racine nieme - UPMC
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€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
⎛<br />
Alors ⎜ a<br />
⎝<br />
€<br />
1<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
On montre que €<br />
n<br />
0<br />
€<br />
n<br />
1<br />
n = 0 = 0<br />
1<br />
n<br />
n<br />
1 =1=1<br />
n<br />
n<br />
a n<br />
ab<br />
= a. Ainsi<br />
1<br />
n a est égal à<br />
1<br />
n a vérifie l’équation<br />
2. Propriétés € des <strong>racine</strong>s € nième n<br />
= ( a)<br />
n<br />
= a = a n ( ) 1 ⎛<br />
n = ⎜ a<br />
⎝<br />
n<br />
= a<br />
a<br />
n =<br />
b<br />
a<br />
n<br />
n<br />
b<br />
n<br />
× b<br />
et aussi (avec<br />
n<br />
m<br />
€<br />
nm m n<br />
a = a = a<br />
€<br />
(exple :<br />
3<br />
1<br />
n<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= ( ab)<br />
1 1<br />
n n = a × b<br />
m ≥ 2) :<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
⎝ b<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3<br />
64 = € 64<br />
3.<br />
1<br />
−<br />
a<br />
1 n = n<br />
a<br />
1<br />
n<br />
x n = a.<br />
a et € on a a n ( ) 1<br />
n n n<br />
= a<br />
n<br />
= a<br />
1<br />
n<br />
b<br />
6<br />
= 64<br />
Exercice<br />
€<br />
: écrire l’expression<br />
€<br />
= 1<br />
a<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
⎛ 1 ⎞<br />
m ⎜ a ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
= 2)<br />
5 3 ( ) 1<br />
1 ⎛<br />
mn = a = ⎜ a<br />
⎝<br />
( ) −1<br />
3 3<br />
× 125<br />
1<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
m<br />
= a<br />
sous la forme d’une seule puissance.
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