racine nieme - UPMC

€
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€
€
€
€
€
Racine n ième arithmétique
a et b sont des nombres strictement positifs ; n un entier ≥ 2
n
a
I. Définition
est le nombre positif dont la puissance
n
Autrement dit : ( a)
n
= a ou encore :
x €
n = a⎫
n
⎬ ⇔ x = a
x > 0 ⎭
€
€
€
n ième est égale à
Remarque 1 : si n est pair, l’équation x
€
€
n n
= a a deux solutions x = ± a (exemple :
x
€
4 =16 ⇔ x = ±2 ) et l’équation x
€
n = −a n’a pas de solution (comme par exemple
x 4 n
= −16). Autrement dit −a n’existe pas si n est pair.
Remarque 2 : si € n est impair, l’équation € x
€
€
n n
= a a une solution unique positive x = a
(exple : x
€
€
3 = 27 ⇔ x = 3) et l’équation x
€
n = −a a une solution unique négative
n
x =
n
−a = − a (exple : x
€
3 n
= −27 ⇔ x = −3). Autrement dit,
n
−a = − a si n est impair.
Remarque 3 : si n = 2 on écrit
2
a au lieu de a €
€
€
II. € Ecriture de € la racine nième € de a sous forme d’une puissance
1. Définition de
1
n a
€
1
€
n On définit a en supposant que cette puissance de a suit les mêmes règles de calcul que
les puissances entières.
€
€
a.

€
€
€
€
€
€
€
⎛
Alors ⎜ a
⎝
€
1
n
⎞
⎟
⎠
On montre que €
n
0
€
n
1
n = 0 = 0
1
n
n
1 =1=1
n
n
a n
ab
= a. Ainsi
1
n a est égal à
1
n a vérifie l’équation
2. Propriétés € des racines € nième n
= ( a)
n
= a = a n ( ) 1 ⎛
n = ⎜ a
⎝
n
= a
a
n =
b
a
n
n
b
n
× b
et aussi (avec
n
m
€
nm m n
a = a = a
€
(exple :
3
1
n
n
⎞
⎟
⎠
= ( ab)
1 1
n n = a × b
m ≥ 2) :
⎛ a
⎜
⎝ b
⎞
⎟
⎠
3
64 = € 64
3.
1
−
a
1 n = n
a
1
n
x n = a.
a et € on a a n ( ) 1
n n n
= a
n
= a
1
n
b
6
= 64
Exercice
€
: écrire l’expression
€
= 1
a
1
n
1
n
⎛ 1 ⎞
m ⎜ a ⎟
⎝ ⎠
1
n
1
n
= 2)
5 3 ( ) 1
1 ⎛
mn = a = ⎜ a
⎝
( ) −1
3 3
× 125
1
n
⎞
⎟
⎠
1
m
= a
sous la forme d’une seule puissance.