) = pc, si bien que :
ultra rel
Eint. = V c
3 π 2
pF
0
p 3 dp. (2.28)
Si l’on remplace pF par Eq. (2.13), ainsi que V par son expression en fonction du
rayon, il vient :
ultra rel 243
Eint. = c
256 π
1/3 4/3 N
R
(2.29)

2.3 Masse de Chandrasekhar 13
où N est le nombre total d’électrons.
Dans le cas non relativiste, on a simplement ec (p) = p2 /2me et donc :
ce qui explicité donne :
On peut donc noter que :
non rel
Eint. =
V
2 3 π 2 me
pF
0
p 4 dp. (2.30)
non rel
Eint. = 2
2187
10me 16 π2
1/3 5/3 N
. (2.31)
R2 ultra − relativiste =⇒ Eint. ∝ 1
R
non relativiste =⇒ Eint. ∝ 1
.
R2 Ces deux comportements correspondent donc aux cas limites où R est très petit et R
très grand, respectivement.
L’énergie gravitationnelle, quand à elle, dans le cas d’une sphère homogène de masse
M est simplement donnée par :
Egrav. = − 3
5
GM 2
. (2.32)
R
qui peut s’exprimer en fonction du nombre d’électrons via M = N
mB, la masse étant
due aux baryons, soit :
Egrav = − 3 Gm
5
2 B
Y 2
e
Ye
N 2
, (2.33)
R
qui est toujours proportionnel à 1
R .
Quand le rayon est grand, c’est-à-dire quand on n’est pas relativiste, l’énergie est donc
dominée par Egrav., est négative et décroît (en valeur absolue) comme 1/R.
Quand le rayon est petit, c’est-à-dire dans le cas ultra-relativiste, l’énergie totale peut
être mise sous la forme :
où l’on a posé :
Etot. = 3 Gm
5
2 BNNc Y 2
e R
Nc = 3π1/2
16
N
Nc
5cY 2
e
Cette fois ci, deux cas peuvent se produire :
GmB
1/3
N
−
Nc
(2.34)
3/2
. (2.35)

14 Naines blanches
Fig. 2.5 – Allure de l’énergie totale de la naine blanche en fonction de son rayon, pour le
cas N > Nc (à gauche) et N < Nc (à droite).
– N > Nc alors, en R → 0, l’énergie totale est négative et proportionnelle à 1/R.
C’est la situation visible sur la partie gauche de la figure 2.5. L’énergie n’admet pas
de minimum et il n’y a donc pas de configuration d’équilibre.
– N < Nc, cette fois ci, en R → 0, l’énergie totale est positive et proportionnelle à
1/R. Cette situation est visible sur la partie droite de la figure 2.5. Il existe alors
un minimum pour une valeur de R donné.
Nc apparaît donc comme le nombre maximum d’électrons contenus dans l’étoile et
est donc associé à une masse maximale Mc = NcmB
explicitant son expression, il vient :
Mc =
L’application numérique donne :
3π 1/2
16
2.3.2 Un modèle plus raffiné
Ye
, la masse de Chandrasekhar. En
3/2 5c 1
G m2
Y
B
2
e . (2.36)
Mc ≈ 1.7M⊙. (2.37)
Jusqu’à présent, nous avons fait l’hypothèse d’une étoile totalement homogène, ce qui,
à l’évidence est peu réaliste. Dans cette section, nous allons construire un modèle d’étoile
sphérique où la densité dépend du rayon : ρ (r). Il est alors utile de définir m (r) comme
la masse incluse dans la sphère de rayon r :
m (r) =
r
4πr
0
′2 ρ (r ′ ) dr ′ , (2.38)

ce qui peut s’écrire sous forme différentielle :
2.3 Masse de Chandrasekhar 15
dm
dr = 4πr2 ρ (r) . (2.39)
La gravité générée par l’étoile peut être décrite en théorie newtonienne, vu la faible
valeur du paramètre de relativité Ξ des naines blanches (nous verrons plus loin que ceci
n’est plus vrai pour les étoiles à neutrons). Si l’on appelle Φ (r) le potentiel gravitationnel,
alors la force de gravité est simplement g = − dΦ
dr er. Le potentiel vérifie alors :
dΦ
dr
= Gm (r)
r 2 . (2.40)
La variation de la pression est obtenue par l’équation d’équilibre hydrostatique. Un
volume élémentaire situé au rayon r, d’épaisseur dr et de surface dS est soumis à :
– son poids :
– les forces de pressions :
d fg = −ρ (r)
dΦ
dSdrer
dr
(2.41)
d fp = [P (r) − P (r + dr)] dS er (2.42)
= −
dP
dr
drdS er.
L’équilibre de l’élément de volume permet finalement d’obtenir :
dP
dr
dΦ
= −ρ (r) . (2.43)
dr
On dispose des 3 équations (2.39), (2.40) et (2.43), pour 4 inconnues que sont les m,
Φ, ρ et P . Pour fermer le système, on doit préciser l’équation d’état, c’est-à-dire P (ρ)
(matière froide =⇒ équation barotropique). En différenciant l’équation d’état, on obtient
dP
dr =
dP dρ
que l’on peut injecter dans Eq. (2.43) pour obtenir le système final
dρ dr
sous la forme :
dm
dr = 4πr2ρ (r) (2.44)
dΦ
=
Gm (r)
(2.45)
dr
dρ
dr
= −ρ
r 2
dP
dρ
−1 Gm
. (2.46)
r2

16 Naines blanches
Ce système doit être intégré numériquement depuis le centre de l’étoile (typiquement
via une méthode de Runge-Kutta). Pour ce faire, on doit se fixer les valeurs des champs
au centre de l’étoile. On impose donc simplement :
m (r = 0) = 0 (2.47)
Φ (0) = Φc (2.48)
ρ (r = 0) = ρc. (2.49)
La valeur de Φc peut être choisie arbitrairement, le potentiel étant défini à une
constante près (on peut par exemple le choisir de façon à annuler le potentiel à l’infini).
La variation de la densité centrale permet d’obtenir des naines blanches de masses
différentes, pour une équation d’état donnée. Le rayon R de l’étoile est alors définit comme
le rayon où la pression devient nulle : P (R) = 0.
Par la suite, nous ne considérerons que des étoiles décrites par une équation d’état
polytropique du type
P = κρ Γ . (2.50)
Comme nous l’avons vu en 2.2.5, les cas limites de matière non relativiste et ultrarelativiste
sont décrits tous les deux par des équations d’état de ce type, avec, respectivement,
Γ = 5/3 et Γ = 4/3. On peut donc attendre que les naines blanches se comportent
grossièrement comme des polytropes d’indice adiabatique proche de 5/3 pour les moins
massives et tendant vers 4/3 pour les plus massives.
Sur la Fig. 2.6, on a porté les profiles de densité obtenus pour différentes valeurs de
l’indice adiabatique Γ. Les rayons sont normalisés par le rayon des étoiles et les densité
par la valeur de celle-ci au centre. Il est possible de montrer que de tels profiles, à indice
adiabatique fixé sont similaires et donc les courbes représentées sur la Fig 2.6 sont
indépendantes du choix de κ en particulier (i.e. le rayon change mais pas r/R).
La Fig. 2.7 montre comment le rayon de l’étoile varie en fonction de la masse totale.
Les résultats sont désormais dépendant du choix de κ. Pour chaque courbe, sa valeur a été
fixée par le choix d’une pression et d’une densité : κ = P0/ρ Γ 0 . Typiquement, on prend pour
P0 et ρ0 les ordres de grandeur observés précédemment, soit 10 22 Pa et 2 · 10 9 kg m −3 . Les
différents points de chaque courbe sont alors obtenus en faisant varier la densité centrale.
Un des point remarquable de le Figure 2.7 est le fait que, pour Γ = 4/3, la masse ne
dépende pas du rayon et donc pas de la densité centrale. Rappelons que le cas Γ = 4/3 est
le cas limite des naines blanches les plus relativistes et donc les plus massives. Il semble
donc qu’il existe une masse maximum possible pour les naines blanches. Il apparaît alors
que cette masse, si elle ne dépend pas de la densité centrale, dépend tout de même du
coefficient κ. Sur la Figure 2.8, la valeur de la masse limite est tracé en fonction de κ.
La valeur de κ n’est en fait pas arbitraire et l’expression de la pression ultra-relativiste
obtenue en 2.2.5 permet d’obtenir :
κUR = (3π2 ) 1/3 cY 4/3
e
4m 4/3
B
≈ 4.9 10 9 USI. (2.51)

ρ/ρ C
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2.3 Masse de Chandrasekhar 17
Γ=1.5
Γ=1.4
Γ=4/3
Γ=1.6
Γ=5/3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r/R
Fig. 2.6 – Profiles de densité pour différentes valeurs du paramètre Γ. Les rayons sont
normalisés par ceux de l’étoile et les densité par la valeur de cette dernière au centre.
Radius in solar radii
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
Γ=5/3
Γ=1.6
Γ=1.5
Γ=1.4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Mass (in solar masses)
Fig. 2.7 – Relation entre la masse et le rayon des naines blanches, pour différentes valeur
de l’indice adiabatique Γ.
Γ=4/3

18 Naines blanches
Mass in solar masses
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Mass for Γ=4/3
M Chandrasekhar = 1.44 solar masses
κ UR
0
0 2e+09 4e+09 6e+09 8e+09
κ in USI
Fig. 2.8 – Masse limite des naines blanches, obtenue pour Γ = 4/3, en fonction du
coefficient κ. La valeur de κ correspondant à l’équation d’état du gaz d’électrons ultrarelativiste,
et donc à la masse de Chandrasekhar est également indiquée.
Cette valeur, ainsi que la masse qui y est associée sont portées sur la Figure 2.8. La masse
correspondante est donc la masse maximale que peut avoir une naine blanche : la masse
de Chandrasekhar. L’application numérique permet d’obtenir :
Mc ≈ 1.44M⊙. (2.52)
On peut noter que la relation entre la masse et le rayon des naines blanches (cf Fig.
2.7) peut-être rendue plus réaliste en précisant par exemple la composition exacte de la
naine blanche et en tenant compte de quelques effets correctifs comme la contribution des
protons à la pression ou bien les réactions β inverses qui sont l’absorption d’un électron
par les noyaux :
A
ZX + e − ↔ A Z−1Y + νe. (2.53)
Des modèles plus réalistes pourront également tenir compte des effets de température finie
ou de polarisation des électrons pas exemple. Nous verrons plus tard, que l’utilisation
des relations masse-rayon théoriques précises est un des outils les plus employé pour les
observations.
2.4 Observations
2.4.1 Classification spectrale
Le spectres émis par les naines blanches sont déterminés non pas par la composition
de l’intérieur mais par celle de leur atmosphère. Cette dernière peut varier grandement

2.4 Observations 19
d’une naine blanche à l’autre. La terminologie est la même que pour les étoiles habituelles
mais le type spectral est précédé de la lettre ”D” (pour dwarf).
La grande majorité des naines blanches connues (environ 80%) appartiennent au type
DA. Il s’agit de spectres qui ne montrent que des raies associées à l’hydrogène neutre :
la séquence de Balmer. En particulier, on n’observe ni éléments lourds, ni helium ionisé.
La température effective des étoiles de ce type couvre toute la gamme 6000K ≤ Teff ≤
30 000K.
Le spectre des naines blanches qui ne sont pas de type DA est essentiellement contraint
par la température effective et dominé par l’hélium. Si la température est faible, Teff ≤
11 000K, alors on n’excite pas de raies dans le visible et on observe une émission continue :
type DC. A plus haute température 11 000K ≤ Teff ≤ 28 000K, le spectre est dominé par
l’hélium ionisé une fois He I et on parle de type DB. A haute température effective
enfin, pour 45 000K ≤ Teff ≤ 120 000K, c’est He II qui domine le spectre et on parle
de type DO. La raison pour laquelle aucune naine blanche non-DA n’est observée pour
28 000K ≤ Teff ≤ 45 000K n’est pas connue actuellement. On pense que dans cette plage
de température, les naines blanches deviennent riches en hydrogène et donc de type DA.
On ne sait pas avec plus de précision ce qui fait qu’une naine blanche est de type DA ou
non, même si cela est probablement lié à l’histoire de la formation de cette dernière, en
particulier au moment où l’étoile quitte la branche des géantes.
Enfin, on doit ajouter deux types spectraux riche en éléments lourds : le type DQ
dominé par le carbone (atomique et moléculaire) ainsi que le type DZ qui montre des
raies associées aux métaux (typiquement CA II, Mg, Fe, Si) et pas d’hydrogène. On
suppose que ces éléments lourds proviennent du milieu interstellaire et ont été accrétés
par l’étoile.
Des exemples de spectres sont montrés sur Fig. 2.9, pour des naines blanches de types
DA, DB et DO.
2.4.2 Rayons et masses
Test des relations masse-rayons
La mesure du rayon d’une naine blanche est relativement aisé, pour peu que l’on
connaisse la distance d. En effet, comme vu en Sec. 2.1.1, on peut alors relier le flux mesuré
à la luminosité absolue de l’étoile et donc à son rayon, si l’on suppose que l’émission est
celle d’un corps noir.
Quand à la masse, elle n’est déterminée directement que si l’on se trouve dans un
système binaire. Alors, comme ce fut le cas pour la naine blanche historique Sirius B, on
peut invoquer la troisième loi de Kepler pour en déduire la masse de la naine blanche.
Ce type de résultat permet de tester la validité des relation masse-rayon théoriques, pour
toute une variété de modèles, comme on peut le voir sur la Fig. 2.10

20 Naines blanches
Fig. 2.9 – La figure de gauche montre les spectres d’un ensemble de naines blanches de
type DA tandis que sur celle de droite, on peut voir des spectres dominés par l’hélium
(DO pour les deux plus hautes températures et DB pour les autres).
Fig. 2.10 – Relation entre masses et rayons pour des naines blanches en systèmes binaires,
observées par le satellite HIPPARCOS. Les lignes représentent différents modèles
théoriques de naines blanches (aussi bien pour le corps que pour les atmosphères).

Mesures indirectes des masses
2.5 Refroidissement des naines blanches 21
Quand la naine blanche ne se trouve pas dans un système binaire, il est difficile d’obtenir
une mesure directe de la masse de cette dernière. Toutefois, il est parfois possible de
mesurer certaines grandeurs qui dépendent de la masse M et du rayon R. De plus, si ces
deux grandeurs peuvent être reliées via des relations masse-rayon théoriques, alors il est
possible d’obtenir M et R. On parle alors de mesure indirecte, les valeurs dépendant des
modèles théoriques utilisés pour obtenir la relation masse-rayon.
Parmi les grandeurs accessibles par l’observation on peut mentionner :
– Mesure de la distance : si seule cette dernière est connue on a accès à R. L’utilisation
d’une relation masse-rayon permet d’obtenir la masse.
– Le décalage spectral des raies dû au potentiel gravitationnel, l’effet Einstein. Le
décalage est donné par
∆λ
λ
= Ξ = GM
Rc 2
(2.54)
Toutefois, cet effet est faible pour les naines blanches et difficile à séparer des autres
causes susceptibles de provoquer un décalage des raies (effet Doppler).
– Largeur des raies de Balmer. Cette méthode repose sur l’élargissement des raies sous
l’effet de la gravité de surface de l’étoile. Bien entendu, l’hydrogène doit être présent
dans le spectre et donc on doit se restreindre aux étoiles de type DA. L’élargissement
des raies peut alors être relié à la gravité de surface g = GM/R2 et donc à M et R.
– Une dernière méthode consiste à relier les modes d’oscillation des étoiles à leurs
caractéristiques physiques, l’astérosismologie.
La technique ayant permis d’obtenir le plus grand nombre de masses est celle de
l’élargissement des raies de Balmer. Compte tenu de l’utilisation de modèles théoriques,
il peut-être nécessaire de sélectionner des naines blanches ayant certaines propriété. Par
exemple, Madej et al. ont sélectionné 1175 naines blanches de type DA, avec Teff ≥
12 000K.
Étant donné la mesure de g et un modèle de naine blanche à coeur de car-
bone avec atmosphère d’hydrogène, on peut obtenir le diagramme masse-rayon de cet
échantillon, visible sur la Fig. 2.11
Sur la Fig. 2.12, on a représenté la distribution des masses de l’échantillon. La valeur
moyenne est de M = 0.562 M⊙.
La naine blanche la plus massive observée à ce jour est RE J0317-853, dont la masse
est M = 1.35 M⊙, ce qui se rapproche de la masse de Chandrasekhar. Cet objet est
également la naine blanche la plus chaude observée avec une température effective de
l’ordre de 50 000 K et le siège d’un magnétisme important avec B ≈ 3.4 10 8 G.
2.5 Refroidissement des naines blanches
Une fois que l’état de naine blanche est atteint, et pour peu qu’il soit isolé, l’objet
termine son existence par un simple refroidissement. La température effective et la luminosité
de l’étoile diminuent tandis que l’énergie interne est rayonnée. D’un point de vue

22 Naines blanches
Fig. 2.11 – Relation entre masses et rayons pour l’échantillon de 1175 naines blanches
DA. Aux faibles masses, g est plus faible et la taille de l’atmosphère dépend alors plus
fortement de Teff., ce qui explique l’éparpillement des points à gauche de la figure.
Fig. 2.12 – Distribution de masses pour un échantillon de 1175 naines blanches de type
DA.

log(L/L o )
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
−4.5
−5
−5.5
−6
2.5 Refroidissement des naines blanches 23
Salaris et al. (2000), M=0.606 M o
Chabrier et al. (2000), M=0.6 M o
Wood 1995, M=0.6 M o
Benvenuto & Althaus 1999, M=0.6 M o
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Age (Gyr)
Fig. 2.13 – Luminosité des naines blanches en fonction de leur age, pour plusieurs modèles
modernes.
observationnel, cela peut permettre de déterminer l’âge des naines blanches observées et
de placer des contraintes sur l’âge de leur environnement (galaxies hôtes ou amas).
Pour ce faire, il faut connaître la loi de refroidissement des naines blanches, à savoir
L (t). Toutefois, de telles lois sont assez sensibles à la structure fine des naines blanches
et les modèles simples étudiés plus avant ne peuvent donner de résultats satisfaisants. En
particulier, la détermination de L (t) suppose une bonne connaissance de la façon dont
l’énergie, et donc le rayonnement, est transportée depuis l’intérieur de l’étoile jusqu’à la
surface. Parmi les processus physiques qui ont le plus d’influence sur la loi de refroidissement,
on peut mentionner :
– la présence de zones de convection dans l’étoile.
– le taux de réactions nucléaires. Certes ces dernières sont presque totalement arrêtées
mais les réactions résiduelles, peuvent avoir une influence sur les pertes d’énergies,
en particulier avec la production de neutrinos.
– la composition chimique précise qui peut influer sur les opacités, avec en particulier
la prise en compte de la formation possible d’un cristal dans les couches externes.
Les résultats obtenus par quelques modèles modernes de refroidissement sont portés
sur la Fig. 2.13.
En comparant ces résultats aux observations des naines blanches galactiques, on peut
contraindre l’age de cette dernière. Sur le Fig. 2.14 on voit clairement une nette diminution
des naines blanches en dessous d’une certaine luminosité. Cette coupure permet de dire
qu’il n’existe pas de naines blanches arbitrairement vieilles et donc de contraindre l’âge
du disque galactique. Sur la Fig. 2.14, on voit qu’un disque de 8 Gyr est consistant avec
les données observationnelles.

24 Naines blanches
Fig. 2.14 – Densité de naines blanches en fonction de leur luminosité Les symboles
représentent différents ensembles d’observation tandis que les lignes sont différents
modèles théoriques, pour des ages de 8, 10 et 12 Gyrs (ligne pleine, pointillé et tiret,
respectivement).
2.6 Les novae
Les novae sont des étoiles, des naines blanches, dont la luminosité varie de plusieurs
ordres de grandeurs, comme illustré par la Fig. 2.15. La courbe de luminosité de cette
même nova est donnée par la Fig. 2.16.
2.6.1 Mécanisme
Il est admis que les novae se produisent lorsque l’on a affaire à un système binaire dont
l’un des deux membres est une naine blanche. Durant son évolution, le compagnon de la
naine blanche est susceptible de remplir son lobe de Roche et perd donc de la matière
au point de Lagrange L1. La matière tombe sur la naine blanche (via la formation d’un
disque d’accrétion). C’est la situation schématisée sur la Fig. 2.17.
L’hydrogène s’accumule à la surface de la naine blanche. La température peut alors
devenir suffisamment importante pour que la combustion nucléaire de cet hydrogène
démarre. La température critique est de l’ordre de T = 2.5 10 7 K. La combustion de
l’hydrogène en hélium se fait alors principalement par le cycle CNO, repréenté sur la Fig.
2.18.
Toutefois, contrairement aux étoiles classiques, la matière est suffisamment dégénérée
pour que l’on assiste à un emballement des réactions. En effet, et nous verrons cela plus
en détails dans le Chap. 3, dans le cas d’une matière dégénérée, la pression ne dépend pas

2.6 Les novae 25
Fig. 2.15 – Nova dans la constellation du cygne, en 1975. La luminosité augmenta de 9
magnitudes.
Fig. 2.16 – Courbe de lumière de la nova Cyg 1975.

26 Naines blanches
Fig. 2.17 – Vue d’artiste du mécanisme de nova.
Fig. 2.18 – Combustion de l’hydrogène par cycle CNO.

2.6 Les novae 27
Fig. 2.19 – Cliché HST d’une naine blanche. L’éjecta de matière est clairement visible
autour de la naine blanche.
de la température. Cette dernière peut donc augmenter sans être régulée par dilatation de
la matière. La température grimpe et donc également le taux des réactions nucléaires et
donc la température etc... Cet emballement des réactions provoque une libération d’énergie
considérable, à l’origine du phénomène de nova.
Toutefois, ceci ne dure pas éternellement, la température finissant par être suffisamment
importante pour que la matière ne soit plus dégénérée et donc puisse se refroidir
par dilatation. L’émission d’énergie peut être suffisamment intense pour que l’enveloppe
de la naine blanche soit éjectée, comme on peut le voir sur le cliché HST 2.19.
2.6.2 Classification
Habituellement, les novae sont classées en fonction de leur courbe de lumière. Si cette
dernière décroît rapidement (quelques jours), comme c’est le cas pour Cyg 1975 (cf. Fig.
2.16), on parle de nova rapide. Les novae comme Del 1967 (Fig. 2.20) qui varient sur des
échelles de temps beaucoup plus longues (la centaine de jours) sont dites lentes. On pense
que l’appartenance d’une nova à un type ou l’autre dépend principalement de la masse
de la naine blanche. Plus cette dernière est massive est plus la nova est rapide. Environ
2/3 des novae sont rapides contre 1/3 de lentes.
Il existe une troisième classe de novae, celles dites récurrentes et pour lesquelles plusieurs
évênements de type novae ont pus être observés. Ceci concerne une dizaine d’objets,
avec des périodes variables allant de 10 à 100 ans. On pense que pour que les novae
se produisent à des fréqences aussi importantes, on doit avoir affaires à des naines
blanches proches de la masse de Chandrasekhar et à des taux d’accrétion importants, de

28 Naines blanches
Fig. 2.20 – Courbe de lumière de la nova lente Del 1967.
l’ordre de ˙ M = 10 −8;−7 M⊙ an −1 (contre 10 −10;−8 M⊙ an −1 pour des novae classiques). On
estime que le taux d’occurrence des novae est d’une trentaine par an dans notre galaxie.

Chapitre 3
Supernovae
3.1 Historique
Le terme de supernovae a été employé pour la première fois par Baade et Zwicky
en 1934. Il dérive du latin novae qui signifie “nouvelle” car ces évènements libèrent des
quantité d’énergie tellement importantes que l’on a l’impression qu’une nouvelle étoile
apparaît (ce qui est quelque peu ironique compte tenu du fait que les supernovae sont
plutôt associées à la mort des étoiles). La Fig. 3.1 montre un champ du ciel pendant
et après l’apparition de la supernova. Le préfixe super a été employé quand Baade et
Zwicky ont réalisé qu’à cause de la nature extragalactique de ces évènements, les échelles
d’énergies mises en jeu étaient bien plus grande que pour les novae habituelles (voir Chap.
2).
Les supernovae sont des évènements rares mais qui, par leur intensité, ont toujours
marqué les imaginations. La première mention de l’apparition d’une étoile nouvelle remonte
au 14 eme siècle avant JC, en Chine mais il semble délicat de l’associer clairement
avec une supernova (il paraît s’agir d’une autre phénomène astronomique comme une
comète par exemple).
La supernova de 185 est mentionnée dans un seul texte chinois. On y parle d’une durée
de 8 ou 20 mois et l’évènement est censé s’être produit dans la constellation du Centaure.
On a pu localiser une source radio, optique et X (RCW 86, cf Fig. 3.2) dans la région
concernée mais l’autenticité de cette supernova est discutée.
En 386 et 393, des textes chinois mentionnent l’apparition de une ou deux supernovae
mais aucune identification n’a pu avoir lieu à ce jour. La supernova la plus lumineuse dont
on ait mention semble être celle de 1006. On pense qu’elle a atteint une magnitude de -9
(visible en plein jour et l’équivalent de celle d’un quartier de Lune). Cet évènement est
cité dans 6 textes chinois, 7 japonais, 1 coréen, 5 arabes et 4 européens. La position y est
donnée de façon précise, dans la constellation du Loup. Le reste de cette supernova a été
identifié comme étant la source radio PKS 1459-41 (voir Fig. 3.3).
La supernova la plus célèbre est sans conteste celle de 1054 dont on trouve trace dans
5 textes chinois et 3 japonais. Elle fut visible en journée pendant 23 jours et de nuit
pendant 20 mois. Elle se situe dans la constellation du Taureau et a été identifiée avec la

30 Supernovae
Fig. 3.1 – Champs de la supernova 1987A, pendant la supernovae et quelques mois plus
tard.
Fig. 3.2 – Reste de la supernova RCW 86 observée par ROSAT en rayons X.

3.2 Observations 31
Fig. 3.3 – Reste de la supernova de 1006 observée en rayons X par le satellite ASCA.
nébuleuse du Crabe. Cette dernière est désormais très connue et fait l’objet d’observations
très poussées, à toutes les longueurs d’ondes (Fig. 3.4). C’est en particulier en son centre
que fut découvert le premier pulsar. Une nouvelle supernova sera observée par chinois et
japonais en 1181.
Deux des plus grands astronomes européens, Tycho-Brahé et Kepler auront leur heure
de gloire en 1572 et 1604 respectivement, quand ils observeront les deux supernovae qui
porteront désormais leur nom. Celle de 1572 sera visible pendant 15 mois dans la constellation
de Cassiopé et celle de 1604 pendant une année environ dans Ophuchius. Grâce à
leur découvreur, on possède des données relativement précises sur ces deux supernovae,
en particulier sur leur courbe de lumière. Les Fig. 3.5 et 3.6 comparent les observations
d’époque avec celle plus modernes.
Si la supernova de Kepler est la dernière observée dans notre galaxie, de nombreuses
supernovae extragalactiques ont été observées depuis. Parmi celles-ci, une des plus importantes
est celle de 1987, dans le Grand Nuage de Magellan (cf Fig. 3.7). Elle est apparue le
23 février 1987 et, de part sa proximité a permis des observations dans toutes les longueurs
d’ondes. L’émission neutrinos provenant de cette source a également été détectée.
3.2 Observations
3.2.1 Classification spectrale
Les supernovae sont classifiées, et ce pour des raisons plus historiques que physiques,
par leur type spectral. Les spectres peuvent être obtenus :

32 Supernovae
Fig. 3.4 – Nébuleuse du Crabe observée à différentes longueurs d’onde.
Fig. 3.5 – Dessin de Tycho-Brahé mentionnant la découverte d’une nouvelle étoile (“nova
stella”, objet I) ainsi que l’observation moderne en rayon X, par le satellite Chandra, du
même objet.

3.2 Observations 33
Fig. 3.6 – Observation de SN 1604 par Kepler et par le télescope spatial Hubble.
Fig. 3.7 – Supernova SN 1987A observée par Hubble. Les anneaux sont de la matière
éjectée plusieurs milliers d’années avant l’explosion. Les images du bas montrent l’extension
de la matière de l’étoile sous l’effet de l’onde de choc sortante.

34 Supernovae
Fig. 3.8 – Classification des supernovae en fonction de leur spectre dans la phase photosphérique.
– peu après l’explosion, les raies sont vues en absorption et on parle de phase photosphérique.
– quelques semaines ou mois après l’explosion, les raies apparaissent en émission. C’est
la phase nébulaire.
Les spectres dans la phase photosphérique sont utilisés pour la classification des supernovae.
La distinction principale est liée à la présence ou non de raies de l’hydrogène
neutre (raies de Balmer). Si l’hydrogène est absent on parle de SN de type I et de type II
si il est présent. La type I lui-même comporte essentiellement trois sous-classes :
– Si du silicium est visible, on parle de SN de type Ia.
– Les SN sont dites de type Ib si on n’observe pas de silicium mais de l’hélium.
– le type est Ic, si ni silicium ni hélium ne sont visibles dans le spectre.
Cette classification est illustrée par la Fig. 3.8. On y voit également une subdivision
des types II, en fonction de la fonction de leur courbe de lumière, que nous discuterons
à la Sec. 3.2.2. Des exemples de spectres, pour les quatre types, sont présentés sur la
Fig. 3.9. On y retrouve bien le fait que les raies sont observées en émission. Ce n’est plus
nécessairement le cas après cinq mois, comme le montrent les spectres de la Fig. 3.10.
Dans la phase nébulaire, les supernovae de type Ia montrent des raies du fer tandis que
les autres types présentent le même type d’éléments, à savoir N, C, O, Na et Mg.
3.2.2 Courbes de lumière
Les courbes de lumière mesurent l’intensité lumineuse de la supernova en fonction du
temps. Les différents types spectraux sont représentés schématiquement sur le Fig. 3.11.
A distance égale, il apparaît, qu’à leur maximum, les SN Ia sont les supernovae les plus
lumineuses. Après 50 jours environ, les SN Ia montrent un changement de pente dans leur
courbe de luminosité. Les types Ib-c ne sont, du point de vue des courbes de lumière, pas
fondamentalement différents, si ce n’est qu’elles sont moins lumineuses.
L’étude des courbes de lumière permet de distinguer deux classes dans le type II :

3.2 Observations 35
Fig. 3.9 – Exemples de spectres dans la phase photosphérique. De haut en bas, on observe
des types Ia, II, Ib et Ic. Les raies sont bien observées en absorption.
Fig. 3.10 – Exemple de spectres “tardifs” (dans la phase nébulaire). De haut en bas on
observe des types Ia, II, et Ic (Ib est très similaire à Ic). On voit apparaître des raies en
émission.

36 Supernovae
Fig. 3.11 – Courbes de lumière typiques pour quelques types spectraux.
– Le type II-P (pour plateau), pour lequel la luminosité reste presque constante pendant
un mois environ, avant de décroître.
– Le type II-L (pour linéaire) où la décroissance est régulière.
En plus de varier de type à type, les courbes de lumière dépendent également de la
longueur d’onde. On peut clairement voir cela sur la Fig. 3.12. On y a porté la luminosité
dans différentes bandes spectrales, en fonction du temps, pour une SN Ia. Des variations
relatives d’intensité des différents flux sont clairement visibles.
L’étude des courbes de lumière permet de montrer qu’il existe une similarité remarquable
entre toutes les SN de type Ia. En effet, si l’on ramène toutes ces supernovae à la
même distance, les courbes de lumière se superposent parfaitement (Cf. Fig. 3.13). Ce fait
semble indiquer fortement que le mécanisme à l’origine de toutes les SN Ia est le même.
3.2.3 Galaxies hôtes et fréquence d’apparition
La fréquence d’apparition de supernovae donnée par Tab.3.1 a été obtenue en compilant
un grand nombre de campagnes d’observation. Cela a pour avantage de constituer un
échantillon riche même si des erreurs peuvent intervenir lorsque l’on doit harmoniser des
observations très différentes. Les taux d’apparition sont donnés en SNU (pour SuperNovae
Unit) qui est le nombre de supernovae, par siècle et par 10 10 L⊙, qui est la luminosité
moyenne d’une galaxie. Les fréquences sont données en fonction des types de supernovae
et de la nature des galaxies hôtes.
Le même type de résultats est donné par Tab. 3.2. Cette fois-ci, les résultats ont été obtenus
par un seul survey (le “Lick Observatory Supernovae Search”). Les données sont les
nombres bruts de supernovae (les demi-entier apparaissent pour les types intermédiaires).

3.2 Observations 37
Fig. 3.12 – Courbes de lumière dans différentes bande de longueur d’onde (les courbes
sont décalées en magnitude). Il s’agit d’une supernova de type Ia.
Fig. 3.13 – Courbes de lumière de quelques SN Ia proches. La figure de gauche montre
les courbes “brutes”. Sur celle de droite les objets ont été ramenés à la même distance.

38 Supernovae
Elliptiques Spirales
SN Ia 0.13 0.24
SN Ibs 0.00 0.16
SN II 0.00 0.88
Tab. 3.1 – Fréquence des supernovae, en fonction de leur type et de leur galaxie hôte (en
SNU). Ces résultats sont obtenus en combinant un grand nombre de campagnes d’observation
différentes.
Galaxie hôte Ia Ia pec Ibc II IIn
E 21.5 10.5 0 2 1
E/Sa 8 3 1 0 0
Sa 13 5 4 10 2
Sab 9 4 4 11 0
Sb 35.5 3 9.5 36 4
Sbc 11 3 13 18 2
Sc 17 1 15 40 6
Ir 2 0 0 2 0.5
Tab. 3.2 – Type de supernovae et galaxies hôtes obtenus par le Lick Observatory Supernovae
search.
Le point le plus remarquable de ces données est sans conteste le fait que seules des
supernovae de type Ia sont observées dans les galaxies elliptiques.
3.2.4 Conclusion sur les observations
Au vu des résultats observationnels, il apparaît donc que la classification historique
des supernovae par leur spectre ne soit pas en adéquation avec la nature physique de ces
phénomènes. Les SN Ib et Ic sont, à bien des égarts, plus proches des SN II que des SN Ia.
En effet, non seulement les spectres tardifs des SN Ibc et des SN II sont similaires mais
ces trois types de supernovae sont totalement absents des galaxies elliptiques. De plus les
SN Ia, montrent des courbes de lumière qui sont presque identiques, d’une supernova à
une autre, indication qu’elles sont issues d’un seul et même mécanisme.
Nous allons voir par la suite que, dans le scénario standard, les SN Ia sont le résultat de
l’explosion thermonucléaire d’une naine blanche tandis que tous les autres types résultent
de l’implosion gravitationnelle du coeur de fer d’étoiles massives. Les variations observées
entre les type Ib, Ic et II proviennent alors de différences dans la structure de l’étoile qui
implose tandis que la grande homogénéité des SN Ia est liée au fait qu’elles ont toutes le
même progéniteur : une naine blanche approchant la masse de Chandrasekhar.

3.3 Supernovae de type Ia
3.3.1 Le scénario standard
3.3 Supernovae de type Ia 39
On pense donc que les naines blanches sont à l’origine des supernovae de type Ia.
Toutefois, comme vu au Chap. 2, une naine blanche isolée est parfaitement stable et ne
fait que se refroidir lentement. Mais, il apparaît que près de 50% des naines blanches sont
dans des systèmes binaires et la situation peut alors être radicalement différente. Il peut
arriver que de la masse soit transférée du compagnon à la naine blanche. Si le phénomène
de nova ne se produit pas, cette dernière peut alors approcher la masse de Chandrasekhar.
Tandis que la naine blanche devient de plus en plus massive, sa densité centrale, ainsi
que sa température augmentent. Toutefois, peu avant d’atteindre la masse de Chandrasekhar,
la densité devient telle que les réactions nucléaires mettant en jeu le carbone 12 C
et l’oxygène 16 O commencent. Ces réactions produisent essentiellement du nickel 56 Ni
et autres éléments de type ferreux. L’activation de ces réactions libère de l’énergie provoquant
une augmentation de température. Dans une étoile standard, cette augmentation
de température, et donc le taux des réactions nucléaires, est régulé par une dilatation
de la matière. Rien de tel ne peut toutefois se produire ici. En effet, la pression est due
aux électrons dégénérés et ne dépend pas de la température. L’étoile ne se dilate donc
pas et les réactions nucléaires s’emballent (comme c’est le cas lors d’une nova ; cf Chap.
2). Bien entendu, la température devrait finir par être suffisament élevée pour lever la
dégénerescence et donc provoquer une dilatation de l’étoile. Toutefois, ceci se produit
trop tard pour que cette dilatation puisse stopper, ou du moins, ralentir les réactions
nucléaires.
Les détails de la combustion nucléaire sont encore sujets à caution. En particulier, on
ne sait pas si elles commencent au centre ou dans des couches plus périphériques de la
naine blanche. Il existe également deux possibilités pour la propagation de la flamme. Soit
cette dernière est plus rapide que la vitesse du son et il y a donc formation d’une onde de
choc (on parle de détonation). Soit la flamme de propage de façon subsonique et il s’agit
alors d’une déflagration. Il est également possible que l’on assiste à une transition entre
le régime subsonique et le régime supersonique. L’étude précise de cette propagation est
un problème très complexe et qui doit se faire au moyen de simulation numériques. Un
des éléments important qui doit être pris en compte est la turbulence (il s’agit donc d’un
problème tridimensionnel). Un exemple de simulation est donné par la Fig. 3.14.
En tout cas, quels que soient les détails de la propagation de la flamme, l’énergie
libérée par la fusion du carbone et de l’oxygène est suffisante pour que la matière constitutive
de la naine blanche ne soit plus liée par la gravité et on assiste alors à l’explosion
thermonucléaire de la naine blanche qui est totalement détruite dans le processus.
3.3.2 Relation avec les observations
Le scénario de l’explosion thermonucléaire d’une naine blanche permet d’expliquer
les faits observationnels concernant les SN Ia. L’absence d’hydrogène dans le spectre est

40 Supernovae
Fig. 3.14 – Propagation de la flamme thermonucléaire à partir du centre d’une naine
blanche. La flamme est clairement turbulente et tridimensionnelle.

3.3 Supernovae de type Ia 41
Fig. 3.15 – Comparaison entre le spectre mesuré (ligne pleine) et les spectres simulés avec
cobalt (ligne tiret) et sans cobalt (sans tiret). L’accord est bien meilleur quand le cobalt
est inclus, ce qui appuie le fait que la supernova émet via la désintégration radioactive :
56 Ni → 56 Co → 56 Fe.
clairement compatible avec la présence d’une naine blanche, qui est presque exclusivement
composée de carbone et d’oxygène. En effet, même si les naines blanches de type DA
(majoritaires), montrent des raies de Balmer, ces dernières proviennent de l’atmosphère
de l’étoile qui ne représente qu’une fraction négligeable de la masse totale.
Le produit principal de la fusion du carbone est le 56 Ni qui se désintègre en 56 Co
puis en 56 Fe. La présence de raies du fer dans les spectres des SN Ia en phase nébulaire
s’explique donc naturellement. De plus, cette désintégration en deux temps est tout à fait
compatible avec les deux décoissances exponentielles observées sur les courbes de lumières
des SN Ia. La présence de cette chaîne de désintégration a été confirmée par l’observation
de raies caractéristiques du 56 Co (cf Fig. 3.15). De plus, la période de demi-vie du cobalt
56 est de 77 jours, ce qui est consistant avec le changement de pente intervenant dans les
courbes de lumière des SN Ia après 50 jours environ.
Enfin, les naines blanches n’étant pas le produit de l’évolution d’étoiles particulières,
il n’y a aucune raison pour que l’on ne les observe que dans un type de galaxie particulier.
Ceci est en accord avec la démographie des galaxies hôtes. (cf. Tab. 3.1 et 3.2).
3.3.3 Contenu énergétique
Selon le modèle de l’explosion thermonucléaire, l’énergie est donc libérée quand tous
les noyaux constitutifs de la naine blanche fusionnent. Considérons une naine blanche
composée d’une quantité égale de 12 C et de 16 O. Pour une naine blanche proche de la

42 Supernovae
masse de Chandrasekhar, disons de M = 1.4 M⊙, cela constitue 6 10 55 noyaux de chaque
espèce, soit 7.2 10 56 nucléons sous forme de carbone et 9.6 10 56 d’oxygène.
La quantité d’énergie libérée par la fusion de ses deux éléments est connue :
– C + C → 0.54 MeV par nucléon.
– O + O → 0.3 MeV par nucléon.
La connaissance de ces grandeurs permet alors d’obtenir l’ordre de grandeur de l’énergie
libérée :
EIa ≈ 10 44 J. (3.1)
Cette énergie représente tout de même l’émission de toute notre galaxie durant un mois
et la supernova est alors plus lumineuse que sa galaxie hôte. Cela peut sembler colossal
à bien des égards, mais si l’on ramène cela à l’énergie de masse d’une naine blanche cela
n’en représente qu’une petite fraction. En effet :
EIa
Mc 2 ≈ 5 · 10−4 . (3.2)
qui est bien l’ordre de grandeur de l’efficacité des réactions thermonucléaires mises en jeu.
3.3.4 Application en cosmologie
L’observation des supernovae proches a permis de montrer que leur courbe de lumière
étaient très similaires, pour peu que l’on tienne compte de la distance de façon adéquate
(cf. Fig. 3.13). Comme nous l’avons déjà mentionné cela vient d’un mécanisme identique
pour tous ces évènements. Lorsque la distance à l’objet n’est pas connue, on peut alors
adopter la démarche inverse et essayer de déduire cette dernière en supposant que la
luminosité intrinsèque est la même que pour les autres supernovae. C’est en particulier ce
qui est fait en cosmologie où des supernovae de type Ia ont été détectées à des distances
de plus en plus grandes. On peut alors en déduire la distance en fonction du décalage
spectral (redshift) z et comparer ces données avec les courbes théoriques prédites pas les
différents modèles cosmologiques.
Bien entendu, ces mesures ne sont pas simples et on doit corriger de nombreux effets
observationnels. L’un des plus important est sans doute l’effet de l’extinction par la
matière de la galaxie hôte. Cet effet peut être estimé en comparant les résultats dans
différentes longueurs d’ondes, l’extinction en dépendant fortement. Le milieu intergalactique
pourrait également être responsable d’une extinction qui serait alors beaucoup plus
difficile à corriger car ne dépendant que faiblement de la longueur d’onde. Sur la figure
de gauche de 3.16 on a porté la magnitude apparente (et donc la distance) en fonction
du redshift z pour un échantillon de supernovae de type Ia. Les courbes correspondent
à plusieurs modèles cosmologiques différents. Il est clair que les observations à grands z
permettent de discriminer entre les différents modèles. Ceci peut-être confirmé par une
étude statistique précise. Dans un diagramme ΩM (densité de matière), ΩΛ (constante
cosmologique), on peut déterminer la région permise par les observations des supernovae
(figure de droite de 3.16). On peut mentionner que c’est essentiellement pour expliquer les
observations des SNIa que l’on doive tenir compte d’une constante cosmologique non-nulle.

3.3 Supernovae de type Ia 43
Fig. 3.16 – A gauche : magnitude apparente (bande B) en fonction de z. Les courbes
représentent différents modèles cosmologiques.
A droite : Région admise par les supernovae, en fonction du contenu en matière et en
énergie noire (constance cosmologique) de l’univers.
3.3.5 Une SNIa atypique ?
Une analyse récente (2006) des données du survey SNLS (Supernovae Legacy Survey),
indique que l’objet SNLS-03D3bb est une supernovae de type Ia dont les propriétés
diffèrent de façon importante de celles de ses congénères. En particulier, la courbe de
lumière ne se superpose pas avec celles des SNIa habituelles (i.e. celles de la Fig. 3.13).
La masse de Ni présente est de M = 1.3M⊙ ce qui implique une masse minimale du
progéniteur de l’ordre de M = 2.1M⊙. Cette grande masse est également supportée par
des observations sur la vitesse de la matière éjectée. Cette dernière dépend de façon nontriviale
des paramètres de l’explosion. On y voit sur la Fig. 3.17 que, même en faisant
varier les détails de l’explosion (via la fraction fc des éléments ne brûlant pas), on ne peut
expliquer les observations qu’en invoquant la présence d’un progéniteur supermassif.
Au moins deux explications possibles peuvent être invoquées pour expliquer la présence
de cette naine blanche supermassive. On peut tout d’abord imaginer que cette dernière
soit en rotation très rapide et que la force centrifuge puisse aider à supporter le poids de
l’objet. Une autre possibilité consiste à invoquer la présence de non pas une mais deux
naines blanches, en un système binaire coalescent par émission d’ondes gravitationnelles
(voir Chap. 7). En tous les cas, il est nécessaire d’envisager la contamination des études
cosmologiques par de telles SNIa atypiques.

44 Supernovae
Si
vmax(km/s) v ke (km/s)
v ke (km/s)
16000
14000
12000
10000
8000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
Data: maximum light
Data: day +40 Models: Chandrasekhar mass (M WD=1.4)
12000
11000
Data: day +40 Models: super−Chandrasekhar (MWD>1.4) 10000
9000
8000
7000
6000
5000
MWD fC 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
MNi 1.5
1.8
2.1
2.1
f C
0.0
0.1
0.2
0.3
0.0
0.0
0.1
0.2
Sa−Irr host
E/S0 host
SNLS−03D3bb
Fig. 3.17 – Vitesse de l’éjecta en fonction de la masse de Ni produite. Seul un progéniteur
de masse M = 2.1M⊙ peut expliquer les données de SNLS-03D3bb.
3.4 Supernovae gravitationnelles
3.4.1 Structure des étoiles massives
Il semble désormais acquis que les supernovae de type Ib, Ic et II sont toutes dues
à l’implosion gravitationnelle du coeur des étoiles supermassives. Ceci est supporté par
le fait que ces supernovae sont absentes des galaxies elliptiques. En effet, ces galaxies ne
sont pas le site de formation d’étoiles et les étoiles massives n’y sont donc plus présentes,
ces dernières ayant une durée de vie courte (et ayant donc déjà explosé en supernovae).
Comme nous le verrons par la suite, les différences observationnelles entre Ib, Ic, II-P et
II-L proviennent de différences dans la structure de l’étoile massive avant explosion.
Contrairement aux étoiles de faible masse (qui finiront leur vie en naines blanches), les
étoiles plus massives (typiquement pour M 10 M⊙) sont capables de poursuivre la fusion
vers des éléments plus lourds. Plus on s’enfonce dans l’étoile et plus la température et la
densité augmentent et plus on fusionne des éléments lourds. Toutefois, ces fusions sont de
moins en moins énergétiques et se font sur des échelles de temps de plus en plus courtes
(voir Tab. 3.3). Ceci provoque donc l’apparition d’une structure en couches successives,
de compositions chimique différentes et on parle de structure en pelures d’oignon (Fig.
3.18).

3.4 Supernovae gravitationnelles 45
Fig. 3.18 – Structure en pelures d’oignon d’une étoile massive.
élément T (10 9 K) ρ (g cm 3 ) Produits E (MeV par nucléon) Temps caractéristique
H 0.035 5.8 He ≈ 6.5 11 Myr
He 0.18 1390 C, O 0.61 2.0 Myr
C 0.81 2.8 10 5 Ne, Mg 0.54 2000 yr
O 1.9 1.2 10 7 Si, S, Ar, Ca 0.3 2.6 yr
Si 3.3 4.8 10 7 Ni, Fe ... ≤ 0.18 18 days
Tab. 3.3 – Fusion des éléments au coeur d’une étoile massive. On a porté les températures
et densité pour lesquelles les réactions ont lieu, ainsi que l’énergie libérée par nucléon, les
principaux produits de réaction et le temps caractéristique de combustion pour une étoile
de 15 M⊙.

46 Supernovae
Mais, une fois que le fer est synthétisé les réctions doivent s’arrêter, ce dernier étant le
noyau le plus stable, ne pouvant être fusionné de façon exothermique. Avant effondrement,
l’étoile possède donc un coeur de fer. Les conditions physiques y sont similaires à celles
qui règnent dans les naines blanches, à savoir que les électrons y sont dégénérés et que ce
sont eux qui contribuent principalement à la pression. La supernova se produit quand le
coeur atteint la masse de Chandrasekhar et est incapable de supporter son propre poids.
Toutefois, la valeur précise de la masse limite peut légèrement varier d’une étoile à l’autre
et être assez différente de celle des naines blanches, la composition chimique (en particulier
la fraction électronique Ye) et la température étant différentes (pour les étoiles les plus
massives, l’approximation de température nulle n’est pas valable). Typiquement on peut
avoir une masse maximale dans la fourchette :
1.1 M⊙ ≤ Mc ≤ 2 M⊙. (3.3)
Le coeur de fer a un rayon de l’ordre de 1000 km, une température de 6 10 9 K et une
densité centrale de quelques 6 10 9 g cm −3 .
3.4.2 L’effondrement
Quand le coeur atteint sa masse limite, il commence à s’effondrer sur lui même. Cet
effondrement va se faire de façon catastrophique, deux réactions emportant l’énergie gravitationnelle
émise.
L’effondrement s’accompagne d’une intense émission de rayons gamma. Ces derniers
sont responsables de la photodissociation des noyaux de fer :
γ + 56 Fe → 13α + 4n. (3.4)
Cette réaction est fortement endothermique (le fer étant l’élément le plus stable) et absorbe
donc une bonne partie de l’énergie.
Dans le même temps, les électrons peuvent être capturés par les protons (réaction β
inverse) :
e − + p → n + νe. (3.5)
Au moins initialement, cette réaction est largement hors équilibre. La matière est transparente
au neutrinos qui s’échappent en emportant de l’énergie.
Ces pertes d’énergies sont responsables de l’accélération rapide de l’effondrement (sur
des échelles de l’ordre de la milliseconde). Dans un premier temps, l’extérieur de l’étoile
est donc complêtement insensible à l’effondrement du coeur.
La densité et la température à l’intérieur du coeur augmentent et la matière finit
par devenir opaque aux neutrinos (par interaction faible, à des densités de l’ordre de
ρ = 10 14−15 kg m −3 ). La réaction (3.5) se met alors à l’équilibre. Le fer ayant été dissocié
l’effondrement se poursuit alors de façon quasi-adiabatique.

3.4 Supernovae gravitationnelles 47
Fig. 3.19 – Champs de vitesse, juste avant et juste après le rebond du coeur. On voit
comment les régions internes recommencent à s’étendre tandis que les régions externes
continuent de s’effondrer, créant ainsi une onde de choc.
3.4.3 L’onde de choc
L’effondrement du coeur se poursuit jusqu’à ce que l’on atteigne des densités nucléaires
(ρ ≈ 5 10 17 kg m −3 ), en quelques millisecondes après le début de l’effondrement. A de telles
densités, les noyaux sont totalement dissociés et la matière est principalement composée
de neutrons. L’interaction forte entre les nucléons commence alors à se faire sentir, ce
qui provoque un changement dans l’équation d’état, avec une source de pression nouvelle.
Cette pression freine l’effondrement du coeur qui “rebondit”, créant une onde de choc
qui se propage vers l’extérieur. L’onde de choc est clairement visible sur le résultat de
simulation numérique de la Fig. 3.19.
On a longtemps pensé que cette onde de choc pouvait atteindre les couches superficielles
de l’étoile et les éjecter, causant ainsi la supernova. Toutefois, il est acquit que l’onde
de choc par elle même perd trop d’énergie pour s’échapper directement du coeur. Très
rapidement, le choc ne se propage plus et se transforme en choc d’accrétion sur le coeur
riche en neutrons (proto-étoile à neutrons), avec des taux de l’ordre de 0.1M⊙ s −1 . Cette
situation est illustrée par la Fig. 3.20. Si la situation perdurait, ne serait-ce que pendant
une seconde, la proto-étoile à neutrons s’effondrerait alors en trou noir sans qu’aucune
supernova ne soit observée. Ceci à longtemps constitué le “problème des supernovae”,
les simulations numériques ne pouvant simuler un choc capable d’atteindre les couches
externes de l’étoile massive.
3.4.4 Comment “revigorer” le choc ?
Il a été montré qu’en symétrie sphérique, un choc d’accrétion était stable mais la situation
est tout-à-fait différente en 2D et 3D où ces systèmes sont instables. Les instabilités
qui peuvent alors se développer sont suceptibles d’injecter suffisament d’énergie au choc
pour lui permettre d’atteindre les couches superficielles de l’étoile. C’est le phénomène de
SASI pour Stationnary Accretion Shock Instability. Le développement de ces instabilités

48 Supernovae
Fig. 3.20 – Représentation schématique du choc d’accrétion après rebond. La physique
complexe à l’arrière du choc est également représentée.
est très dépendant des conditions précises de la matière derrière le choc. Au moins deux
ingrédients semblent être nécessaires au bon déroulement de la supernova.
D’une part, on doit tenir compte des neutrinos émis par la proto-étoile à neutrons.
En effet, cette dernière se refroidit en en émettant une quantité colossale (10% de son
énergie de masse, soit quelque 10 46 J). Ces neutrinos sont suceptibles d’agir sur le choc
et de lui transférer une quantité non négligeable d’énergie. Le second effet important
est la turbulence qui se produit derrière le choc, comme illustré par Fig. 3.21. La figure
3.22 montre comment, dans une simulation réaliste, le choc peut rester quasi-stationnaire
avant de parvenir à se propager de nouveau vers l’extérieur de l’étoile. Notons que de telles
simulations sont particulièrement lourdes, car devant tenir compte de la micro-physique,
être multi-dimensionnelles et se faire sur des temps très longs.
Les simulations ont montré que des instabilités de type dipolaire pouvaient se développer,
même en partant d’une configuration sphérique et sans rotation. On parle de brisure spontanée
de symétrie. La matière tombe d’un côté sur la proto-étoile à neutrons tandis que
de la matière chaude est éjectée de l’autre, comme on peut le voir sur Fig. 3.23. Cet effet
pourrait non seulement énergiser le choc mais également expliquer pourquoi la plupart
des étoiles à neutrons sont observées avec des vitesses propres importantes.
3.4.5 Bilan énergétique
L’énergie libérée par une supernova gravitationnelle est donc la différence entre l’énergie
du coeur de fer et celle de l’étoile à neutron finale :
E = 3
2 1
GM −
5 RNS
1
, (3.6)
Rcoeur
où l’on a supposé les objets homogènes et sphériques. Compte tenu des valeurs respectives
des rayons (RNS ≈ 10km et Rcoeur ≈ 1000km), on peut négliger l’énergie gravitationnelle
initiale du coeur de fer et l’énergie émise est alors de l’ordre de :
E ≈ 3 10 46 J. (3.7)

3.4 Supernovae gravitationnelles 49
Fig. 3.21 – Régions convectives chaudes derrière le front de choc. Les configurations sont
prises 0.1, 0.2, 0.3 et 0.5 secondes après la naissance du choc. Ce dernier a un rayon moyen
de 200, 300, 500 et 2000 kms.

50 Supernovae
Fig. 3.22 – Rayon du choc au sein de l’étoile. Ce dernier est quasi-stationnaire pendant
plusieurs centaines de ms. Durant cette phase, on peut observer les oscillations
caractéristiques du phénomène de SASI.
Fig. 3.23 – Accrétion dipolaire sur l’étoile à neutrons. La brisure de symétrie est spontanée,
la configuration initiale étant sphérique et sans rotation.

3.4 Supernovae gravitationnelles 51
Si l’on compare l’énergie libérée à l’énergie de masse, on peut voir l’efficacité est de l’ordre
du paramètre de compacité de l’étoile à neutrons : E ≈ ΞMc 2 . Comme vu au Chap. 1, la
compacité et donc l’efficacité est de l’ordre de 20%. Ceci est à comparer avec l’efficacité
des supernovae de type Ia qui n’est que de 10 −4 .
Toutefois, contrairement au supernovae de type Ia, la plus grande partie de l’énergie,
environ 99%, est emportée par les neutrinos tandis que le complément est presque totalement
converti en énergie cinétique des couches externes de l’étoile. Une fraction de
0.1% environ est émise sous forme électromagnétique, soit quelque 10 43 J. Ceci explique
que la luminosité des supernovae gravitationnelles soit moindre que celles des SN Ia où
presque toute l’énergie est émise sous forme de rayonnement électromagnétique. Enfin, il
est possible que, dans le cas d’asymétries prononcées lors de l’explosion, des ondes gravitationnelles
soient générées. Toutefois, même avec les estimations les plus optimistes,
cette fraction ne devrait pas dépasser les 10 −4 , l’explosion étant essentiellement sphérique.
3.4.6 Influence du progéniteur
La diversité des observations pour toutes les supernovae gravitationnelles provient
donc de différences de la structure de l’étoile massive avant effondrement. On peut, par
exemple, essayer d’estimer la fourchette de masse pour laquelle une supernova se produit.
En effet, si l’étoile n’est pas suffisamment massive, elle va terminer sa vie en naine blanche,
n’étant pas capable de fusionner les éléments plus lourds que l’hélium. La valeur précise
de la masse inférieure n’est pas connue avec précision et dépend des détails de l’évolution
mais on peut raisonnablement la fixer entre 6 et 11 M⊙.
A l’opposé si la masse initiale est trop importante, le coeur de l’étoile s’effondre directement
en un trou noir. Toute la matière y est absorbée et on n’observe pas de supernova.
Une nouvelle fois, la valeur de cette borne supérieure varie grandement mais on peut
l’estimer à 40 M⊙, pour des étoiles sans métallicité. La métallicité joue un rôle important
puisque plus cette dernière est importante et plus l’étoile va perdre de la masse avant la
fin de son évolution. A haute métallicité on devrait donc pouvoir observer des supernovae
pour des progéniteurs ayant des masses initiales plus importantes.
La nature du reste de la supernova est également fonction de la masse initiale et de
la métallicité. Aux faibles masses, la proto-étoile à neutron est stable et il va rester une
étoile à neutrons au coeur de la supernova. Pour des masses plus importantes, la matière
accrêtée par la proto-étoile est trop importante et cette dernière finira par s’effondrer en
trou noir, non sans avoir éjecté une partie des couches externes et donc provoqué une
supernova. Enfin, pour les très hautes masses, le coeur s’effondre directement en trou noir
et aucune supernova n’est visible. L’influence de la métallicité et de la masse initiale est
représentée sur la Fig. 3.24.
La nature du progéniteur contraint le type spectral de la supernova. En effet, si les
supernovae de types Ib et Ic ne montrent pas de raies de l’hydrogène, c’est que l’étoile
massive a, dans le courant de son évolution, éjecté toutes les couches externes de son
enveloppe et se retrouve donc sans hydrogène au moment de l’effondrement. On pense
par exemple au vent stellaire dans les étoiles de type Wolf-Rayet. Ces vents intenses se

52 Supernovae
metallicity (roughly logarithmic scale)
about solar
metal−free
low mass stars −− white dwarfs
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neutron star
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BH by fallback
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direct black hole
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direct black hole
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O/Ne/Mg core collapse
9 10
iron core collapse
neutron star
BH by fallback
BH by fallback
(weak SN)
direct black hole
no H envelope
BH by fallback
(weak SN)
direct black hole
25 34 40 60 100 140
260
initial mass (solar masses)
Fig. 3.24 – Devenir des étoiles massives, en fonction de leur masse initiale et de leur
métallicité Les étoiles trop massive et trop peu métallique ne donnent pas de supernova,
s’effondrant directement en trou noir (voir corps du texte pour plus de détails).

metallicity (roughly logarithmic scale)
about solar
metal−free
low mass stars −− white dwarfs
3.4 Supernovae gravitationnelles 53
SN Ib/c
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SN IIp 000000
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no BH
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pair SN
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O/Ne/Mg core collapse
9 10
iron core collapse
SN IIL/b
BH by fallback
(weak SN)
weak SN IIp
direct black hole
no H envelope
weak SN Ib/c
puls. pair (BH)
BH by fallback
(weak SN)
direct black hole
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11111111111111
25 34 40 60 100 140
260
initial mass (solar masses)
Fig. 3.25 – Classification des supernovae gravitationnelle en fonction de la masse initiale
et de la métallicité du progéniteur (voir corps du texte pour plus de détails).
produisent pour des étoiles de grande masse et de forte métallicité.
Si l’étoile possède encore son enveloppe d’hydrogène, alors on assiste à une supernova
de type II. La taille précise de l’enveloppe permet de comprendre la distinction entre
II-P et II-L. Si l’enveloppe est massive (typiquement M 2 M⊙), les rayons gamma
émis par le coeur sont capturés par l’enveloppe et l’énergie est libérée progressivement,
provoquant un plateau dans la courbe de lumière : ce sont les supernovae de type II-P.
Si l’enveloppe d’hydrogène est présente mais avec M 2 M⊙, alors l’énergie est rayonnée
directement et on assiste à une supernova de type II-L. Les SN II-P sont donc attendues
pour des progéniteurs de faible masses et les SN II-L comme des transitions entre II-L et
Ib/c. Enfin, si la proto-étoile à neutrons finit par s’effondrer en trou noir, une partie de
l’énergie y disparaîtra et la supernova résultante sera du plus faible intensité Tout ceci
est résumé sur la Fig. 3.25.

54 Supernovae
Fig. 3.26 – Neutrinos provenant de SN 1987A, vus par trois détecteurs terrestres.
3.4.7 Neutrinos émis par 1987a
Si le modèle des supernovae gravitationnelles est correct, alors ces évènements doivent
s’accompagner d’une intense émission sous forme de neutrinos. Une des confirmations
majeures de la théorie a eu lieu en 1987 quand on a pu mettre en évidence les neutrinos
en provenance de la supernova 1987A. En effet, le 23 février 1987, à 7h35 TU, trois
détecteurs terrestres (Kamioka II au Japon, IMB aux USA et Baksan en Russie) ont
détecté de façon simultanée, un total de 24 neutrinos (11 pour Kamiokande, 8 pour IMB
et 5 pour Baksan ; voir Fig. 3.26). Quelques heures plus tard, la supernova 1987A, dans
le Grand Nuage de Magellan, fut détectée optiquement. La coïncidence entre les deux
évènements, ainsi que l’énergie des neutrinos (15 MeV) confirme tout à fait le modèle des
supernovae gravitationnelles. On peut noter que la section efficace des neutrinos avec la
matière est tellement faible que seuls 24 furent détectés, parmi les quelques 10 56 que l’on
pense avoir été émis.

Chapitre 4
Sursauts Gamma
4.1 Les missions spatiales
L’atmosphère terrestre est opaque au rayonnement γ et les observations à ces longueurs
d’onde doivent donc se faire depuis l’espace. Nous allons présenter ici les quatre missions
spatiales ayant le plus contribué à l’étude des sursauts γ.
4.1.1 VELA
Durant les années 60, en pleine guerre froide, les États-Unis et l’URSS signent un traité
pour interdire les tests atmosphériques d’armes nucléaires. Afin de contrôler l’application
de cet engagement, la NASA lance une série de satellites équipés de détecteurs X et γ,
afin de d’observer les rayonnements émis par d’éventuelles détonations atmosphériques :
ce sont les missions VELA (cf Fig. 4.1).
A partir de 1969, les satellites VELA détectent plusieurs (16) sursauts γ. En comparant
les temps d’arrivées sur les différents satellites, il apparaît rapidement que ces évènements
ne sont pas d’origine terrestre. Toutefois, la nouvelle est gardée secrète jusqu’en 1973, la
cause mystérieuse de ces évènements les rendant suspects. Une émission par une civilisation
extra-terrestre avancée est même un temps envisagée. En reprenant les données,
on s’aperçoit que le premier sursaut γ détecté remonte en fait au 2 juillet 1967. La Fig.
4.2 montre cette première détection historique. Durant une dizaine d’années, les satellites
VELA observeront 73 sursauts γ.
4.1.2 BATSE
Les satellites VELA n’avaient aucune résolution spatiale et on doit attendre le lancement
de CGRO (Compton Gamma Ray Observatory), avec l’instrument BASTE à son
bord pour en savoir plus sur les sursauts γ (Fig. 4.3). L’instrument BATSE était sensible
à tout le ciel et avait une résolution angulaire de l’ordre de quelques degrés. Les longueurs
d’onde considérées allaient de 20 à 600 keV.

56 Sursauts Gamma
Fig. 4.1 – Un des satellite de la mission VELA avant son lancement.
Fig. 4.2 – Première détection d’un sursaut γ par un des satellites VELA, le 2 juillet 1967.

4.1 Les missions spatiales 57
Fig. 4.3 – A gauche le satellite CGRO et à droite le module BATSE.
Durant la durée de la mission BATSE, environ 2000 sursauts γ furent détectés. BATSE
a permis en particulier de montrer que les sursauts sont répartis de façon isotrope sur le
ciel, appuyant une origine cosmologique. Malgré de grandes différences dans les courbes de
lumière, les sursauts γ peuvent être subdivisés en deux sous-groupes : les sursauts longs,
de l’ordre de la centaine de seconde et les courts d’une durée de l’ordre de la fraction de
seconde.
4.1.3 BeppoSAX
La mission BeppoSAX est une mission spatiale italo-néerlandaise qui fut lancée le 30
avril 1996 (Fig. 4.4). L’objectif principal de cette mission était de permettre une bien
meilleure localisation des sursauts γ, avec une précision de l’ordre de 5 minutes d’arc.
Cette précision a permis, pour la première fois, de détecter la contrepartie optique de
sursauts γ. Un exemple de la résolution spatiale de BeppoSAX est donnée par la Fig. 4.5
et un exemple d’observation de contrepartie optique est visible sur la Fig. 4.6.
L’étude de ces objets dans le visible ouvre alors un grand nombre de nouvelles possibilités
avec, en particulier, la spectroscopie, la mesure précise des distances (par décalage
spectral), la détermination des galaxies hôtes et la mesure de la taille caractéristique par
scintillation. Des mesures précises de position furent possibles pour plus d’une centaine
de sursauts. Toutefois, l’identification optique des sursauts n’a pu être faite que pour les
sursauts longs.
4.1.4 SWIFT
SWIFT est une mission qui a été lancée le 20 novembre 2004 (Fig. 4.7). Outre une
détection de plusieurs sursauts par semaine, l’avancée principale par rapport à Beppo-
SAX est la capacité de communiquer rapidement au sol, en 15 s environ, la position des
évènements à quelques minutes d’arc près. De plus le satellite se positionne (en une mi-

58 Sursauts Gamma
Fig. 4.4 – Le satellite BeppoSAX.
Fig. 4.5 – Exemple de résolution spatiale obtenue par BeppoSAX. Il s’agit de GRB970228,
premier sursauts γ dont la contrepartie optique a pu être observée.

4.2 Les observations 59
Fig. 4.6 – Observation optique du sursaut γ 990123 par le télescope automatisé ROTSE.
nute environ) automatiquement pour observer le sursaut avec des détecteurs X et UV.
Tout ceci permet une étude précise des sursauts (avec en particulier détermination des
décalage spectraux). La rapidité de SWIFT lui a permis, pour la première fois, le 9 mai
2005, d’observer les restes d’un sursaut court et donc de placer d’importantes contraintes
observationnelles sur la nature de ces derniers.
4.2 Les observations
4.2.1 Deux familles de sursauts
Dès la mission BATSE, il est apparut que les propriétés des sursauts γ étaient très
différentes d’un évènement à l’autre. Toutefois, il semble que les sursauts puissent être
classés selon leur durée. En effet, sur la Fig. 4.8, on a porté la durée des évènements
détectés par BATSE (environ 2000). Cette distribution est clairement bimodale. On a
donc une population de sursauts courts qui ont des durées entre 0.03s. et 3s. et des
sursauts longs qui se situent plutôt dans la fourchette de 3 à 1000s. Il est également
possible qu’une population intermédiaire soit présente pour des durées de l’ordre de 10s.
Un exemple des courbes de lumière de sursaut de chaque type est montre par la Fig. 4.9.
Les deux classes de sursauts peuvent également être vues d’un point de vue de l’énergie.
En effet, sur le catalogue de BATSE, si l’on compare le flux émis en dessous de 100keV

60 Sursauts Gamma
Fig. 4.7 – A gauche le lancement du satellite SWIFT et à droite une vue de ce dernier.
Fig. 4.8 – Nombre de sursauts détectés par BATSE en fonction de leur durée (mesurée
comme le temps mis pour émettre entre 5% et 95% de l’énergie totale du sursaut). La
distribution est clairement bimodale.

4.2 Les observations 61
Fig. 4.9 – Deux exemple de courbes de lumière. Un sursaut long à gauche et un court à
droite.
à celui émis au dessus, on peut voir que les sursauts courts sont généralement plus durs
que les sursauts longs. On peut voir cette distinction sur la Fig. 4.10.
De ces résultats, il semble donc probable que l’on doive invoquer des mécanismes
sensiblement différents pour expliquer les deux populations de sursauts γ.
4.2.2 Localisation
Isotropie
Un des débat les plus ancien concernant les sursauts γ est de savoir si ils sont d’origine
galactique ou bien cosmologique. En d’autre termes, il s’agit de savoir à quelle distance
ils se produisent. Un premier élément de réponse a été obtenu par BATSE. En effet, grâce
à la résolution spatiale de l’instrument (même limitée), il est possible de montrer que
la distribution des sursauts est isotropique sur le ciel (Fig. 4.11). Une telle distribution
semble favoriser clairement une origine cosmologique pour les sursauts γ. Toutefois certains
théoriciens peuvent encore invoquer des modèles où les sursauts γ se produiraient
dans le halo de la galaxie.
Décalages spectraux
Une réponse définitive au problème de la distance a été apporté par BeppoSAX. En
effet, en fournissant des positions précises, on a pu observer la contrepartie optique de
certains sursauts. L’observation de raies d’absorption du fer et du magnésium en particulier,
permet alors de déterminer le décalage spectral, et donc la distance, de ces objets.
Un exemple de raies d’absorption est donné par la Fig. 4.12.

62 Sursauts Gamma
Fig. 4.10 – Corrélation entre la durée des sursauts et l’énergie de l’émission. Les sursauts
courts sont, en moyenne, plus durs que les sursauts longs.
Fig. 4.11 – Distribution spatiale de quelques 2704 sursauts γ du catalogue de BATSE.
La distribution est parfaitement isotropique.

4.2 Les observations 63
Fig. 4.12 – Premier spectre d’un sursaut γ (GRB 970508) pris au télescope Keck II. Les
raies d’absorption indiquent un décalage spectral de z 0.835.
Sur la Fig. 4.13, on voit l’histogramme des sursauts en fonction de z. Il apparaît alors
clairement que ces objets sont extragalactiques. Le sursaut le plus lointain observé pour
le moment (GRB 050904) a été mesuré à z = 6.29 par SWIFT. Il se trouve donc à une
distance équivalente à celle des galaxies les plus lointaines.
Galaxies hôtes
La détermination précise de la position des sursauts permet l’observation continue de
ces derniers, jusqu’à leur extinction. Il est alors possible de voir la galaxie dans laquelle
le sursaut a eu lieu et d’en déterminer le type et les propriétés. La Fig. 4.14, montre
une image HST de la contrepartie optique du sursaut GRB990123. Le galaxie hôte est
clairement visible.
Sur la Fig. 4.15, on a porté l’indice de couleur R-K en fonction du décalage spectral.
Les galaxies hôtes de sursauts γ sont représentées par les diamants noirs. Des modèles
correspondant au différents type de galaxies sont également indiqués. Il apparaît clairement
que les sursauts de cet échantillon se produisent plutôt dans des galaxies spirales ou
irrégulières et sont pratiquement absents des galaxies elliptiques. On peut donc en déduire
que l’apparition des sursauts est liée à la formation d’étoile, possiblement à la présence
d’étoiles massives (situation analogue à celle des supernovae gravitationnelles). Cette hypothèse
est également appuyée par la présence de fer dans les spectres des contreparties
optiques (voir Fig. 4.12 par exemple).

64 Sursauts Gamma
Fig. 4.13 – Sursauts γ dont le redshift a été mesuré confirmant la nature cosmologique
de ces objets.
Fig. 4.14 – Prise de vue HST de la contrepartie optique de GRB 990123, 16 jours après
le sursaut. La galaxie hôte est visible au dessus à gauche du sursaut.

4.2 Les observations 65
Fig. 4.15 – Indice de couleur en fonction de z. Les galaxies hôtes de sursauts sont
représentées par des diamants pleins. Les différents type de galaxies sont également
représentés.
Toutefois, les sursauts portés sur la Fig. 4.15 sont tous des sursauts longs. Récemment,
grâce à l’apport du satellite SWIFT, des chercheurs ont trouvé pour la première fois, un
sursaut γ court dont la galaxie hôte était de type elliptique (cf. Fig. 4.16) et donc ne
formant pas d’étoiles. Il apparaît donc peu probable que ce sursaut soit lié à la présence
d’étoiles massives. Ceci plaide en faveur d’un mécanisme différent pour les sursauts courts
et les sursauts longs.
4.2.3 Courbes de lumière et variabilité
En ce qui concerne les courbes de lumière, il n’existe pas à proprement parler, de
sursaut typique. Les formes des courbes, ainsi que leur intensité et leur durée varient
grandement d’un sursaut à l’autre. La Fig. 4.17 montre quelques exemples de courbes de
lumière.
Le flux émis par les sursauts varie rapidement dans le temps. La Fig. 4.18 montre,
par exemple, la courbe de lumière d’un sursaut court obtenue par SWIFT. On y voit
clairement une variabilité temporelle du signal. Les variabilités mesurées peuvent être de
l’ordre δt ≈ 1 ms. Par l’argument de causalité classique, ceci permet d’obtenir une taille
caractéristique de la source par : R = cδt ≈ 300 km. Cette petite taille s’avèrera par la
suite l’un des indices importants pour déterminer le mécanisme des sursauts γ.
4.2.4 Contenu énergétique
Le flux total émis par les sursauts du catalogue BATSE est présenté sur la Fig. 4.19.
On peut prendre comme valeur typique F ≈ 10 −5 erg cm −2 = 10 −8 J m −2 . Si maintenant

66 Sursauts Gamma
Fig. 4.16 – Image VLT montrant la galaxie hôte du sursaut court GRB 050724. Les
positions du sursauts données par Chandra et l’instrument XRT de SWIFT sont également
indiquées.
Fig. 4.17 – Grande variété des courbes de lumière des sursauts γ.

4.2 Les observations 67
Fig. 4.18 – Grande variabilité dans la luminosité des sursauts γ.
GRB Redshift Energy
isotropique (J)
970508 0.835 8 10 44
971214 3.418 3 10 46
980425 0.0085 10 41
990123 1.6 3 10 47
991216 1.02 6.7 10 46
Tab. 4.1 – Redshift et énergies isotropiques émises par quelques sursauts γ.
on suppose que le sursaut se trouve à z = 3, ce qui correspond à une distance D ≈ 10 26 m,
on peut estimer l’énergie émise, si l’on suppose l’émission isotrope. On trouve :
E ≈ 10 45 J. (4.1)
Cet ordre de grandeur est comparable avec les énergies émises par les supernovae et
est typique de celui des objets compacts de masse stellaire. Ce fait est également compatible
avec une taille caractéristique de l’ordre de la centaine de kilomètres, comme
vu précédemment. Toutefois, les sursauts sont loin d’être des chandelles standard et les
énergies isotropiques varient grandement d’un évènement à l’autre (voir Tab. 4.1). En
particulier, l’évènement GRB990123 est le sursaut avec la valeur record E = 3.4 10 47 J.
Cette valeur est très importante et il est difficile d’invoquer une source capable de la
produire.
Nous verrons que la solution au problème de l’énergie vient sans doute du fait qu’elle
n’est pas émise de façon isotrope mais plutôt sous forme de jet.

68 Sursauts Gamma
Fig. 4.19 – Flux totaux mesurés par BATSE pour les sursauts courts (rouge) et longs
(bleus).
4.2.5 Les spectres
Les sursauts γ ne rayonnent pas comme un corps noir : ils ne sont pas thermalisés.
Dans la plupart des cas, on peut observer une émission jusqu’à de très hautes énergies (typiquement
jusqu’au GeV). Cette émission très énergétique fut tout d’abord un problème
pour les théoriciens, avant de fournir un des clefs de ces phénomènes. Les spectres à hautes
énergies sont bien représentés par la fonction de Band : il s’agit de deux lois de puissance
qui sont jointes de façon régulière. Plus précisément, le spectre est ajusté à la somme de :
– une loi de puissance avec coupure exponentielle : N (E) ∝ E α exp (E − E0)
– une seconde loi de puissance décroissant plus rapidement : N (E) ∝ E β , avec α > β.
Un exemple d’ajustement est donné par la Fig. 4.20, dans le cas de GRB911127. Les
valeurs des paramètres varient d’un sursaut à l’autre mais on a, typiquement : α ≈ −1 et
β ≈ −2. L’énergie de coupure peut aller de E0 = 100 keV a plus de 1 MeV mais avec une
valeur plus probable autour de 200 keV.
4.3 Le modèle de la boule de feu
4.3.1 Des vitesses relativistes
Création de paires e + e −
Au dessus de 511 keV (énergie de masse de l’électron), les photon γ, interagissent en
créant des paires électrons-positrons via :
γ + γ ↔ e − + e + . (4.2)

4.3 Le modèle de la boule de feu 69
Fig. 4.20 – Spectre de GRB911127. La courbe représente un ajustement avec une loi de
Band avec les paramètres : α ≈ −1 et β ≈ −2.4. L’énergie de coupure est E0 ≈ 150 keV.
Fig. 4.21 – Emission à très hautes énergies des GRB (données issues de 5 sursauts
différents).
Or, des émissions supérieures à 100 MeV sont typiques et par exemple, visibles sur les
données de la Fig. 4.21. L’existence de photons aussi énergétiques semble indiquer que
la réaction (4.2) ne se produit pas. En effet, les électrons et positrons créés perdraient
rapidement de l’énergie (par rayonnement synchrotron principalement) et le spectre serait
alors thermalisé aux alentours de 511 keV. On s’attend donc à ce que le milieu soit
transparent à la production de paires.
Toutefois, nous avons vu comment la variabilité rapide des courbes de lumière semblait
indiquer une taille caractéristique de la région émettrice de quelque centaines de kilomètres,
région dans laquelle des énergies considérables devaient être libérées. Un modèle
simple montre, que dans ces conditions, le milieu est loin d’être transparent pour la
création de paires, mais d’une profondeur optique colossale (10 15 ). C’est le paradoxe dit

70 Sursauts Gamma
de la compacité.
Fig. 4.22 – Collision entre deux photons sous un angle θ
Énergie dans un référentiel en mouvement
Nous allons voir comment ce paradoxe peut-être résolu en invoquant un milieu se
propageant à des vitesses relativistes. Dans le référentiel de centre de masse, le seuil
de la réaction (4.2), est l’énergie de masse de l’électron, soit 511 keV pour des photons
identiques. Toutefois, la valeur de ce seuil peut grandement augmenter si la collision ne
se fait pas dans le référentiel du centre de masse. Considérons deux photons γ identiques
qui se rencontrent selon un angle θ, comme indiqué sur la Fig. 4.22.
Le quadrivecteur énergie-impulsion des photons est donné par :
Pc = (E ; pxc ; pyc ; 0) = (E ; E sin φ ; ±E cos φ ; 0) , (4.3)
où E est l’énergie de chacun des γ.
Ce quadrivecteur se transforme selon les transformations de Lorentz. Considérons un
“boost” à la vitesse v, dans la direction x. Dans ce nouveau référentiel, le quadrivecteur
énergie impulsion est alors :
P ′ c =
ΓE 1 − v
sin φ ; ΓE sin φ −
c v
c
où Γ est le facteur de Lorentz habituel :
Γ =
1
1 − v2
c 2
; ±E cos φ ; 0 , (4.4)
. (4.5)
Pour se placer dans le référentiel du centre de masse, il suffit d’annuler la composante
du quadrivecteur selon x et donc de choisir : v = c sin φ. Le facteur de Lorentz associé est
alors Γ = 1/ cos φ et l’énergie :
E ∗ = E cos φ. (4.6)
Dans le référentiel du centre de masse, l’énergie seuil pour la réaction (4.2) est l’énergie
de masse de l’énectron soit mec 2 . L’énergie minimale que doivent avoir les photons dans

4.3 Le modèle de la boule de feu 71
2 mec
le référentiel de départ est donc : E = , que l’on peut exprimer en fonction de l’angle
cos φ
θ entre les deux photons pour obtenir :
E 2 = 2 (mec2 ) 2
. (4.7)
1 − cos θ
Il apparaît donc que pour que des photons de hautes énergies survivent à la réaction
(4.2), il faut diminuer l’angle moyen de rencontre, i.e. faire tendre θ vers 0.
Collimation relativiste
L’effet de collimation relativiste va permettre d’assurer que les photons ne se rencontrent
que sous incidence rasante (i.e. θ ≪ 1) et donc ne créent des paires e + e − qu’à
très hautes énergies. Considérons, dans un référentiel au repos, un photon se propageant
dans une direction faisant un angle α avec la direction x. Comme précédemment, le quadrivecteur
énergie-impulsion peut s’écrire :
Pc = (E; E cos α; E sin α; 0) . (4.8)
Si l’on effectue un “boost” dans la direction x, à la vitesse v, on obtient alors :
P ′
c = ΓE 1 − v
cos α ; ΓE cos α −
c v
; E sin α; 0 . (4.9)
c
La variation de l’énergie associée n’est rien d’autre que l’effet Doppler relativiste. L’angle
entre la direction de propagation et l’axe x est également modifiée et l’on a :
sin α ′ =
sin α
Γ 1 − v cos α.
c (4.10)
Il apparaît alors que l’angle α ′ est plus petit que l’angle α. On parle alors de collimation
relativiste. Cet effet est illustré par la Fig. 4.23.
Si, l’on prend α = π/2 et la limite que le facteur de Lorentz Γ ≫ 1, alors on obtient :
α ′ ≈ Γ −1 . (4.11)
L’essentiel de l’énergie rayonnée par une source de façon isotrope, dans le référentiel
où elle est au repos, est désormais concentré dans un cône d’ouverture Γ −1 .
Contraintes sur Γ
L’observation des spectres des sursauts γ laisse penser que l’émission de photons à des
énergies de l’ordre de Elim = 100 MeV n’est pas rare. Il faut donc que l’énergie seuil de
la création de paire soit au moins égale à cette valeur. En utilisant la formule (4.7), cela
permet de placer une contrainte sur l’angle de collision entre photons :
1 − cos θ 5 10 −5 =⇒ θ 10 −2 . (4.12)

72 Sursauts Gamma
Fig. 4.23 – Effet de collimation relativiste.
Ceci peut-être obtenu par collimation relativiste si les photons sont émis par une source
dont le facteur de Lorentz est de l’ordre de :
Γ 100. (4.13)
Le problème de la compacité des sursauts γ est donc résolu si l’on suppose que
les régions émettrices des photons γ se propagent à des vitesses très relativistes. Ce
modèle simple est tout à fait en accord avec ceux plus sophistiqués qui tiennent compte
précisemment des corrections relativistes dans le calcul de la profondeur optique. Il apparaît
donc que le facteur de Lorentz détermine l’énergie maximale que peuvent atteindre
les photons gammas, comme illustré par la Fig. 4.24.
4.3.2 Chocs internes et externes
Pour pouvoir expliquer l’émission de particules à hautes énergies, on doit donc convertir
l’énergie cinétique dont on dispose (qui est considérable vu les Γ considérés). On peut
imaginer un phénomène de choc entre la matière éjectée par le sursaut et le milieu environnant
: on parle alors de chocs externes. Toutefois, on peut montrer, que de tels chocs
ne peuvent expliquer la variabilité importante observée au moment de l’émission γ.
L’alternative proposée est basée sur le modèle des chocs internes. Il s’agit de chocs
se produisant à l’intérieur même du flux relativiste émis par le sursaut γ. En effet, si
de l’énergie éjectée plus tardivement l’est plus rapidement, elle va entrer en collision avec
celle émise précédemment. L’éjection de différentes coquilles par une même source centrale
est représentée, schématiquement, sur la Fig. 4.25. La variabilité est alors obtenue comme
l’écart de distance entre les différentes coquilles, soit par L/c sur Fig. 4.25. La durée totale
du sursaut est alors obtenue par le temps pendant laquelle la source interne émet, à savoir
∆/c dans notre cas.
Dans ce modèle, les particules sont accélérées par passages successive à travers les
chocs. Les facteurs de Lorentz obtenus suivent alors une loi de puissance du type : N (Γ) ∝

4.3 Le modèle de la boule de feu 73
Fig. 4.24 – Influence du facteur de Lorentz sur l’émission à très haute énergie des sursauts
γ.
Fig. 4.25 – Chocs internes dans les sursauts γ.

74 Sursauts Gamma
Fig. 4.26 – Différentes étapes d’un sursaut γ, dans le modèle standard de la boule de feu.
Γ −p avec p ≈ 2 − 3. L’essentiel du flux est composé de protons tandis que les électrons
pourraient atteindre des facteurs plus grands dans le rapport mp/me. Les électrons ainsi
accélérés produisent les rayons γ observés par rayonnement synchrotron. Les photons de
très haute énergie (de l’ordre du GeV) sont produits par collision Compton inverse.
Des estimations ont toutefois montré que les chocs externes ne pouvaient extraire
qu’une partie de l’énergie du flux pour le convertir en rayonnement. Une fois que l’éjecta
a suffisamment ralenti, les processus de chocs externes, avec le milieu interstellaire ou bien
de la matière qui aurait pu être éjectée dans une phase précédente (par un vent stellaire
par exemple), deviennent importants. Cette interaction est responsable des rayonnements
plus tardifs des contreparties optiques et radio.
Le facteur de Lorentz du flux décroît comme une puissance du temps (typiquement
t −3/8 ) et c’est donc également le cas pour les facteurs de Lorentz des électrons et pour le
champs magnétique. L’énergie rayonnée devient donc de plus en plus faible, passant des
X, au visible et aux ondes radios.
Le modèle de la boule de feu est résumé sur la Fig. 4.26. Il peut donc se décomposer
en quatre phases :
– La source centrale produit un flux d’énergie, relativiste. Les quantités d’énergies
mises en jeu, ainsi que la variabilité indiquent qu’il s’agit d’un objet compact mais
sa nature précise n’est pas connue avec précision.
– L’énergie cinénique est transférée à des distances de l’ordre de 10 12 m où le milieu
devient transparent aux γ.
– Le flux perd de l’énergie par le processus des chocs internes : c’est la phase d’émission
des rayons γ.
– Lorsque l’on atteint des tailles caractéristiques de l’ordre de 10 14 m, le processus de
chocs externes, avec le milieu environnant, devient important, expliquant l’émission
tardive en X, dans le visible et le domaine radio.

4.4 Succès du modèle de la boule de feu 75
4.4 Succès du modèle de la boule de feu
4.4.1 Prédiction des spectres
Dans le modèle de la boule de feu, l’essentiel de l’énergie émise en X, visible et radio,
l’est par rayonnement synchrotron d’une assemblée d’électrons relativistes. Ceci permet
d’obtenir l’allure des spectres attendus. Elle dépend typiquement de trois longueurs
d’ondes :
– νm qui est associée au facteur de Lorentz minimal des électrons. En effet, on prend
une distribution des électrons en loi de puissance : N (Γ) ∝ Γ −p pour des facteurs
de Lorentz Γ ≥ Γm. On peut noter que l’essentiel des électrons se trouve donc à
Γ ≈ Γm.
– νa est la fréquence en dessous de laquelle les photons sont réabsorbés par les électrons
(self-absorption).
– νc est la fréquence au dessus de laquelle la perte d’énergie par rayonnement synchrotron
est rapide, c’est-à-dire plus rapide que le temps caractéristique hydrodynamique.
En fait, on peut montrer que νa est toujours la plus petite des fréquences mais que les
deux autres peuvent êre dans les deux situations suivantes :
– νm > νc, alors tous les électrons perdent rapidement de l’énergie et on est dans une
phase de refroidissement rapide.
– νm < νc et l’essentiel des électrons ne perd pas une quantité d’énergie importante :
on parle de refroidissement lent.
Les spectres correspondant aux deux régimes sont représentés sur la Fig. 4.27. L’évolution
des différentes fréquences en fonction du temps est également donnée et on peut voir que,
νm décroissant plus rapidement que νc, on va passer d’une régime de refroidissement rapide
à un régime de refroidissement lent, pour un temps t = t0.
L’observation multi-longueurs d’ondes des contreparties X, optique et radio des sursauts
est en bonne adéquation avec le modèle de la boule de feu, comme on peut le voir
sur la Fig. 4.28.
4.4.2 Taille de l’éjecta
On peut montrer que la fréquence de réabsorption νa dépend, entre autres, de la taille
caractéristique de la région émettrice. Plus précisément, on obtient que νa ∝ R 2 . Les
observations radios de certains sursauts permettent de mesurer la valeur de νa, comme
on peut le voir sur la Fig. 4.29. Compte tenue de la valeur mesurée, on obtient, dans le
cas de GRB970508, une taille caractéristique de l’ordre de R ≈ 10 15 m, un mois après le
sursaut γ.
Une estimation indépendante de cette taille peut également être obtenue grâce au
phénomène de scintillation. Cet effet est bien connu pour les étoiles, où il est causé par la
variation de l’indice optique de l’atmosphère. Ce phénomène peut également être observé
dans le domaine radio pour des sources extragalactiques où la cause de la scintillation est

76 Sursauts Gamma
Flux (µJ)
Flux (µJ)
10 4
10 2
10 0
10 4
10 2
10 0
10 −2
a
10 8
b
10 8
ν 2
E
ν 2
A
t 0
t −1/2
[t −4/5 ]
10 10
ν a
10 10
ν a
ν 1/3
F
t −3/2
ν m
ν 1/3
B
10 12
ν −(p−1)/2
G
t −1/2
10 12
ν c
t −1/2
[t −2/7 ]
ν c
10 14
10 14
ν −1/2
C
t −3/2
[t −12/7 ]
ν −p/2
H
ν m
10 16
10 16
fast cooling
tt 0
Fig. 4.27 – Spectres d’émission prévus par le modèle de la boule de feu, dans un régime
de refroidissement rapide (en haut) et dans un régime de refroidissement lent (en bas).
Fig. 4.28 – Spectre du sursaut GRB 970508, des X au domaine radio, quelques 12 jours
après le sursaut γ.
ν (Hz)
10 18
10 18

F ν [µJy]
10 3
10 2
10 1
4.4 Succès du modèle de la boule de feu 77
F νa ,ext
10 9
ν a
ν [Hz]
Fig. 4.29 – Détermination de la fréquence de “self-absorption”, par observation de la
contrepartie radio de GRB970508.
la variation de la densité électronique dans le milieu interstellaire. Schématiquement, la
scintillation se produit selon deux régimes différents :
– Par diffraction : des rayons en provenance du même point suivent des chemins
optiques différents et interfèrent (cas de gauche de la Fig. 4.30). L’émission de la
source doit donc être cohérente et ce type de diffraction n’est donc possible que pour
une taille caractéristique inférieure à une certaine limite.
– Par réfraction : les photons subissent une variation aléatoire de trajectoire. Ce
type de réfraction ne dépend pas de la longueur d’onde ni de la taille de la source
(cas de droite de la Fig. 4.30).
On peut montrer que la diffraction se produit tant que la taille angulaire de la source
est inférieure à un angle limite θd. La valeur de θd en fonction de la longueur d’onde peut
être estimée en se basant sur des modèles plausibles pour le milieu interstellaire :
10 10
10 11
ν
θd ≈ 3
10 10
−11/5 µarcs. (4.14)
Les observations radio de GRB 970508, à 8.46 GhZ, sont données par la Fig. 4.31.
On voit qu’en dessous de 1 mois, les oscillations sont importantes mais qu’elles diminuent
ensuite. Ce résultat est interprêté de la façon suivante : en dessous de 1 mois, la taille
caractéristique de la source est plus petite que θd et la variabilité du signal est dominée
par la scintillation diffractive. Après un moins, la taille est plus grande que θd et ne
subsiste plus que la diffraction réfractive. On peut donc en déduire une estimation de la
taille de la source au bout d’un mois, par application de (4.14), ce qui permet d’obtenir
θ ≈ 4µarcs. Le décalage spectral de GRB 970508 est connu z = 0.835, soit une distance

78 Sursauts Gamma
Fig. 4.30 – Les deux type de scintillation, par diffraction à gauche et par réfraction a
droite.
F ν [mJy]
1.5
1
0.5
8.46GHz
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t [day]
Fig. 4.31 – Observations radio de GRB970508, à 8.46 GHz.
de d = 10 26 m. On peut donc estimer, que, au bout de 1 mois, la taille caractéristique de
la source est de l’ordre de R ≈ 10 15 m. Il est remarquable que cet taille soit en bon accord
avec celle obtenue de façon indépendante par des considérations sur le spectre d’émission,
confirmant ainsi le modèle de la boule de feu.
4.5 Présence de jets
Comme nous l’avons déjà mentionné si l’on suppose que l’énergie émise par les sursauts
γ, l’est de façon isotrope, on se trouve confronté à un problème, tant les ordres
de grandeurs mis en jeu sont importants. Toutefois, ce problème peut être résolu si l’on

4.5 Présence de jets 79
Fig. 4.32 – Effet de collimation relativiste d’un jet.
Fig. 4.33 – Simulation numérique d’un jet relativiste.
invoque une émission en jet. Nous allons voir quelle est la signature de la présence d’un
jet sur le signal.
Supposons que le flot se fasse selon un jet d’ouverture Θ. Nous avons vu que toute
émission par une source se déplaçant avec un facteur de Lorentz Γ se faisant dans un
angle d’environ Γ −1 . Nous allons donc avoir deux régimes :
– Si Γ > Θ −1 , l’émission va donc rester confinée dans le cône initial de taille Θ. C’est
la situation au début du sursaut, quand les facteurs de Lorentz sont importants.
– Quand Γ Θ −1 , l’émission se fait dans un angle plus grand que la taille du cône et
le flot s’étend rapidement sur les côtés.
La situation est représentée de façon schématique sur la Fig. 4.32 et l’effet est confirmé
par des simulations numériques précises, comme celle vue sur la Fig. 4.33.
Ce changement de régime quand Γ diminue suffisamment pour atteindre Θ −1 , provoque
un changement de comportement dans le flux observé puisque ce dernier décroît plus
rapidement quand le jet commence à s’étendre sur les côté. Une étude théorique permet
de montrer que le temps tjet à partir duquel ce changement de comportement se produit,
était relié à l’angle d’ouverture par :
tjet
1 h
Eiso
= 6.2
1045 J
1/3 1 cm −3
n
1/3 8/3 Θ
. (4.15)
0.1

80 Sursauts Gamma
Fig. 4.34 – Changement de comportement dans les courbes de lumière de GRB 010222,
interprêté comme l’indication d’une émission en jet.
La démonstration de cette formule dépasse le cadre de ce cours mais on peut toutefois
noter quelques unes de ses propriétés :
– Eiso est l’énergie obtenue en supposant l’émission isotrope. Plus elle est importante,
plus le facteur de Lorentz initial est grand et plus il faudra du temps pour atteindre
Θ −1 .
– n est la densité particulaire du milieu interstellaire : plus elle est importante, plus
le jet est freiné et plus tjet est petit.
Le premier sursaut pour lequel l’effet de l’émission en jet a pu être observée est
GRB010222. Le changement de pente dans la courbe de lumière, à différentes longueurs
d’onde, est clairement visible sur la Fig. 4.34.
En conduisant une étude sur un dizaine de sursauts dont la distance est bien connue,
on peut obtenir la distribution des angles d’ouverture par application de (4.15) (voir Fig.
4.35). Il apparaît clairement que l’émission des sursauts est loin d’être isotropique mais
bien selon des jets. Ceci a deux conséquences importantes :
– l’énergie émise n’est plus aussi importante que celle Eiso. L’énergie réelle (obtenue

4.6 Le moteur central 81
Fig. 4.35 – Distribution des angles d’ouverture des jets pour une dizaine de sursauts γ.
en tenant compte de Θ) est comparée à Eiso sur la Fig. 4.36. Il apparaît alors que
l’effet de dispersion observé pour Eiso provient essentiellement de la distribution
des angles d’ouverture, puisque les vraies énergies sont beaucoup plus concentrées
autour de la valeur E ≈ 10 44−45 J, énergie tout à fait comparable avec elle mise en
jeu dans les supernovae.
– Conjointement, la véritable fréquence des sursauts γ pourrait être 500 fois supérieure
à celle estimée par les observations, la majorité des émissions se faisant le long de
jets qui ne sont pas sur la ligne de visée de la terre.
4.6 Le moteur central
Si le mécanisme d’émission par les chocs internes puis externes semble être bien accepté
l’objet central, responsable de la formation de ce jet est plus sujet à caution. Cette
précision étant faite, nous allons présenter ici le modèle prédominant à l’heure actuelle.
Compte tenu des énergies mises en oeuvre, et de la variabilité observée, nous avons
déjà vu que nous devions invoquer la présence d’un objet compact d’une dizaine de masses
solaires, soit typiquement un trou noir. De plus, au moins dans le cas des sursauts longs, le
système doit avoir un temps de vie de plusieurs dizaines de seconde, ce qui semble pointer
vers un disque d’accrétion. Ceci est consistant avec le taux d’apparition des sursauts, qui
est d’environ 10 −5 /yr/galaxy.
Un système trou noir avec disque d’accrétion peut générer un jet principalement par
deux mécanismes :
– Par annihilation de neutrinos. En effet, le disque d’accrétion se refroidit par

82 Sursauts Gamma
Fig. 4.36 – Distribution des énergies isotropiques (en haut) et des énergies “réelles”,
obtenues en tenant compte de l’émission en jet.
émission de neutrinos qui peuvent êre suffisamment énergétiques pour causer la
création de paires via ν + ¯ν → e + + e − . Cette réaction peut déposer suffisamment
d’énergie pour créer un jet.
– Par champs magnétique. Le disque d’accrétion est en rotation différentielle et un
champs magnétique peut être créé par effet dynamo. Si ce champs est suffisamment
intense, les particules chargées vont suivre les lignes de champs selon un jet.
Plusieurs voies existent pour former le système disque d’accrétion-trou noir. Typiquement,
on peut distinguer deux catégories : des coalescences de systèmes binaires (NS-
NS, NS-BH essentiellement) et certaines supernovae gravitationnelles. Ceci est représenté
schématiquement sur la Fig. 4.37.
En fait, les simulations montrent que les disques formés par les systèmes binaires
ont des temps de vie trop courts pour expliquer les sursauts γ longs. Dans ce cas, on
doit invoquer les collapsars, qui sont une certaine classe de supernovae gravitationnelles,
avec une étoile très massive et en rotation rapide. Ces deux critères expliquent pourquoi
l’on pense que seulement 1% des supernovae gravitationnelles sont des collapsars. Le coeur
s’effondre alors en trou noir tandis qu’une partie de la matière forme le disque d’accrétion,
comme indiqué sur la Fig. 4.38. Ce scenario est appuyé par le fait que l’on n’observe pas
de sursaut longs dans les galaxies elliptiques (qui n’ont plus d’étoiles massives ; cf Fig.
4.14).

4.6 Le moteur central 83
Fig. 4.37 – Différents scenarii permettant la création d’un disque d’accrétion autour d’un
trou noir stellaire.
Fig. 4.38 – Formation d’un disque d’accrétion et d’un jet dans le scenario d’un collapsar.

84 Sursauts Gamma
Fig. 4.39 – Courbe de lumière de GRB980326. La remontée à 10 jours est expliquée par
la présence simultanée d’une supernova.
L’hypothèse de collapsar est également confirmée par l’observation de GRB980326
dont la courbe de lumière est donnée par la Fig. 4.39. Si les sursauts sont bien associés
à certaines supernovae, la lumière de cette dernière, plus faible que celle du sursaut, doit
également apparaître. C’est ainsi que l’on explique la remontée observée sur la Fig. 4.39
après une dizaine de jours.
Toutefois, tous ces arguments ne tiennent que pour les sursauts longs. Pour les sursauts
courts, il semble naturel d’invoquer des disques formés par des systèmes binaires.
Des observations récentes par SWIFT ont permis, pour la première fois, d’observer les
contreparties optiques de deux sursauts courts. Il apparaît que l’un des deux est associé
à une galaxie elliptique (cf. Fig. 4.16) tandis que l’étude de l’autre a exclu la présence
simultanée d’une supernova. Ces résultats semblent donc bien indiquer que les sursauts
courts sont plutôt le résultat de la coalescence de systèmes binaires d’objets compacts.
Notons pour finir que l’observation d’ondes gravitationnelles devrait permettre de vérifier
cette hypothèse, les systèmes binaires en émettant, contrairement aux collapsars.

Chapitre 5
Étoiles à neutrons
5.1 Historique
Dans cette section, nous allons présenter brièvement quelques unes des grandes étapes
qui ont participé de la théorie et des observations des étoiles à neutrons. La plupart de
ces points seront repris plus en détail dans le reste du chapitre.
La découverte du neutron, par l’anglais Chadwick, date de 1932. C’est pratiquement
à cette époque que Landau et Chandrasekhar montrèrent, de façon indépendante, que
les naines blanches devaient avoir une masse maximale (cf Chap. 3). Le soir même de
l’annonce de la découverte du neutron, Landau suggère que des étoiles très denses, principalement
composées de neutrons, pourraient exister.
En 1934, Baade et Zwicky, émettent l’hypothèse que : “sous toute réserve, les supernovae
représenteraient des transitions entre des étoiles ordinaires et des étoiles à neutrons,
qui, dans leur état final, seraient formées de neutrons extrèmement comprimés.” Comme
nous l’avons vu au Chap. 3, cette idée est essentiellement exacte pour les supernovae
gravitationnelles.
Les premiers calculs théoriques de structure d’étoiles à neutrons sont dus à Oppenheimer
et Volkoff en 1939, dans un régime relativiste. Toutefois ces travaux tombent
provisoirement dans un oubli relatif car on réalise alors que, si les étoiles à neutrons ont
la même température que le soleil, elles seraient extrèmement difficiles à observer, au vu
de leur petite taille.
La fin des années 60 marqua un grand pas dans l’étude des étoiles à neutrons. Au
début de 1967, Pacini émet l’idée que la source d’énergie de la nébuleuse du crabe est une
étoile à neutrons magnétisée, en rotation. En juillet 1967, Hewish et son étudiante Bell
détectent le premier pulsar radio, découverte publiée en 1968 et qui valut le prix Nobel à
Hewish. En 1968, deux des pulsars les plus étudiés sont découverts : Vela et le pulsar du
Crabe, confirmant les hypothèses de Pacini ainsi que de Baade et Zwicky.
En 1969, la variation de la période du pulsar du Crabe est mesurée, confirmant une
prédiction de Gold concernant la perte d’énergie par rayonnement électromagnétique. La
même année on observe les pulsations du Crabe dans le domaine optique et X.
En 1971, sont découverts les premiers pulsars X, qui n’émettent que dans ces longueurs

86 Étoiles à neutrons
d’ondes. En 1974, le premier pulsar binaire est découvert par Hulse et Taylor. Cette
découverte aura de grandes répercutions en particulier dans le domaine de la relativité
générale et des ondes gravitationnelles.
Le premier pulsar milliseconde, d’une période P = 1.56 ms est découvert en 1982.
Comme vu au Chap. 3, l’émission de neutrinos par SN 1987A est détectée, confirmant que
la réaction de neutronisation de la matière a bien lieu dans les supernova : p+e − → n+νe.
La première étoile à neutrons isolée et qui n’est pas un pulsar, est détectée en 1996 par son
seul rayonnement thermique de surface. C’est l’une des étoiles à neutrons la plus proche
de la terre (120 pc).
En 1998, le premier pulsar X milliseconde est découvert et en 2002, le satellite XMM-
Newton mesure le paramètre de compacité d’une étoile à neutrons en obtenant le décalage
spectral gravitationnel de raies. La valeur obtenue est Ξ = 0.23, qui est en parfait accord
avec ce que l’on attendait (cf Chap. 1).
5.2 Équations de structure
Au Chap. 2, nous avons obtenu les équations permettant de déterminer la structure
d’un astre auto-gravitant, à température nulle et dans le régime newtonien. L’application
de ces équations au cas des étoiles à neutrons n’est pas raisonnable. En effet, ces dernières
sont bien plus compactes que les naines blanches et une description valable doit se faire
dans le cadre de la relativité générale.
5.2.1 La métrique
On va se placer dans le cas d’une étoile statique et à symétrie sphérique. En choisissant
les coordonnées de Schwarzschild, la géométrie de l’espace-temps est décrite par deux
fonctions purement radiale N (r) et A (r) via :
ds 2 = g αβ dx α dx β = −N 2 c 2 dt 2 + A 2 dr 2 + r 2 dθ 2 + sin θdφ 2 . (5.1)
Le calcul explicite du tenseur d’Einstein permet de montrer que seules les composantes
diagonales sont non nulles.
5.2.2 Le tenseur énergie-impulsion
En première approximation, nous allons considérer que l’étoile est composée uniquement
d’un fluide parfait. En relativité générale, ce dernier est défini par :
– sa densité d’énergie propre ρ.
– sa pression p.
– et sa quadrivitesse uα .
Le tenseur énergie impulsion est alors donné par :
T αβ
= ρ + p
c2
u α u β + pg αβ . (5.2)

5.2 Équations de structure 87
Compte tenu de la symétrie sphérique et de la staticité seule la composante u 0 de la
quadrivitesse est non nulle. Il en résulte que seules les composantes diagonales de T αβ
sont non nulles (compatible avec la mêrique !).
5.2.3 Le système TOV
Afin d’obtenir les équations de structure, on doit expliciter les equations d’Einstein :
G αβ = 8πG
c 4 T αβ . Dans notre cas, seules trois de ces équations sont indépendantes (les
composantes (θθ) et (φφ) sont équivalentes). Afin d’écrire le système sous une forme plus
élégante, on peut définir les deux variables auxiliaires suivantes :
m (r) telle que
A = 1 − 2Gm
c2 Φ (r) telle que
−1/2
Φ
N = exp
c
(5.3)
2
. (5.4)
Sous ces conditions, les équations d’Einstein se réduisent aux trois équations suivantes
(système de Tolman-Oppenheimer-Volkoff) :
dm
dr = 4πr2ρ (5.5)
dΦ
dr =
1 − 2Gm
c2 −1
Gm p
+ 4πG r
(5.6)
r r2 c2 dp
= − ρ +
dr p
c2
dΦ
. (5.7)
dr
La limite newtonienne de ce système s’obtient très facilement en faisant tendre c → ∞.
Il apparaît alors clairement que l’on retrouve les mêmes équations que celles dérivées pour
les naines blanches (cf. Eqs. 2.44 du Chap. 2). Les fonctions m et Φ apparaissent donc
comme les généralisations relativistes de la masse partielle et du potentiel gravitationnel,
respectivement.
5.2.4 Équation d’état
Pour intégrer le système, on doit se donner la relation entre densité ρ et pression p,
via une équation d’état. En fait les étoiles à neutrons se refroidissent relativement vite
après leur formation (quelques heures à quelques semaines) et on fera l’approximation
T = 0. De plus, on va supposer que toutes les réactions nucléaires sont à l’équilibre.
On se trouve alors dans l’approximation dite de la matière froide catalysée, où toutes
les variables d’états dépendent d’une seule fonction, que nous choisirons comme étant la
densité baryonique n, dans le référentiel de la matière.
Par exemple, si on suppose que l’étoile est un mélange de protons, de neutrons et
d’électrons à température nulle, on voit que toutes les densités peuvent se déduire de n
car on a :

88 Étoiles à neutrons
– np + nn = n, définition de n.
– np = ne : condition de neutralité électrique.
– µp + µe = µn, qui exprime le fait que la relation n ↔ p + e − est à l’équilibre.
On appelle indice adiabatique la quantité :
Γ (n) = n
p
dp
. (5.8)
dn
Dans l’approximation de la matière froide catalysée le système de TOV s’écrit :
dm
dr = 4πr2 dΦ
dr
ρ (n) (5.9)
=
1 − 2Gm
c2 −1
Gm (n)
+ 4πGp r
r r2 c2 (5.10)
dn
dr
=
(n) + p (n) /c2 n dΦ
−ρ .
p (n) Γ (n) dr
(5.11)
On peut mentionner une famille particulière d’equations d’état : les équations d’état
polytropiques, où la pression est une puissance de la densité baryonique. On a alors :
p (n) = κn Γ
(5.12)
ρ (n) =
κnΓ c2 (Γ − 1) + mbn, (5.13)
où l’on retrouve bien le cas newtonien quand c → ∞. L’indice adiabatique Γ est alors une
vraie constante qui ne dépend plus de n.
5.2.5 Intégration du système et raccord
Étant donné une équation d’état, le système de TOV peut s’intégrer depuis r = 0
jusqu’à la surface r = R de l’étoile, défini comme le rayon tel que p (R) = 0. Au centre,
on doit imposer que m (r = 0) = 0, afin que la métrique soit régulière (cf. Eq. (5.3)).
Le potentiel Φ n’apparaît que via sa dérivée et on peut donc intégrer le système en
imposant que Φ = 0. Toutefois, à l’extérieur de l’étoile (pour r > R), la mêrique doit
coïncider avec celle de Schwarzschild et donc, pour raison de continuité on doit avoir, à
la surface de l’étoile :
Φ (r = R) = c2
2 ln
1 −
2Gm (R)
Rc2
, (5.14)
qui permet de fixer Φ de façon unique.
Enfin, la valeur de la densité centrale n (r = 0) = nc permet de construire des objets
de différentes masses.

5.2.6 Grandeurs globales
5.2 Équations de structure 89
Une fois la solution du système de TOV connue, on peut calculer plusieurs grandeurs
globales. Par exemple, la masse gravitationnelle est donnée par :
M =
R
0
4πr 2 ρ (r) dr = m (R) . (5.15)
Compte tenu du raccord (5.14), cela signifie que M est la masse mesurée loin de l’objet,
typiquement en observant le mouvement d’un corps en orbite autour de ce dernier et en
utilisant la troisième loi de Kepler.
On peut également obtenir le nombre total de baryon contenus dans l’étoile par
A =
R
0
4πr 2 A (r) n (r) dr (5.16)
où le facteur A (r) représente l’effet de dilatation des longueurs en relativité. La masse
baryonique de l’étoile est alors simplement Mb = mbA et est la masse qu’aurait les constituants
de l’étoile si ils n’interagissaient pas. L’énergie de liaison se définit alors naturellement
par :
Eliaison = M − Mb
(5.17)
et est bien entendue négative.
On peut également mesurer le décalage spectral gravitationnel entre la surface de
l’étoile et un observateur situé à l’infini (effet Einstein). Si un observateur situé à la
surface émet des signaux à une période TR cela correspond à un écart de temps coordonné
∆ . Le temps propre de l’observateur à l’infini coïncide avec le temps coordonné si
N(r=R)
1
bien que ce dernier mesure une période T∞ =
N (r = R) TR. Le décalage spectral défini
par z = T∞ − TR
TR
est donc :
z =
où Ξ est le paramètre de compacité de l’étoile.
5.2.7 Masse maximale
1 − 2GM
Rc2 −1/2 − 1 = (1 − 2Ξ) −1/2 − 1, (5.18)
Le système de TOV se comporte qualitativement de façon différente de son équivalent
newtonien dans le sens que les objets auto-gravitants y admettent une masse maximale.
Certes, au Chap. 2, nous avons vu que les naines blanches avaient une masse maximale.
Cet effet était lié au fait que quand la masse augmentait, l’indice adiabatique Γ → 4/3,
valeur critique qui n’admet qu’une seule valeur de la masse. Toutefois, les séquences à
Γ = 4/3, fixé, n’admettent pas de masse maximale (i.e. les courbes de la Fig. 2.7 se
prolongent vers les grandes masses).

90 Étoiles à neutrons
M in solar masses
4
3
2
1
Γ=3
Γ=2.5
Γ=2
0
0 10 20 30
n in nuclear density
c
M in solar masses
40
30
20
10
0
0 5 10 15
n in nuclear density
c
Fig. 5.1 – Masse gravitationnelle en fonction de la densité centrale, pour une équation
polytropique. A gauche les configurations relativistes admettent un maximum, ce qui n’est
pas le cas pour leur équivalent newtonien.
La situation est toute différente en tenant compte de la relativité générale. Tout
d’abord, il semble que les observations des étoiles à neutrons suggèrent une valeur de
l’indice Γ ≈ 2 − 3. Si l’on porte la masse gravitationnelle en fonction de la densité centrale,
on voit que, même à Γ fixé cette dernière admet une valeur maximale. Ceci est
clairement visible sur la Fig. 5.1. On y a également porté les courbes newtoniennes qui
se comportent de façon tout à fait différente, n’admettant pas de masse maximale. On
peut mentionner que les configurations se situant après le maximum sont dynamiquement
instables.
Quelques unes des grandeurs physiques des étoiles polytropiques sont présentées sur
la Fig. 5.2, comme l’énergie de liaison ou la compacité. Terminons en mentionnant que
l’état de la matière aux densités extrèmes qui rêgnent dans les étoiles à neutrons est mal
connu, ainsi que l’équation d’état qui la régit. Les modèles polytropiques que nous avons
construit sont donc sans doute de piètres approximations. Le problème de l’équation d’état
sera discuté à la Sec. 5.4.
5.3 Pulsars
5.3.1 Découverte
Au milieu des années 1960, Hewish, de l’université de Cambridge, lance un programme
d’observations en radio. L’idée est de se baser sur le phénomène de scintillation radio par
le milieu interstellaire, pour détecter des objets quasi-ponctuels (voir Chap. 4 pour plus
de détails sur la scintillation). L’objectif avoué de Hewish est alors de détecter des objets
Γ=3
Γ=2.5
Γ=2

n/n c
Compacité Ξ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Γ=2 Γ=3
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r/R
0.4
0.3
0.2
0.1
Γ=3
Γ=2.5
Γ=2
0
0 5 10 15 20
n in nuclear density
c
5.3 Pulsars 91
Mass in solar masses
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Γ=2
Γ=2.5
10 12 14 16 18 20
Radius in km
0 5 10 15 20
n c in nuclear density
Fig. 5.2 – Quelques unes des grandeurs physiques obtenues avec des équations d’état
polytropiques. En haut à gauche : profils de densité En haut à droite : masse totale en
fonction du rayon. En bas à gauche : compacité Ξ en fonction de la densité baryonique
centrale. En bas à droite : énergie de liaison en fonction de la densité centrale.
M liaison
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
Γ=3
Γ=2.5
Γ=2
Γ=3

92 Étoiles à neutrons
Fig. 5.3 – Notes d’observation montrant la première détection d’un pulsar par J. Bell en
1967.
de type quasar (des trous noirs supermassifs au centre de galaxies). Le télescope radio
spécialement conçu à cet effet entre en action en juillet 1967.
Jocelyn Bell, une etudiante de Hewish, est en charge des observations. Deux mois après
le début de celles-ci, des fluctuations importantes dans le signal du radiotélescope sont
détectées (cf. Fig. 5.3). Assez vite, il apparaît que ces variations ne sont pas dues à de la
scintillation et ne proviennent pas d’interférences de type terrestre. Au mois d’octobre, les
observateurs réalisent que la source est périodique, avec une période très stable de 1.337 s.
La durée de chaque pulsation est de seulement 16 ms., ce qui implique une source de la
taille approximative d’une planête. Toutefois, vu la vitesse de rotation, il était difficile
d’imaginer un astre tournant aussi rapidement. Le groupe de Hewish finit par envisager
une source extra-terrestre et ce premier pulsar fut même nommé, pendant un temps, LMG
pour “little green men”. Jocelyn Bell alla jusqu’à déclarer, non sans humour : “here was
I trying to get a Ph.D. out of a new technique, and some silly lot of little green men had
to choose my aerial and my frequency to communicate with us.”
En poursuivant les observations, quatre autres sources pulsantes, des pulsars, furent
bientôt découvertes et le premier article fut publié sur le sujet en février 1968. On y
mentionne des oscillations de naines blanches ou d’étoiles à neutrons comme source possible.
Quelques mois plus tard, une explication plus satisfaisante est proposée par Gold,
celle d’un astre magnétisé dont l’axe magnétique selon laquelle la radiation est émise ne

5.3 Pulsars 93
Fig. 5.4 – “L’effet phare” expliquant le phénomène de pulsar.
coïncide pas avec l’axe de rotation, créant un “effet de phare” (cf. Fig. 5.4). Nous verrons
que seules des étoiles à neutrons sont compatibles avec les vitesses de rotation observées.
Cette découverte vaudra à Hewish le prix Nobel 1974.
5.3.2 Nature de la source
Depuis les années 1960, deux principaux faits expérimentaux sont venus appuyer le
fait que les pulsars étaient bien des étoiles à neutrons en rotation :
– le fait que l’on observe des période allant de la milliseconde à la dizaine de secondes.
– le fait que la période augmente lentement.
Supposons que la source soit un astre en rotation. En théorie newtonienne, la vitesse
de rotation est limitée par le fait que, à l’équateur, la force centrifuge doive être plus
petite que la gravitation, sans quoi l’astre serait détruit. La force centrifuge est donnée
par Ω2R et le poids par GM
. La condition s’écrit donc, en terme de densité moyenne et
2
de période :
R
P ≥
3π
ρG
≈ 3
√ ρG . (5.19)
Pour une naine blanche typique, ρ ≈ 10 9 kg m −3 ce qui donne P ≥ 10s. Même en
poussant tous les facteurs dans le bon sens, on n’est loin d’atteindre des périodes de l’ordre
de la milliseconde. Le même critère exclut encore plus fermement un système binaire de
deux naines blanches. Des oscillations de naines blanches sont également à exclure, se
produisant avec des périodes de l’ordre de la seconde.
L’équation (5.19), appliquée au cas d’une étoile à neutrons typique, ρ ≈ 10 15 kg m −3 ,
permet de montrer qu’une étoile à neutron peut supporter des périodes de rotation de
l’ordre de la milliseconde. De plus, on peut exclure la présence d’un système binaire d’étoile
à neutrons. En effet, ce système émettrait une importante quantité d’onde gravitationnelles,
ce qui aurait pour effet de faire diminuer la période, contrairement à ce qui est

94 Étoiles à neutrons
Fig. 5.5 – Quelques exemples de pulses radio. A gauche : PSR B0329+54, pulsar standard
P = 0.71 s. Au milieu le pulsar Vela P = 89 ms. A droite : le pulsar du Crabe P = 33 ms.
Fig. 5.6 – Modèle du dipôle magnétique pour les pulsars. La valeur du champs magnétique
Bp au pôle peut être déduite de la valeur du dipôle magnétique m.
observé. Enfin des oscillations d’étoiles à neutrons se font à des fréquences trop grandes
pour expliquer la majorité des pulsars dont la période se situe autour de la seconde.
Une étoile à neutron magnétisée, en rotation, est donc bien l’explication la plus naturelle
au phénomène des pulsars. Les émissions radio de trois pulsars sont présentées sur la Fig. 5.5.
5.3.3 Modèle du dipôle magnétique
Le modèle le plus simple pour décrire un pulsar est de considérer que ce dernier est
un simple dipôle magnétique, faisant un angle α avec l’axe de rotation (cf Fig. 5.6). Soit
Bp la valeur du champs magnétique au pôle de l’étoile à neutron et R son rayon. Ω est la
vitesse angulaire de rotation de l’objet.

5.3 Pulsars 95
Sous l’effet de la rotation, le dipôle magnétique va rayonner. Les équations de Maxwell
permettent de montrer que l’énergie va diminuer comme :
˙E = − 2π
3c2 Ω
µ0
4 R 6 B 2 p sin 2 α = − (2π)5
3c2 µ0
1
P 4 R6 B 2 p sin 2 α. (5.20)
Le réservoir d’énergie est la rotation de l’étoile à neutron, si bien que E = 1
2 IΩ2 qui
se différencie en :
˙E = IΩ ˙ Ω = −I (2π) 2 P˙
. (5.21)
P 3
Il apparaît donc qu’à cause de la perte d’énergie par rayonnement, les pulsars doivent
ralentir, conformément à ce qui est observé. De plus, en égalant (5.20) et (5.21), on peut
estimer le champs magnétique via :
B 2 p sin 2 α = 3c2 Iµ0
(2π) 3
1
P P ˙ . (5.22)
R6 Dans le cas du pulsar du Crabe, P = 33 ms et ˙
P = 4.16 10 −13 . Si on suppose l’étoile
à neutron homogène, de masse M = 1.5 M⊙ et de rayon R = 12 km, ce qui fait I =
2/5MR 2 = 1.5 10 38 kg m 2 , on obtient :
Bp sin α ≈ 5.3 10 8 T = 5.3 10 12 G. (5.23)
De plus, on peut intégrer (5.22) de façon à obtenir :
1
2 P
P =
P0
(2π)3
3c2 R
Iµ0
6 B 2 p sin 2 αT. (5.24)
Si on suppose que P0 ≪ P et que l’on remplace Bp par son expression, on trouve l’age
caractéristique du pulsar :
T = 1 P
. (5.25)
2 P ˙
L’application de (5.25) au pulsar du Crabe permet d’obtenir : T ≈ 1250 ans qui est en
bon accord avec le fait que la supernova associée ait été observée en 1054.
5.3.4 Diagramme P ˙
P
La Fig. 5.7 montre les valeurs de P et de ˙
P pour quelques 1500 pulsars. Les lignes d’âge
constant et de champs magnétique constant sont également portées (valeurs obtenues par
(5.25) et (5.22), respectivement). La ligne de mort délimite la région en dessous de laquelle
les modèles théoriques prédisent l’absence d’émission radio.
Il apparaît clairement qu’il existe deux populations de pulsars : les pulsars “habituels”
avec des périodes de l’ordre de la seconde et des champs magnétiques de 10 12 G et la classe
dite des pulsars milliseconde, dont les champs magnétiques sont beaucoup plus faibles. On

96 Étoiles à neutrons
Fig. 5.7 – ˙
P en fonction de P pour quelques 1500 pulsars. Ceux entourés d’un cercle se
trouvent dans des systèmes binaires.

5.3 Pulsars 97
Fig. 5.8 – Représentation schématique des deux régions susceptibles de produire le rayonnement
des pulsars.
pense qu’il est difficile, voir impossible de former des étoiles à neutrons avec des vitesses de
rotation aussi importantes que celles observées pour les pulsars milliseconde. Or, comme
vu précédemment, la période augmente avec le temps. Ce problème trouve sa solution
en remarquant que pratiquement tous les pulsars milliseconde sont dans des systèmes
binaires (cercles sur Fig. 5.7). On pense que les pulsars milliseconde ont été accélérés par
transfert de masse depuis leur compagnon : c’est le phénomène dit de recyclage. Toutefois,
certains pulsars milliseconde sont isolés et on ne connaît pas encore la façon dont de tels
systèmes ont pu se former.
5.3.5 Mécanisme d’émission
Un des problèmes encore ouvert à propos des pulsars concerne la nature du mécanisme
d’émission. La situation n’est pas tellement plus claire à l’heure actuelle qu’elle ne l’était
au moment de la découverte des pulsars. Il semble que la source d’énergie soit l’intense
champs électrique généré par la rotation du champs magnétique qui est capable d’accélérer
les particules émises par la surface de l’étoile. Il existe plusieurs familles de mécanismes
d’émission, dont deux sont représentées schématiquement sur la Fig. 5.8 :
– Le modèle de la calotte polaire : la région d’émission se trouve juste au du pôle
magnétique. Le champs magnétique y est intense et la création de paires se fait

98 Étoiles à neutrons
Fig. 5.9 – Spectre d’émission du pulsar Vela.
principalement via interaction avec les lignes de champs :
γ + B → e + + e − + B. (5.26)
– Le modèle du “outer gap” : la région d’émission se trouve à la limite des lignes de
champs fermées. Le champs électrique y est moins intense que dans le modèle de
la calotte polaire car on n’est plus loin de la surface de l’étoile. On pense que la
réaction principale qui gère l’émission est :
γ + γ → e + + e − . (5.27)
Il n’est pas impossible que les deux types de mécanismes se produisent de façon simultanée
mais seul le modèle du “outer gap” semble pouvoir expliquer les émissions à hautes
énergies observées, comme celles du pulsar VELA de la Fig. 5.9.
5.4 Le problème de l’équation d’état
Les étoiles que nous avons construites à la Sec. 5.2 ne sont pas extrèmement réalistes
dans le sens que l’équation d’état polytropique est trop simple pour décrire la réalité de
l’intérieur des étoiles à neutrons. Toutefois, d’un point de vue théorique, il est difficile
d’étudier les propriétés de la matière à des densités de l’ordre de la densité nucléaire. Ceci

5.4 Le problème de l’équation d’état 99
Fig. 5.10 – Différents modèles d’intérieurs d’étoiles à neutrons.
vient du fait que l’interaction dominante est l’interaction forte. C’est une théorie beaucoup
plus complexe que l’électromagnatisme quantique, en particulier car on doit inclure des
parties tensorielles, des couplages spin-orbite et les contributions des interactions à trois
corps. De plus les effets relativistes doivent être pris en compte.
D’un point de vue expérimental, les conditions physiques au sein des accélérateurs
de particules, sont assez différentes de celles que l’on rencontre à l’intérieur des étoiles à
neutrons. En particulier :
– Le rapport N/Z du nombre de neutrons par rapport au nombre de protons, est de
l’ordre de 10 dans les étoiles à neutrons (d’où leur nom) tandis que sur terre on ne
peut obtenir que N/Z ≈ 1.5.
– La température lors des collisions est également bien plus importante, de l’ordre de
T ≈ 10 12 K, contre seulement quelques 10 7 K dans les étoiles à neutrons.
On doit donc procéder à d’importantes extrapolations pour décrire la matière dans les
étoiles à neutrons, extrapolations bien entendu sources de grandes incertitudes.
La grande diversité des possibilités est illustrée sur la Fig. 5.10. On y voit quelques
uns des modèles possibles pour l’intérieur des étoiles à neutrons comme :
– le modèle traditionnel constitué d’un mélange de neutrons, protons et électrons.
– le modèle avec hypérons, qui sont des nucléons lourds.
– des modèles avec l’apparition de mésons (particules composées de deux quarks).
– des modèles de quarks déconfinés, avec en particulier le cas des étoiles étranges,

100 Étoiles à neutrons
Fig. 5.11 – Structure possible d’une étoiles à neutrons.
constituées d’un plasma de quarks u,d et s, sur lequel nous reviendrons en 5.6.1.
La vision la plus “classique” d’une étoile à neutrons est représentée sur la Fig. 5.11.
On peut y voir les différentes zones suivantes :
– la croûte externe où les noyaux forment un cristal solide et les électrons sont
dégénérés et relativistes. Une alternative au cristal serait la présence d’une atmosphère
gazeuse.
– A plus haute densité des neutrons libres apparaissent et l’on a affaire à un cristal
de noyaux riches en neutrons, avec un gaz de neutrons superfluides et d’électrons
dégénérés.
– Une zone interne où il n’existe plus de noyaux mais où neutrons et protons sont
superfluides. Les protons sont également supraconducteurs et les électrons dégénérés.
– Il est possible qu’un coeur soit présent au centre de l’étoile, coeur dont la composition
est plus que spéculative (pions, hadrons, quarks etc...)
5.5 Contraintes observationnelles
5.5.1 Masse maximale
On connait 80 pulsars membres de systèmes binaires. Quelques uns ont pour compagnon
une autre étoile à neutrons. En mesurant l’effet du compagnon sur l’émission radio
du pulsar, il est quelquefois possible de déterminer la masse des composants du système.

5.5 Contraintes observationnelles 101
Fig. 5.12 – Masses des étoiles à neutrons mesurées pour des pulsars en système binaire
(les cinq systèmes du haut sont des binaires de deux étoiles à neutrons et ceux du bas
étoile à neutrons - naine blanche).
Les résultats obtenus sont présentés sur la Fig. 5.12. Il apparaît alors que les valeurs
mesurées sont relativement proches de M = 1.4M⊙.
Il est alors possible de calculer les masses attendues pour différentes équations d’états
en utilisant le système de TOV et de comparer les résultats avec les mesures observationnelles.
Sur la Fig. 5.13, on a porté la masse en fonction du rayon pour plusieurs équations
d’états différentes (qui varient selon l’approche théorique ou la composition chimique). Il
apparaît que la plupart des modèles, y compris ceux de matière étrange (courbes vertes),
ne sont pas très contraignants sur la valeur de la masse et peuvent tous s’accommoder de
masses comparables à celles observées. La limite de causalité est obtenue en demandant
que la vitesse du son dans le fluide soit plus petite que la vitesse de la lumière.
On peut noter que dans le papier original de Oppenheimer et Volkoff de 1939, la source
de pression était la pression de dégénerescence des neutrons. Dans ce cas, la masse maximale
est de 0.7 M⊙, qui est exclue par les observations. La stabilité des étoiles à neutrons
est bien assurée par l’interaction forte et non pas par la pression de dégénérescence des
neutrons, contrairement à ce que l’on peut lire ça et là...

102 Étoiles à neutrons
Fig. 5.13 – Masse en fonction du rayon pour différentes équations d’état. La matière
habituelle est représentée par les courbes noires et la matière étrange par les courbes
vertes (SQM). Les différentes contraintes observationnelles sont également représentées
(voir le corps du texte pour plus de détails).
5.5.2 Influence de la rotation
Le système de TOV suppose que l’on se trouve en présence d’une étoile à symétrie
sphérique. Si cette dernière est en rotation rapide, comme pour les pulsars milliseconde, ce
n’est évidemment plus le cas et l’étoile n’est plus qu’à symétrie axiale (voir, par exemple,
Fig. 5.14). Si l’on veut tenir compte de cela, il faut utiliser une métrique plus générale
que (5.1) :
ds 2 = g αβ dx α dx β = −N 2 c 2 dt 2 + B 2 r 2 sin 2 θ dφ − N φ dt 2 + A 2 dr 2 + r 2 dθ 2 . (5.28)
On doit alors résoudre les équations d’Einstein pour les coefficients A, B, N φ et N,
fonctions de r et θ. Le système obtenu n’est pas aussi simple que celui de TOV et fait
intervenir des équations de second ordre de type elliptique. Il doit, bien entendu, être résolu
numériquement, par exemple en supposant une rotation rigide. On peut ainsi construire
des étoiles en rotation rapide, comme celle de la Fig. 5.14.
Il existe alors une vitesse de rotation maximale au dessus de laquelle l’étoile perd de la
matière à l’équateur. En effet, la force centrifuge y devient plus importante que la gravité.
Nous avons déjà discuté cet effet en 5.3.2, dans la théorie newtonienne. La résolution
numérique des équations d’Einstein permet de trouver la valeur relativiste de la vitesse
de rotation maximale, la vitesse keplérienne ΩK. Lorsque Ω ≈ ΩK, l’étoile développe un

5.5 Contraintes observationnelles 103
Fig. 5.14 – Profil d’une étoile à neutrons en rotation rapide (proche de la limite de perte
de masse), pour une équation d’état polytropique.
point anguleux à l’équateur, indiquant l’existence de perte de masse, comme on peut le
voir sur la Fig. 5.14.
On peut obtenir la valeur de ΩK pour différentes équations d’état et demander qu’elle
soit plus grande que celle des pulsars les plus rapides, à savoir ceux d’une période de
l’ordre de P = 1.5 ms.. La contrainte ainsi obtenue est indiquée sur la Fig. 5.13.
La rotation peut également augmenter la masse maximale autorisée, la force centrifuge
aidant la pression à supporter le poids de l’étoile à neutrons. L’influence de la rotation
est clairement visible sur la Fig. 5.15 où l’on compare la relation masse-rayon pour une
étoile sans rotation (courbe de gauche) et pour une étoile en rotation maximale (courbe
de droite).
Enfin, on peut mentionner que la vitesse de rotation maximale pourrait être limitée
par l’excitation de modes instables du fluide. Si de tels modes se développent, cela pourrait
provoquer un freinage de l’étoile par émission d’ondes gravitationnelles.
5.5.3 Mesure de la compacité
Contrairement aux naines blanches, les étoiles à neutrons ne rayonnent pas comme
des corps noirs. Même si l’on a détecté l’émission thermique d’une dizaine d’objets, cette
dernière est difficile à modéliser car dominée par l’atmosphère de l’étoile où rêgne, en
particulier, un intense champs magnétique, de l’ordre de 10 12 G.
Dans un unique cas, en 2002, on a pu détecter des raies d’absorption à la surface de
l’objet. Il s’agit de la binaire X EXO 0748-676, système composé d’une étoile à neutrons
qui accrète de la masse depuis un compagnon remplissant son lobe de Roche. Les raies
observées sont celles du fer et de l’oxygène fortement ionisé (cf. Fig. 5.16). Le décalage
gravitationnel spectral mesuré est de z = 0.35. Compte tenu de la formule (5.18), on peut

104 Étoiles à neutrons
Fig. 5.15 – Relation masse-rayon pour une étoile sans rotation (courbe de gauche) et une
étoile à rotation maximale (courbe de droite). Les densités centrales sont portées sur les
courbes, en multiples de 10 18 kg m −3 .
en déduire la compacité :
Ξ = GM
= 0.23 (5.29)
Rc2 qui est consistant avec les valeurs typiques de M = 1.4 M⊙ et R = 9 km.
5.5.4 Tremblements d’étoile à neutrons
Dans le modèle du dipôle magnétique que nous avons vu à la Sec. 5.3.3, la fréquence
d’émission des pulsars devrait diminuer régulièrement sous l’effet du freinage magnétique.
Or, en certaines occasions, des pulsars subissent des augmentations soudaines de période.
On retrouve une évolution dûe au freinage magnétique sur des échelles de temps de l’ordre
du mois. Ces évènements son connus sous le nom de “glitch”. Un tel évènement peut
être vu sur la Fig. 5.17, où la variation de la fréquence due au freinage magnétique a été
soustraite, ne montrant que le glitch. La Fig. 5.18 est une autre illustration du phénomène.
Les deux pulsars les plus célèbres où ce type de phénomène est observé sont les pulsars
Vela et du Crabe avec des variations relatives de vitesse angulaire de ∆Ω/Ω ≈ 10 −6 et 10 −8
respectivement. L’explication des glitches semble trouver sa source dans le fait que l’étoile
à neutrons est constituée de deux composantes qui ne sont que faiblement couplées :
– une croûte solide dont nous observons la rotation.
– un intérieur fluide qui peut être en rotation à une vitesse différente.
Il existe au moins deux modèles possibles pour expliquer les glitches. D’une part on
peut invoquer la rigidité de la croûte. Dans ce modèle, l’étoile est légèrement aplatie par

5.5 Contraintes observationnelles 105
Fig. 5.16 – Spectre de l’étoile à neutrons de la binaire X EXO 0748-676 obtenu par
XMM-Newton.
Fig. 5.17 – Glitch du pulsar PRS B1046-58.

106 Étoiles à neutrons
Fig. 5.18 – Représentation schématique de la vitesse de rotation au cours du temps pour
un pulsar subissant une série de glitches.
la rotation mais tandis que l’étoile ralentit, la croûte ne peut pas se déformer de façon
continue et ceci crée une tension entre les deux composantes. Lors d’un glitch, la tension
est trop forte pour la croûte qui se “casse” brusquement, causant la variation brusque de
la vitesse de rotation.
Le second modèle repose sur la présence d’un intérieur superfluide. Tandis que la
croûte ralentit, une tension se crée entre la composante superfluide et la croûte. A un
moment donné, cette force est suffisante pour provoquer un brusque transfert de moment
cinétique entre la composante superfluide et la croûte, provoquant un glitch.
Il semble qu’un modèle basé uniquement sur la rigidité ne soit pas suffisant pour expliquer
les glitches du pulsar Vela. L’observation de ce dernier semble être un indice précieux
quand à la présence d’une composante superfluide à l’intérieur de l’étoile à neutrons.
5.5.5 Scénario de formation
Si la formation standard des étoiles à neutrons se fait bien selon le processus de
supernovae de type gravitationnel, on doit pouvoir associer certains restes de supernovae
avec la présence d’étoiles à neutrons. Une des confirmations les plus convaincantes est
sans doute la détection, dès 1968, d’un pulsar dans la nébuleuse du Crabe, reste de la
supernova de 1054. On peut également mentionner la supernova de 1987 dont les neutrinos
provenant de la neutronisation de la matière ont été détectés. Toutefois, l’association n’est
pas toujours facile à confirmer tant les propriétés des étoiles à neutrons nouvellement
formées peuvent être différentes. Citons pas exemple la possibilité qu’elles ne soient pas
des pulsars, ou du moins que leur jet ne pointe pas dans notre direction. Il est également

5.5 Contraintes observationnelles 107
Indice Nombre
Pulsar + Nébuleuse X 11
Source X ponctuelle + Nébuleuse X 3
Nébuleuse X et radio 7
Nébuleuse radio 6
“Soft γ repeater” 3
Source X ponctuelle 9
Tab. 5.1 – Nombre d’association possibles entre des restes de supernovae et des étoiles à neutrons,
pour des critères de moins en moins contraignants (basé sur un article de Helfand).
Fig. 5.19 – Vitesse de pulsars en fonction de leur champs magnétique.
possible, et nous y reviendrons plus tard, que l’étoile à neutrons ai été éjectée du reste
de la supernovae, rendant l’association difficile à faire. Le Tab. 5.1 présente le nombre
d’associations possibles, selon des critères de moins en moins forts.
Un autre indice quand à la formation des étoiles à neutrons peut être vu sur la Fig.
5.19. On y a porté la vitesse d’un échantillon de pulsars en fonction de leur champs
magnétique. Il apparaît que les vitesses moyennes sont de l’ordre de 500 km s −1 , alors que,
pour des étoiles standard, cette valeur est plutôt de l’ordre de 25 km s −1 . Ces vitesses
importantes sont possiblement le signe de la naissance violente des étoiles à neutrons
au sein des supernovae. Il est en particulier possible que ces vitesses s’expliquent par
l’excitation d’une instabilité dipolaire comme celle de la Fig. 3.23 (voir Chap. 3 pour plus
de détails).

108 Étoiles à neutrons
5.6 Questions ouvertes
5.6.1 Des étoiles étranges ?
Les étoiles étranges sont parmi les alternatives les plus intéressantes au modèle classique
des étoiles à neutrons. Au lieu d’avoir affaire à une matière composée essentiellement
de neutrons, il est possible que les quarks soient déconfinés et que l’état fondamental de
la matière soit alors un mélange d’une quantité égale de quarks u, d et s (d’où le nom
d’étoiles étranges), ainsi que d’une fraction d’électrons. La réalité de cette proposition
n’est pas encore avêrée mais si les étoiles à neutrons étaient vraiment des étoiles étranges,
cela aurait d’importantes répercutions sur leur structure.
En particulier, la vitesse de rotation maximale pourrait être plus élevée. Comme nous
l’avons vu en Sec. 5.5.2, cette dernière pourrait être limitée par l’excitation d’une instabilitée
du fluide. Il s’avère que cette instabilité peut être réduite par la viscosité du fluide.
Or on pense que la matière étrange pourrait êre plus visqueuse que la matière normale
et donc que les étoiles étranges pourraient être en rotation plus rapide, sans pour autant
ralentir par émission d’ondes gravitationnelles.
Une autre différence importante est la relation entre la masse et le rayon. Typiquement,
pour les étoiles à neutrons, la masse est une fonction décroissante du rayon tandis que
c’est le contraire dans le cas de la matière étrange, comme on peut le voir sur la Fig. 5.13.
En particulier, on peut voir que seules des étoiles étranges pourraient avoir des rayons
R ≤ 8 km. Malgré quelques affirmations, démenties depuis, aucun rayon aussi petit n’a
été mesuré pour l’instant.
Enfin, l’équation d’état de la matière étrange provoque un saut de densité à la surface
de l’étoile, contrairement à la matière habituelle où celle-ci tend vers 0 (voir les profils de
densité sur la Fig. 5.20). Ce saut de densité pourrait avoir des implications observationnelles
permettant de discriminer entre étoiles à neutrons et étoiles étranges, en particulier
par des différences de propriétés spectrales.
5.6.2 Sursauts récurrents de γ mous (SGR) et magnétars
Les SGR (pour Soft Gamma-ray Repeater) se rapprochent des sursauts γ habituels
et n’ont pas été immédiatemment reconnus comme une classe a part. Comme leur nom
l’indique, ils émettent de l’énergie dans des longueurs d’ondes plus grandes que les sursauts
typiques, plutôt dans le domaine des X durs que des rayons γ. De plus, ce sont des
évènements qui connaissent plusieurs épisodes d’émission successifs, avec des périodes
très variables, de quelques centaines à quelques épisodes tous les dix ans. Ceci implique
que la source survive à l’émission contrairement aux sursauts γ typiques (voir Chap. 4).
La courbe de lumière du premier SGR, en date du 5 mars 1979, est présentée sur la
Fig. 5.21. On interprête la période de 0.8 s. visible dans le signal, comme la période de
rotation de l’étoile à neutrons.
Le modèle le plus en vogue pour expliquer les SGR repose sur la présence d’une étoile
à neutrons jeune au champs magnétique très intense, de l’ordre de 10 15−16 G, soit 4 ordres

ρ [10 14 g cm -3 ]
14
12
10
8
6
4
2
5.6 Questions ouvertes 109
0
0 2 4 6 8 10 12
r [km]
Fig. 5.20 – Profiles de densité pour une étoile étrange (courbe pleine noire) et une étoile
polytropique de même masse (courbe tiret rouge).
Fig. 5.21 – Courbe de luminosité du SGR en date du 5 mars 1979.

110 Étoiles à neutrons
Fig. 5.22 – Position du SGR du 5 mars 1979 par rapport au reste de supernova N49.
Le fait que la source soit excentrée semble indiquer que l’étoile à neutrons a une vitesse
propre importante.
de grandeur de plus que les pulsars. On parle alors de magnétar. L’association d’au moins
un SGR avec un reste de supernova, N49, semble confirmer ce fait (voir Fig. 5.22).
On pense que le champs magnétique des magnétars vient de l’effet dynamo. Il s’agit
d’un couplage complexe entre le fluide de l’étoile et le champs magnétique qui peut augmenter
ce dernier de façon très importante (on pense que les champs magnétiques terrestres
et solaires sont également dus à cet effet). Pour que l’effet dynamo fonctionne, dans
le cas des étoiles à neutrons, il faut, que la période de rotation initiale soit très courte, en
particulier plus courte que celles observées pour les pulsars. Mais cet état ne peut durer
longtemps, l’étoile ralentissant par freinage magnétique qui, dans le cas des magnétars est
très efficace. On pense que la rotation rapide ne peut durer que quelques secondes, ce qui
est toutefois suffisant pour produire un champs magnétique de 10 16 G qui perdurera une
fois que l’étoile aura ralenti.
Pour expliquer les épisodes d’émission, on invoque un couplage entre la croûte de
l’étoile et le champs magnétique, un peu comme pour les glitches des pulsars. Les sursauts
se produisent quand le couplage induit une contrainte trop forte sur les lignes de
champs magnétique, provoquant une brusque émission d’énergie et un réarrangement de
ces dernières. Notons que c’est un évènement de ce type qui, le 27 décembre 2004, a été
responsable de l’émission la plus énergétique de rayons γ jamais observée. Il s’agissait
d’un sursaut de SGR 1806-20 qui satura tous les satellites γ en orbite (voir Fig. 5.23) , à
l’exception d’un satellite russe qui se trouvait dans l’ombre de la terre et qui détecta les
γ réfléchis par la lune !

5.6 Questions ouvertes 111
Fig. 5.23 – Sursaut de SGR 1806-20 en date du 27 décembre 2004, observé par le satellite
INTEGRAL, qui fut saturé par l’émission.

112 Étoiles à neutrons

Chapitre 6
Trous noirs
6.1 Introduction
Nous avons vu au Chap. 3 que les étoiles très massives devaient terminer leur vie en
formant un trou noir. Nous avons également montré au Chap. 5, que les étoiles à neutrons
ne pouvaient pas avoir une masse arbitrairement grande. Que se produit-il alors quand
une étoile à neutron dépasse cette masse, par exemple par accrétion dans un système
binaire ? Il semble qu’un trou noir doive alors se former.
Si le terme de trou noir a été employé pour la première fois dans les années 60,
par Wheeler, c’est une idée qui est bien antérieure. En effet, en utilisant seulement des
arguments issus de la mécanique newtonienne, Michell en 1784 et Laplace en 1796 furent
capables de pressentir leur existence. En substance, leur raisonnement est le suivant.
Supposons que la lumière est constituée de corps de vitesse c et de masse m. Chacun de
ces grains de lumière possède donc une énergie cinétique
Ec = 1
2 mc2 . (6.1)
Supposons maintenant que ces particules se trouvent à une distance r d’un corps attracteur
de masse M. Leur énergie potentielle est alors simplement donnée par
Ep = − GMm
. (6.2)
r
La lumière ne pourra s’échapper à l’infini que si l’énergie ménanique totale est positive,
soit si Ec > −Ep. Il existe donc une valeur critique Rg telle que pour r < Rg, le corpuscule
de lumière se trouve piégé par attraction gravitationnelle. Dans ce cadre simpliste, Rg est
simplement donné par
Rg = 2GM
c2 (6.3)
et porte le nom de rayon gravitationnel. Pour les objets du système solaire ce rayon est
très petit (∼ 3 km pour le Soleil et ∼ 1 cm pour la Terre) et est en particulier plus petit
que le rayon des objets eux-mêmes. Le rapport entre le rayon caractéristique de l’objet

114 Trous noirs
et son rayon gravitationnel est, une nouvelle fois, donné par le paramètre de compacité
(voir Chap. 1) :
Rg
R
= 2Ξ. (6.4)
On peut noter qu’un objet dont le rayon coïncide avec le rayon gravitationnel n’est pas
particulièrement dense. En effet, si on introduit la densité moyenne ¯ρ par M = 4/3πR 3 g ¯ρ,
on trouve que :
¯ρR 2 g = 3c2
8πG = 1.6 1026 kg m −1 . (6.5)
On voit donc que ¯ρ peut être petit, pour peu que le rayon soit grand. Ainsi, le soleil
pourrait être un astre noir si il avait un rayon 500 fois plus grand, à densité constante.
6.2 Trous noirs en relativité générale
Dans toute la suite, nous adopterons la convention habituelle de la relativité générale :
G = c = 1.
6.2.1 métrique de Schwarzschild
Le champs gravitationnel des trous noirs est tellement intense qu’ils doivent être décrits
par la relativité générale. La solution mathématique décrivant un trou noir a été obtenue
par le mathématicien allemand Schwarzschild, à peine quelques mois après la publication
de la théorie par Einstein. Schwarzschild a obtenu la géométrie de l’espace-temps
à l’extérieur d’un objet sphérique et statique. Einstein lui même fut très impressionné
mais aucun des deux hommes ne réalisa l’importance astrophysique de la solution de
Schwarzschild.
Dans les coordonnées qui portent son nom, la métrique de Schwarschild s’écrit :
ds 2 = − (1 − 2M/r) dt 2 +
dr 2
(1 − 2M/r) + r2 dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 . (6.6)
Cette métrique ne dépend que d’un seul paramètre M. Ce dernier est la masse gravitationnelle
du système. En effet, comme nous l’avons vu au Chap. 5, pour le système de
TOV, la grandeur Φ = ln (N), où N 2 est le coefficient de dt 2 , est l’équivalent, en relativité
générale, du potentiel gravitationnel. Pour la métrique (6.6), on a :
Φ = 1
2 ln
1 − 2M
. (6.7)
r
Si l’on fait tendre r → ∞, on a alors Φ ≈ − GM
, où l’on a réintroduit G par analyse
r
de la dimension. On retrouve donc la valeur newtonienne du potentiel, où M apparaît
donc comme la masse vue par une particule orbitant le trou noir, à grande distance.

6.2 Trous noirs en relativité générale 115
Fig. 6.1 – Espace temps de Schwarzschild dans les coordonnées de Kruskal-Szekeres.
On peut noter que la métrique (6.6) est solution du vide, c’est à dire qu’elle est
telle que G µν = 0. Si l’on ne retrouve pas l’espace-temps plat de Minkowski, celui de la
relativité restreinte, c’est à cause de la singularité centrale, qui provoque un changement
de topologie, topologie qui n’est pas contrainte par les équations d’Einstein. Le trou noir
de Schwarzschild apparaît donc comme un objet purement géométrique.
6.2.2 Singularité de coordonnée
Il est clair que la métrique de Schwarzschild est singulière en RS = 2M
= 2GM
c 2
. Il
s’agit de la valeur du rayon de Schwarzschild, que nous avons déjà introduit au Chap. 1.
Toutefois, comme toujours en RG, il faut se garder de tirer des conclusions hâtives.
Schwarzschild lui-même pensait que sa solution n’était valable que pour r > 2M. En
fait il s’agit d’une singularité qui n’est pas intrinsèque et qui peut disparaître en introduisant
d’autres coordonnées, comme, par exemple, celles de Kruskal-Szekeres :
T =
r
2M
La métrique s’écrit alors :
r
t
− 1
exp sinh
4M 4M
ds 2 =
32M 3
r
, X =
r
2M
− 1
exp
r
t
cosh
4M 4M
.
(6.8)
exp − r
−dT 2 2
+ dX
2M
+ r 2 dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 . (6.9)
Il apparaît alors clairement que la métrique est désormais régulière en r = 2M. Le diagramme
de l’espace-temps dans les coordonnées de Kruskal-Szekeres est donnée par la
Fig. 6.1.

116 Trous noirs
6.2.3 La singularité centrale
Une autre singularité de la métrique de Schwarzschild est visible en r = 0. Contrairement
à la surface r = 2M, cette dernière n’est pas modifiée par changement de variable.
En effet, on peut montrer que des quantité géométriques (i.e. qui ne dépendent pas des
coordonnées) sont divergentes en r = 0. C’est par exemple le cas pour l’invariant de
Kretschmann
I = R αβγδ 2 48M
Rαβγδ =
r6 . (6.10)
La singularité en r = 0 est donc une vraie singularité physique. C’est même sa présence
qui fait que la topologie de l’espace-temps n’est pas triviale et que l’on ne se trouve pas
en espace-temps plat.
Le fait que la courbure soit infinie en r = 0 peut sembler délicat à interprêter. Il
semble toutefois que l’on doive changer la physique à l’approche de la singularité centrale,
les effets quantiques devant apparaître. Malheureusement, la description quantique de la
gravitation reste encore à faire. Un des effets possible est une oscillation chaotique des
distances et du temps à l’approche de la singularité.
6.2.4 “Un trou noir n’a pas de cheveux”
Le trou noir de Schwarzschild représente un trou noir stationnaire, sphérique. La question
est alors de savoir quels autres types de trous noirs stationnaires peuvent exister. En
particulier quels sont les paramètres les définissant. La réponse à cette question a été l’une
des grandes réussite de la physique des trous noirs. On la doit principalement à Carter
et Hawking. Le résultat a inspiré Wheeler la célèbre mais néanmoins salace formule : ‘’A
black hole has no hair” (“un trou noir n’a pas de cheveux”). Autrement-dit, l’espacetemps
d’un trou noir isolé, stationnaire est déterminé uniquement par un petit nombre
de paramètres et il n’existe pas de grandeurs cachées (les cheveux ...).
Carter et Hawking ont montré qu’un trou noir était complêtement défini par trois
grandeurs : sa masse M, son moment angulaire S et sa charge électrique Q. De ce point
de vue les trous noirs sont donc des objets très simples. La géométrie est alors donnée par
la métrique de Kerr-Neumann. Toutefois en astrophysique, seul le cas Q = 0 est pertinent.
En effet un trou noir chargé attirera rapidement, par attraction électromagnétique, une
particule du milieu interstellaire de signe opposée qui sera absorbée. La charge résultante
sera alors nulle. Il est donc extrêmement peu probable de trouver des trous noirs globalement
chargés et nous ne considérerons par la suite que le cas Q = 0, dit trou noir de
Kerr.
6.2.5 La métrique de Kerr
Dans les coordonnées de Boyer-Lindquist, qui sont une généralisation des coordonnées
de Schwarzschild, la métrique de Kerr prends la forme
ds 2 = − ∆
ρ2 2 2 sin
dt − a sin θdϕ + 2 θ
ρ2 2 2
r + a dϕ − adt 2 ρ
+ 2
∆ dr2 + ρ 2 dθ 2
(6.11)

où l’on a défini
6.3 Quelques propriétés amusantes... 117
∆ := r 2 − 2Mr + a 2
ρ 2
(6.12)
:= r 2 + a 2 cos 2 θ (6.13)
a := S
M
(6.14)
Remarquons tout d’abord que, comme attendu, lorsque a = 0, on retrouve la mêrique
de Schwarzschild. La métrique ne dépend ni de ϕ, ni du temps t et décrit donc un objet
stationnaire et axisymmétrique.
Comme pour le trou noir de Schwarzschild, une singularité géométrique est présente
en r = 0 et θ = 0. Cette singularité a la topologie d’un anneau.
D’un point de vu astrophysique, il faut imposer que a ≤ M, ce qui limite la rotation
du trou noir.
6.3 Quelques propriétés amusantes...
6.3.1 Horizon des évènements
Une des caractérisations possible d’un trou noir reponse sur la présence d’un horizon
des évènements. Par définition, il s’agit d’une surface qui délimite deux régions de l’espacetemps
:
– une région extérieure (r > RS) à partir de laquelle on peut émettre des photons
jusqu’à l’infini.
– une région intérieure (r < RS) depuis laquelle on ne peut pas envoyer de photons
l’infini. La force gravitationnelle est tellement forte que la lumière ne peut s’échapper
et on parle donc de trou noir.
Dans le cas d’un trou noir de Kerr, l’horizon des évènements a pour rayon : RH =
M + √ M 2 − a 2 , dans les coordonnéés de Boyer-Lindquist.
Rien ne pouvant se déplacer plus rapidement que la lumière, la région située à l’intérieur
de l’horizon des évènements, ne peut communiquer avec l’extérieur. On dit qu’elle est causalement
déconnectée de l’extérieur. Mentionnons que la réciproque n’est pas vrai puisqu’un
observateur situé l’infini peut parfaitement envoyer un signal à quelqu’un situé dans
le trou noir. Du point de vue d’un observateur plongeant dans le trou noir, la traversée
de l’horizon se fait sans que rien de particulier ne se produise.
6.3.2 Horizon apparent
La notion d’horizon des évènements n’est pas la seule que l’on peut définir dans le
cas d’un trou noir. Il peut être parfois utile d’utiliser la notion d’horizon apparent. Une
nouvelle fois, ce dernier est la frontière entre deux régions :
– une région extérieure où les faisceaux de photons sont divergents.
– une région intérieure où les faisceaux ne peuvent que converger.

118 Trous noirs
Dans des cas stationnaires, et donc pour des trous noirs de Schwarzschild et de Kerr, les
deux type d’horizons sont confondus mais ce n’est pas forcément le cas dans des situations
dépendant du temps. On peut noter que l’horizon apparent est une notion locale tandis
que l’horizon des évènements est une notion globale dont la détermination nécessite la
connaissance de tout l’espace-temps. Enfin, on peut montrer qu’un horizon apparent est
toujours situé à l’intérieur d’un horizon des évènements.
6.3.3 La censure cosmique
La conjecture de censure cosmique est due à Penrose. Elle affirme qu’une singularité
de l’espace-temps doit forcément être dissimulée au monde extérieur par un horizon des
évènements. Il semble que, dans certaines situations très précises, pour certaines symétries
ou théories, cette conjecture puisse être violée mais on ne s’attend pas à ce que cela soit
le cas pour des objets astrophysiques. De ce point de vue, l’étude des trous noirs peut
donc se restreindre à l’étude de ce qui se passe à l’extérieur des horizons.
6.3.4 L’ergosphère
La rotation d’un trou noir de Kerr, provoque un effet d’entraînement : elle tend à faire
tourner, dans le même sens que le trou noir, tout son voisinage. En particulier, on peut
montrer qu’en dessous d’un rayon
rstatique = M + √ M 2 − a 2 cos 2 θ (6.15)
aucun observateur ne peux rester immobile par rapport à l’infini. rstatique est appelée la
limite statique. Quelle que soit la force qui lui est appliquée, cet observateur est condamné
à tourner avec le trou noir. Notons que la surface définie par rstatique est extérieure à
l’horizon. On appelle ergosphère la zone telle que RH < r < rstatique. Dans une telle zone,
un observateur ne peut donc rester immobile mais peut toutefois encore échapper à la
singularité centrale.
Pour mieux comprendre cette situation, nous pouvons faire une analogie avec le tourbillon
marin de la figure 6.2. Situé dans la zone I, le nageur A peut nager suffisamment vite
pour lutter contre l’effet d’entraînement. Le même nageur situé en B ne pourra contrer la
vitesse de l’eau et sera entraîné par la rotation du tourbillon. Toutefois, il lui est encore
possible de s’en échapper. Le frontière entre les zones I et II est donc l’équivalent de la
limite statique. Si le nageur se trouve maintenant en C, il est tellement près du centre du
tourbillon qu’il ne peux plus nager suffisamment vite pour s’échapper et sera happé par
ce dernier. La frontière entre les zones II et III est l’horizon du tourbillon.
En 1969 Penrose a montré qu’il était possible d’extraire une partie de l’énergie de
rotation du trou noir, et donc de le ralentir, en invoquant des trajectoires de particules
passant dans l’ergosphère (cas B de Fig. 6.2).

6.3 Quelques propriétés amusantes... 119
A
B
C
Zone I Zone II
Zone III
Fig. 6.2 – Tourbillon marin. Les flêches en gras représentent la vitesse de l’eau. Les lignes
pointillées sont les frontières entre les différents domaines. Les trajets suivis par trois
nageurs sont représentés. A est plus loin que la limite statique, B est dans l’ergosphère et
C en dessous de l’horizon.
6.3.5 Seconde loi de la thermodynamique
En 1971-1972, Hawking a montré que lors d’un processus physique (absorption d’énergie,
coalescence de deux trous noirs ...), la somme des aires des horizons ne pouvait pas
décroître. Par exemple si deux trous noirs d’aires A1 et A2, fusionnent pour former un
troisième trou noir d’aire A3, on a forcément A3 ≥ A1 + A2. Ceci est l’analogue du second
principe de la thermodynamique : l’entropie S d’un système isolé ne peut qu’augmenter.
Si le processus est quasi-statique, alors l’aire des horizons est constante. L’aire d’un trou
noir de Kerr est donnée par
A = 4π
a 2
+ M + √ M 2 − a2
2
. (6.16)
On définit ensuite la masse irréductible, comme la masse associée a cette aire :
A
Mir = . (6.17)
16π
En combinant les équations (6.16) et (6.17) on trouve la formule de Christodoulou :
M 2 = M 2
ir + S2
4M 2 . (6.18)
Dans le cas de Schwarzschild, la masse irréductible coïncide donc avec la masse gravitationnelle.
Le critère d’augmentation de l’aire s’avêre parfois utile pour contrôler la précision
de certains codes numériques.
ir

120 Trous noirs
Fig. 6.3 – Illustration du processus de rayonnement Hawking.
6.3.6 Radiation de Hawking
En théorie classique, aucune radiation ne peut s’échapper d’un trou noir. La situation
est légèrement différente quand on se place d’un point de vue quantique. Hawking a montré
que les trous noirs avaient une température et qu’ils rayonnaient en fait comme des corps
noirs. L’idée de ce processus est représenté sur la Fig. 6.3. A cause du principe d’incertitude
d’Heisenberg, on peut créer, à partir du vide, des paires particules-antiparticules. Dans
l’espace usuel, ces paires sont virtuelles et s’annihilent très rapidement. Toutefois, si la
création se produit à proximité de l’horizon, une des deux particules peut être absorbée
par le trou noir, la seconde gagnant le statut de particule réelle. Tout se produit alors
comme si le trou noir avait perdu un peu d’énergie en émettant cette particule.
L’émission se fait à une température qui vaut :
T = c
4πkRS
où RS est le rayon de Schwarzschild. La luminosité associée est donc :
L = σ4 c 8
256π 3 k 4 G 2
1
M 2
(6.19)
(6.20)
qui est donc une fonction décroissante de la masse : plus un trou noir est petit et plus
il rayonne. On peut toutefois noter que cette température est extrêmement faible. Un
trou noir de M = 10 M⊙ a une température de seulement 2 10 −9 K et une luminosité de

6.4 Deux classes de trous noirs 121
8 10 −31 W. Ces valeurs extrêmement faibles expliquent que le rayonnement Hawking ne
sera sans doute pas détecté dans un futur proche (doux euphémisme !).
L’énergie du trou noir étant E = Mc 2 , on peut intégrer la perte d’énergie par radiation
Hawking entre le trou noir initial et l’évaporation totale (i.e. M = 0). Le temps qu’il faut
à un trou noir de masse M pour s’évaporer est alors :
τ = 256π3 G 2 k 4
3σ 4 c 6 M 3 . (6.21)
L’application numérique donne quelques 2 10 70 années ( !) pour un trou noir de 10 M⊙, ce
qui est tout de même 60 ordres de grandeur plus long que l’age de l’univers (re !).
6.4 Deux classes de trous noirs
Ce n’est pas parce que les trous noirs sont des solutions admissibles de la relativité
générale qu’il existe un processus physique capable d’amener à sa formation. Après tout,
rien dans la théorie, n’exclut l’existence de trous blancs, sorte d’anti-trou noir émettant
de l’énergie, même si il semble extrêmement improbable qu’il existe un moyen de créer de
tels objets.
Dans l’état actuel de nos connaissances, il semble qu’il existe deux classes de trous
noirs :
– les trous noirs stellaires, dont les masses sont de l’ordre de 10 M⊙. Ces objets se
forment, essentiellement, lorsqu’une étoile massive termine sa vie en supernova gravitationnelle
(voir Chap. 5). On peut également imaginer des processus de formation
un peu plus rares, mettant en jeu des étoiles à neutrons dépassant leur masse limite,
soit par accrétion dans un système binaire, soit par coalescence.
– les trous noirs supermassifs (SMBH), dont les masses sont de l’ordre de 10 6−10 M⊙.
On pense que ces trous noirs supermassifs sont présents au centre de la majorité, si
ce n’est de toutes les galaxies.
Une hypothétique classe de trous noirs dits de masses intermédiaires (IMBH)(M ≈
10 4 M⊙) a également été envisagée. Des communiqués annonçant la détection d’IMBH,
dans des restes d’amas d’étoiles ont même été faits, avant d’être démentis. L’existence des
IMBH reste donc à démontrer.
6.5 Trous noirs stellaires
6.5.1 Critère de masse dans les binaires X
Les binaires X sont des systèmes constitués d’un objet compact, trou noir ou étoile à
neutrons, autour duquel gravite une étoile. L’émission X vient du fait que la matière du
compagnon tombe sur l’objet compact en formant un disque d’accrétion. La matière du
disque est visqueuse ce qui provoque un échauffement, responsable de l’émission thermique

122 Trous noirs
Fig. 6.4 – Vue d’artiste d’une binaire X de faible masse.
en X. Selon les cas, il peut se former un jet qui émet également en X. (voir la vue d’artiste
Fig. 6.4)
Selon la nature du compagnon, les binaires X sont regroupées en deux classes :
– Si le compagnon est une étoile géante, on parle de binaire X de masse élevée
(HMXB). On pense que les systèmes de ce genre sont le produit de l’évolution
d’un système de deux étoiles binaires, la plus massives ayant formé un objet compact
par supernova, cette dernière n’ayant pas détruit la binaire. Les binaires de ce
type émettent plutôt dans les X energétiques.
– Si le compagnon est une étoile de la séquence principale, on parle de binaire X de
faible masse (LMXB). Le processus de formation de ces objets est moins clair que
pour les HMXB mais on pense à la capture du compagnon par l’objet compact,
potentiellement par interaction avec un troisième objet, dans des amas d’étoiles par
exemple. Le spectre des LMXB est généralement plus mou que celui des HMXB et
l’émission n’est pas continue mais se fait plutôt selon des phase éruptives.
La compacité de l’objet qui accrête est clairement avêrée si l’on note que l’émission
X varie de façon importante sur des échelles de temps très courtes. Par exemple, pour
l’objet Cygnus X1, la variabilité est de l’ordre de δt ≈ 0.01 s., ce qui permet d’en déduire
une taille caractéristique de moins de 3000 km, soit moins que la terre. Nous avons vu que
des objets aussi petits devaient être des objets compacts. Or, d’après les études faites aux
Chap. 2 et 5 nous avons vu que les naines blanches et les étoiles à neutrons avaient une
limite supérieure pour leur masse. Tout objet compact plus massif que, disons, 5 M⊙ se
doit donc d’être un trou noir.
Pour plusieurs systèmes, on dispose d’observations précises sur le compagnon. En
particulier, par spectroscopie et effet Doppler, on peut mesurer la vitesse radiale de ce
dernier. Un exemple d’observation de ce type est donné par la Fig. 6.5. En utilisant les
lois de Kepler (les orbites sont newtoniennes même si on a affaire à un objet compact),

6.5 Trous noirs stellaires 123
Fig. 6.5 – Vitesse radiale du compagnon de X V404 Cygni. Le meilleur ajustement est
obtenu pour K = 208 km s −1 et P = 6.5 jours.
on peut déterminer la fonction de masse :
f (M1, M2, i) = M 3 1 sin 3 i
(M1 + M2) 2 = K3 P
2πG
(6.22)
où M1 est la masse de l’objet compact et M2 la masse du compagnon. i est l’angle
d’inclinaison du plan de la binaire sur le plan du ciel. K est l’amplitude de l’effet Doppler
et P la période (Vrad = C + K cos (2πt/P )).
On peut noter que M1 ≥ f (M1, M2, i) si bien que la fonction f est une borne inférieure
pour la valeur de la masse de l’objet compact. Si cette borne est plus grande que la masse
maximales des étoiles à neutrons, alors on se trouve bien en présence d’un trou noir. Dans
quelques cas, l’observation du type spectral du compagnon permet de contraindre M2
tandis que la présence d’éclipse indique une inclinaison proche de π/2 (voir exemple sur
la Fig. 6.6). Quand cela est le cas, on peut alors calculer M1 plutôt que d’en donner une
limite inférieure. Quelques uns des résultats sont donnés par la Fig. 6.7, en comparaison
avec les masses des étoiles à neutrons.
6.5.2 Horizon des évènements
Le critère de masse n’est pas un critère totalement satisfaisant. En effet, rien n’exclut,
même si cela semble peu probable, qu’il existe des objets stables à ces masses là. La
différence fondamentale entre un trou noir et un autre objet est la présence d’un horizon
des évènements en lieu et place d’une surface physique. Quelques indices laissent à penser
qu’il y a bel et bien absence de surface dans le cas des candidats trous noirs.
En effet, dans une binaire X, quand l’objet compact est une étoile à neutrons, la
matière du compagnon finit par tomber sur la surface de l’étoile où elle libère son énergie

124 Trous noirs
Fig. 6.6 – Observation d’une éclipse dans une LMXB : EXO0748-676.
cinétique. Dans le cas d’un trou noir, la situation est bien différente puisque la matière
disparaît derrière l’horizon des évènements. On pense donc que, toutes choses étant égales
par ailleurs, les binaires contenant un trou noir doivent être moins lumineuses.
Des observations en X par le satellite Chandra ont permis de comparer la luminosité
de LMXB dans la phase de quiescence. Pour que la comparaison ait un sens, il faut la
faire à taux d’accrétion équivalent. Or, on peut montrer que dans la phase de quiescence,
ce dernier ne dépend que de la période orbitale, paramètre que l’on a donc porté en
abscisse de la Fig. 6.8. Il apparaît clairement que les binaires avec candidats trous noirs
sont sous-lumineuses,
Le même genre d’étude a été mené sur des données du satellite RXTE. Les binaires X
subissent des évènements appelés sursauts de type I. Le mécanisme est similaire à celui
des nova (cf. Chap. 2) : la matière composée d’hydrogène et d’hélium accrêtée par l’étoile
à neutrons, s’accumule et finit par subir une explosion thermonucléaire. Le signal émis
par un sursaut de ce type est présenté sur la Fig. 6.9.
Sur une dizaine d’années, 15 binaires X contenant des étoiles à neutrons ont subit 135
sursauts de type I tandis que les 18 candidats trous noirs aucun, renforçant l’idée que
la matière accrêtée ne s’accumule pas sur une surface physique mais plonge derrière un
horizon.

6.5 Trous noirs stellaires 125
Fig. 6.7 – Masses des candidates trous noirs dans les binaires X, ainsi que les valeurs
obtenues pour les étoiles à neutrons.

126 Trous noirs
Fig. 6.8 – Luminosité des LMXB, dans la phase de quiescence en fonction de la période.
Les candidats trous noirs, représentés par les cercles noirs, sont clairement sous-lumineux.
Fig. 6.9 – Sursaut de type I dans une binaire X.

6.6 Trous noirs supermassifs 127
Fig. 6.10 – Observation de l’orbite complête de l’étoile S2 autour du centre galactique.
La position de la masse centrale est indiquée par la croix.
6.6 Trous noirs supermassifs
6.6.1 Sagittarius A
Comme la plupart (toutes ?) les galaxies, il y a des très fortes indications que la Voie
Lactée possède un trou noir supermassif en son centre. La proximité du centre galactique
permet l’observation, sur plusieurs années, des orbites d’étoiles proches de ce dernier. Un
exemple d’observation est donné sur la Fig. 6.10. Une fois que l’orbite est connue, tous les
paramètres physiques du système peuvent être obtenus (y compris l’inclinaison du plan
orbital). Ce faisant, on peut déterminer que la masse centrale est de M = 3.7±1.5 10 6 M⊙.
Cette masse doit être contenue dans un volume relativement restreint, l’étoile s’approchant
à moins de 40 UA de l’objet central (même si l’on est encore loin du rayon de Schwarzschild
à 0.06 UA). Enfin, notons qu’aucune correction relativiste n’est à apporter à la trajectoire
de l’étoile.
6.6.2 Dynamique stellaire
Pour un certain nombre de galaxies proches on a pu déterminer les profils de vitesse de
ces dernières, par effet Doppler. Si l’on suppose que les étoiles sont en rotation képlerienne
autour du centre, la masse contenue dans un rayon r est reliée à la vitesse V (r) par :
M (r) = V 2r . (6.23)
G

128 Trous noirs
Fig. 6.11 – Dispersion et profil des vitesses de la galaxie NGC3377.
En réalité il s’avère que les étoiles ne sont pas sur des orbites circulaires et on doit corriger
la relation (6.23) pour tenir compte du côté aléatoire des vitesses. Un exemple de mesure
de dispersion et de profile de vitesse est donné par la Fig. 6.11.
Lorsque la masse est dominée par la contribution des étoiles, alors elle est proportionnelle
à la luminosité et le rapport M/L est plus ou moins constant. Toutefois, si un objet
sombre se trouve en r = 0, alors on aura un terme de masse supplémentaire et le rapport
M/L sera plus important au fur et à mesure que la contribution de l’objet central sera
plus importante. La présence d’un trou noir peut donc être mise en évidence comme une
augmentation du rapport M/L en r = 0, comme cela est clairement le cas sur la Fig. 6.12.
6.6.3 Dynamique dans les AGN
On pense que les noyaux actifs de galaxies sont des systèmes composés d’un trou
noir supermassifs avec un disque d’accrétion, avec présence de jet. Une représentation
schématique d’un AGN est visible sur la Fig. 6.13.
Comme dans le cas des galaxies proches, on peut considérer, en première approximation,
que le disque d’accrétion est en équilibre képlerien autour du trou noir central.
La mesure, par effet Doppler, des vitesses dans le disque, permettent de déterminer la
masse de l’objet central, comme on peut le voir sur la Fig. 6.14. Sachant, que dans le cas
M87 (Fig. 6.14), le disque s’étend à moins de 5pc du centre, l’hypothèse d’un trou noir
supermassif est plus que probable.

6.6 Trous noirs supermassifs 129
Fig. 6.12 – Mise en évidence d’un trou noir de M ≈ 2 10 8 M⊙ au centre de NGC 3377,
par divergence du rapport M/L au centre de la galaxie.
Fig. 6.13 – Représentation schématique d’un AGN.

130 Trous noirs
Fig. 6.14 – Mesure de la courbe de rotation du disque de M87, par le HST. La courbe du
bas montre les résidus entre les données et le meilleur modèle qui indique une masse de
M = 3 10 9 M⊙ pour le candidat trou noir.

6.6 Trous noirs supermassifs 131
Fig. 6.15 – Ajustement du spectre de RE J0134+396 par celui d’un disque illuminé par
les régions centrales. La masse du trou noir central est 0.6 10 6 M⊙ ≤ MBH ≤ 3 10 6 M⊙.
6.6.4 Mesures spectrales
La présence de plusieurs régions d’émissions à proximité du trou noir permet d’avoir
des informations indirectes sur la masse du trou noir.
On note dans les spectre de certains AGN un excès de rayonnement connu sous le nom
de ”blue-bump”. Cet excès est expliqué par le rayonnement thermal du disque d’accrétion
autour du trou noir. En première approximation, on peut supposer que, chaque anneau
du disque rayonne comme un corps noir. Pour calculer le spectre complet on doit se
donner la loi T (r) de variation de la température dans le disque. On peut alors obtenir
une prédiction du spectre émis par le disque, en fonction de paramètres comme le taux
d’accrétion ou la masse du trou noir central. Notons que, ce modèle est plus simpliste que
la réalité, une des difficultés possible étant que le disque n’émet pas comme un simple
corps noir, car pouvant être illuminé par le rayonnement X provenant d’autres régions de
l’AGN. Un exemple de spectre d’un disque est visible sur la Fig. 6.15.
Parmi les autres signatures spectrales, on peut mentionner l’observation optique de la
région dite BLR (“broad line region”) (voir Fig. 6.13). Les raies émises par cette région
turbulente sont élargies par des vitesses importantes (quelques 1000 km s −1 ). Cette vitesse
est reliée à la masse du trou noir via :
MBH = η v2RBLR , (6.24)
G
où η est un paramètre de l’ordre unité, dépendant du modèle employé et de la géométrie
de l’ensemble. RBLR est la taille caractéristique de la région BLR, estimé en observant les
corrélations entre les émissions de la BLR et de la région centrale. Un exemple de raies
d’émission dans une BLR est donné par la Fig. 6.16.

132 Trous noirs
Fig. 6.16 – Observation du spectre de NGC 5506.
Fig. 6.17 – Observation de la raie Kα du fer, avec le meilleur ajustement.
Enfin, un des critères spectraux utilisé est l’observation de lignes d’émission du Fer
dans le domaine X (la raie Kα). On pense cette émission vient des régions les plus internes
du disque d’accrétion, et donc tout près du trou noir. Les effets de ce dernier se
font donc sentir fortement sur la forme de la raie. En particulier, on doit tenir compte
de la collimation relativiste (cf Chap. 4), de l’effet Doppler relativiste et de l’effet Einstein.
L’ajustement précis de la forme de la raie permet ainsi de contraindre le trou noir
supermassif. Un exemple d’ajustement est donné par la Fig. 6.17.

6.6 Trous noirs supermassifs 133
Fig. 6.18 – Corrélation entre la masse du trou noir supermassif et la masse du bulbe
(gauche) ou la dispersion des vitesses (droite).
6.6.5 Démographie et formation
Sur la Fig. 6.18, on a porté la masse des trous noirs supermassifs en fonction et de la
masse du bulbe de la galaxie hôte et en fonction de la dispersion des vitesses. Premièrement
on peut noter que la masse des trous noirs se situe dans la fourchette 10 6 M⊙ ≤ MBH ≤
10 10 M⊙. Il apparaît également une corrélation avec la masse du bulbe (mais pas avec la
masse totale), corrélation encore plus nette avec σ. Le meilleur ajustement est obtenu par
MBH = 1.3 10 8 M⊙
σ
200 km s−1 3.65
(6.25)
La raison précise de la corrélation MBH − σ n’est pas connue à l’heure actuelle et
c’est un sujet de recherche très actif. Quoi qu’il en soit, cela indique que les processus
de formation des galaxie et des trous noirs supermassifs sont intimement liés et ils doit
exister des processus agissant sur la formation de l’un et de l’autre.
Concernant la formation des trous noirs eux-mêmes, il existe essentiellement trois
alternatives :
– soit le trou noir se forme rapidement par effondrement d’un nuage de gaz en même
temps que la formation de la galaxie.
– soit les processus collisionnels entre étoiles, au coeur de la galaxie, provoquent une
libération et une accumulation de gaz qui finit également par s’effondrer.
– soit une première population de trous noirs de masse modérée se forme avec la
première génération d’étoiles, la masse observée érant alors atteinte par accrétions
et fusions successives. On parle de processus hiérarchique.

134 Trous noirs
L’observation des ondes gravitationnelles, par la mission LISA, devrait permettre d’observer
directement les processus responsables de la formation de ces trous noirs supermassifs
et donc de lever un coin du voile sur ce mystère...

Chapitre 7
Ondes gravitationnelles
7.1 Équations d’Einstein linéarisées
7.1.1 Jauge harmonique
Pour étudier la déviation d’un espace-temps par rapport à celui de Minkowski, il est
naturel d’écrire la 4-métrique comme
gµν = ηµν + hµν
(7.1)
où η est la 4-métrique plate et h représente donc l’écart à un espace-temps plat. On
introduit les variables auxiliaires :
h = η µν hµν (7.2)
¯hµν = hµν − 1
2 ηµνh. (7.3)
Considérons maintenant que la métrique g est proche de la métrique plate. h est donc
une perturbation de η. Dans le cas du vide, et en ne conservant que les termes dominants
en ¯ hµν, les équations d’Einstein s’écrivent simplement :
✷ ¯ h µν − ∂ µ ∂ρ ¯ h νρ − ∂ ν ∂ρ ¯ h µρ + η µν ∂ρ∂σ ¯ h ρσ = 0 (7.4)
où ✷ = η ρσ ∂ρ∂σ est le dalembertien usuel (associé à la métrique plate).
Par analogie avec la jauge de Lorentz de l’électromagnétisme, on introduit la jauge
harmonique
∂µ ¯ h µν = 0. (7.5)
Dans cette jauge les équations linéarisées (7.4) s’écrivent simplement
✷ ¯ h µν = 0. (7.6)
Toutefois, la jauge harmonique ne fixe pas complêtement le choix de coordonnées. En
particulier, on peut encore faire un changement infinitésimal δx µ = ξ µ , pour peu que le
vecteur ξ µ vérifie :
✷ξ µ = 0. (7.7)

136 Ondes gravitationnelles
7.1.2 Solutions ondulatoires
La résolution de (7.6) se fait naturellement en décomposant ¯ h en séries de Fourier. Si
l’on ne considère qu’une onde plane monochromatique, de vecteur d’onde k, la solution
est simplement, en notation complexe,
¯h µν = A µν exp (ikαx α ) = A µν
exp i kr − ωt
(7.8)
où A est un tenseur symétrique constant. Pour que (7.8) soit solution de (7.5) et de (7.6),
il faut et il suffit que k et A vérifient
kµA µν = 0 (7.9)
kµk µ = 0 (7.10)
La condition (7.9) montre l’orthogonalité de l’amplitude et du vecteur d’onde, tandis que
(7.10) montre que k est du genre lumière et donc que w 2 = k 2 . L’onde se déplace donc à
la vitesse de la lumière c.
7.1.3 Jauge transverse et sans trace
Soit un quadrivecteur u constant non orthogonal à k. Les coordonnées sont alors
totalement fixées en demandant que la jauge soit transverse et sans trace (TT) :
uµA µν = 0 ( transverse ) (7.11)
A := η µν Aµν = 0 ( sans trace ). (7.12)
En jauge TT, l’amplitude de l’onde gravitationnelle est donc soumise aux quatre conditions
(7.9), aux trois (7.11) (la quatrième étant déjà contenue dans (7.9)) et à l’unique
condition (7.12). Au total, les dix composantes de l’amplitude sont soumises à huit conditions.
L’onde possède donc deux composantes libres, soit deux états de polarisation.
Par exemple, si l’on choisit le vecteur u comme étant la quadri-vitesse d’observateurs
inertiels, une onde plane se propageant selon la direction z, est donnée par (dans le cas
de la jauge TT on a ¯ h T T = h T T ) :
T T
hij =
où h+ et h× sont des fonctions du type :
⎛
⎝
h+ h× 0
h× −h+ 0
0 0 0
Notons qu’alors tous les termes du type h 0µ sont nuls.
⎞
⎠ (7.13)
h+ = A+ cos (ω (t − z) + ϕ+) (7.14)
h× = A× cos (ω (t − z) + ϕ×) . (7.15)

7.2 Génération d’ondes gravitationnelles 137
7.1.4 Action d’une onde plane sur la matière
Soit deux particules voisines, M0 et M1 initialement au repos et sans interaction.
Soit X µ le système de coordonnées associé au référentiel propre de M0, la coordonnée
temporelle τ = X0 étant le temps propre de M0. Mesurée dans ce référentiel, la séparation
d entre M0 et M1 est simplement donnée par les coordonnées de M1, soit di = Xi (τ = 0).
M1
On peut montrer le passage de l’onde gravitationnelle, induit une modification de cette
distance :
δ j
i
. (7.16)
d i (τ) = X j
(τ = 0)
M1
1 T j
+ hTi 2
Le passage de l’onde provoque donc des oscillations de M1, mesurées dans le référentiel
de M0.
Pour une onde se propageant selon la direction Z, on a alors :
X (τ) = X (0) + 1
2 h+ (τ) X (0) + 1
2 h×Y
Y (τ) =
(0)
Y (0) +
(7.17)
1
2 h× (τ) X (0) − 1
2 h+Y (0) (7.18)
Z (τ) = Z (0) . (7.19)
Dans le cas d’une polarisation rectiligne (+ ou ×), un anneau de matière, circulaire,
situé dans la plan XOY , sera donc déformé par le passage d’une onde monochromatique
en une ellipse pulsante à la fréquence ω, comme visible sur la Fig. 7.1.
En résumé une onde gravitationnelle provoque une variation de la distance entre deux
points. En ordre de grandeur, la variation relative de distance est donnée par :
δL
L
où h est l’amplitude caractéristique de l’onde.
∼ h (7.20)
7.2 Génération d’ondes gravitationnelles
7.2.1 Formule du quadrupôle
On souhaite ici calculer l’onde gravitationnelle émise par un système donné, à grande
distance de ce dernier. On doit alors résoudre les équations d’Einstein pour la source, à
savoir :
✷ ¯ h µν = −16πT µν . (7.21)
Nous ne détaillerons pas le calcul mais mentionnons seulement, que pour des sources
faiblement relativistes (c’est-à-dire dont la vitesse caractéristique est faible devant c), en
jauge TT et à grande distance, le résultat est donné par la formule du quadrupôle
h T T
ij = 2
r Pijkl
d 2 Qkl
dt 2 (t − r) . (7.22)

138 Ondes gravitationnelles
Sans onde
gravitationnelle
X
Y
Y Y
Polarisation rectiligne + Polarisation rectiligne x
Fig. 7.1 – Action des deux états de polarisation rectiligne d’une onde se propageant selon
Z, sur un anneau de matière.
Dans cette formule, r est la distance à la source, et P l’opérateur de projection TT :
Pijkl = (δik − nink) (δjl − njnl) − 1
2 (δij − ninj) (δkl − nknl) (7.23)
où n est le vecteur unitaire joignant la source et le point d’observation.
Q (t) est le moment quadrupôlaire newtonien, donné par l’intégrale sur les points de
la source :
Qkl (t) = ρ (x, t) xkxl − 1
3 r′2
δkl dV. (7.24)
source
ρ est la densité de matière newtonienne, à savoir ρ ≈ T 00 . Notons que l’onde décrite par
(7.22) est une onde sphérique.
On peut également déterminer la quantité d’énergie et de moment cinétique émise
dans tout l’espace par unité de temps
dE
dt
dJj
dt
1 d
=
5
3Qij dt3 = 2
5 εjkl
d 3 Qij
dt 3
d 2 Qkm
dt 2
X
X
(7.25)
d 3 Qml
dt 3 , (7.26)
où εjkl est le symbole de Levi-Civita (1 si jkl est une permutation paire de 123, −1 si
c’est une permutation impaire et 0 sinon).

7.2.2 Ordres de grandeurs
7.3 Le pulsar binaire PSR 1913+16 139
Estimons, en ordres de grandeur, l’intensité des ondes gravitationnelles émises par une
barre de masse M, de longueur L, en rotation à la vitesse angulaire ω autour d’un axe
perpendiculaire à l’axe de la barre. Le moment quadrupôlaire est de l’ordre de Q = ML 2
et sa dérivée seconde ω 2 ML 2 .
En réintroduisant les dimensions, on peut alors estimer l’amplitude de l’onde h et la
puissance rayonnées P :
h ∼ GML2ω 2
c4r P ∼ GM 2L4ω6 c5 (7.27)
(7.28)
En prenant une barre respectable de M = 500 tonnes, de L = 20 mêtres et tournant
à ω = 5 rad/s (vitesse limite de rupture pour l’acier), on obtient les ordres de grandeurs
suivants :
h ∼ 10 −38 pour r = 50 m (7.29)
P ∼ 10 −32 W. (7.30)
Ces valeurs sont extrêmement faible et montrent qu’il est illusoire d’espérer générer en
laboratoire des ondes gravitationnelles détectables.
Considérons maintenant une source de masse M, de taille caractéristique R et variant
sur un temps caractéristique T . Soit, de plus, le facteur ε mesurant son asymétrie par
Q ∼ ɛMR 2 . En introduisant le paramètre de compacité de cette source, on montre, qu’en
ordre de grandeur, on a
P ∼ ε 2 Ξ 2
v
6 10
c
52 W. (7.31)
Pour que cette puissance soit importante, il faut donc considérer des objets compacts se
déplaçant à des vitesses relativistes. Pour de tels objets, on voit que la puissance émise
est colossale.
7.3 Le pulsar binaire PSR 1913+16
Si les ondes gravitationnelles n’ont pas encore été directement détectées, leur existence
ne fait plus de doute depuis la découverte, en 1974, par Hulse et Taylor d’un pulsar dans
un système binaire serré. Le pulsar a une période de 59 ms. et est en orbite autour d’un
compagnon qui n’est pas détecté. La période orbitale est de 7.75 heures et l’excentricité de
0.617. Les observations de l’émission du pulsar ont permis de déterminer les paramètres
du système. En particulier, on peut obtenir les masses du pulsar m1 = 1.4411±0.0007 M⊙
et du compagnon m2 = 1.3873 ± 0.0007 M⊙. Compte tenu de la masse du compagnon et
de l’absence d’accrétion, on pense que ce dernier est une autre étoile à neutrons.

140 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.2 – Estimation des masses en fonction de trois contraintes observationnelles.
Pour expliquer les données observationnelles, on doit alors tenir compte de la relativité
générale et en particulier de l’émission d’onde gravitationnelles. L’émission de ces
dernières provoque une perte d’énergie qui fait que le système se resserre, la période orbitale
diminuant. Trois des contraintes observationnelles sont portées sur la Fig. 7.2 :
l’avance du périhélie ˙ω, l’effet Einstein γ et la variation de la période orbitale ˙ P . On peut
voir sur la Fig. 7.2, que les masses données par les trois contraintes sont parfaitement
consistantes.
La Fig. 7.3 montre l’excellent accord entre la prédiction de la relativité générale et les
observations, sur le temps de passage au périhélie, durant une trentaine d’années.
7.4 Observation des ondes
L’amplitude typique des ondes astrophysiques est de l’ordre de h ≈ 10 −21 , au mieux.
h représentant une variation relative de longueur, on imagine aisément la difficulté d’une
telle mesure. Malgré cela, de gros efforts sont actuellement consacrés à la mise au point
de détecteurs d’ondes gravitationnelles. Si, dans un premier temps, il s’agit effectivement
d’en faire la première détection directe, l’idée n’est pas de prouver leur existence, ce
qui semble acquis depuis la découverte du pulsar de Hulse et Taylor. Les détecteurs
doivent plus être vus comme des instruments d’observation astronomique. L’observation
des ondes devrait permettre d’obtenir des informations nouvelles sur des phénomènes
et des situations astrophysiques pour lesquelles les données font défauts. On pense par

7.4 Observation des ondes 141
Fig. 7.3 – Comparaison du temps de passage au périhélie observationnel et théorique.

142 Ondes gravitationnelles
Ondes électromagnétiques Ondes gravitationnelles
Superposition incohérente Mouvements cohérents
État thermodynamique État dynamique
Fortement couplées avec la matière Très peu couplées avec la matière
Observable en 1
r2 Observable en 1
Taille > λ (Imagerie)
r
Taille < λ
Observations directionnelles Observations peu directionnelles
Tab. 7.1 – Différences observationnelles entre ondes électromagnétiques et gravitationnelles.
exemple à contraindre la structure internes des étoiles à neutrons, à mieux comprendre
le processus de formation des trous noirs supermassifs, ou à préciser les mécanismes à
l’origine des sursauts γ.
D’un point de vu observationnel, les ondes gravitationnelles sont très différentes des
ondes électromagnétiques. Ces différences sont reprises par la Tab. 7.1. Le fait que les
ondes gravitationnelles soient très peu couplées avec la matière est une difficulté pour
leur détection mais cela permet de pouvoir observer des régions de l’univers totalement
opaques au rayonnement EM. L’observable pour les ondes gravitationnelle est la variation
relative de distance, et donc l’amplitude de l’onde elle-même. Cette dernière décroît comme
1/r, comme on peut le voir sur (7.22). C’est un avantage comparé au rayonnement EM,
où c’est l’intensité, et donc un flux, décroissant en 1/r 2 que nous observons. Au vu de la
Tab. 7.1, on peut dire que les ondes gravitationnelles sont plus proches des ondes sonores
et que nous cherchons à les écouter plutôt qu’à les voir.
7.5 Les détecteurs terrestres
7.5.1 Les barres résonantes
Historiquement, les barres résonnantes constituent la première tentative de détection
directe du rayonnement gravitationnel. Les premiers essais sont à porter au crédit de
Weber dans les années 60. Le principe est simple puisqu’il repose sur la capacités des
ondes gravitationnelles à exciter les modes de vibration d’une barre métallique. A la
résonance, les vibrations induites sont, en théorie détectables. Une barre typique a une
longueur de quelques mêtres et pèse quelques tonnes (voir Fig. 7.4). Elles sont construites
de façon à détecter un signal dont la fréquence se situe autour de f ∼ 1kHz et la bande
de fréquence est très étroite. La courbe de sensibilité de la barre Nautilus est donnée sur
la Fig. 7.4.
Malgré les progrès réalisés depuis le travail de Weber (utilisation de monocristaux,
travail à faible température), les quelques barres résonnantes en activité dans le monde
(cf Fig. 7.5) n’ont pas encore réussi à réaliser de détection.

7.5 Les détecteurs terrestres 143
Fig. 7.4 – A gauche : le détecteur AURIGA. A droite : courbe de sensibilité de NAUTI-
LUS.
Fig. 7.5 – Détecteurs à barres résonnantes en activité.

144 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.6 – Banc optique du détecteur VIRGO.
7.5.2 Détecteurs interférométriques
Ce type de détecteur est basé sur le principe de l’interféromètre de Michelson. Un
laser est envoyé sur deux bras perpendiculaires et, après un aller-retour, on fait interférer
les faisceaux. Le banc optique du détecteur VIRGO est représenté sur la Fig. 7.6 où
l’interféromètre, ainsi que les diverses boucles de stabilisation sont visibles.
La longueur des bras est ensuite ajustée de façon à ce que la figure d’interférence
soit centrée sur une frange noire. Au moment du passage d’une onde gravitationnelle, la
longueur des bras va varier (comme pour la Fig. 7.1), ce qui va provoquer un changement
de luminosité sur la photodiode en sortie : c’est le signal gravitationnel. Chaque bras de
l’interféromètre est une cavité de Fabry-Perot si bien que le chemin optique effectif est
de l’ordre de 150 km pour des longueurs physiques de bras de quelques km (pour LIGO
et VIRGO). A la sensibilité optimale, on devrait pouvoir détecter une onde d’amplitude
h ≈ 10 −21 , ce qui revient à mesurer, sur la longueur des bras, une variation de distante
de l’ordre du rayon d’un noyau ! On comprend dès lors la difficulté de l’entreprise, en
particulier lorsqu’il s’agit d’extraire ce signal extrèmement faible des autres sources de
bruit.
Voici les sites actuels des détecteurs interférométriques, par ordre de taille, ainsi que
leur status :
– TAMA300, situé au Japon, bras de 300m. La mission s’est achevée sur un succès,

7.5 Les détecteurs terrestres 145
Fig. 7.7 – Détecteur interférométrique franco-italien VIRGO.
atteignant les objectifs expérimentaux. L’intrument n’était pas assez sensible pour
opérer une détection.
– GEO600, situé en Allemagne, bras de 600m. En activité mais probablement une
sensibilité trop faible pour une détection.
– VIRGO, projet franco-italien, près de Pise, bras de 3km. Prise de données mais la
sensibilité optimale n’est pas encore atteinte.
– LIGO, projet américain, 2 sites, bras de 4km. Prise de données avant arrêt pour
mettre en oeuvre advanced LIGO.
Contrairement aux barres, les détecteurs interférométriques sont des détecteurs à large
bande, leur sensibilité allant de la dizaine de Hz à plusieurs kHz. La sensibilité optimale
de LIGO est représentée sur la Fig. 7.9, ainsi que le bilan des différentes sources de bruit.
A basse fréquence, le bruit est dominé par le bruit sismique, à savoir les vibrations de
l’appareil, en en particulier des miroirs, à cause des mouvements de l’écorce terrestre.
Aux fréquences intermédiaires, c’est le bruit thermique dans les suspensions qui domine,
bruit dû à l’agitation thermique dans le système de suspension des miroirs. Enfin, à haute
fréquence, c’est le bruit de grenaille (shot noise) qui domine. Il s’agit d’un bruit de nature
quantique qui vient du fait que le nombre de photons de haute énergie devient de plus
en plus faible, provoquant une erreur statistique lors de la mesure. Ce bruit ne peut être
réduit qu’en augmentant la puissance du laser.
La Fig. 7.10 montre que la sensibilité de LIGO a atteint la sensibilité prévue.
Les détecteurs interférométriques mesurent une quantité h qui est une combinaison
linéaire des deux polarisations h+ et h×. Les coefficients de la combinaison linéaire
dépendent de la direction de l’onde par rapport au détecteur (Θ, Φ) et de l’angle de
polarisation de l’onde Ψ. La réponse du détecteur est alors h = F+h+ + F×h×, où :
F+ (Θ, Φ, Ψ) = 1 2
1 + cos Θ cos 2Φ cos 2Ψ − cos Θ sin 2Φ sin 2Ψ (7.32)
2

146 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.8 – Site de Livingston (Louisiane) de LIGO.
Fig. 7.9 – Sources de bruit attendues pour LIGO.

7.5 Les détecteurs terrestres 147
Fig. 7.10 – Sensibilité de LIGO et comparaison avec la sensibilité nominale.
F× (Θ, Φ, Ψ) = 1 2
1 + cos Θ cos 2Φ sin 2Ψ + cos Θ sin 2Φ cos 2Ψ (7.33)
2
qui définissent donc le diagramme d’antenne, comme celui qu’on peut voir sur la Fig. 7.11.
Si les détecteurs ne sont pas directionnels, la mesure des temps d’arrivée d’une éventuelle
onde aux différents détecteurs (essentiellement les deux sites LIGO et VIRGO) permettra
de donner une estimation de la position de la source, avec une précision de l’ordre du
degré.
7.5.3 Les binaires coalescentes
Les binaires d’objets compacts, étoiles à neutrons ou trous noirs de masses stellaires,
sont sans doute l’un des objectifs principaux des instruments LIGO/VIRGO. De tels
systèmes sont fortement relativistes et perdent de l’énergie et du moment angulaire par
rayonnement gravitationnel. La binaire se resserre donc de plus en plus et les objets spiralent
l’un vers l’autre, jusqu’à la collision et la fusion. Le produit d’une telle coalescence
est, selon toute probabilité, un trou noir qui finit par se relaxer vers un trou noir stationnaire
de Kerr, en émettant à son tour des ondes gravitationnelles.
L’étude théorique de ce genre de système est très complexe et le problème à deux corps
n’est pas un problème totalement résolu en théorie de la relativité générale. L’évolution
schématique d’une binaire est donnée par la Fig. 7.12. On peut y voir trois phases :

148 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.11 – Exemple de la réponse directionnelle d’un détecteur interférométrique.
– la phase spiralante : les objets sont encore relativement éloignés et l’évolution est
quasi-adiabatique. Dans cette phase, le système est bien décrit en théorie postnewtonienne
(typiquement en faisant un développement des équations en v/c et en
assimilant les objets à des masses ponctuelles).
– la fusion : A un certain point les objets ne peuvent plus être considérés comme
ponctuels et les traîtements post-newtoniens ne sont plus valides. Dans ce régime
hautement linéaire, l’évolution est très rapide et on doit se reposer sur des méthodes
numériques.
– la relaxation : le trou noir nouvellement formé rayonne pour atteindre un état stationnaire.
Le système peut alors être décrit dans une théorie des perturbations de
la métrique de Kerr.
En première approximation, on peut négiger le spin des objets. De plus, on sait que
l’émission d’ondes gravitationnelles circularise les orbites et on pense donc que, au moment
où le système entre dans la bande des détecteurs, les objets seront donc sur des orbites
quasicirculaires, comme celle visible sur la Fig. 7.13. L’essentiel du signal émis dans la
bande des détecteurs provient alors de la phase spiralante. L’onde émise est connue sous le
nom de “chirp” (gazouillis en anglais) où et la fréquence, et l’amplitude augmentent avec
le temps. La fréquence des ondes est le double de la fréquence orbitale. De plus l’évolution
est de plus en plus rapide, la binaire passant de moins en moins de temps à une fréquence
donnée. Une onde typique est présentée sur la Fig. 7.14, pour un système de deux étoiles
à neutrons de 1.4 M⊙. La binaire fait 350 orbites dans la bande du détecteur, pour une
durée totale de 6 secondes environ.
Comme nous l’avons déjà mentionné, les signaux attendus sont très faibles (typiquement
h ≈ 10 −21 ) et en particulier plus faibles que le bruit intrinsèque des détecteurs. Ceci

7.5 Les détecteurs terrestres 149
Fig. 7.12 – Évolution schématique d’une binaire compacte.
Fig. 7.13 – Orbites quasicirculaires d’une binaire compacte.

150 Ondes gravitationnelles
h(t)
0
h(t)
0
N cycles = 350
f = 40 Hz. -5 -4 -3 -2 -1 f = 400 Hz.
time (s.)
0.5 first second
-5.5 -5.4 -5.3 -5.2 -5.1
time (s.)
h(t)
0
0.5 last second
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
time (s.)
Fig. 7.14 – Signal de “chirp” pour masses ponctuelles de 1.4M⊙.

7.5 Les détecteurs terrestres 151
Fig. 7.15 – Simulation de la sortie d’un interféromètre, sans (gauche) et avec (droite)
signal gravitationnel.
est illustré par la Fig. 7.15, où l’on compare l’amplitude mesurée par un détecteur en
l’absence (figure de gauche) et en présence (figure de droite) d’un signal gravitationnel. Il
apparaît clairement que le signal est noyé dans le bruit et l’on doit donc se baser sur des
techniques de traitement du signal évoluées pour extraire l’onde.
La technique employée pour les binaires spiralantes est appelée filtrage adapté. L’idée
est simple puisqu’il s’agit de faire une corrélation entre la sortie du détecteur et une bibliothèque
de signaux tests. Si le signal en question est contenu dans la sortie du détecteur,
alors la corrélation renverra une valeur importante. Plus précisément, on définit le produit
scalaire de deux fonctions, dans l’espace de Fourier par :
∞
(h1|h2) = 2
0
˜h ∗ 1 (f) ˜ h2 (f) + ˜ h1 (f) ˜ h ∗ 2 (f)
N (f)
df (7.34)
où N (f) est le bruit du détecteur. L’introduction du bruit du détecteur garantit que le
produit scalaire est dominé par les fréquences de meilleure sensibilité. On peut montrer
que (7.34) est le choix optimal de produit scalaire.
Si la sortie du détecteur est la somme de bruit n et d’un signal W : h (f) = n (f)+W (f)
et qu’un des filtres coïncide avec le signal, alors ce dernier est extrait avec un signal sur
bruit maximal
S
= (W |W )
N max
1/2 . (7.35)
L’efficacité de la procédure est illustrée par la Fig. 7.16 où l’on montre le rapport
signal-sur-bruit, accumulé en fonction de la fréquence, pour les cas sans (gauche) et avec
signal (droite), correspondant à la Fig. 7.15.
Bien entendu, si la bibliothèque ne contient pas de filtre coïncidant avec le signal, le
signal-sur-bruit atteint est moindre. On appelle facteur de recouvrement (“fitting factor”

152 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.16 – Signal sur bruit associé aux cas de la Fig. 7.15. A gauche sans signal et à
droite avec.
en anglais, FF), la mesure de cet effet :
S
= FF ×
N
S
N max
(7.36)
où, par construction 0 ≤ FF ≤ 1.
La famille de filtres utilisés est basée sur un développement post-newtonien, pour des
masses ponctuelles en orbites circulaires. Dans le domaine des fréquences, on obtient, à
l’ordre 2PN pour la phase,
˜h (f) = Af −7/6 exp [iφ (f)] (7.37)
φ (f) = φconst + 2πftc + 3
128 (πMf)−5/3
1 + 20
743 11µ
+ (πMf)
9 336 4M
2/3 (7.38)
3058673 5429µ 617µ2
− 16π (πMf) + 10 + +
1016064 1008M 144M 2
(πMf) 4/3
On peut se contenter d’une expression simple (ordre 0PN) pour l’amplitude car cette
dernière influence peu la détection. C’est loin d’être le cas pour la phase qui doit être
connue avec une grande précision (idéalement au moins jusqu’à l’ordre 3.5PN). Une telle
onde est représentée, dans le domaine temporel sur la Fig. 7.14 et dans le domaine des
fréquences sur la Fig. 7.17.
La recherche de la corrélation maximale doit se faire sur tous les paramètres des filtres.
Dans le cas de (7.37), on peut montrer que la maximisation sur φconst est analytique et que
celle sur tc peut être faite au moyen d’algorithmes rapides (FFT). La famille (7.37) est donc
une famille de filtres à deux paramètres effectifs, les deux masses M et µ. C’est ce petit
nombre de paramètres qui rend cette technique utilisable dans ce cas particulier. Notons
que les autres paramètres physiques, comme la distance de la source ou son orientation
par rapport au détecteur, n’apparaissent alors que comme des facteurs constants dans A.

Fourier transform
0
7.5 Les détecteurs terrestres 153
40 100 200 300 400
Frequence
Fig. 7.17 – Même signal que pour Fig. 7.14 mais dans l’espace de Fourier.
Notons finalement que, pour les trous noirs, l’inclusion du spin pourrait être nécessaire,
ce qui rendrait le nombre de paramètres beaucoup plus importants et la détection plus
difficile.
Pour en finir avec les binaires spiralantes, nous allons donner les taux de détection
attendus pour la première et la seconde génération de détecteurs interférométriques terrestres.
Ces résultats sont basés sur des calculs de population où l’on simule l’évolution
d’un grand nombre de systèmes binaires d’étoiles afin d’estimer la distribution de binaires
compactes dans l’univers. Les incertitudes sont importantes mais la Tab. 7.2 donne une
idée du nombre de détections attendues. Notons enfin que les binaires d’étoiles à neutrons
connues, comme le pulsar de Hulse et Taylor, ne fusionneront pas à temps pour être
détectées.
7.5.4 Les supernovae gravitationnelles
On a longtemps pensé que l’effondrement des coeurs d’étoiles massives était la meilleure
source possible d’ondes gravitationnelles. Les dernières simulations tendent toutefois à
montrer que l’émission n’est pas très importante, l’explosion étant essentiellement sphérique.
De plus, la dynamique précise du fluide doit être prise en compte, les mouvements d’ensemble
de ce dernier êtant responsable de la génération des ondes.
Parmi les processus susceptibles de produire les asymétries nécessaires à la production
d’ondes gravitationnelles, on pense à l’émission de neutrinos et à la turbulence. L’influence
de cette dernière est visible sur la Fig. 7.18 où l’on compare la densité spectrale de
l’énergie émise, avec et sans turbulence, pour un modèle d’effondrement particulier (coeur
en rotation, et effondrement retardé).
La Fig. 7.18 illustre clairement le fait que l’émission dépend de façon importante des
détails, mal connus, de la dynamique. On voit également que la détection avec la première

154 Ondes gravitationnelles
initial-LIGO (yr −1 )
Binary type Standard Model All Range
NS-NS 1 × 10 −2 2 × 10 −4 – 7 × 10 −1
BH-NS 2 × 10 −2 2 × 10 −3 – 7 × 10 −2
BH-BH 8 × 10 −1 0 – 2
Total 8 × 10 −1 2 × 10 −3 – 2
advanced-LIGO (yr −1 )
Binary type Standard Model All Range
NS-NS 6 × 10 1 1 – 4 × 10 2
BH-NS 8 × 10 1 9 – 4 × 10 2
BH-BH 2 × 10 3 0 – 8 × 10 3
Total 3 × 10 3 1 × 10 1 – 8 × 10 3
Tab. 7.2 – Taux de détections attendus pour les différents type de binaires compactes,
pour la première et la deuxième génération d’interféromètres terrestres.
Fig. 7.18 – Densité spectrale de l’émission gravitationnelle, pour un modèle particulier
d’effondrement. La figure de gauche montre l’émission totale et celle de droite celle due
uniquement à l’émission de neutrinos. La supernova est placée à 10 kpc du détecteur

7.5 Les détecteurs terrestres 155
génération d’interféromètres, est marginale. Même en prenant les cas les plus favorables,
il semble que la première génération ne pourra détecter que des supernovae situées à
quelques 5 kpc contre une distance de 100 kpc pour la seconde génération. On pourrait
alors observer le signal d’une supernova galactique ou dans une galaxie proche, comme le
grand nuage de Magellan.
Le signal dépendant grandement des détails de l’explosion, il semble difficile, contrairement
au cas des binaires spiralantes, d’utiliser la technique du filtrage adapté. De plus,
les prédictions a priori, de la forme d’onde émise, semblent beaucoup moins robustes. Les
techniques employées sont donc suboptimale et sont basées, par exemple, sur la détection
statistique d’un excès de signal ou d’une variation rapide de ce dernier.
7.5.5 Étoile à neutrons en rotation
On connait de nombreuses étoiles à neutrons en rotation rapide (les pulsars). Ces objets
sont a priori axisymétriques et ne devraient donc pas émettre d’ondes gravitationnelles.
Toutefois, il est possible que certains mécanismes puissent briser cette symétrie, rendant le
corps tridimensionnel et donc émetteur d’ondes gravitationnel. Un des avantages de telles
sources est sans doute le fait qu’elles auraient une durée de vie relativement longue. Si, de
plus, la perte de moment angulaire peut être compensée, typiquement par accrétion, alors
on pourrait même obtenir des sources périodiques d’ondes gravitationnelles. L’émission
de tels systèmes se fait essentiellement à 2 fréquences : la fréquence orbitale et le double
de cette-dernière.
Parmi les mécanismes susceptibles de briser l’axisymétrie on peut citer :
– une irrégularité de la croûte de l’objet.
– une déformation de l’étoile sous l’effet du champs magnétique.
– une brisure spontanée de symétrie pour des étoiles en rotation rapide.
Les résultats du détecteur LIGO permettent de placer une contrainte sur l’émission
périodique du pulsar milliseconde J1939+2134 de l’ordre de h ≤ 5 10 −24 , limitant ainsi la
déformation maximale possible de l’étoile à neutrons en question.
Parmi les autres mécanismes susceptibles d’émettre des ondes gravitationnelles, on
peut mentionner l’excitation de modes instables du fluide, comme les célèbres r-modes.
Ce sont des modes d’oscillation du fluide dont la force de rappel est la force de Coriolis. Il
est possible que l’excitation de ces modes provoque l’émission d’ondes gravitationnelles,
qui elles-mêmes augmentent l’excitation des modes. Un tel processus pourrait provoquer
une émission détectable pour les étoiles à neutrons galactiques. La Fig. 7.19 montre la
région dans laquelle le mode m = 2 est instable. Toutefois, il n’est pas encore clair de
savoir si la structure précise de l’étoile à neutron, en particulier la viscosité du fluide, ne
pourrait pas “tuer” ces modes avant que les ondes gravitationnelles ne soient émises.

156 Ondes gravitationnelles
Ω c (πGρ) 1/2
0.6
0.4
0.2
0.0
10 8
^
10 9
10 10
Temperature (K)
Fig. 7.19 – Valeur de la valeur critique de Ω en fonction de la température, pour une étoile
à neutrons classique. La zone au dessus de la courbe noire est instable pour le r-mode
m = 2. La courbe pointillée indique le chemin suivi par une étoile à neutrons.
7.6 Détecteur spatial
7.6.1 La mission spatiale LISA
La mission spatiale LISA est un interféromètre spatial. Il s’agit d’une mission conjointe
entre la NASA et l’ESA qui devrait être lancée vers 2020. Il s’agit d’opérer à bien plus basse
fréquence que pour les interféromètres terrestres, ce qui n’est possible que dans l’espace.
LISA n’est donc pas un LIGO/VIRGO plus sensible, mais un instrument différent, travaillant
à d’autres fréquences et donc observant d’autres types de sources, comme illustré
par la Fig. 7.20.
LISA devrait être sensible entre 10 −4 et 10 −1 Hz, avec un maximum de sensibilité
autour de 10 −3 Hz. La configuration prévue est celle de trois vaisseaux spatiaux sur un
triangle équilatéral. Pour travailler aux basses fréquences, les bras de l’interféromètre
doivent avoir une longueur de 5 10 6 km, sur lesquels on va mesurer des variations de
distance de l’ordre du rayon d’un atome. L’orbite retenue se situe 20 ◦ derrière celle de la
terre, et le triangle est incliné à 60 ◦ (voir schéma de gauche de la Fig. 7.21). Avec une telle
configuration, et au premier ordre dans sa taille, le triangle formé par les trois vaisseaux
restera équilatéral, tournant lentement autour de son centre, comme indiqué sur la partie
droite de la Fig. 7.21.
Chacun des vaisseaux contient une masse d’épreuve sur laquelle est envoyé un laser en
provenance des deux autres satellites, soit un total de 6 laser (voir Fig. 7.22). Contrairement
aux interféromètres terrestres, les laser ne parcourent les bras qu’une fois (la distance
étant trop importante et les perte d’énergie trop grandes pour faire un aller-retour). Les
différents faisceaux sont alors recombinés dans chaque vaisseau. La combinaison utilisée
peut être choisie de façon à minimiser les erreurs instrumentales (stabilisation des lasers
par exemple) et pour augmenter la sensibilité aux ondes gravitationnelles.
^
10 11

7.6 Détecteur spatial 157
Fig. 7.20 – Comparaison de la sensibilité de LISA et des interféromètres terrestres. Les
principales sources attendues sont également mentionnées.
Fig. 7.21 – A droite : géométrie prévue pour la mission LISA. A gauche : Mouvement du
triangle équilatéral lors d’une année.

158 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.22 – Les différents liens laser entre les vaisseaux constituant la mission LISA.
Tout revient donc à mesurer la distance entre les masses tests. Il est donc crucial que
ces dernières soient protégées des perturbations extérieures. Ce sont les vaisseaux euxmêmes
qui servent de bouclier. Les masses ne sont en effet pas attachées physiquement aux
vaisseaux et ces derniers corrigent sans cesse leur mouvement (par des micro-réacteurs),
de façon à maintenir la masse en leur centre (voir Fig. 7.23).
La courbe de sensibilité de LISA est donnée par la Fig. 7.24. A basse fréquence, c’est le
bruit instrumental sur les accéléromètres contrôlant le mouvement des masses d’épreuve
qui domine. Aux fréquences intermédiaires on est limité par le bruit de photons et, à
hautes fréquences, par la taille trop importante des bras.
Contrairement aux détecteurs interférométriques terrestres, les sources de LISA ont
des durées de vie longues et LISA pourra les observer pendant de nombreux mois. Durant
ce temps, la configuration des trois vaisseaux par rapport à la source va changer (voir Fig.
7.21) ce qui va provoquer une modulation du signal. Grâce à l’étude de cette modulation,
on pense pouvoir déterminer la position de la source à environ un degré près.
7.6.2 Trous noirs supermassifs
Les trous noirs supermassifs constituent la cible prioritaire de la mission LISA. Au vu
de la bande de fréquence de cette dernière, on devrait pouvoir détecter, avec un signal
sur bruit très important des binaires avec des masses de l’ordre de 10 6 − 10 8 M⊙, comme
illustré par la Fig. 7.25. Si le scénario de formation des trous noirs supermassifs n’est pas
encore parfaitement connu, on sait néanmoins que des systèmes binaires de tels objets
existent, comme le prouve l’observation par Chandra du centre de la galaxie irrégulière
NGC6240 (Fig. 7.26).

7.6 Détecteur spatial 159
Fig. 7.23 – Le vaisseau doit protéger la masse d’épreuve des perturbations extérieures.
Fig. 7.24 – Courbe de sensibilité de LISA, avec les différentes sources dominantes de
bruit.

160 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.25 – Signal émis par la coalescence de trous noirs supermassifs par rapport au
bruit de LISA.
Fig. 7.26 – Observation par Chandra du coeur de NGC6240. Les deux sources ponctuelles
sont des disques d’accrétion autour de deux trois noirs supermassifs.

7.6 Détecteur spatial 161
Fig. 7.27 – Capture d’un objet compact par un trou noir supermassif.
LISA devrait observer ces systèmes avec des SNR très importants, de l’ordre de 1000
et les binaires de tout l’univers devraient être visibles. Ces binaires traversent la bande
de LISA en un temps de quelques semaines à quelques mois. Un des problèmes pourrait
provenir du fait que l’on doive prendre en compte les spins des objets. La dynamique
du système devient alors plus complexe et, en particulier les patrons d’ondes habituels
(7.37) ne seraient plus utilisables. Toutefois pour inclure les spins, on doit tenir compte de
nombreux paramètres supplémentaires, décrivant l’orientation de la binaire par rapport
au détecteur. Une solution à ce problème pourrait venir de l’utilisation de filtres effectifs,
non physiques, mais capables de capturer l’essentiel des propriétés des ondes.
Le taux de détection de la coalescence de trous noirs supermassifs est très incertain,
de l’ordre de quelques évènements par an. L’observation et la démographie de ce genre
d’évènements pourrait permettre de placer des contraintes importantes sur les scénarii de
formation des trous noirs supermassifs.
7.6.3 Binaires à rapport de masse extrème
Au centre des galaxies, on pense que des objets compacts de masse stellaire, trous noirs
ou étoiles à neutrons peuvent être capturés par le trou noir supermassif, après avoir subi
une interaction à trois corps. L’orbite initiale peut alors être très excentrique et l’essentiel
du rayonnement est émis près du périhélie, comme illustré par la Fig. 7.27.
Pour que ce genre de processus émette dans la bande de LISA, il faut un trou noir
central de masse modérée M ≈ 10 5−7 M⊙. Le corps capturé doit être un objet compact
sans quoi il sera détruit par les forces de marée au voisinage du trou noir supermassif sans
avoir le temps d’émettre des ondes gravitationnelles. La fréquence astrophysique de tels

162 Ondes gravitationnelles
x
S
(t)
M
z
Fig. 7.28 – Géométrie d’une binaire à rapport de masses extrème.
évènements est mal connue mais doit être dans la fourchette 10 −8 − 10 −4 yr −1 Galaxy −1 .
Ce taux dépend essentiellement de la masse du trou noir central et de la composition du
coeur de la galaxie en question.
De telles binaires sont appelées binaires à rapport de masses extrème (EMRI en anglais).
Un formalisme théorique basé sur un développement limité dans le rapport des
masses a été dérivé mais son implémentation reste à faire. L’onde émise par ce genre de
système est beaucoup plus complexe que celle donnée par (7.37). En effet, on doit tenir
compte de plusieurs effets supplémentaires, comme l’excentricité de l’orbite et le spin du
trou noir central. Même en négligeant le spin du petit objet compact, l’onde obtenue
dépend de 14 paramètres (orientation des différents vecteurs essentiellement ; voir Fig.
7.28). Parmi les effets relativistes qui influent sur la forme de l’onde, on peut mentionner
: l’avance du périhélie, la précession du plan orbital autour du spin etc... La Fig. 7.29
montre par exemple l’influence de l’excentricité sur la forme de l’onde et la Fig. 7.30 la
modulation due à la précession du plan orbital. La Fig. 7.31 montre l’évolution de l’excentricité
illustrant le fait que cette dernière peut rester relativement importante jusqu’à
la fusion.
L’onde dépendant d’un trop grand nombre de paramètres, il semble difficile, voir impossible
d’utiliser la technique du filtrage adapté. Une solution envisagée est l’utilisation
d’une technique temps-fréquence. Il s’agit de mesurer la puissance contenue dans le signal
pour chaque temps et chaque fréquence et de repérer des excès de puissance. Un exemple
d’application de cette technique est présenté par la Fig. 7.32. La binaire est clairement
visible dans le plan temps-fréquence.
L’observation de binaires de rapport de masses extrème devrait permettre de placer
des contraintes importantes sur la géométrie autour du trou noir central, et, en particulier
de tester l’absence de cheveux de ce dernier (cf Chap. 6).
~ (t)
L(t)
y

h I (t)
x 10−22
1
e=0
ν=2.20 mHz
0
−1
0 5 10
t (min)
15 20
h I (t)
x 10−22
1
e=0.3
ν=1.65 mHz
0
7.6 Détecteur spatial 163
−1
0 5 10 15
t (min)
20 25 30
h I (t)
1
0
x 10 −22
e=0.5
ν=1.13 mHz
−1
0 10 20 30 40 50
t (min)
Fig. 7.29 – Influence de l’excentricité sur la forme de l’onde. Masses de 10 M⊙ et 10 6 M⊙,
spin maximum et λ = 30 ◦
.
h I (t)
x 10−22
1
0
−1
0 0.5 1 1.5 2
t (hours)
2.5 3 3.5 4
Fig. 7.30 – Modulation due à la précession, pour le même système que sur la Fig. 7.29,
avec e = 0.

164 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.31 – Évolution de l’excentricité pour le même système que sur la Fig. 7.29. Les
points sont placés à 10, 5, 2 et 1 an avant la coalescence.
Fig. 7.32 – Technique de détection temps-fréquence, appliquée à une binaire de 10 et
10 6 M⊙. S/M 2 = 0.8, e = 0.4 et D = 1 Gpc.

7.6 Détecteur spatial 165
Fig. 7.33 – Nombre de binaires galactiques par intervalle de fréquence de LISA.
7.6.4 Binaires galactiques
Il existe des centaines, voir des milliers de binaires galactiques émettant dans la bande
de fréquence de LISA, essentiellement composées de deux naines blanches. Ces sources ont
une durée de vie bien plus longue que celle de LISA et sont essentiellement monochromatiques.
Le problème se pose alors de savoir si LISA pourra les résoudre individuellement.
Ceci est impossible si, par intervalle de fréquence, on trouve plus d’une binaire. Une simulation
du nombre de binaires par intervalle de fréquence est donnée par la Fig. 7.33 où
l’on voit, qu’au basses fréquences, on ne peut résoudre les binaires individuellement.
Les binaires galactiques vont donc apparaître comme une source de bruit supplémentaire,
s’ajoutant au bruit instrumental, comme on peut le voir sur la Fig. 7.34. Notons toutefois
que l’étude de la courbe de sensibilité pourrait permettre d’obtenir des informations sur
la population des dites binaires.
7.6.5 Fond stochastique
Il existe probablement un fond de rayonnement gravitationnel provenant du big-bang,
l’analogue du rayonnement fossile de photons à 3K. Toutefois, les ondes gravitationnelles
se sont découplées bien plus tôt que la lumière de la matière (10 −43 s contre 10 6 ans).
L’observation de ce fond stochastique permettrait donc d’avoir accès à des informations
sur le tout début de l’univers. Différents modèles cosmologiques prévoient différents conte-

166 Ondes gravitationnelles
Fig. 7.34 – Sensibilité de LISA, obtenue en tenant compte de la confusion induite par les
binaires galactiques non résolues.
nus en ondes gravitationnelles et LISA, ainsi que VIRGO/LIGO, pourraient placer des
contraintes sur certains de ces modèles, comme illustré par la Fig. 7.35. Toutefois, on pense
que cette question sera plutôt le sujet d’étude de l’hypothétique successeur de LISA ...

Spectral density (Ω h 2
g )
10
10
10
10
10
10
-6
-8
-10
-12
-14
-16
COBE
7.6 Détecteur spatial 167
Pulsar
timing
Cosmic strings
Global strings
First-order
EW-scale
transition
LISA
-15 -10 -5 5 10
10 10 10 1 10 10
Frequency (Hz)
LIGO I
LIGO II/
VIRGO
Slow-roll inflation - upper bound
Chaotic inflation
Power law inflation
0.9K graviton
blackbody
radiation
Extended
inflation
transition
Fig. 7.35 – Contenu de l’univers en rayonnement gravitationnel prévu par différents
modèles cosmologiques, comparé aux contraintes que pourraient apporter LISA et
LIGO/VIRGO.
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