racine nieme - UPMC
racine nieme - UPMC
racine nieme - UPMC
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
Racine n ième arithmétique<br />
a et b sont des nombres strictement positifs ; n un entier ≥ 2<br />
n<br />
a<br />
I. Définition<br />
est le nombre positif dont la puissance<br />
n<br />
Autrement dit : ( a)<br />
n<br />
= a ou encore :<br />
x €<br />
n = a⎫<br />
n<br />
⎬ ⇔ x = a<br />
x > 0 ⎭<br />
€<br />
€<br />
€<br />
n ième est égale à<br />
Remarque 1 : si n est pair, l’équation x<br />
€<br />
€<br />
n n<br />
= a a deux solutions x = ± a (exemple :<br />
x<br />
€<br />
4 =16 ⇔ x = ±2 ) et l’équation x<br />
€<br />
n = −a n’a pas de solution (comme par exemple<br />
x 4 n<br />
= −16). Autrement dit −a n’existe pas si n est pair.<br />
Remarque 2 : si € n est impair, l’équation € x<br />
€<br />
€<br />
n n<br />
= a a une solution unique positive x = a<br />
(exple : x<br />
€<br />
€<br />
3 = 27 ⇔ x = 3) et l’équation x<br />
€<br />
n = −a a une solution unique négative<br />
n<br />
x =<br />
n<br />
−a = − a (exple : x<br />
€<br />
3 n<br />
= −27 ⇔ x = −3). Autrement dit,<br />
n<br />
−a = − a si n est impair.<br />
Remarque 3 : si n = 2 on écrit<br />
2<br />
a au lieu de a €<br />
€<br />
€<br />
II. € Ecriture de € la <strong>racine</strong> nième € de a sous forme d’une puissance<br />
1. Définition de<br />
1<br />
n a<br />
€<br />
1<br />
€<br />
n On définit a en supposant que cette puissance de a suit les mêmes règles de calcul que<br />
les puissances entières.<br />
€<br />
€<br />
a.
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
⎛<br />
Alors ⎜ a<br />
⎝<br />
€<br />
1<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
On montre que €<br />
n<br />
0<br />
€<br />
n<br />
1<br />
n = 0 = 0<br />
1<br />
n<br />
n<br />
1 =1=1<br />
n<br />
n<br />
a n<br />
ab<br />
= a. Ainsi<br />
1<br />
n a est égal à<br />
1<br />
n a vérifie l’équation<br />
2. Propriétés € des <strong>racine</strong>s € nième n<br />
= ( a)<br />
n<br />
= a = a n ( ) 1 ⎛<br />
n = ⎜ a<br />
⎝<br />
n<br />
= a<br />
a<br />
n =<br />
b<br />
a<br />
n<br />
n<br />
b<br />
n<br />
× b<br />
et aussi (avec<br />
n<br />
m<br />
€<br />
nm m n<br />
a = a = a<br />
€<br />
(exple :<br />
3<br />
1<br />
n<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= ( ab)<br />
1 1<br />
n n = a × b<br />
m ≥ 2) :<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
⎝ b<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3<br />
64 = € 64<br />
3.<br />
1<br />
−<br />
a<br />
1 n = n<br />
a<br />
1<br />
n<br />
x n = a.<br />
a et € on a a n ( ) 1<br />
n n n<br />
= a<br />
n<br />
= a<br />
1<br />
n<br />
b<br />
6<br />
= 64<br />
Exercice<br />
€<br />
: écrire l’expression<br />
€<br />
= 1<br />
a<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
⎛ 1 ⎞<br />
m ⎜ a ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
= 2)<br />
5 3 ( ) 1<br />
1 ⎛<br />
mn = a = ⎜ a<br />
⎝<br />
( ) −1<br />
3 3<br />
× 125<br />
1<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
m<br />
= a<br />
sous la forme d’une seule puissance.