Racine nieme (Exercices) - PanaMaths

Racine nième
Corrigés d’exercices
Page 159 : N°80, 82, 84, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 97 Page 165 : N°130, 132
Page 162 : N°105 Page 167 : N°138
Page 164 : N°122
N°80 page 159
2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1
2×
+
3 6
3 6 3 2 6 3 6 3 6 3 3 3 3 1
( )
5 × 25 = 5 × 25 = 5 × 5 = 5 × 5 = 5 × 5 = 5 × 5 = 5 = 5 = 5
N°82 page 159
1 1
1
10×
10 10 10 10
10
1
( )
2× 1024 = 2× 1024 = 2× 2 = 2× 2 = 2× 2 = 2× 2 = 4
1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 1
4×
+
5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 1
( )
81× 3 = 81 × 3 = 3 × 3 = 3 × 3 = 3 × 3 = 3 = 3 = 3
1. a) Comme k est positif, k appartient à l’ensemble de définition de la fonction f.
3 3
Par ailleurs, on a immédiatement : f ( k) = k − k = 0 .
On en déduit :
k est une racine de f sur [ 0; +∞ [ .
b) D’après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f
par x k
− :
3 3 2
( ) = − = ( − )( α + β + γ)
f x x k x k x x
x − k α x + βx+ γ = αx + β − kα x + γ −kβ x− kγ
.
Par identification, on obtient alors le système :
2 3 2
Or : ( )( ) ( ) ( )
⎧ α = 1
⎪ ⎧ α = 1
⎪β − kα
= 0 ⎪
⎨ ⇔ ⎨β=
k
⎪γ − kβ
= 0
⎪
⎪ 3 γ = k
− kγ=−k ⎩
⎩
Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/21 M. Lichtenberg
2

On a donc finalement :
2. On a d’abord :
Racine nième
Corrigés d’exercices
3 3 2 2
( ) ( )( )
∀x≥ 0, f x = x − k = x− k x + kx+ k
2 2
( )
3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3
( a − b)( a + ab+ b ) = ( a − b) ( a) + a b+ ( b)
En utilisant l’égalité obtenue à la question précédente avec
immédiatement :
3 x a
= et 3
2 2
( )
3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3
( a − b)( a + ab+ b ) = ( a − b) ( a) + a b+ ( b)
Le résultat est ainsi établi.
N°84 page 159
3 3 ( a) ( b)
= −
= a−b 3 3
3 3 3 2 3 3 2
( )( )
a − b a + ab+ b = a− b
a) On a : ( 1+ 2
3) = 1+ 2 3+ 3= 2( 2+ 3)
.
D’où : ( 1+ 4
3) = ⎡2( 2+ 2
3) ⎤ = 4( 2+ 2
3) = 4( 4+ 4 3+ 3) = 4( 7+ 4 3)
⎣ ⎦
4
( 1+ 3) = 4( 7+ 4 3)
k = b , on obtient
b) D’après ce qui précède et en tenant compte du fait que 1+ 3 est strictement positif, on a :
Finalement :
4 4 4
( )
1+ 3 = 4 4 7+ 4 3 = 4× 7+ 4 3 = 2× 7+ 4 3
4
2× 7+ 4 3 = 1+ 3
Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/21 M. Lichtenberg
.

N°86 page 159
a) 4
b)
Racine nième
Corrigés d’exercices
⎧ 1 1
x ≥
⎧
2x1 0
x ≥
⎧ − ≥ ⎪ 2 ⎪
2 17
2x− 1= 2⇔
⎨ ⇔ x
4 ⎨ ⇔ 4 ⎨ ⇔ =
⎩2x− 1= 2 ⎪ 2 + 1 17 2
x = ⎪ x =
⎪⎩ 2 ⎪⎩
2
S
⎧17 ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ 2 ⎭
⎧x + 1≥0 ⎧x
≥−1 ⎧x
≥−1
1 ⎪ ⎪ ⎪
1 31
x+ 1= ⇔ ⇔ ⇔ 1 ⇔ x= −1⇔ x=−
2 x = −1
32 32
⎩ ⎝2⎠ ⎩ 2 ⎩ 32
5 5
⎨ ⎛1⎞ ⎨ 1 ⎨
⎪x+ 1 = ⎜ ⎟ ⎪x= −1
5 ⎪
c) Comme
N°88 page 159
S
2
x + 1> 0 pour tout x réel, on a :
⎧ 31⎫
= ⎨− ⎬
⎩ 32⎭
x + 1= 2⇔ x + 1= 2 ⇔ x = 8− 1= 7⇔ x=±
7
3 2 2 3 2
a) On résout l’équation dans + et on a alors :
S
= { − 7; 7}
1 1 1
⎧ ⎧ ⎧
5 5 5
2 1 ⎪X = x ⎪X = x ⎪X
= x
5 5 ⎪ ⎪ ⎪
x − x = 6⇔ ⎨X ≥0 ⇔ ⎨X ≥0 ⇔ ⎨X
≥0
⎪ 2 2
X X 6
⎪
X X 6 0
⎪(
X + 2)( X − 3) = 0
⎪
− = − − =
⎩
⎪
⎩
⎪
⎩
1
⎧
1
⎪ 5 X x 5
5
⇔ =
⎨ ⇔ x = 3 ⇔ x=
3 = 243
⎪ ⎩X
= 3
S
= { 243}
Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/21 M. Lichtenberg

) On résout l’équation dans
Racine nième
Corrigés d’exercices
*
+ et on a alors :
⎧ 1 1 1
⎧ ⎧
⎪ 3 3 3
X = x 1 1
⎪X = x ⎪X
= x
− ⎪ 3 3
⎪ ⎪
x + 12x =−7⇔ ⎨X > 0 ⇔ ⎨X > 0 ⇔ ⎨X
> 0
⎪ ⎪
X 7X 12 0
⎪
12 7
( X + )( X +
X
) =
⎪
+ + =
+ =− ⎪ ⎪
⎩ X ⎩ ⎩
Les deux solutions de l’équation ( X )( X )
2
1 4 3 0
+ 4 + 3 = 0 étant strictement négatives, on en
déduit que le système n’admet pas de solution.
On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif,
1
1
3 3 on a x > 0,
x 0
−
1 1
3 3
> et donc x 12x 0
−
+ > .
N°89 page 159
1
2
2
3 3
⎛ ⎞
On remarque que l’on a : ⎜x⎟ = x
⎝ ⎠
vient :
S
Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/21 M. Lichtenberg
= ∅
3
2
3
4 2
⎛ ⎞
et ⎜y⎟ = y
⎝ ⎠
. On pose alors :
1
3
4
X = x et Y = y et il
1 1 1
⎧ ⎧ ⎧
3 3 3
⎪ X = x ⎪ X = x ⎪
X = x
⎪ 3 ⎪ 3 ⎪
3
1 3 4 4 4
⎧
⎪ Y = y ⎪ Y = y ⎪
Y = y
3 4
⎪x
+ y = 8 ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⇔ 0, 0 0, 0 0, 0
2 3 ⎨ X ≥ Y ≥ ⇔ ⎨ X ≥ Y ≥ ⇔ ⎨
X ≥ Y ≥
⎪ 3 2 x y 40
⎪ X Y 8 ⎪ Y 8 X ⎪
⎩ + =
+ = = − Y = 8−X
⎪ ⎪ ⎪
2 2 2
2 2
⎪X + Y = 40 ⎪X + ( 8− X)
= 40 ⎪2X
− 16X + 64 = 40
⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎩ ⎩
1
1
⎧
⎧
3
3
⎪ X = x ⎪
X = x
⎪
3 ⎪
3
⎪ 4 Y = y ⎪ 4 Y = y
⎪
⎪
⇔ ⎨ X ≥0, Y ≥0⇔
⎨
X ≥0, Y ≥0
⎪ Y = 8 −X
⎪ Y = 8 −X
⎪ ⎪
2 ⎪X − 8X + 12= 0 ⎪( X −2)( X − 6) = 0
⎪ ⎪
⎩ ⎩
Avec X = 2 , il vient : Y = 6 . Puis :
x X
3 3
= = 2 = 8 et
3
On obtient ainsi un premier couple solution : ( ; ) ( 8;6 6)
xy = .
4 4 1 1
1+
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6 6
y = Y = = = × = .
3

Avec X = 6 , il vient : Y = 2 . Puis :
Racine nième
Corrigés d’exercices
x X
3 3
= = 6 = 216 et
On obtient ainsi un deuxième couple solution : ( ) ( )
N°91 page 159
1
S
=
4 4 1 1
1+
3 3 3 3 3
2 6 2 2 2 2
y = Y = = = × =
xy ; =
3
216;2 2 .
3
3
{ ( 8;6 6 ) , ( 216;2 2 ) }
6 6
Pour x = 0 , on a : 0 = 0
12 11
= 0 et 0 12 12 = 0 = 0 = 0 et les deux membres de l’inéquation
sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l’inéquation.
Pour tout réel x strictement positif, on a :
Finalement :
N°92 page 159
6
x
12 11
8 x
1
6 x
11
12 8x 1
8
11
12 x
1
6
−1
8
11 1
−
12 6 x
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
9 3
−3 12 −3 4 2 ≤ x ⇔ 2 ≤ x
x
4
−3 3
−4
1
⇔ x≥( 2 ) ⇔ x≥2 ⇔ x≥
16
S
Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/21 M. Lichtenberg
1
⎡ 1 ⎡
= {} 0 ∪
⎢
; +∞
⎣16 ⎢
⎣
Du fait du terme 3 x , on résout cette équation dans + :
Avec X = 2 , il vient
1
⎧
3
2 1 ⎪X
= x
3 2 3 3 3 ⎪
2 x − 5 x + 2= 0⇔ 2x − 5x + 2= 0⇔ ⎨X
≥0 ⇔
⎪ 2
⎪
2X − 5X + 2= 0
⎩
1 ⎧ 1
⎧
3 3
X x ⎪
⎪ = X = x
⎪ ⎪
⎨X ≥0 ⇔ ⎨X
≥0
⎪ 2
2X 5X 2 0
⎪
1
⎪
− + = ⎛ ⎞
⎩
⎪2( X −2) ⎜X − ⎟=
0
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠
x X
3 3
= = 2 = 8.

Avec
1
X = , il vient :
2
Finalement :
N°94 page 159
1. Pour tout x réel, on a :
symétrique.
3 ⎛1⎞ 1
x= X = ⎜ ⎟ = .
⎝2⎠ 8
Par ailleurs, pour tout x réel, on a :
De ce qui précède, on tire :
Racine nième
Corrigés d’exercices
3
S
⎧1 ⎫
= ⎨ ;8⎬
⎩8⎭ 2
2x + 1≥ 2> 0.
La fonction f est donc définie sur qui est
3
2 3 2
( − ) = 2( − ) + 1= 2 + 1=
( )
f x x x f x
La fonction f est paire.
1 1 2
ln( 2x + 1
3 2 2 )
3 3
f x = x + = x + = e .
2. Pour tout x réel, on a : ( ) 2 1 ( 2 1)
2 2
Or, on a : lim ( 2x + 1) = lim 2x
=+∞ et lim ln
x→+∞ x→+∞x→+∞
1 2
et lim ln ( 2x + 1)
=+∞.
x→+∞
3
Or, on a : lim x
e =+∞. Donc :
x→+∞
Finalement :
lim e
x→+∞
Lycée Fénelon Sainte-Marie 6/21 M. Lichtenberg
x
2 ( x + )
= +∞ .
1
ln 2 1
3
lim
x→+∞
( )
f x
= +∞
La fonction f étant paire, on en déduit immédiatement :
lim
x→−∞
3. La fonction f est la composée de la fonction
( )
f x
= +∞
x x +
valeurs dans [ 1; +∞ [ , et de la fonction racine cubique
Comme [ 1; +∞ [ est inclus dans
2
= +∞ . Donc : lim ln ( 2x 1)
x→+∞
+ =+∞
2
2 1,
dérivable sur et prenant ses
3 x x , dérivable sur
*
+ .
*
+ , on en déduit que la fonction f est dérivable sur .
La fonction f est dérivable sur .

Racine nième
Corrigés d’exercices
Pour tout x réel, on a : ( ) ( ) 1
3 2 2
f x 2x 1 2x 1 3
= + = + .
On en déduit alors (dérivation d’une composée) :
1 2
1 2
−12 2
− 2
f ' 3 3
( x) = × 2x× ( 2x + 1) = x( 2x + 1)
=
3 3 3
2
∀x∈ , f '(
x)
=
3
( ) 2
2
2x+ 1
4. Pour tout x réel, on a : ( ) 2
2
2x + 1 ≥ 1> 0 d’où : ( ) 2
2
donc le même que celui de x :
*
−
*
+
2 ( 2x+ 1)
Lycée Fénelon Sainte-Marie 7/21 M. Lichtenberg
3
x
3 2 1 0
3
x + > . Le signe de '(
)
• Sur , on a : f '( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ;
• Sur , on a : f '( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante.
x
2
f x est
A titre de complément, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative de la fonction f
pour x compris entre 250
− et 250 …
1
f(x) =(2x 2 3
+1)
200
150
100
50
0
x
-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250
-50
-100
-150
Courbe représentative de la fonction
y
3 2
x x +
2 1 pour x ∈− [ 250;250]
.

Racine nième
Corrigés d’exercices
… puis pour x compris entre − 5 et 5 (tangente horizontale à l’origine) :
1
f(x) =(2x 2 3
+1)
5
4
3
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
N°97 page 159
Courbe représentative de la fonction
4
1. a) La fonction x x −
est dérivable sur
quatrième, dérivable sur
*
fonction inverse, dérivable sur + .
1
La fonction x x est dérivable sur
2
La fonction f est donc dérivable sur
cet intervalle.
1
-1
-2
-3
Lycée Fénelon Sainte-Marie 8/21 M. Lichtenberg
y
3 2
x x +
*
+ et prenant ses valeurs dans
Pour tout réel x strictement positif, on a alors :
2 1 pour x ∈− [ 5;5]
.
*
+ comme composée de la fonction racine
*
+ (pour x > 0 ), et de la
*
+ en tant que fonction linéaire.
*
+ comme somme de deux fonctions dérivables sur
1 5
1 − −1 1 1⎛
− ⎞
4 4
f '( x) =− x + × 1= ⎜2−x ⎟
4 2 4⎝
⎠
5
1
4
f '( x) 2 x
4
− ⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
x

) On a :
Racine nième
Corrigés d’exercices
4
5 5 5 5
−
− − − − 5
4 4 4 4
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f '( x) = 0⇔ ⎜2− x ⎟= 0⇔2− x = 0⇔ x = 2⇔ ⎜x ⎟ = 2 ⇔ x=
2
4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
4
La fonction f ' s’annule en
4 4
− −
5 5
Lycée Fénelon Sainte-Marie 9/21 M. Lichtenberg
x
0
4
−
5
= 2 .
c) La fonction x x (racine quatrième) est strictement croissante sur
− 5 1
et prend ses valeurs dans cet intervalle. La fonction x x = est strictement
5
x
décroissante sur comme inverse d’une fonction strictement croissante sur cet
*
+
5
4
intervalle. La fonction x x −
est donc strictement décroissante sur
1 *
La fonction x ( 2 − x)
est strictement décroissante sur + .
4
Finalement, la fonction f ' est strictement croissante sur
*
+ .
En utilisant le résultat de la question précédente, il vient alors :
• Pour
4
⎤ − ⎡
5 x ∈ ⎥0; 2 ⎢
⎦ ⎣
4
⎛ − ⎞
5 =
• f '⎜2 ⎝
⎟
⎠
0 ;
•
4
⎤ − ⎡
5
Pour x ∈ ⎥2 ; +∞⎢
⎦ ⎣
*
+ (cf. le cours)
*
+ .
, f '( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ;
, f '( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante.
Remarque : on déduit de ce qui précède que la fonction f admet un minimum global en
4
−
5
x0
= 2 . Les résultats des calculs de limites qui suivent doivent être en accord avec ce
résultat.
Par ailleurs, on a :
1
4 4
−
4 4 4 ⎛ 1⎞
4 1 4
− − 1 − − × ⎜− ⎟
− −1− 5 5 5 5 ⎝ 4⎠
−1
5 5 5
⎛
f ( x0) = f ⎜2 ⎝
⎞ ⎛
⎟= ⎜2 ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
+ 2
2
= 2 + 2 × 2 = 2 + 2
1 9
−
5 5 = 2 + 2
1 10 1 1
⎛ − ⎞
5 5 5 −2
5 5
= 2 ⎜1+ 2 ⎟=
2 ( 1+ 2 ) = 2 ×
1,435 873
⎝ ⎠
4

2. On a :
x→ 0
x>
0
positives sur
On a aussi :
1 1
4 4
Racine nième
Corrigés d’exercices
lim x = 0 = 0 et la fonction racine quatrième prend des valeurs strictement
*
+ . On en déduit :
lim x
x→+∞
1
4
lim x −
xx→
0
> 0
1
4
xx→
0
> 0
= +∞ . Par ailleurs :
⎛1⎞ lim ⎜ x ⎟=
0 . D’où :
⎝2⎠ Lycée Fénelon Sainte-Marie 10/21 M. Lichtenberg
( )
lim f x
= +∞
x→ 0
x>
0
1
4
=+∞. D’où : lim x 0
x
−
⎛1⎞ = . Par ailleurs : lim ⎜ x⎟=+∞.
D’où :
→+∞
x→+∞⎝2⎠
lim
x→+∞
( )
f x
= +∞
Ces résultats sont cohérents avec l’existence d’un minimum en
3. a) D’après la question précédente, on a : ( )
b) On obtient :
x
0
4
−
5
= 2 .
1
1
4
lim f x x lim x 0
x 2 x
−
⎛ ⎞
⎜ − ⎟=
= . D’où :
→+∞ →+∞
⎝ ⎠
La courbe représentative C de la fonction f admet en +∞
1
une asymptote oblique Δ d’équation : y = x .
2
y
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
y = 1
2 x
-0.5
-1
-1.5
-
f(x) =x
1
4
+ 1
2 x

N°105 page 162
1. On a ( )
Racine nième
Corrigés d’exercices
f x
1
−
3 = x =
1
1
3 x
. On obtient donc facilement les tableaux de variations des
3
fonctions f et g à partir de ceux des fonctions racine cubique ( x x ) et racine quatrième
1
4 ( x x ).
Il vient donc :
x 0 +∞
+∞
f
Et :
x 0 +∞
+∞
g
0
2. f ( x) g( x)
⎧x
> 0
⎪
⎪ ⎩x
= 2x
= équivaut à : ⎨ 1 1
−
3 4
Il vient alors :
.
⎧x> 0
⎪
⎨
⎩⎪x x
⎧x
> 0
⎪
⎨ 1
⎪
⎩ x
⎧x> 0
⎪
⎨
⎪⎩ x x
⎧x> 0
⎪
⎨
⎪⎩ x
⎧x>
0
⎪
⎨
⎪ =
⎧ x > 0 x > 0 ⎧ x > 0 x > 0
12
⎪ ⎪
⎧
⎪ ⎪
⎧
−
7 12
7
⇔ ⎨ 1 ⇔ ⎨ 7 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 12 ⇔ x = 2
12
12 1 −1
−
x −
7 ⎪ = ⎪ 7
x = 2 ⎪x= ( 2 ) ⎪x=
2
⎩ 2 ⎩ ⎩
⎩
1
1 1 ⇔ 4 ⇔ 1 1 ⇔ 1 1 ⇔
7
− = 2x
+
3 4 1
4 3 4 3 12
= 2 1= 2 × 1= 2 1 2x
3
⎩
L’équation f ( x) = g( x)
admet comme unique solution :
Lycée Fénelon Sainte-Marie 11/21 M. Lichtenberg
1
12
−
7
x = 2 0,3.
0

A titre de complément, on a :
3. a) et b) On obtient :
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
y
Racine nième
Corrigés d’exercices
1
12 12 12
−
3
12 ⎛ 1 ⎞ 4
− − − − × ⎜− ⎟
7 7 7 7 ⎝ 3⎠
7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f ⎜2 ⎟= g⎜2
⎟= ⎜2 ⎟ = 2 = 2 1,5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
-0.2
N°122 page 164
g(x) =2 4
x
-
f(x) =x
1
3
On note C n la courbe représentative de la fonction racine nième dans un repère orthonormal.
a) La dérivée de la fonction racine nième est définie sur
elle prend donc la valeur 1
n .
On a par ailleurs :
1
n n
1= 1 = 1.
*
+ par :
1
1 −1
n x x . Pour x = 1,
n
Lycée Fénelon Sainte-Marie 12/21 M. Lichtenberg
x

Racine nième
Corrigés d’exercices
L’équation réduite de la tangente Tn à C n au point d’abscisse x = 1 s’écrit donc :
1
y = ( x−
1) + 1
n
La droite T n coupe l’axe des ordonnées en un point dont l’abscisse est nulle. D’après
l’équation obtenue précédemment, son ordonnée vaut donc : y ( )
1 1
= 0− 1 + 1= 1−
.
n n
L’ordonnée du point d’intersection de la droite T n avec l’axe des ordonnées vaut :
n 1
b) On considère la fonction h définie sur + par : h( x) = x − ( x−1)
− 1.
n
La fonction h est dérivable sur
1
1− .
n
*
+ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet
1
− −1 −1).
n
intervalle (la fonction racine nième et la fonction affine : x ( x )
On a alors, pour tout réel x strictement positif :
1 1 1−n 1−n n−1
1 −1 1 1⎛ −1
⎞ 1⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞
n n n n n
h'( x) = x − = ⎜x − 1⎟= ⎜x − 1⎟= x ⎜1−x ⎟
n n n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n ⎝ ⎠
1−n
1 n
Pour tout réel x strictement positif, le facteur x l’est également.
n
n−1
1
n−1
⎛ ⎞
n n
Le signe de h'( x ) est donc celui de la différence : 1− x = 1−⎜x
⎟ .
⎝ ⎠
*
La fonction racine nième est strictement croissante sur + et prend ses valeurs dans cet
n 1
intervalle. Comme n ≥ 2 , on a n − 1> 0 et la fonction x x −
est strictement croissante
1
n−1
n−1
*
⎛ ⎞
n n
sur + . On en déduit que la fonction x ⎜x ⎟ = x , composée des deux
⎝ ⎠
précédentes, est strictement croissante sur .
n−1
n
Finalement, la fonction x 1−
x est strictement décroissante sur
Comme elle s’annule pour x = 1,
il vient :
• Pour x ∈ ] 0;1[
, on a ( )
• Pour x ∈ ] 1; +∞ [ , on a ( )
Lycée Fénelon Sainte-Marie 13/21 M. Lichtenberg
*
+
*
+ .
h' x > 0 et la fonction h est strictement croissante ;
h' x < 0 et la fonction h est strictement décroissante.
La fonction h étant continue sur +
comme somme de deux fonctions continues sur cet
intervalle, on peut étendre la conclusion à ce point.

Finalement :
Racine nième
Corrigés d’exercices
• Pour x ∈ [ 0;1]
, la fonction h est strictement croissante ;
• Pour x ∈ [ 1; +∞ [ , la fonction h est strictement décroissante.
c) D’après ce qui précède, la fonction h admet un maximum pour x = 1.
La valeur maximale
n 1
prise par h vaut donc : h()
1 = 1− ( 1−1) − 1= 1−0− 1= 0.
n
On en déduit que pour tout x positif, on a : h( x) ≤ 0 .
1
n
1
≤ − 1 + 1.
n
n n Soit : x − ( x−1)
−1≤ 0,
ou encore : x ( x )
x Pour une valeur de x donnée, l’ordonnée ( x ) du point correspondant sur C n est
⎛1⎞ inférieure à l’ordonnée ⎜ ( x − 1) + 1⎟
⎝n⎠ du point correspondant sur Tn . D’où :
La courbe représentative C n de la fonction racine nième
est située sous la tangente Tn au point d’abscisse x = 1.
A titre d’illustration, nous avons tracé dans un même repère orthonormal les courbes et les
tangentes correspondant à n = 2 (rouge), 4 (bleu) et 10 (vert) :
y10
y4
y2
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
y
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-0.2
1
10
f (x) =x
10
1
2
f (x) =x = x
2
1
4
f (x) =x
4
Lycée Fénelon Sainte-Marie 14/21 M. Lichtenberg
x

N°130 page 165
Racine nième
Corrigés d’exercices
1. Les réels a et b étant positifs, il en va de même pour les réels a+ b et 2 ab .
Pour les comparer, nous pouvons comparer leurs carrés :
On a alors :
On a donc : ( ) ( ) 2
2
a b 2 ab
( ) 2 2 2
a b a b 2ab
+ = + + et ( ) 2
2 2
2 2
( ) ( )
( a b)
2 ab = 4ab
a + b − 2 ab = a + b + 2ab −4ab
= + −
2
a
2
b 2ab
2
= −
+ ≥ , d’où, finalement :
a+ b≥ 2 ab
2. Remarquons d’abord que l’inégalité est immédiatement vérifiée si l’un des réels a, b ou c
est nul. Nous pouvons donc supposer, à partir de maintenant que les trois réels a, b et c
sont non nuls (donc strictement positifs).
Nous devons donc ici comparer deux réels strictement positifs. La fonction cube étant
*
strictement croissante sur , nous pouvons comparer ( ) +
3
a+ b+ c et ( ) 3
3 3 abc = 27abc
.
Soit alors b et c deux réels strictement positifs fixés quelconques et soit ϕ la fonction
*
définie sur par :
+
( ) ( ) 3
ϕ x = x+ b+ c − 27xbc
*
La fonction ϕ est une fonction polynôme donc dérivable sur et on a, pour tout x réel
+
strictement positif :
( ) (
2
)
( )
ϕ ' x = 3 x+ b+ c −27bc
2 ⎡ ⎤
= 3 x+ b+ c −9bc
⎣ ⎦
2
⎡ ⎤
2
( x b c) ( bc)
= 3
⎢⎣ + + − 3
⎥⎦
= 3⎡ ⎣
x + b+ c− 3 bc⎤⎡ ⎦⎣
x+ b+ c+ 3 bc⎤
⎦
Le facteur x + b+ c+ 3 bc est strictement positif.
Lycée Fénelon Sainte-Marie 15/21 M. Lichtenberg

Racine nième
Corrigés d’exercices
Quant au facteur x b c 3 bc
x0 =− b+ c + 3 bc qui peut être
positif ( b= c=
1 par exemple) ou négatif ( b = 1 et c = 9 par exemple).
+ + − , il s’annule pour ( )
Nous devons donc distinguer plusieurs situations :
Si x0=− ( b+ c) + 3 bc < 0
Pour tout réel x de
*
, on a
+
'( x)
0
ϕ x
x→0 ⎡ x
x→0⎣
b
3
c xbc⎤ ⎦
b
3
c
x> 0 x>
0
On a : ( ) ( ) ( )
ϕ > et la fonction ϕ est strictement croissante.
lim = lim + + − 27 = + > 0 et on en déduit :
Si x0=− ( b+ c) + 3 bc > 0
Lycée Fénelon Sainte-Marie 16/21 M. Lichtenberg
( )
*
∀x∈ , ϕ x > 0
• Pour tout réel x de ] 0; x 0[
, on a ( x)
décroissante ;
• Pour tout réel x de ] x +∞ [ , on a ( ) x
croissante.
La fonction ϕ admet donc un minimum global en x 0 .
Or, on a :
0 ;
( ) ( )
0
+
ϕ ' < 0 et la fonction ϕ est strictement
ϕ ' > 0 et la fonction ϕ est strictement
( 3 )
( 3
3
) 27( ( ) 3 )
27 27( ( ) 3 )
27bc( bc b c 3 bc )
27bc( b c 2 bc )
ϕ x = ϕ − b+ c + bc
= bc − − b + c + bc bc
= bc bc − − b + c + bc bc
= + + −
= + −
D’après la question précédente, on a : b c 2 bc
Le cas ( )
+ ≥ . On en tire alors : ( x )
( )
*
∀x∈ , ϕ x ≥0
x0=− b+ c + 3 bc = 0 se traite comme le précédent.
Dans toutes les situations, on a donc :
+
( )
*
∀x∈ , ϕ x ≥0
+
ϕ ≥ 0 , puis :
0

Racine nième
Corrigés d’exercices
On a donc, pour tout x réel strictement positif :
Soit :
( ) 3
x+ b+ c −27xbc≥ 0
3 x + b+ c≥ 3 xbc
On en tire, b et c ayant été choisis quelconques dans
3
a+ b+ c≥ 3 abc
*
:
+
L’inégalité est finalement valable pour tous réels a, b et c dans + :
N°132 page 165
1
n
1
3
Pour tous réels a, b et c dans + , on a :
3
a+ b+ c≥ 3 abc
Les réels n et 3 étant strictement positifs, nous pouvons comparer leurs logarithmes
1 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ln n ⎞ 1
⎛ ⎞ 1
n n
3
népériens : ln ⎜n ⎟= ln ⎜e ⎟=
ln n et, en particulier, pour n = 3 : ln ⎜3⎟= ln 3.
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n
⎝ ⎠ 3
*
ln x
Considérons alors la fonction ϕ définie sur + par : ϕ ( x)
= .
x
Elle y est dérivable comme rapport de deux fonctions dérivables et on a, pour tout x réel
strictement positif :
ϕ '
1
× x− ln x×
1
x
1−lnx x x
( x)
= =
2 2
En tenant compte de : ln x = 1 ⇔ x= e et du fait que la fonction logarithme népérien est
strictement croissante sur , il vient :
*
+
• Pour x ∈ ] 0; e[
, '( x)
0
• Pour x∈ ] e;
+∞ [ , '( x)
0
Tavaillons d’abord sur l’intervalle ] e ; +∞ [ . On a : 3 ] e;
[
ϕ > et la fonction ϕ est strictement croissante ;
ϕ < et la fonction ϕ est strictement décroissante.
∈ +∞ . Pour tout entier naturel
ln n
= ϕ n
n
≤ ϕ 3
1 1
ln 3
n 3
= . D’où : n ≤ 3 .
3
supérieur ou égal à 3, on a donc : ( ) ( )
Il reste donc à traiter les cas n = 1 et n = 2 .
Lycée Fénelon Sainte-Marie 17/21 M. Lichtenberg

Racine nième
Corrigés d’exercices
On a d’abord : 1< 3 et la fonction racine cubique est strictement croissante sur + . On en
1 1
1
1
3 3
3
1 1
1 3
déduit : 1 < 3 , soit 1< 3 . Or : 1 = 1 = 1.
On a donc : 1 < 3 et l’inégalité est bien vérifiée
pour n = 1.
1
2
Pour n = 2 , il convient de comparer : 2 =
6
2 et 3 . La fonction x x étant strictement
croissante sur + , nous pouvons comparer les puissances sixièmes de ces deux nombres :
Comme 8< 9,
il vient
Conclusion générale :
N°138 page 167
1. Comme :
1
2
1
6
⎛ ⎞ 6
2
3
= = =
( )
1
⎛ ⎞
3 2
⎜2 ⎟ 2 2 8 et ⎜3 ⎟ = 3 = 9
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
3
2 < 3 . L’inégalité est vérifiée pour n = 2 .
Pour tout n entier naturel non nul, on a :
2 1
2
⎛ ⎞
3 3 2
0 = 0 = 0 = 0
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
⎛ ⎞
3 3 2
Par ailleurs : 8 = ⎜8 ⎟ = 2 = 4
⎝ ⎠
2. a) On cherche :
2
x→0 x→0
x> 0 x>
0
Lycée Fénelon Sainte-Marie 18/21 M. Lichtenberg
1
3
, il vient : f ( ) ( )
1
6
1
1 1
n 3
n ≤ 3 .
3 1
3
3 ⎛ ⎞
2 2 3
0 = 4− 0 2 = 4 = 4 = 2 = 8
. D’où : f ( ) ( )
f ( 0) = 8 et ( )
3
2 2
3
⎛ ⎞
⎜4−x⎟ −8
f ( x)
− 8
lim = lim
⎝ ⎠
.
x x
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 1
3
3 ⎛ ⎞
2 2 3
8 = 4− 4 2 = 0 = 0 = 0 = 0
f 8 = 0
Nous avons affaire ici à une forme indéterminée du type « 0
0 ».
3
2 2
⎛ ⎞
3
L’exposant de ⎜4−x⎟ ⎝ ⎠
l’expression conjuguée.
⎜ ⎟
⎝ ⎠
comportant un 2 au dénominateur, nous pouvons utiliser
.
.

Pour tout x strictement positif, on a :
3
Racine nième
Corrigés d’exercices
( )
x
8
=
f ( x) f ( x)
x⎡⎣f ( x)
+ 8⎤⎦
2 2
( f ( x)
) − 8
=
x⎡f ( x)
+ 8⎤
f x
− ⎡⎣ − 8⎤⎡ ⎦⎣ + 8⎤⎦
⎣ ⎦
3
⎡ 2 ⎤
2
⎢⎛ ⎞
3 4−x⎥ −64
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢
⎝ ⎠
⎥
=
⎣ ⎦
3
⎡ 2 ⎤
2
3 x⎢⎛ ⎞
4− x + 8⎥
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢
⎝ ⎠
⎣ ⎥⎦
2
3
⎛ ⎞
3
⎜4−x⎟ −64
=
⎝ ⎠
3 ⎡ 2 ⎤
2
3 x⎢⎛ ⎞
4− x + 8⎥
⎢⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎥
⎢⎣ ⎥⎦
2
⎛ ⎞2
3
Le facteur ⎜4− x ⎟ + 8 du dénominateur ne pose pas de problème puisqu’il tend vers 16
⎝ ⎠
lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
2
⎛ ⎞
3
⎜4−x⎟ − 64
Nous nous intéressons donc désormais à
⎝ ⎠
pour tout x réel strictement
x
positif. On a, en développant le cube au numérateur :
x→0
x>
0
3
2
⎛ ⎞
3
⎜4−x⎟ −64
4
⎝ ⎠
=
x
3
Lycée Fénelon Sainte-Marie 19/21 M. Lichtenberg
3
2
2 2
2
2
3
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 3 3
− 3× 4 × x + 3× 4× ⎜x ⎝
x
⎟
⎠
−⎜x ⎝
⎟
⎠
−64
2 4
3 3
− 48× x + 12×
x −x
=
x
1 1
−
3 3
=− 48x + 12x
−x
1
1
⎛ ⎞
3
3
Or, lim ⎜12x − x⎟=
0 − 0 = 0 mais : lim 48x
⎝ ⎠
− ⎛ ⎞
⎜− ⎟=−∞.
⎝ ⎠
x→0
x>
0
2

On en déduit finalement :
Racine nième
Corrigés d’exercices
xx→
0
> 0
( )
f x − 8
lim = −∞
x
( ) ( ) ( )
f
b) On vient d’obtenir : lim
x→0 x> 0
x −8 f
= lim
x x→0
x>
0
x − f
x−0
0
=−∞.
On en déduit immédiatement :
La fonction f n’est pas dérivable en 0 (à droite).
c) D’après le résultat précédent, on peut conclure que :
La courbe représentative C de la fonction f admet
en son point d’abscisse nulle une tangente verticale.
3. a) Pour tout réel x strictement positif, on a :
3 1
2 2
−1
2 1 2
−1− 2
3 3 3 3
3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f '( x) = × ⎜− × x ⎟× ⎜4− x ⎟ =− x × ⎜4−x ⎟
2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Pour tout x de ] 0;8 ] , ( )
1 2
1
2
3 3
− ⎛ ⎞
f ' x =− x × ⎜4−x ⎟
⎝ ⎠
b) Pour tout x strictement positif (et donc à fortiori sur ] 0;8 ] ) on a
[ 0;8 [ , on a :
1
2 2
3
2
⎛ ⎞
3 4− x > 0 et donc ⎜4− x ⎟ > 0.
⎝ ⎠
1
3 0
Lycée Fénelon Sainte-Marie 20/21 M. Lichtenberg
x −
> . Pour tout x de
On déduit de ce qui précède que la dérivée de f est négative sur ] 0;8 ] et ne s’y annule que
pour x = 8 . La fonction f est donc strictement décroissante sur cet intervalle. Comme elle
0;8 comme composée de fonctions continues, on en déduit finalement :
est continue sur [ ]
La fonction f est strictement décroissante sur [ 0;8 ] .

4. On obtient :
12
10
8
6
4
2
y
Racine nième
Corrigés d’exercices
0
x
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
-2
-4
2 3
3 2
f(x) =(4-x )
Lycée Fénelon Sainte-Marie 21/21 M. Lichtenberg