Racine nieme (Exercices) - PanaMaths
Racine nieme (Exercices) - PanaMaths
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<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
Page 159 : N°80, 82, 84, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 97 Page 165 : N°130, 132<br />
Page 162 : N°105 Page 167 : N°138<br />
Page 164 : N°122<br />
N°80 page 159<br />
2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1<br />
2×<br />
+<br />
3 6<br />
3 6 3 2 6 3 6 3 6 3 3 3 3 1<br />
( )<br />
5 × 25 = 5 × 25 = 5 × 5 = 5 × 5 = 5 × 5 = 5 × 5 = 5 = 5 = 5<br />
N°82 page 159<br />
1 1<br />
1<br />
10×<br />
10 10 10 10<br />
10<br />
1<br />
( )<br />
2× 1024 = 2× 1024 = 2× 2 = 2× 2 = 2× 2 = 2× 2 = 4<br />
1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 1<br />
4×<br />
+<br />
5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 1<br />
( )<br />
81× 3 = 81 × 3 = 3 × 3 = 3 × 3 = 3 × 3 = 3 = 3 = 3<br />
1. a) Comme k est positif, k appartient à l’ensemble de définition de la fonction f.<br />
3 3<br />
Par ailleurs, on a immédiatement : f ( k) = k − k = 0 .<br />
On en déduit :<br />
k est une racine de f sur [ 0; +∞ [ .<br />
b) D’après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f<br />
par x k<br />
− :<br />
3 3 2<br />
( ) = − = ( − )( α + β + γ)<br />
f x x k x k x x<br />
x − k α x + βx+ γ = αx + β − kα x + γ −kβ x− kγ<br />
.<br />
Par identification, on obtient alors le système :<br />
2 3 2<br />
Or : ( )( ) ( ) ( )<br />
⎧ α = 1<br />
⎪ ⎧ α = 1<br />
⎪β − kα<br />
= 0 ⎪<br />
⎨ ⇔ ⎨β=<br />
k<br />
⎪γ − kβ<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎪ 3 γ = k<br />
− kγ=−k ⎩<br />
⎩<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/21 M. Lichtenberg<br />
2
On a donc finalement :<br />
2. On a d’abord :<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
3 3 2 2<br />
( ) ( )( )<br />
∀x≥ 0, f x = x − k = x− k x + kx+ k<br />
2 2<br />
( )<br />
3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3<br />
( a − b)( a + ab+ b ) = ( a − b) ( a) + a b+ ( b)<br />
En utilisant l’égalité obtenue à la question précédente avec<br />
immédiatement :<br />
3 x a<br />
= et 3<br />
2 2<br />
( )<br />
3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3<br />
( a − b)( a + ab+ b ) = ( a − b) ( a) + a b+ ( b)<br />
Le résultat est ainsi établi.<br />
N°84 page 159<br />
3 3 ( a) ( b)<br />
= −<br />
= a−b 3 3<br />
3 3 3 2 3 3 2<br />
( )( )<br />
a − b a + ab+ b = a− b<br />
a) On a : ( 1+ 2<br />
3) = 1+ 2 3+ 3= 2( 2+ 3)<br />
.<br />
D’où : ( 1+ 4<br />
3) = ⎡2( 2+ 2<br />
3) ⎤ = 4( 2+ 2<br />
3) = 4( 4+ 4 3+ 3) = 4( 7+ 4 3)<br />
⎣ ⎦<br />
4<br />
( 1+ 3) = 4( 7+ 4 3)<br />
k = b , on obtient<br />
b) D’après ce qui précède et en tenant compte du fait que 1+ 3 est strictement positif, on a :<br />
Finalement :<br />
4 4 4<br />
( )<br />
1+ 3 = 4 4 7+ 4 3 = 4× 7+ 4 3 = 2× 7+ 4 3<br />
4<br />
2× 7+ 4 3 = 1+ 3<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/21 M. Lichtenberg<br />
.
N°86 page 159<br />
a) 4<br />
b)<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
⎧ 1 1<br />
x ≥<br />
⎧<br />
2x1 0<br />
x ≥<br />
⎧ − ≥ ⎪ 2 ⎪<br />
2 17<br />
2x− 1= 2⇔<br />
⎨ ⇔ x<br />
4 ⎨ ⇔ 4 ⎨ ⇔ =<br />
⎩2x− 1= 2 ⎪ 2 + 1 17 2<br />
x = ⎪ x =<br />
⎪⎩ 2 ⎪⎩<br />
2<br />
S<br />
⎧17 ⎫<br />
= ⎨ ⎬<br />
⎩ 2 ⎭<br />
⎧x + 1≥0 ⎧x<br />
≥−1 ⎧x<br />
≥−1<br />
1 ⎪ ⎪ ⎪<br />
1 31<br />
x+ 1= ⇔ ⇔ ⇔ 1 ⇔ x= −1⇔ x=−<br />
2 x = −1<br />
32 32<br />
⎩ ⎝2⎠ ⎩ 2 ⎩ 32<br />
5 5<br />
⎨ ⎛1⎞ ⎨ 1 ⎨<br />
⎪x+ 1 = ⎜ ⎟ ⎪x= −1<br />
5 ⎪<br />
c) Comme<br />
N°88 page 159<br />
S<br />
2<br />
x + 1> 0 pour tout x réel, on a :<br />
⎧ 31⎫<br />
= ⎨− ⎬<br />
⎩ 32⎭<br />
x + 1= 2⇔ x + 1= 2 ⇔ x = 8− 1= 7⇔ x=±<br />
7<br />
3 2 2 3 2<br />
a) On résout l’équation dans + et on a alors :<br />
S<br />
= { − 7; 7}<br />
1 1 1<br />
⎧ ⎧ ⎧<br />
5 5 5<br />
2 1 ⎪X = x ⎪X = x ⎪X<br />
= x<br />
5 5 ⎪ ⎪ ⎪<br />
x − x = 6⇔ ⎨X ≥0 ⇔ ⎨X ≥0 ⇔ ⎨X<br />
≥0<br />
⎪ 2 2<br />
X X 6<br />
⎪<br />
X X 6 0<br />
⎪(<br />
X + 2)( X − 3) = 0<br />
⎪<br />
− = − − =<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎩<br />
1<br />
⎧<br />
1<br />
⎪ 5 X x 5<br />
5<br />
⇔ =<br />
⎨ ⇔ x = 3 ⇔ x=<br />
3 = 243<br />
⎪ ⎩X<br />
= 3<br />
S<br />
= { 243}<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/21 M. Lichtenberg
) On résout l’équation dans<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
*<br />
+ et on a alors :<br />
⎧ 1 1 1<br />
⎧ ⎧<br />
⎪ 3 3 3<br />
X = x 1 1<br />
⎪X = x ⎪X<br />
= x<br />
− ⎪ 3 3<br />
⎪ ⎪<br />
x + 12x =−7⇔ ⎨X > 0 ⇔ ⎨X > 0 ⇔ ⎨X<br />
> 0<br />
⎪ ⎪<br />
X 7X 12 0<br />
⎪<br />
12 7<br />
( X + )( X +<br />
X<br />
) =<br />
⎪<br />
+ + =<br />
+ =− ⎪ ⎪<br />
⎩ X ⎩ ⎩<br />
Les deux solutions de l’équation ( X )( X )<br />
2<br />
1 4 3 0<br />
+ 4 + 3 = 0 étant strictement négatives, on en<br />
déduit que le système n’admet pas de solution.<br />
On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif,<br />
1<br />
1<br />
3 3 on a x > 0,<br />
x 0<br />
−<br />
1 1<br />
3 3<br />
> et donc x 12x 0<br />
−<br />
+ > .<br />
N°89 page 159<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3 3<br />
⎛ ⎞<br />
On remarque que l’on a : ⎜x⎟ = x<br />
⎝ ⎠<br />
vient :<br />
S<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/21 M. Lichtenberg<br />
= ∅<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4 2<br />
⎛ ⎞<br />
et ⎜y⎟ = y<br />
⎝ ⎠<br />
. On pose alors :<br />
1<br />
3<br />
4<br />
X = x et Y = y et il<br />
1 1 1<br />
⎧ ⎧ ⎧<br />
3 3 3<br />
⎪ X = x ⎪ X = x ⎪<br />
X = x<br />
⎪ 3 ⎪ 3 ⎪<br />
3<br />
1 3 4 4 4<br />
⎧<br />
⎪ Y = y ⎪ Y = y ⎪<br />
Y = y<br />
3 4<br />
⎪x<br />
+ y = 8 ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎨ ⇔ 0, 0 0, 0 0, 0<br />
2 3 ⎨ X ≥ Y ≥ ⇔ ⎨ X ≥ Y ≥ ⇔ ⎨<br />
X ≥ Y ≥<br />
⎪ 3 2 x y 40<br />
⎪ X Y 8 ⎪ Y 8 X ⎪<br />
⎩ + =<br />
+ = = − Y = 8−X<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
⎪X + Y = 40 ⎪X + ( 8− X)<br />
= 40 ⎪2X<br />
− 16X + 64 = 40<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩ ⎩ ⎩<br />
1<br />
1<br />
⎧<br />
⎧<br />
3<br />
3<br />
⎪ X = x ⎪<br />
X = x<br />
⎪<br />
3 ⎪<br />
3<br />
⎪ 4 Y = y ⎪ 4 Y = y<br />
⎪<br />
⎪<br />
⇔ ⎨ X ≥0, Y ≥0⇔<br />
⎨<br />
X ≥0, Y ≥0<br />
⎪ Y = 8 −X<br />
⎪ Y = 8 −X<br />
⎪ ⎪<br />
2 ⎪X − 8X + 12= 0 ⎪( X −2)( X − 6) = 0<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ ⎩<br />
Avec X = 2 , il vient : Y = 6 . Puis :<br />
x X<br />
3 3<br />
= = 2 = 8 et<br />
3<br />
On obtient ainsi un premier couple solution : ( ; ) ( 8;6 6)<br />
xy = .<br />
4 4 1 1<br />
1+<br />
3 3 3 3 3<br />
6 6 6 6 6 6<br />
y = Y = = = × = .<br />
3
Avec X = 6 , il vient : Y = 2 . Puis :<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
x X<br />
3 3<br />
= = 6 = 216 et<br />
On obtient ainsi un deuxième couple solution : ( ) ( )<br />
N°91 page 159<br />
1<br />
S<br />
=<br />
4 4 1 1<br />
1+<br />
3 3 3 3 3<br />
2 6 2 2 2 2<br />
y = Y = = = × =<br />
xy ; =<br />
3<br />
216;2 2 .<br />
3<br />
3<br />
{ ( 8;6 6 ) , ( 216;2 2 ) }<br />
6 6<br />
Pour x = 0 , on a : 0 = 0<br />
12 11<br />
= 0 et 0 12 12 = 0 = 0 = 0 et les deux membres de l’inéquation<br />
sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l’inéquation.<br />
Pour tout réel x strictement positif, on a :<br />
Finalement :<br />
N°92 page 159<br />
6<br />
x<br />
12 11<br />
8 x<br />
1<br />
6 x<br />
11<br />
12 8x 1<br />
8<br />
11<br />
12 x<br />
1<br />
6<br />
−1<br />
8<br />
11 1<br />
−<br />
12 6 x<br />
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔<br />
9 3<br />
−3 12 −3 4 2 ≤ x ⇔ 2 ≤ x<br />
x<br />
4<br />
−3 3<br />
−4<br />
1<br />
⇔ x≥( 2 ) ⇔ x≥2 ⇔ x≥<br />
16<br />
S<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/21 M. Lichtenberg<br />
1<br />
⎡ 1 ⎡<br />
= {} 0 ∪<br />
⎢<br />
; +∞<br />
⎣16 ⎢<br />
⎣<br />
Du fait du terme 3 x , on résout cette équation dans + :<br />
Avec X = 2 , il vient<br />
1<br />
⎧<br />
3<br />
2 1 ⎪X<br />
= x<br />
3 2 3 3 3 ⎪<br />
2 x − 5 x + 2= 0⇔ 2x − 5x + 2= 0⇔ ⎨X<br />
≥0 ⇔<br />
⎪ 2<br />
⎪<br />
2X − 5X + 2= 0<br />
⎩<br />
1 ⎧ 1<br />
⎧<br />
3 3<br />
X x ⎪<br />
⎪ = X = x<br />
⎪ ⎪<br />
⎨X ≥0 ⇔ ⎨X<br />
≥0<br />
⎪ 2<br />
2X 5X 2 0<br />
⎪<br />
1<br />
⎪<br />
− + = ⎛ ⎞<br />
⎩<br />
⎪2( X −2) ⎜X − ⎟=<br />
0<br />
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠<br />
x X<br />
3 3<br />
= = 2 = 8.
Avec<br />
1<br />
X = , il vient :<br />
2<br />
Finalement :<br />
N°94 page 159<br />
1. Pour tout x réel, on a :<br />
symétrique.<br />
3 ⎛1⎞ 1<br />
x= X = ⎜ ⎟ = .<br />
⎝2⎠ 8<br />
Par ailleurs, pour tout x réel, on a :<br />
De ce qui précède, on tire :<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
3<br />
S<br />
⎧1 ⎫<br />
= ⎨ ;8⎬<br />
⎩8⎭ 2<br />
2x + 1≥ 2> 0.<br />
La fonction f est donc définie sur qui est<br />
3<br />
2 3 2<br />
( − ) = 2( − ) + 1= 2 + 1=<br />
( )<br />
f x x x f x<br />
La fonction f est paire.<br />
1 1 2<br />
ln( 2x + 1<br />
3 2 2 )<br />
3 3<br />
f x = x + = x + = e .<br />
2. Pour tout x réel, on a : ( ) 2 1 ( 2 1)<br />
2 2<br />
Or, on a : lim ( 2x + 1) = lim 2x<br />
=+∞ et lim ln<br />
x→+∞ x→+∞x→+∞<br />
1 2<br />
et lim ln ( 2x + 1)<br />
=+∞.<br />
x→+∞<br />
3<br />
Or, on a : lim x<br />
e =+∞. Donc :<br />
x→+∞<br />
Finalement :<br />
lim e<br />
x→+∞<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 6/21 M. Lichtenberg<br />
x<br />
2 ( x + )<br />
= +∞ .<br />
1<br />
ln 2 1<br />
3<br />
lim<br />
x→+∞<br />
( )<br />
f x<br />
= +∞<br />
La fonction f étant paire, on en déduit immédiatement :<br />
lim<br />
x→−∞<br />
3. La fonction f est la composée de la fonction<br />
( )<br />
f x<br />
= +∞<br />
x x +<br />
valeurs dans [ 1; +∞ [ , et de la fonction racine cubique<br />
Comme [ 1; +∞ [ est inclus dans<br />
2<br />
= +∞ . Donc : lim ln ( 2x 1)<br />
x→+∞<br />
+ =+∞<br />
2<br />
2 1,<br />
dérivable sur et prenant ses<br />
3 x x , dérivable sur<br />
*<br />
+ .<br />
*<br />
+ , on en déduit que la fonction f est dérivable sur .<br />
La fonction f est dérivable sur .
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
Pour tout x réel, on a : ( ) ( ) 1<br />
3 2 2<br />
f x 2x 1 2x 1 3<br />
= + = + .<br />
On en déduit alors (dérivation d’une composée) :<br />
1 2<br />
1 2<br />
−12 2<br />
− 2<br />
f ' 3 3<br />
( x) = × 2x× ( 2x + 1) = x( 2x + 1)<br />
=<br />
3 3 3<br />
2<br />
∀x∈ , f '(<br />
x)<br />
=<br />
3<br />
( ) 2<br />
2<br />
2x+ 1<br />
4. Pour tout x réel, on a : ( ) 2<br />
2<br />
2x + 1 ≥ 1> 0 d’où : ( ) 2<br />
2<br />
donc le même que celui de x :<br />
*<br />
−<br />
*<br />
+<br />
2 ( 2x+ 1)<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 7/21 M. Lichtenberg<br />
3<br />
x<br />
3 2 1 0<br />
3<br />
x + > . Le signe de '(<br />
)<br />
• Sur , on a : f '( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ;<br />
• Sur , on a : f '( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante.<br />
x<br />
2<br />
f x est<br />
A titre de complément, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative de la fonction f<br />
pour x compris entre 250<br />
− et 250 …<br />
1<br />
f(x) =(2x 2 3<br />
+1)<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
x<br />
-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250<br />
-50<br />
-100<br />
-150<br />
Courbe représentative de la fonction<br />
y<br />
3 2<br />
x x +<br />
2 1 pour x ∈− [ 250;250]<br />
.
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
… puis pour x compris entre − 5 et 5 (tangente horizontale à l’origine) :<br />
1<br />
f(x) =(2x 2 3<br />
+1)<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
N°97 page 159<br />
Courbe représentative de la fonction<br />
4<br />
1. a) La fonction x x −<br />
est dérivable sur<br />
quatrième, dérivable sur<br />
*<br />
fonction inverse, dérivable sur + .<br />
1<br />
La fonction x x est dérivable sur<br />
2<br />
La fonction f est donc dérivable sur<br />
cet intervalle.<br />
1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 8/21 M. Lichtenberg<br />
y<br />
3 2<br />
x x +<br />
*<br />
+ et prenant ses valeurs dans<br />
Pour tout réel x strictement positif, on a alors :<br />
2 1 pour x ∈− [ 5;5]<br />
.<br />
*<br />
+ comme composée de la fonction racine<br />
*<br />
+ (pour x > 0 ), et de la<br />
*<br />
+ en tant que fonction linéaire.<br />
*<br />
+ comme somme de deux fonctions dérivables sur<br />
1 5<br />
1 − −1 1 1⎛<br />
− ⎞<br />
4 4<br />
f '( x) =− x + × 1= ⎜2−x ⎟<br />
4 2 4⎝<br />
⎠<br />
5<br />
1<br />
4<br />
f '( x) 2 x<br />
4<br />
− ⎛ ⎞<br />
= ⎜ − ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
x
) On a :<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
4<br />
5 5 5 5<br />
−<br />
− − − − 5<br />
4 4 4 4<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
f '( x) = 0⇔ ⎜2− x ⎟= 0⇔2− x = 0⇔ x = 2⇔ ⎜x ⎟ = 2 ⇔ x=<br />
2<br />
4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
1<br />
4<br />
La fonction f ' s’annule en<br />
4 4<br />
− −<br />
5 5<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 9/21 M. Lichtenberg<br />
x<br />
0<br />
4<br />
−<br />
5<br />
= 2 .<br />
c) La fonction x x (racine quatrième) est strictement croissante sur<br />
− 5 1<br />
et prend ses valeurs dans cet intervalle. La fonction x x = est strictement<br />
5<br />
x<br />
décroissante sur comme inverse d’une fonction strictement croissante sur cet<br />
*<br />
+<br />
5<br />
4<br />
intervalle. La fonction x x −<br />
est donc strictement décroissante sur<br />
1 *<br />
La fonction x ( 2 − x)<br />
est strictement décroissante sur + .<br />
4<br />
Finalement, la fonction f ' est strictement croissante sur<br />
*<br />
+ .<br />
En utilisant le résultat de la question précédente, il vient alors :<br />
• Pour<br />
4<br />
⎤ − ⎡<br />
5 x ∈ ⎥0; 2 ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
4<br />
⎛ − ⎞<br />
5 =<br />
• f '⎜2 ⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 ;<br />
•<br />
4<br />
⎤ − ⎡<br />
5<br />
Pour x ∈ ⎥2 ; +∞⎢<br />
⎦ ⎣<br />
*<br />
+ (cf. le cours)<br />
*<br />
+ .<br />
, f '( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ;<br />
, f '( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante.<br />
Remarque : on déduit de ce qui précède que la fonction f admet un minimum global en<br />
4<br />
−<br />
5<br />
x0<br />
= 2 . Les résultats des calculs de limites qui suivent doivent être en accord avec ce<br />
résultat.<br />
Par ailleurs, on a :<br />
1<br />
4 4<br />
−<br />
4 4 4 ⎛ 1⎞<br />
4 1 4<br />
− − 1 − − × ⎜− ⎟<br />
− −1− 5 5 5 5 ⎝ 4⎠<br />
−1<br />
5 5 5<br />
⎛<br />
f ( x0) = f ⎜2 ⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟= ⎜2 ⎠ ⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ 2<br />
2<br />
= 2 + 2 × 2 = 2 + 2<br />
1 9<br />
−<br />
5 5 = 2 + 2<br />
1 10 1 1<br />
⎛ − ⎞<br />
5 5 5 −2<br />
5 5<br />
= 2 ⎜1+ 2 ⎟=<br />
2 ( 1+ 2 ) = 2 × <br />
1,435 873<br />
⎝ ⎠<br />
4
2. On a :<br />
x→ 0<br />
x><br />
0<br />
positives sur<br />
On a aussi :<br />
1 1<br />
4 4<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
lim x = 0 = 0 et la fonction racine quatrième prend des valeurs strictement<br />
*<br />
+ . On en déduit :<br />
lim x<br />
x→+∞<br />
1<br />
4<br />
lim x −<br />
xx→<br />
0<br />
> 0<br />
1<br />
4<br />
xx→<br />
0<br />
> 0<br />
= +∞ . Par ailleurs :<br />
⎛1⎞ lim ⎜ x ⎟=<br />
0 . D’où :<br />
⎝2⎠ Lycée Fénelon Sainte-Marie 10/21 M. Lichtenberg<br />
( )<br />
lim f x<br />
= +∞<br />
x→ 0<br />
x><br />
0<br />
1<br />
4<br />
=+∞. D’où : lim x 0<br />
x<br />
−<br />
⎛1⎞ = . Par ailleurs : lim ⎜ x⎟=+∞.<br />
D’où :<br />
→+∞<br />
x→+∞⎝2⎠<br />
lim<br />
x→+∞<br />
( )<br />
f x<br />
= +∞<br />
Ces résultats sont cohérents avec l’existence d’un minimum en<br />
3. a) D’après la question précédente, on a : ( )<br />
b) On obtient :<br />
x<br />
0<br />
4<br />
−<br />
5<br />
= 2 .<br />
1<br />
1<br />
4<br />
lim f x x lim x 0<br />
x 2 x<br />
−<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − ⎟=<br />
= . D’où :<br />
→+∞ →+∞<br />
⎝ ⎠<br />
La courbe représentative C de la fonction f admet en +∞<br />
1<br />
une asymptote oblique Δ d’équation : y = x .<br />
2<br />
y<br />
5.5<br />
5<br />
4.5<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
x<br />
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5<br />
y = 1<br />
2 x<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
-<br />
f(x) =x<br />
1<br />
4<br />
+ 1<br />
2 x
N°105 page 162<br />
1. On a ( )<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
f x<br />
1<br />
−<br />
3 = x =<br />
1<br />
1<br />
3 x<br />
. On obtient donc facilement les tableaux de variations des<br />
3<br />
fonctions f et g à partir de ceux des fonctions racine cubique ( x x ) et racine quatrième<br />
1<br />
4 ( x x ).<br />
Il vient donc :<br />
x 0 +∞<br />
+∞<br />
f<br />
Et :<br />
x 0 +∞<br />
+∞<br />
g<br />
0<br />
2. f ( x) g( x)<br />
⎧x<br />
> 0<br />
⎪<br />
⎪ ⎩x<br />
= 2x<br />
= équivaut à : ⎨ 1 1<br />
−<br />
3 4<br />
Il vient alors :<br />
.<br />
⎧x> 0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎩⎪x x<br />
⎧x<br />
> 0<br />
⎪<br />
⎨ 1<br />
⎪<br />
⎩ x<br />
⎧x> 0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪⎩ x x<br />
⎧x> 0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪⎩ x<br />
⎧x><br />
0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪ =<br />
⎧ x > 0 x > 0 ⎧ x > 0 x > 0<br />
12<br />
⎪ ⎪<br />
⎧<br />
⎪ ⎪<br />
⎧<br />
−<br />
7 12<br />
7<br />
⇔ ⎨ 1 ⇔ ⎨ 7 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 12 ⇔ x = 2<br />
12<br />
12 1 −1<br />
−<br />
x −<br />
7 ⎪ = ⎪ 7<br />
x = 2 ⎪x= ( 2 ) ⎪x=<br />
2<br />
⎩ 2 ⎩ ⎩<br />
⎩<br />
1<br />
1 1 ⇔ 4 ⇔ 1 1 ⇔ 1 1 ⇔<br />
7<br />
− = 2x<br />
+<br />
3 4 1<br />
4 3 4 3 12<br />
= 2 1= 2 × 1= 2 1 2x<br />
3<br />
⎩<br />
L’équation f ( x) = g( x)<br />
admet comme unique solution :<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 11/21 M. Lichtenberg<br />
1<br />
12<br />
−<br />
7<br />
x = 2 0,3.<br />
0
A titre de complément, on a :<br />
3. a) et b) On obtient :<br />
2.8<br />
2.6<br />
2.4<br />
2.2<br />
2<br />
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
y<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
1<br />
12 12 12<br />
−<br />
3<br />
12 ⎛ 1 ⎞ 4<br />
− − − − × ⎜− ⎟<br />
7 7 7 7 ⎝ 3⎠<br />
7<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
f ⎜2 ⎟= g⎜2<br />
⎟= ⎜2 ⎟ = 2 = 2 1,5<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
0<br />
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4<br />
-0.2<br />
N°122 page 164<br />
g(x) =2 4<br />
x<br />
-<br />
f(x) =x<br />
1<br />
3<br />
On note C n la courbe représentative de la fonction racine nième dans un repère orthonormal.<br />
a) La dérivée de la fonction racine nième est définie sur<br />
elle prend donc la valeur 1<br />
n .<br />
On a par ailleurs :<br />
1<br />
n n<br />
1= 1 = 1.<br />
*<br />
+ par :<br />
1<br />
1 −1<br />
n x x . Pour x = 1,<br />
n<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 12/21 M. Lichtenberg<br />
x
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
L’équation réduite de la tangente Tn à C n au point d’abscisse x = 1 s’écrit donc :<br />
1<br />
y = ( x−<br />
1) + 1<br />
n<br />
La droite T n coupe l’axe des ordonnées en un point dont l’abscisse est nulle. D’après<br />
l’équation obtenue précédemment, son ordonnée vaut donc : y ( )<br />
1 1<br />
= 0− 1 + 1= 1−<br />
.<br />
n n<br />
L’ordonnée du point d’intersection de la droite T n avec l’axe des ordonnées vaut :<br />
n 1<br />
b) On considère la fonction h définie sur + par : h( x) = x − ( x−1)<br />
− 1.<br />
n<br />
La fonction h est dérivable sur<br />
1<br />
1− .<br />
n<br />
*<br />
+ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet<br />
1<br />
− −1 −1).<br />
n<br />
intervalle (la fonction racine nième et la fonction affine : x ( x )<br />
On a alors, pour tout réel x strictement positif :<br />
1 1 1−n 1−n n−1<br />
1 −1 1 1⎛ −1<br />
⎞ 1⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞<br />
n n n n n<br />
h'( x) = x − = ⎜x − 1⎟= ⎜x − 1⎟= x ⎜1−x ⎟<br />
n n n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n ⎝ ⎠<br />
1−n<br />
1 n<br />
Pour tout réel x strictement positif, le facteur x l’est également.<br />
n<br />
n−1<br />
1<br />
n−1<br />
⎛ ⎞<br />
n n<br />
Le signe de h'( x ) est donc celui de la différence : 1− x = 1−⎜x<br />
⎟ .<br />
⎝ ⎠<br />
*<br />
La fonction racine nième est strictement croissante sur + et prend ses valeurs dans cet<br />
n 1<br />
intervalle. Comme n ≥ 2 , on a n − 1> 0 et la fonction x x −<br />
est strictement croissante<br />
1<br />
n−1<br />
n−1<br />
*<br />
⎛ ⎞<br />
n n<br />
sur + . On en déduit que la fonction x ⎜x ⎟ = x , composée des deux<br />
⎝ ⎠<br />
précédentes, est strictement croissante sur .<br />
n−1<br />
n<br />
Finalement, la fonction x 1−<br />
x est strictement décroissante sur<br />
Comme elle s’annule pour x = 1,<br />
il vient :<br />
• Pour x ∈ ] 0;1[<br />
, on a ( )<br />
• Pour x ∈ ] 1; +∞ [ , on a ( )<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 13/21 M. Lichtenberg<br />
*<br />
+<br />
*<br />
+ .<br />
h' x > 0 et la fonction h est strictement croissante ;<br />
h' x < 0 et la fonction h est strictement décroissante.<br />
La fonction h étant continue sur +<br />
comme somme de deux fonctions continues sur cet<br />
intervalle, on peut étendre la conclusion à ce point.
Finalement :<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
• Pour x ∈ [ 0;1]<br />
, la fonction h est strictement croissante ;<br />
• Pour x ∈ [ 1; +∞ [ , la fonction h est strictement décroissante.<br />
c) D’après ce qui précède, la fonction h admet un maximum pour x = 1.<br />
La valeur maximale<br />
n 1<br />
prise par h vaut donc : h()<br />
1 = 1− ( 1−1) − 1= 1−0− 1= 0.<br />
n<br />
On en déduit que pour tout x positif, on a : h( x) ≤ 0 .<br />
1<br />
n<br />
1<br />
≤ − 1 + 1.<br />
n<br />
n n Soit : x − ( x−1)<br />
−1≤ 0,<br />
ou encore : x ( x )<br />
x Pour une valeur de x donnée, l’ordonnée ( x ) du point correspondant sur C n est<br />
⎛1⎞ inférieure à l’ordonnée ⎜ ( x − 1) + 1⎟<br />
⎝n⎠ du point correspondant sur Tn . D’où :<br />
La courbe représentative C n de la fonction racine nième<br />
est située sous la tangente Tn au point d’abscisse x = 1.<br />
A titre d’illustration, nous avons tracé dans un même repère orthonormal les courbes et les<br />
tangentes correspondant à n = 2 (rouge), 4 (bleu) et 10 (vert) :<br />
y10<br />
y4<br />
y2<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
y<br />
0<br />
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
-0.2<br />
1<br />
10<br />
f (x) =x<br />
10<br />
1<br />
2<br />
f (x) =x = x<br />
2<br />
1<br />
4<br />
f (x) =x<br />
4<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 14/21 M. Lichtenberg<br />
x
N°130 page 165<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
1. Les réels a et b étant positifs, il en va de même pour les réels a+ b et 2 ab .<br />
Pour les comparer, nous pouvons comparer leurs carrés :<br />
On a alors :<br />
On a donc : ( ) ( ) 2<br />
2<br />
a b 2 ab<br />
( ) 2 2 2<br />
a b a b 2ab<br />
+ = + + et ( ) 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
( a b)<br />
2 ab = 4ab<br />
a + b − 2 ab = a + b + 2ab −4ab<br />
= + −<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b 2ab<br />
2<br />
= −<br />
+ ≥ , d’où, finalement :<br />
a+ b≥ 2 ab<br />
2. Remarquons d’abord que l’inégalité est immédiatement vérifiée si l’un des réels a, b ou c<br />
est nul. Nous pouvons donc supposer, à partir de maintenant que les trois réels a, b et c<br />
sont non nuls (donc strictement positifs).<br />
Nous devons donc ici comparer deux réels strictement positifs. La fonction cube étant<br />
*<br />
strictement croissante sur , nous pouvons comparer ( ) +<br />
3<br />
a+ b+ c et ( ) 3<br />
3 3 abc = 27abc<br />
.<br />
Soit alors b et c deux réels strictement positifs fixés quelconques et soit ϕ la fonction<br />
*<br />
définie sur par :<br />
+<br />
( ) ( ) 3<br />
ϕ x = x+ b+ c − 27xbc<br />
*<br />
La fonction ϕ est une fonction polynôme donc dérivable sur et on a, pour tout x réel<br />
+<br />
strictement positif :<br />
( ) (<br />
2<br />
)<br />
( )<br />
ϕ ' x = 3 x+ b+ c −27bc<br />
2 ⎡ ⎤<br />
= 3 x+ b+ c −9bc<br />
⎣ ⎦<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
2<br />
( x b c) ( bc)<br />
= 3<br />
⎢⎣ + + − 3<br />
⎥⎦<br />
= 3⎡ ⎣<br />
x + b+ c− 3 bc⎤⎡ ⎦⎣<br />
x+ b+ c+ 3 bc⎤<br />
⎦<br />
Le facteur x + b+ c+ 3 bc est strictement positif.<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 15/21 M. Lichtenberg
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
Quant au facteur x b c 3 bc<br />
x0 =− b+ c + 3 bc qui peut être<br />
positif ( b= c=<br />
1 par exemple) ou négatif ( b = 1 et c = 9 par exemple).<br />
+ + − , il s’annule pour ( )<br />
Nous devons donc distinguer plusieurs situations :<br />
Si x0=− ( b+ c) + 3 bc < 0<br />
Pour tout réel x de<br />
*<br />
, on a<br />
+<br />
'( x)<br />
0<br />
ϕ x<br />
x→0 ⎡ x<br />
x→0⎣<br />
b<br />
3<br />
c xbc⎤ ⎦<br />
b<br />
3<br />
c<br />
x> 0 x><br />
0<br />
On a : ( ) ( ) ( )<br />
ϕ > et la fonction ϕ est strictement croissante.<br />
lim = lim + + − 27 = + > 0 et on en déduit :<br />
Si x0=− ( b+ c) + 3 bc > 0<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 16/21 M. Lichtenberg<br />
( )<br />
*<br />
∀x∈ , ϕ x > 0<br />
• Pour tout réel x de ] 0; x 0[<br />
, on a ( x)<br />
décroissante ;<br />
• Pour tout réel x de ] x +∞ [ , on a ( ) x<br />
croissante.<br />
La fonction ϕ admet donc un minimum global en x 0 .<br />
Or, on a :<br />
0 ;<br />
( ) ( )<br />
0<br />
+<br />
ϕ ' < 0 et la fonction ϕ est strictement<br />
ϕ ' > 0 et la fonction ϕ est strictement<br />
( 3 )<br />
( 3<br />
3<br />
) 27( ( ) 3 )<br />
27 27( ( ) 3 )<br />
27bc( bc b c 3 bc )<br />
27bc( b c 2 bc )<br />
ϕ x = ϕ − b+ c + bc<br />
= bc − − b + c + bc bc<br />
= bc bc − − b + c + bc bc<br />
= + + −<br />
= + −<br />
D’après la question précédente, on a : b c 2 bc<br />
Le cas ( )<br />
+ ≥ . On en tire alors : ( x )<br />
( )<br />
*<br />
∀x∈ , ϕ x ≥0<br />
x0=− b+ c + 3 bc = 0 se traite comme le précédent.<br />
Dans toutes les situations, on a donc :<br />
+<br />
( )<br />
*<br />
∀x∈ , ϕ x ≥0<br />
+<br />
ϕ ≥ 0 , puis :<br />
0
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
On a donc, pour tout x réel strictement positif :<br />
Soit :<br />
( ) 3<br />
x+ b+ c −27xbc≥ 0<br />
3 x + b+ c≥ 3 xbc<br />
On en tire, b et c ayant été choisis quelconques dans<br />
3<br />
a+ b+ c≥ 3 abc<br />
*<br />
:<br />
+<br />
L’inégalité est finalement valable pour tous réels a, b et c dans + :<br />
N°132 page 165<br />
1<br />
n<br />
1<br />
3<br />
Pour tous réels a, b et c dans + , on a :<br />
3<br />
a+ b+ c≥ 3 abc<br />
Les réels n et 3 étant strictement positifs, nous pouvons comparer leurs logarithmes<br />
1 1 1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ln n ⎞ 1<br />
⎛ ⎞ 1<br />
n n<br />
3<br />
népériens : ln ⎜n ⎟= ln ⎜e ⎟=<br />
ln n et, en particulier, pour n = 3 : ln ⎜3⎟= ln 3.<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n<br />
⎝ ⎠ 3<br />
*<br />
ln x<br />
Considérons alors la fonction ϕ définie sur + par : ϕ ( x)<br />
= .<br />
x<br />
Elle y est dérivable comme rapport de deux fonctions dérivables et on a, pour tout x réel<br />
strictement positif :<br />
ϕ '<br />
1<br />
× x− ln x×<br />
1<br />
x<br />
1−lnx x x<br />
( x)<br />
= =<br />
2 2<br />
En tenant compte de : ln x = 1 ⇔ x= e et du fait que la fonction logarithme népérien est<br />
strictement croissante sur , il vient :<br />
*<br />
+<br />
• Pour x ∈ ] 0; e[<br />
, '( x)<br />
0<br />
• Pour x∈ ] e;<br />
+∞ [ , '( x)<br />
0<br />
Tavaillons d’abord sur l’intervalle ] e ; +∞ [ . On a : 3 ] e;<br />
[<br />
ϕ > et la fonction ϕ est strictement croissante ;<br />
ϕ < et la fonction ϕ est strictement décroissante.<br />
∈ +∞ . Pour tout entier naturel<br />
ln n<br />
= ϕ n<br />
n<br />
≤ ϕ 3<br />
1 1<br />
ln 3<br />
n 3<br />
= . D’où : n ≤ 3 .<br />
3<br />
supérieur ou égal à 3, on a donc : ( ) ( )<br />
Il reste donc à traiter les cas n = 1 et n = 2 .<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 17/21 M. Lichtenberg
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
On a d’abord : 1< 3 et la fonction racine cubique est strictement croissante sur + . On en<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
3 3<br />
3<br />
1 1<br />
1 3<br />
déduit : 1 < 3 , soit 1< 3 . Or : 1 = 1 = 1.<br />
On a donc : 1 < 3 et l’inégalité est bien vérifiée<br />
pour n = 1.<br />
1<br />
2<br />
Pour n = 2 , il convient de comparer : 2 =<br />
6<br />
2 et 3 . La fonction x x étant strictement<br />
croissante sur + , nous pouvons comparer les puissances sixièmes de ces deux nombres :<br />
Comme 8< 9,<br />
il vient<br />
Conclusion générale :<br />
N°138 page 167<br />
1. Comme :<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
⎛ ⎞ 6<br />
2<br />
3<br />
= = =<br />
( )<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
3 2<br />
⎜2 ⎟ 2 2 8 et ⎜3 ⎟ = 3 = 9<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
3<br />
2 < 3 . L’inégalité est vérifiée pour n = 2 .<br />
Pour tout n entier naturel non nul, on a :<br />
2 1<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
3 3 2<br />
0 = 0 = 0 = 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 1<br />
⎛ ⎞<br />
3 3 2<br />
Par ailleurs : 8 = ⎜8 ⎟ = 2 = 4<br />
⎝ ⎠<br />
2. a) On cherche :<br />
2<br />
x→0 x→0<br />
x> 0 x><br />
0<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 18/21 M. Lichtenberg<br />
1<br />
3<br />
, il vient : f ( ) ( )<br />
1<br />
6<br />
1<br />
1 1<br />
n 3<br />
n ≤ 3 .<br />
3 1<br />
3<br />
3 ⎛ ⎞<br />
2 2 3<br />
0 = 4− 0 2 = 4 = 4 = 2 = 8<br />
. D’où : f ( ) ( )<br />
f ( 0) = 8 et ( )<br />
3<br />
2 2<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
⎜4−x⎟ −8<br />
f ( x)<br />
− 8<br />
lim = lim<br />
⎝ ⎠<br />
.<br />
x x<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 1<br />
3<br />
3 ⎛ ⎞<br />
2 2 3<br />
8 = 4− 4 2 = 0 = 0 = 0 = 0<br />
f 8 = 0<br />
Nous avons affaire ici à une forme indéterminée du type « 0<br />
0 ».<br />
3<br />
2 2<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
L’exposant de ⎜4−x⎟ ⎝ ⎠<br />
l’expression conjuguée.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
comportant un 2 au dénominateur, nous pouvons utiliser<br />
.<br />
.
Pour tout x strictement positif, on a :<br />
3<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
( )<br />
x<br />
8<br />
=<br />
f ( x) f ( x)<br />
x⎡⎣f ( x)<br />
+ 8⎤⎦<br />
2 2<br />
( f ( x)<br />
) − 8<br />
=<br />
x⎡f ( x)<br />
+ 8⎤<br />
f x<br />
− ⎡⎣ − 8⎤⎡ ⎦⎣ + 8⎤⎦<br />
⎣ ⎦<br />
3<br />
⎡ 2 ⎤<br />
2<br />
⎢⎛ ⎞<br />
3 4−x⎥ −64<br />
⎢⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢<br />
⎝ ⎠<br />
⎥<br />
=<br />
⎣ ⎦<br />
3<br />
⎡ 2 ⎤<br />
2<br />
3 x⎢⎛ ⎞<br />
4− x + 8⎥<br />
⎢⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢<br />
⎝ ⎠<br />
⎣ ⎥⎦<br />
2<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎜4−x⎟ −64<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
3 ⎡ 2 ⎤<br />
2<br />
3 x⎢⎛ ⎞<br />
4− x + 8⎥<br />
⎢⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎥<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
2<br />
⎛ ⎞2<br />
3<br />
Le facteur ⎜4− x ⎟ + 8 du dénominateur ne pose pas de problème puisqu’il tend vers 16<br />
⎝ ⎠<br />
lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎜4−x⎟ − 64<br />
Nous nous intéressons donc désormais à<br />
⎝ ⎠<br />
pour tout x réel strictement<br />
x<br />
positif. On a, en développant le cube au numérateur :<br />
x→0<br />
x><br />
0<br />
3<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎜4−x⎟ −64<br />
4<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
x<br />
3<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 19/21 M. Lichtenberg<br />
3<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 3 3<br />
− 3× 4 × x + 3× 4× ⎜x ⎝<br />
x<br />
⎟<br />
⎠<br />
−⎜x ⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
−64<br />
2 4<br />
3 3<br />
− 48× x + 12×<br />
x −x<br />
=<br />
x<br />
1 1<br />
−<br />
3 3<br />
=− 48x + 12x<br />
−x<br />
1<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
3<br />
Or, lim ⎜12x − x⎟=<br />
0 − 0 = 0 mais : lim 48x<br />
⎝ ⎠<br />
− ⎛ ⎞<br />
⎜− ⎟=−∞.<br />
⎝ ⎠<br />
x→0<br />
x><br />
0<br />
2
On en déduit finalement :<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
xx→<br />
0<br />
> 0<br />
( )<br />
f x − 8<br />
lim = −∞<br />
x<br />
( ) ( ) ( )<br />
f<br />
b) On vient d’obtenir : lim<br />
x→0 x> 0<br />
x −8 f<br />
= lim<br />
x x→0<br />
x><br />
0<br />
x − f<br />
x−0<br />
0<br />
=−∞.<br />
On en déduit immédiatement :<br />
La fonction f n’est pas dérivable en 0 (à droite).<br />
c) D’après le résultat précédent, on peut conclure que :<br />
La courbe représentative C de la fonction f admet<br />
en son point d’abscisse nulle une tangente verticale.<br />
3. a) Pour tout réel x strictement positif, on a :<br />
3 1<br />
2 2<br />
−1<br />
2 1 2<br />
−1− 2<br />
3 3 3 3<br />
3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
f '( x) = × ⎜− × x ⎟× ⎜4− x ⎟ =− x × ⎜4−x ⎟<br />
2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Pour tout x de ] 0;8 ] , ( )<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
3 3<br />
− ⎛ ⎞<br />
f ' x =− x × ⎜4−x ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
b) Pour tout x strictement positif (et donc à fortiori sur ] 0;8 ] ) on a<br />
[ 0;8 [ , on a :<br />
1<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
3 4− x > 0 et donc ⎜4− x ⎟ > 0.<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
3 0<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 20/21 M. Lichtenberg<br />
x −<br />
> . Pour tout x de<br />
On déduit de ce qui précède que la dérivée de f est négative sur ] 0;8 ] et ne s’y annule que<br />
pour x = 8 . La fonction f est donc strictement décroissante sur cet intervalle. Comme elle<br />
0;8 comme composée de fonctions continues, on en déduit finalement :<br />
est continue sur [ ]<br />
La fonction f est strictement décroissante sur [ 0;8 ] .
4. On obtient :<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
y<br />
<strong>Racine</strong> nième<br />
Corrigés d’exercices<br />
0<br />
x<br />
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16<br />
-2<br />
-4<br />
2 3<br />
3 2<br />
f(x) =(4-x )<br />
Lycée Fénelon Sainte-Marie 21/21 M. Lichtenberg