4 0 - Intranet - Collège Bourget

Mme François Constant Nom :
Mme Sandra Noreau Gr : 30
Section 2.1
1. LA RELATION
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
8 16 24 32 40
Vision 2
NOTES DE COURS
LES RELATIONS ET LES FONCTIONS
Il y a une relation lorsqu’il existe un lien entre deux variables.
Ex. 1 Règle ou équation
x et y sont en relation
Ex.2 Description verbale (en mots)
On s’intéresse aux économies que tu as faites pendant l’été, si tu gagnes 8$/h à ton
travail.
Il existe une relation entre le nombre d’heures travaillées et les
économies faites.
Ex.3 Table de valeurs
x Nombre d’heures travaillées 0 1 2 5 10 x
y Montant d’argent amassé 0 8 16 40 80 8x
Ex.4 Graphiquement
Montant d’argent
amassé ($)
Ton salaire
0 2 4 6 8 10
Nombre d’heures
travaillées (h.)
1

2. LES VARIABLES DÉPENDANTES ET INDÉPENDANTES
La variable dépendante DÉPEND de la variable indépendante
Dans les situations suivantes, identifie la variable indépendante ( I ) et la variable
dépendante ( D ).
Ex.1
a) La distance parcourue : I L’usure des pneus : D
b) Le coût de location d’un kayak : D Le nombre d’heures de location : I
c) Position de l’aiguille d’un tachymètre : D La vitesse d’un véhicule : I
Ex.2 Description verbale (en mots)
a) Sara lance le ballon de football à son amie. La distance entre le ballon et le sol est
déterminée par le temps écoulé depuis le lancer.
La distance entre le ballon et le sol DÉPEND du temps écoulé.
Variable indépendante
Le temps écoulé
Variable dépendante La distance entre le ballon et le sol
b) Romain enseigne le ski. Son tarif est de 20$ la leçon. D’une semaine à l’autre, ses
revenus varient selon le nombre de leçons qu’il offre.
Ses revenus DÉPENDENT du nombre de leçons.
Variable indépendante Le nombre de leçons offertes
Variable dépendante Les revenus
c) Sur la pompe à essence, Louise observe le prix à payer selon la quantité d’essences.
Variable indépendante La quantité d’essence
Variable dépendante Le prix à payer
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
2

Ex. 3 Règle ou équation
Kim vide un aquarium à l’aide d’une pompe. L’équation suivante représente le volume
d’eau en litres restant (v) dans l’aquarium selon le temps en minutes (t) :
v = -2t + 50
Variable dépendante Variable indépendante
Ex.4 Table de valeurs
Variable indépendante
x Nombre d’heures travaillées 0 1 2 5 10 x
y Montant d’argent amassé 0 8 16 40 80 8x
Variable dépendante
En général, dans une table de valeurs, on place les valeurs de la variable indépendante
dans la première colonne ou dans la première rangée.
Ex.5 Graphiquement
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Au restaurant
Dans un plan cartésien, par convention, on place les valeurs de la variable indépendante
sur l’axe des x (abscisses) et les valeurs de la variable dépendante sur l’axe des y
(ordonnés).
Montant du
pourboire ($)
Variable dépendante
Remarque : Le choix des variables indépendante et dépendante est parfois
influencé par l’intention ou le point de vue de la personne qui étudie la situation.
3
Variable indépendante
Montant de l’addition
($)

3. LES DIFFÉRENTS MODES DE REPRÉSENTATION pour une même situation
Description verbale Table de valeurs Graphique Règle ou équation
Ex.1
Romain enseigne le ski. Son tarif
Revenus
($)
x : Nombre de leçons données
y : Revenus ( $ )
est de 20$ la leçon. D’une
Nombre de leçons Revenus ( $)
semaine à l’autre, ses revenus
varient selon le nombre de leçons
qu’il offre.
0
1
2
0
20
40
y = 20x
Ses revenus
5 100
f( x ) = 20x
dépendent du
nombre de leçons
10 200
f( 3 ) = 20( 3 ) = 60
Ex.2
On remplit avec un débit constant
de 4 cm/min un bassin où le
niveau de l’eau est à 2 cm du
fond.
Niveau de l’eau
dépend du
temps d’écoulement
Ex.3
Geneviève a loué un jeu vidéo au
club vidéo de son quartier. Le
coût du jeu est de 3$/jour.
Coût du jeu
dépend du
nombre de jours de location
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Temps ( min ) Niveau ( cm )
0 2
1 6
2 10
5 22
10 42
Nombre de
jours
Coût ( $ )
0 0
1 3
2 6
3 9
4 12
20 40 60 80
Niveau
(cm)
4 8 12 16
Coût
($)
3 6 9 12 15
2 4 6 8 10
1 2 3 4 5
Nombre de
leçons
2 4 6 8 10 temps (min)
Nombre de jours
x : Temps écoulé ( min )
y : niveau de l’eau ( cm )
y = 4x + 2
f( x ) = 4x + 2
f( 3 ) = 4( 3 ) + 2 = 14
x : Nombre de jours
y : Coût de location
y = 3x
f( x ) = 3x
f( 3 ) = 3( 3 ) = 9
4

Exercice
Représente la situation suivante à l’aide des quatre modes de représentation.
En prévision de faire un voyage l’an prochain, tu désires faire des économies. Tu possèdes
actuellement 100$ dans ton compte de banque et tu prévois déposer 50$ de plus par mois. On
s’intéresse à la relation entre le nombre de mois écoulé et la somme que tu possèdes.
DESCRIPTION VERBALE
On s’intéresse au lien entre le nombre de mois écoulés et la somme amassée.
La somme amassée DÉPEND du nombre de mois écoulés.
TABLE DE VALEURS GRAPHIQUE
Tes économies
Nombre de mois
écoulés
RÈGLE
Sommes
amassées ( $ )
0 100
1 150
2 200
3 250
4 300
5 350
6 400
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Sommes amassées
100 200 300 400
2 4 6 8 Nombre de
mois écoulés
Identification des variables Règle : y = 50x + 100
x : Nombre de mois écoulés
y : Somme amassée ( $ )
Tes économies
5

4. LA RELATION RÉCIPROQUE
La relation réciproque s’obtient en intervertissant la variable dépendante et la variable
indépendante.
MODE DE
REPRÉSENTATION
La description
verbale
La table de
valeurs
Le graphique
Périmètre (cm)
2 4 6 8 10 12
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Relation Relation réciproque
Le périmètre d’un carré, P, dépend de la
mesure de son côté, c.
Mesure du côté
(cm)
0 1 2 3
Périmètre (cm) 0 4 8 12
La règle P = 4c
Mesure du
côté (cm)
1 2 3
6
La mesure du côté d’un carré, c, dépend
de son périmètre, P.
Périmètre (cm) 0 4 8 12
Mesure du côté
(cm)
0 1 2 3
2 4 6 8 10 12
Périmètre (cm)
C = p
4
Pour trouver la réciproque :
Avec un graphique ou une table de valeurs, il faut : inverser les valeurs de x et de y.
Avec une règle, il faut :
1 2 3 Mesure du côté (cm)
Intervertir les variables dépendantes ( y ) et indépendantes ( x ) dans la règle et ensuite, il
faut isoler la variable dépendante ( y ).
Tous les couples (x, y) d’une relation sont des couples (y, x) de sa relation réciproque. Ainsi,
(1, 4) et (4, 1) sont appelés « des couples réciproques ».

Ex.1 Description verbale
La distance parcourue en voiture DÉPEND de la quantité d’essence.
LA RÉCIPROQUE
La quantité d’essence DÉPEND de la distance parcourue.
Ex.2 Table de valeurs
LA RÉCIPROQUE
x 0 1 2 3 4 x 10 15 20 25 30
y 10 15 20 25 30 y 0 1 2 3 4
Ex.3 Graphiquement
( 1 , 3 )
( 2 ,6 )
Ex.4 La règle
( 3 , 3 ) ( 5 , 3 )
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LA RÉCIPROQUE
( 3 , 1 )
( 3 , 5 )
( 3 , 3 )
( 6 , 2 )
1 2 3 4 5 x
LA RÉCIPROQUE
a) y = 4x a) x = 4y
x 4y
=
4 4
x
x
= y y =
4 4
b) y = 3x + 2 b) x = 3y + 2
x - 2 = 3y
x - 2 3y
=
3 3
x - 2
x - 2
= y y =
3 3
1 2 3 4 5 y
7

Exercices
Trouve la relation réciproque dans chacune des situations.
a) 4x+5y = 7 a) 4y + 5x = 7
4y = -5x + 7
b)
( 3 , 2 )
( 4 , 0 )
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
y =
LA RÉCIPROQUE
-5x + 7
4
( 0 , 4 )
( 2 , 0 )
( 2 , 3 )
y = -5x
4
LA RÉCIPROQUE
x -1 0 1 4 x -10 -2 6 30
y -10 -2 6 30 y -1 0 1 4
c) Un graphique ayant les coordonnées suivantes : (0,2), (2,3), (3,2) et (4,0).
1 2 3 4 5 y
( 0 , 2 )
( 2 , 3 )
1 2 3 4 5 y
LA RÉCIPROQUE
( 3 , 2 )
+ 7
4
1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 x
8

5. LA FONCTION
Une fonction est une relation qui fait correspondre à la variable indépendante
UNE ET UNE SEULE valeur de la variable dépendante.
- La fonction est une relation.
- La relation n’est pas nécessairement une fonction.
Lorsqu’on imagine des droites verticales dans un plan cartésien (lignes pointillées sur les graphiques
ci-dessus), chacune d’elles doit croiser la relation en au plus un point pour que la relation soit
une fonction.
La notation fonctionnelle f(x)
On utilise parfois la notation fonctionnelle f(x) pour désigner la valeur de la variable dépendante
lorsque la variable indépendante vaut x. Cette notation permet d’associer une image à une valeur
du domaine. La notation f(x) se lit « f de x ».
En présence d’une fonction, la variable dépendante peut s’écrire f(x) au lieu de y.
Retour p.4
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
9

Section 2.2
1. LES INTERVALLES
Définition : Ensemble de nombres dans
Ex : [
Crochet
Tous les cas possibles :
Borne
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
LES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS
Intervalle
Signification Graphiquement
[ − 5,11]
-5 est inclus et 11 est
[ 5,11[
− -5 est inclus et 11 est
] − 5,11]
] − 5,11[
Ensemble de nombres dans compris entre deux bornes.
-5 est exclu et 11 est inclus.
-5 est exclu et 11 est exclu.
] - , 20 ] est l’ensemble de tous les nombres
Graphiquement :
] - , 20 [ est l’ensemble de tous les nombres inférieurs à 20.
20 est exclu de l’ensemble.
Graphiquement :
] 4 , + [ est l’ensemble de tous les nombres supérieurs à 4.
4 est exclu de l’ensemble.
Graphiquement :
[ 4 , + [ est l’ensemble de tous les nombres
Graphiquement :
− 5, 11 [
Borne
et 11 est inclus .
et 11 est exclu .
Crochet
l’ensemble de tous les nombres inférieurs ou égal à 20.
l’ensemble de tous les nombres supérieurs ou égal à 4.
10

2. LES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS
Une fonction possède un certain nombre de propriétés qui la caractérisent.
PROPRIÉTÉS DES
FONCTIONS
Domaine
Codomaine ou Image
Extremums
• Minimum
• Maximum
Ordonnée à l’origine ou
valeur initiale
Abscisse à l’origine ou
zéro
Variation
• Croissante
• Décroissante
• Nulle
Signe de la fonction
• Positif ou nul
• Négatif
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Définitions Exemple Selon le contexte
Ensemble des valeurs que prend la
variable indépendante.
Ensemble des valeurs que prend la
variable dépendante.
Minimum : plus petite valeur que
prend la var. dépendante.
Maximum : plus grande valeur
que prend la var. dépendante
- point d’intersection de la courbe
avec l’axe des y.
- valeur de y quand x = 0
- point d’intersection de la courbe
avec l’axe des x.
- valeur de x quand y = 0
Croissante : la courbe monte
Décroissante : la courbe descend
Nulle : la courbe forme une ligne
droite horizontale
On indique la variation avec un
intervalle de valeurs en x.
Positif : si la valeur de la variable
dépendante est positive.
Négatif : si la valeur de la variable
dépendante est négative.
Nul : si y = 0
On indique le signe de la fct avec
un intervalle de valeurs en x.
Min : -4
Max :2
[ 0 , 24 ]
[ -4 , 2 ]
-2
Durée de
l’expérience
Écart de
température
11
Température au
début de la
journée.
8 et 16,3 ( 16h20 ) Moment(s) de la
journée où il fait
Croissante :
[ 6 , 10 ]
Décroissante :
[15,19 ]
Nulle :
[ 0 , 6 ] ∪ [ 10, 15 ]
∪ [ 19, 24 ]
Positif : [ 8 , 16,3 ]
Négatif : [ 0 , 8 ]
∪ [ 16,3, 24 ]
0 °C
La
température croît.
La température
décroît.
La
température reste
constante.
+ : Moment(s) où la
température est au-
dessus de 0 °C.
- : Moment(s) où la
température est au-
dessous de 0 °C.

Exercices : Observe les deux graphiques suivants et identifie leurs propriétés.
Graphique 1 Graphique 2
PROPRIÉTÉS DES
FONCTIONS
Domaine
Codomaine ou Image
Extremums
• Minimum
• Maximum
Ordonnée à l’origine ou
valeur initiale
Abscisse à l’origine ou
zéro
Variation
• Croissante
• Décroissante
• Nulle
Signe de la fonction
• Positif
• Négatif
Min : ----
Max : 4
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Graphique 1 Graphique 2
] - , 4 ]
4
-2 et 2
Croissante : ] - , 0 ]
Décroissante : [ 0 , + [
Nulle : ----
Positif : [ -2 , 2 ]
Négatif : ] - , -2 ] U
[ 2, + [
Min : ----
Max : ----
[ 0 , + [
[ 0 , + [
0
0
Croissante : [ 0 , + [
Positif : [ 0 , + [
12

Section 2.3
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
LA FONCTION DE VARIATION INVERSE
1. LA FONCTION DE VARIATION INVERSE
La fonction de variation inverse est une fonction dont le produit des valeurs associées des
variables indépendante (x) et dépendante (y) est constant (k).
x ⋅ y = k
Exemple :
Maxime exige 60 $ pour peindre les murs d’une cuisine. Son salaire par heure, y, varie en
fonction du temps, x, qu’il prendra pour effectuer la tâche.
Voici les différents modes de représentation d’une fonction de variation inverse.
MODES DE REPRÉSENTATIONS
La description verbale
Dans une fonction de variation inverse les deux
variables varient inversement.
Si une variable augmente l’autre diminue.
La table de valeurs
Dans la table de valeurs d’une fonction de
variation inverse, le produit des valeurs
associées est constant.
x ⋅ y = k
Exemple
13
Plus le nombre d’heures pour peindre
la cuisine augmente, plus le salaire par
heure de Maxime diminue.
Temps ( h ) Salaire ( $ )
x . y = 60
x y x . y = 60
1 60 1 . 60 = 60
2 30 2 . 30 = 60
3 20 3 . 20 = 60
4 15 4 . 15 = 60
5 12 5 . 12 = 60
6 10 6 . 10 = 60

Le graphique
La représentation graphique d’une fonction de
variation inverse est une courbe qui
s’approche des deux axes SANS Y TOUCHER.
Le produit des coordonnées est constant pour
tout point du graphique. On le désigne par k.
La règle
La représentation algébrique d’une fonction de
variation inverse est de la forme :
k
y =
x
ou ou
où k représente une constante.
Remarque : Les variables x et y ne peuvent pas
égaler 0.
f ( x)
=
k
x
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
Salaire par heure
xy = k
La règle de cette fonction est :
y = 60
x
Ici, la valeur de k est 60.
f ( 6)
=
60
6
= 10
ou f(x) = 60
x
Temps (h)
Si Maxime travaille pendant 6 heures, son
salaire est de 10 $/h.
14

Exercice :
Représente la situation suivante à l’aide des quatre modes de représentation.
Cette fin de semaine, tu désires inviter quelques amis chez toi pour jouer à des jeux vidéo. Tu
désires essayer la console Wii que tu ne possèdes pas encore. Tu loueras donc la console de jeux.
Le prix demandé est de 120$ pour la fin de semaine. Tu t’intéresses au prix que chacun devra
payer en relation avec le nombre de personnes qui seront présentes.
DESCRIPTION VERBALE
Plus le nombre d’amis présents augmente, plus le prix à payer par chacun
baissera.
Ce que chacun doit payer pour la location DÉPEND du nombre d’amis
présents.
TABLE DE VALEURS
x : Nombre de personnes 1 2 3 4 5 10 20
y : Prix payé par chacun ($) 120 60 40 30 24 12 6
GRAPHIQUE
Prix payé par
chacun ( $ )
RÈGLE
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
y = 120
x
Nombre de personnes
Nombre de personnes
ou x . y = 120
15

Exercices :
1. Dans les différents cas, sommes sommes-nous nous en présence d’une fonction de variation inverse?
a) b)
c) f ( x ) =
x
50
e) f) Lavage des fenêtres
x 1 3 5
y 1 5 7
2. Soit la table de valeurs suivante :
x.y 150 150 150 150 150
a) Détermine si c’est une fonction de variation inverse. oui
b) Si oui,
Trouve une description verbale qui s’associe à cette table de valeur.
Le coût individuel de location d’un autocar en fonction du nombre de
personnes qui participent au voyage voyage.
Trace le graphique.
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
x
y
7 9
13 17
d)
600
c = où c : coût
n
n : nombre de personnes
Nbre de
personnes
1 2
Temps (h) 4 2
1 3 5 7 9
150 50 30 21,43 16,67
y = 150
x
y . x = 150
Trouve l’équation. l’équation
16
4 8 10
1 0,5 0.4

3. Je dissous 10 grammes de sel dans 2 litres d’eau.
Note : la formule de la concentration d’un liquide est :
a) Quelle est la concentration en sel du liquide?
m = 10g v = 2 c = m
v
Sandra Noreau et François Constant, Collège Bourget
= 10g
2
= 5 g/
masse
concentration =
volume
b) Si j’ajoute deux autres litres d’eau au mélange, que se passera-t-il avec la concentration en
sel? V = 2 2
c = m
v
= 10g
4
= 2,5 g/
Conclusion : La concentration en sel diminue de moitié.
c) Quelle quantité de sel dois-je ajouter à 4 litres d’eau pour obtenir une solution très salée
de 15 grammes par litre. C = 15 g/ V = 4
c = m
v
15 g/
m
4
m = 15 g/ . 4 60g
Réponse : 60 g de sel
4. L’an prochain, tu désires faire le marathon (42 km) des deux rives à Québec. Tu t’intéresses à
la vitesse moyenne à laquelle tu courras en fonction du temps que tu mettras à faire le marathon.
Tu as comme objectif de faire le marathon en 3h 45min, quelle devra être ta vitesse moyenne?
t = 3h45 min 3,75h
v = d
t
v = 42 km
3,75 h
= 11,2 km/h
Je devrai maintenir une vitesse moyenne de 11,2 km/h
17