INTRODUCTION
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f A <strong>INTRODUCTION</strong><br />
L'ANALYSE INFINITESIMALE,<br />
PAR LÉONARD EULER;<br />
Traduice du latín en francais, avec des Notes & des ÉclairciíTements,<br />
PAR J. B. L A B E Y,<br />
c<br />
Profefléuc de Mathématiques aüx Écoles Centrales du Départemenc de la Seine.<br />
TOME PREMIER.<br />
A P A R I S,<br />
Chez BARROIS, aíné, Libraire, rué de Savoye, n° 23.<br />
Z,'Í4A Quatfieme de ¿a Républíque Fran$aife. ( 17p 5.)<br />
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---**<br />
A BONAPARTE,<br />
C I T O Y E N GENERAL,<br />
Cejl moins au jeune Héros qui a conquis Challe<br />
& pacifié le Continent , quau Philofophe ami &<br />
protetleur éclalré des Sciences & des Arts, quej'adrejfe<br />
cene Tradu&ion. Le goüt des Mathématiques, que j'ai<br />
été a portee de reconnoítre en vous dans un age moins<br />
avancé, & que vous ave^ conjervé au milieu des travaux<br />
glotieux qui ajjurent d votre nom l'immortalité', m'a<br />
paru un titre fufffant pour vous en faire l'hommage.<br />
En l'agréant, vous mette^ le comble a mes voeux„<br />
EuLER, Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. a
i<br />
•<br />
puifque vous moffre\ theureufe occajion de vous exprimer<br />
a la fois les fentimens de ma reconnoiffance, & ceux<br />
d!admiration que je partage avec toute L'Europe.<br />
:JX'J[.' I ifLiuíJ.u'.,.' i :<br />
L A B E Y.<br />
AVIS.<br />
n^v<br />
AVIS.<br />
O N paroiíToit déíirer, il y a long-temps, une Traducción<br />
complette de l'Xntroduétion á l'Analyíe<br />
infinkéílmale d'EuLER , tant a caufe de la difficulté de<br />
fe procurer cet Ouvrage devenu rare depuis plufieurs<br />
années, que parce que beaucoup de jeunesGens qui fe<br />
livrent á letude des Mathématiques, n'entendent pas<br />
la langue dans laquelle il a été écrit. Je défire, en<br />
pubiiant aujourd'hui cette Traducción, avoir rempli<br />
Tattente & le vceu du Public. Au moins n ai-je rien<br />
négligé pour la rendre la plus claire poflible, & la<br />
mettre a la portee de ceux méme qui ne íauroient que<br />
les Éléments ordinaires d'Algebre. Ceft dans cette vue<br />
que j'ai ajouté quelques éclairciílements & quelques<br />
notes íur différents endroits de l'Ouvrage, foit pour en<br />
faciliter l'intelligence, foit pour fuppléer á des démonf<br />
trations, que l'Auteur renvoie quelquefois au Calcul<br />
differentiel. Ces notes, étant pour la plupart de fimples<br />
explications, qui ne peuvent intéreííér que ceux qui<br />
font moins avances dans la connoiíTance de l'Analyfe,<br />
devoient étre placees naturellement au bas des pages,<br />
oü fe trouvent les arricies, auxquels elles appartiennent;<br />
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I<br />
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¡M-Í AhñW<br />
mais comme les premieres feuilles ont été imprimees,<br />
fans qu'on ait eu cette attention, j'ai été obligé de<br />
renvoyer le tout a la fin de l'Ouvrage.<br />
Si le Public accueille favorablement la Traducción<br />
que je lui préfente aujourd'hui, & manifeíte le defir<br />
d'avoir dans la méme langue les autres Traites du<br />
méme Auteur , qui font la íuite de celui-ci, favoir,<br />
fon Traite de Calcul différentiel, celui de Caled integral,<br />
Sí méme fa Théorie du Mouvement des Corps durs, j'en<br />
pubiierai fucceíTivement la traducción avec des additions<br />
, qui feront connoitre les prcgrés que l'Analyfe<br />
a faits depuis Fépoque oü ees Ouvrages ont para. En<br />
joignant a cette précieufe collecCion la Mécanique<br />
analytique du C. Lagrange & la Mécanique célefte<br />
que le C.Laplace fe propofe de faire bientót imprimera<br />
on aura en francas le corps de DocCrine analytique<br />
le plus complet qui ait para jufqu'ici, & qui reunirá<br />
ce que l'Analyfe orTre de plus ingénieux dans la théoriQ<br />
& de plus fublime dans l'application.<br />
PRÉFACE DE LAUTEUR.<br />
J 'A i vu fouvent que les difficultés, qui arrétent les Commencans,lorfqu'ils<br />
fe livrent á l'étude du Calcul infinitéfimal ,<br />
viennent en trés-grande partie de ce qu'ils veulent s'élever a<br />
la connoiíTance de cette nouvelle branche de l'Analyfe ,<br />
n'ayant encoré qu'une teinture aííez légere de l'Algébre<br />
commune. II arrive de-la que non-feulement ils fe trouvent<br />
arrétés des les premiers pas qu'ils font, mais encoré qu'ils fe<br />
forment des idees fauíTes de l'infini , dont la vraie notion<br />
doit les guider dans leurs opérations & dans l'objet de leurs<br />
recherches. Or quoique l'Analyfe infinitélimale n'exige pas a<br />
la rigueur une connoiíTance approfondie de l'Analyfe ordinaire,<br />
6c de tous les moyens ingénieux qu'on a trouvés jufqu'i<br />
préfent pour la perfe£tionner , on ne peut cependanc<br />
nier qu'il y ait beaucoup de queftions dont le développement<br />
eft propre a préparer les efprits a l'étude de cette<br />
fcience fublime , & qu'on chercheroit en vain dans la plupart<br />
des Traites élémentaires d'Algebre , ou qui, fi elles s'y<br />
trouvent, y font traicées d'une maniere aflez peu exacCe.<br />
Ceft pourquoi je ne doute pas que les matieres que j'ai raffemblées<br />
dans les deux Livres qui compofene cet Ouvrage»<br />
ne fuppléent abondamment a ce défaut. Car non-feulement<br />
j'ai fait enforte de ne rien omettre de ce qu'exige abfolument<br />
l'Analyfe des infinis, & del'expofer avec plus d'étendue<br />
& plus de ciarte qu'on ne le fait ordinairement; mais j'ai de<br />
plus réfolu un aííez bon nombre de queftions , qui mettronc<br />
les Lecteurs a portee de fe familiarifer infenílblement , 8c en<br />
quelque forte contre leur attente avec l'idée de l'infini. J'ai
J<br />
1 ^<br />
1<br />
II<br />
W-<br />
I<br />
vj P R É F A C E<br />
auíli "traite par les méchodes de l'Algébre commune pluíieurs<br />
queftions, qui font ordinairement l'objet de l'Analyfe<br />
infinitéfimale , afín de rendre plus fenfible 8c plus frappanc<br />
l'accord parfait qu'on remarquera dans la fuite entre les deux<br />
méthodes.<br />
J'ai divifé ce Traite en deux Livres. Le premier embrafle<br />
ce qui a rapport a l'Analyfe puré. Dans le fecond je développe<br />
"plufieurs queftions géométriques, dont la connoiíTance<br />
m'a paru néceíTaire ; parce qu'ordinairement en traitant de<br />
l'Analyfe infinitéfimale , on en fait voir en méme temps<br />
l'application á la Géométrie. J'ai fuppofé par-tout Ja connoiíTance<br />
des premiers Éléments ; 8c j'ai cru ne devoir<br />
expliquer dans ees deux Livres que ce qu'on ne trouveroit<br />
pas ailleurs , ou qui du moins y feroit traite d'une maniere ,<br />
qui m'a femblé moins avantageufe, ou bien qui fuppoferoit<br />
des principes difFérents des miens.<br />
Je me fuis fur-tout étendu dans le premier Livre fur les<br />
fonclions de variables, parce qu'elles font l'objet de l'Analyfe<br />
infinitéfimale. J'y ai enfeigné la maniere de les transformer,<br />
de les décompofer, Se de les réduíre en feries infinies.<br />
J'ai faitlenumération de plufieurs efpeces , auxquelles<br />
on doit avoir égard, particulierement dans la haute Analyfe.<br />
Je les ai d'abord divifées en algébriques Si en tranfeendantes.<br />
Les premieres font compofées de quantités variables combinées<br />
entr'elles par les opérations ordinaires de l'Algébre,<br />
8c les fecondes dépendent d'autres opérations, ou des memes<br />
combinaifons que les precedentes , mais répétées une infinité<br />
de fois. La fubdiviíion des fon&ions algébriques , qui<br />
s'oíFre la premiere, eft celle en rationnelles 8¿ en irrationnelles.<br />
Celles-lá peuvent étre décompofées ou en parties<br />
plus fimples , ou en fa&eürs ; j'ai fourni les moyens de Jes<br />
ramener a cet état de fimplicité; &c'eft une opération dont<br />
DE VA V T E U R. vij<br />
le Calcul integral tire un trés-grand fecours. J'ai fait voir<br />
enfuite comment , par des fubftitutions convenables , on<br />
pouvoit donner aux autres une forme rationnelle. Ces efpeces<br />
de fondions peuvent étre converties l'une 8c l'autre<br />
en feries infinies. Les foncCions tranfeendantes font fufeeptibles<br />
de la méme converfion , Se méme on la leur applique<br />
avec le plus grand fuccés. Tout Je monde fait d'ailleurs de<br />
quels progrés la haute Analyfe eft redevable a la doctrine<br />
des feries infinies. Auíli si • je ajouté quelques Chapitres i oü<br />
je me fuis attaché a découvrir les propriétés , Se. a trouver les<br />
fommes de plufieurs feries infinies, dont quelques-unes paroiíToient<br />
de nature a faire croire prefque qu'elles ne pourroient<br />
étre trouvées fans le fecours du Calcul infinitéfimal.<br />
Telles font les feries , dont les fommes font exprimées ou par<br />
les Logarithmes, ou par des ares, de Cercle. Ces fortes de<br />
quantités, qui font tranfeendantes, puifqu'elles font reptéfentées<br />
par la furface de THyperbole ÜC du Cercle , font<br />
partie des matieres qu'on a.coutume de traiter dans l'Analyfe<br />
infinitéfimale. PaíTant enfuite des puiíTances aux quantités<br />
exponentielles , qui font elles-mémes des puiíTances , dont<br />
les expofants font variables , leur développement m'a fourni<br />
une idee fort naturelle 8c \ la fois féconde des Logarithmes ;<br />
d'oü il m'a été facile de conclure leurs difFérents ufages , en<br />
méme temps que j'ai pu en déduire toutes les feries infinies ,<br />
qui repréfentent ordinairement ces quantités; ce qui m'a<br />
donné enfin un moyen tres-expedidf de conftruire les Tables<br />
de Logarithmes. Je me fuis femblablement eonduit dans<br />
l'examen des ares de Cercle ; genre de quantités, qui ,<br />
quoique trés-différent des Logarithmes, leur eft cependant<br />
tellement lié, que lorfqu'une de ees quantités paroít devenir<br />
imaginaire , elle fe change en l'autre. Aprés avoir rappellé<br />
ce que la Géométrie nous apprend fur la valeur des íinus<br />
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ii. -,<br />
viij P R É F A C E<br />
Se des cofinus, tant múltiples que fous-multiples, j'ai tiré de<br />
l'expreífion du íinus ou du cofinus d'un are quelconque celle<br />
du íinus 8c du cofinus d'un are trés-petit Se prefque nul, ce<br />
qui m'a conduit a des feries infinies ; Sí comme un tel are<br />
eft égal á fon finus , tandis que fon cofinus eft égal au rayón ,<br />
j'ai pu, a Taide des feries infinies , comparer un are quelconque<br />
avec fon finus 8c fon cofinus; 8c alors ¡1 s'eft préfenté<br />
naturellement une íl grande variété d'expreílions, foit<br />
finies foit infinies pour ces fortes de quantités , que pour les<br />
connoitre a fond, on pourroit fe difpenfer de recourir au<br />
Calcul infinitesimal. De plus , comme les Logarithmes exigent<br />
un Algorythme particulier , dont l'ufage eft trés-connu<br />
dans toute l'Analyfe ; j'ai ramené de méme les quantités<br />
circulaires a une certaine forme de calcul , qui fait qu'on<br />
peut les employer auíli commodément que les Logarithmes<br />
Se les quantités algébriques méme. II n'eft pas douteux qu'on<br />
en doive retirer le plus grand avantage pour la folution de<br />
queftions trés-difficiles ; on fera a portee d'en juger , en<br />
jettant les yeux fur quelques Chapitres de ce Livre , & c'eft<br />
ce que d'ailleurs il feroit poííible de prouver par plufieurs<br />
eftais tires de l'Analyfe des infinis, s'ils n'étoient pas deja<br />
fuffifamment connus , Se s'ils ne fe multiplioient pas de<br />
jour en jour. Cette recherche m'a été en particulier d'un<br />
grand fecours pour décompofer les fon£tions fra&ionnaires<br />
en facteurs réels. Ce fujet m'a paru mériter quelques détails,<br />
a caufe de fa grande utilité dans le Calcul integral. J'ai<br />
examiné enfuite les feries infinies , qui réfultent du développement<br />
de ces fortes de foncCions , Se qui font connues<br />
fous le nom de feries recurrentes. J'ai donné la maniere de<br />
les fommer , d'en trouver les termes généraux , Se d'en<br />
découvrir plufieurs autres propriétés remarquables; Se comme<br />
je fuis arrivé naturellement a ees réfultats par une limpie<br />
\ rj. 11» i<br />
/-»:t ¡K-- W_-<br />
décompoíition<br />
DE VA UT E UR.<br />
IX<br />
décompoíition en fa&eurs , j'ai voulü voir comment on<br />
pouvoit réciproquement convertir en feries des produits<br />
compofés d'un certaiu nombre, Se méme d'un nombre infini<br />
de facteurs. Ce travail m'a non-feulement mené a la connoiíTance<br />
d'une quantité innombrable de feries , mais ,<br />
parce qu'on pouvoit de cette maniere changer les feries en<br />
produits compofés d'une infinité de facteurs , il m'a de plus<br />
fait trouver des expreflions numériques aíTez commodes , a<br />
l'aide defquelles il eft facile de caltíuler les Logarithmes des<br />
finus , des cofinus Se des tangentes. La méme fource m'a<br />
fourni la folution de plufieurs queftions, qui regardent la<br />
partition des nombres, Se qui fembieroient, fans ce fecours,<br />
étre au-deíTus des forces de l'Analyfe, Cette abondance de;<br />
ñutieres auroit pu facilement fournir plufieurs volumes ;<br />
mais autant qu'il m'a été poííible , j'ai voulu étre concis ,<br />
fans pourtant ceíTer d'étre clair, pour laiíTer a l'induftrie<br />
du Leéieur un champ plus vafte, oii il pourra exercer fes<br />
forces 8c reculer les bornes de l'Analyfe; car je ne crains<br />
pas d'avancer, qu'indépendamment des chofes neuves que<br />
ce Livre renferme , on y trouvera des fources oü peuvent<br />
etre puifées encoré un grand nombre de belles découvertes.<br />
Jai fuivi la méme marche dans le fecond Livre, oii je<br />
traite de ce qui a rapport á la Géométrie des Courbes. Mais ,<br />
avant que de parler des Sedions coniques, qui font ailleurs<br />
prefque l'unique objet de cette branche des Mathématiques,<br />
j'ai donné une théorie des Courbes en general, qu'on puc<br />
employer utilement pour en connoitre la nature. Je n'ai eu<br />
befoin pour cela que de I'équation de la Courbe , qui m'a<br />
lerv, á en. déterminer la figure , Se á en déduire les principales<br />
propriétés. Je crois avoir entiérement rempli mon<br />
but , fur-rout dans les Sedions coniques , qui jufqu'ici<br />
avoteat été traitées par ¡la feule Géométrie, ou quelquefois<br />
b
\f<br />
1<br />
II<br />
!'<br />
-^^H<br />
x P R É F A C E<br />
par l'Analyfe, mais d'une maniere trop imparfaite 8¿ moins<br />
ñaturelle. Aiuíi aprés avoir déduit de l'équation genérale<br />
des Iignes du fecond ordre leurs propriétés genérales , j'ai<br />
fous-divifé ces Iignes en genres ou efpeces, examinant íi<br />
elles avoient des branches infinies, ou íi la courbe entiere<br />
étoit renfermée dans un efpace fini. Mais dans íe premier<br />
cas, il falloit encoré avoir égard au hombre 8c a la nature<br />
de leurs branches , 8c s'aíTurer íi elles avoient des afymptotes<br />
redilignes ou non. J'ai obtenu de cette maniere les trois<br />
efpeces connues de Sedions coniques. La premiere eft<br />
l'ellypfe qui eft renfermée toute entiere dans un efpace fini;<br />
la íeconde eft Phyperbole, dont les quatre branches s'éloignent<br />
á l'infini en s'approchant de plus en plus de deux<br />
Iignes droites; Se la troifieme efpece eft la parabole compofée<br />
de deux branches infinies fans afymptotes. Je me fuis<br />
conduit d'une maniere femblable á l'égard des Iignes du<br />
troifieme ordre. Aprés en avoir expofé les propriétés genérales,<br />
je les ai divifées en feize genres, auxquels j'ai rapporté<br />
les foixante-douze efpeces dé ÑEVTON; j'ai expofé ma<br />
fnéthode avec tant de ciarte qu'on pourroit, par fon moyen ,<br />
divifer fans aucune peine toutes les ligne"s en genres, en<br />
paíTant fucceflivément d'un ordre au fuivant. J en ai fait<br />
TeíTai pour les Iignes du quatrieme ordre. Aprés avoir fini<br />
ee que j'avois á diré fur les ordEes des Iignes, }e retourne k<br />
la recherche des affedions genérales de toutes les Iignes.<br />
J'explique la méthode de trouver les tangentes des Courbes,<br />
leurs normales 8c leur courbure , qui s'eftime ordinairement<br />
par la grandeur du rayón oículateur : quoique ces<br />
recherches paroilfent a préfent du reíTort du Calcul différentiel,<br />
j'ai cru cependant utile de m'en oceuper ici fans<br />
émprunter d'autres fecours , que celüi de FAlgébre commune<br />
, pour faciliter d'autant plus dans la fuite le paflage<br />
D E VA V T E U R. ^ xj<br />
de l'Analyfe fies quaptités fiares a ¿elle des quantités injfinies.<br />
Je me fuis aufli arrété a l'examen des points d'inflexion,<br />
des points de rebrouíTement, des points doubles ,<br />
pu múltiples des Courbes, Se j'ai enfeigné la maniere de<br />
déduire facilement ees points /inguliers des équations<br />
memes. J'avoue cependant qu'il eft beaucoup plus facile de<br />
réfoudre ces problémes par le moyen du Calcul différentiel.<br />
J'ai encoré agité la [queftion du point de rebrouíTement de<br />
Ja feconde efpece t x»u deux ares , qui fe terminent en<br />
pointe , tournent leur convexité du méme cote ; Se il rae<br />
femblé l'avoir traitée aíTez a fond pour ne laiíTer plus aucun<br />
doute fur cet objet. Enfiu j'ai ajouté quelques Chapitres, qui<br />
.appnennent á tr©uyer-des Courbes, qui font douées de propriétés<br />
particulieres 8c données ; 8c j'ai ;te,rnlifté le fecond<br />
Livre par la folution de plufieurs problémes relatifs a. certaines<br />
fedions du Cercle. Aprés avoir ainíi parcouru les<br />
diíFérents objets de Géométrie plañe , dont la connoiíTance<br />
m'a paru utile pour faciliter l'étude de l'Analyfe infinitéfimale<br />
, j'ai ajouté en forme d'Appendice une théorie analytique<br />
des folides Se de Jeur furface , 8c j'ai fait voir comment<br />
on pouvoit exprimer la nature d'une furface quelconque<br />
á l'aide d'une équation entre trois variables. Enfuite ,<br />
aprés avoir claíTé les furfaces á la maniere des Iignes courbes<br />
fuivant le nombre de dimenfions, que forment les variables<br />
dans l'équation , j'ai fait voir que la feule fuperficie plañe<br />
appartenoit au premier ordre. Quant aux furfaces du fecond<br />
ordre, je les ai divifées en íix efpeces , eu égard a leurs<br />
parties , qui s'étendent a l'infini. On pourra continuer une<br />
divifion femblable pour les ordres ultérieurs.. J'ai coníidéré<br />
auíli les interfedions que forment entr'elles deux furfaces; Se<br />
comme elles donnent le plus fouvent des Courbes, qui ne font<br />
pas fituées dans un méme plan , j'ai indiqué la maniere de<br />
bij<br />
\_/
m<br />
1<br />
I<br />
•<br />
i<br />
xij PREFACE DE VAUTEUR.<br />
fes repréfenter par des équations. Enfin j'ai determiné la<br />
pofition des phns tangents, 8c eelle des droites , qui font<br />
perpendiculaires aux furfaces.<br />
Au refte, comme une grande partie de ces objets a deja<br />
été traitée, j*aurois k m'excufer de n'avoir pas toujours fait<br />
mention honorable de ceux qui m'ont precede dans ce méme<br />
genre de travail; mais outre que j'ai voulu me reílerrer dans<br />
l'efpace le plus étroit poííible, le détail hiftorique de chaqué<br />
probléme m'auroit mené trop loin, Se auroit groíli conlidérablement<br />
ce Traite. Cependant , comme la plupart des<br />
queftions, qui ont deja été réfolues ailleurs, doivent ici leur<br />
folution a d'autres principes, je ferois en droit d'en révendiquer<br />
une bonne partie. Quoi qu'il en foit , j'efpere<br />
que ces difFérents' objets , 8c particuliérement ceux qui par-oiflent<br />
ici pour la premiere fois, feront quelque plaifir a<br />
ceux qui aiment ce genre d'émde.<br />
TABLE DES CHAPITRES<br />
V-i H A P. I.<br />
CHAP. II.<br />
CHAÍ, III.<br />
CHAP. IV.<br />
CHAP. V.<br />
CHAP. VI.<br />
CHAP. VIL<br />
CHAP. VIII.<br />
CHAP. IX.<br />
CHAP. X.<br />
CHAP.. XI.<br />
CHAP. XII.<br />
du Tome premier.<br />
Xlt]<br />
Des Fonclions en general, Pag. i<br />
De la. transformación des Fonclions, 14<br />
De la transformation des Fonclions par<br />
fubflitution, > 3 j ^<br />
Du développement des Fonclions en Series<br />
infinies ,<br />
Des Fonclions de deux ou plufieurs variables<br />
,<br />
Des Quantités exponentielles & des Logarithmes,<br />
Du développement des Quantités exponentielles<br />
& logarithmiques en Series ,<br />
Des Quantités tranfeendantes qui naijfent<br />
du cercle,<br />
De la rechercke des Facleurs trinomes, 106<br />
De l'ufage des Facleurs trouvés auparavant<br />
pour la fommation des Series infinies 3 n6-<br />
Des autres expreffions infinies des Ares &<br />
des Sinus y_ !¿r<br />
Du développement red des Fonclions<br />
fradionnaires, j 5
ií*l<br />
xiv TABLE DES CHAPITRES.<br />
CHAP. XIII. Des Series recurrentes, Pag. 1¿8<br />
CHAP. XIV. Déla Multiplicación & de la Divifion<br />
des Angles, 187<br />
CHAP.<br />
CHAP.<br />
CHAP.<br />
X V. Des Series réfultantes du développement<br />
des Facleurs , 106<br />
XVI. De la Partition des Nombres, 2 34<br />
XVII. De l'ufage des Series recurrentes dans<br />
la rechercke des rocines des Équations<br />
3<br />
157<br />
CHAP. XVIII. Des Fraclions continúes, 277<br />
NOTES 8C ÉCLAIRCISSEMENTS, 3°5<br />
Fin de la Table des Chapitres du Tome premier.<br />
ERRATA du Tome premier,<br />
P A G E 10, lig. 26, au litu de i, mtttt[ Z<br />
P.18, 1.13 . m lleude +
I f*<br />
T<br />
P. 103, lis. ia,
W •<br />
I<br />
% D E S FONCTX. O N S<br />
{ •articulier, les unes étant confidérées comme conftantes, &<br />
es autres comme variables.<br />
i. Une quantité variable eft une quantité indéterminée, ou3<br />
fi fon veut, une quantité univerfelle , qui comprend toutes les<br />
valeurs déterminées.<br />
Une valeur déterminée quelconque pouvant étre exprimée<br />
en nombre, il s'enfuit qu'une quantité variable comprend<br />
tous les nombres de quelque nature qVils foient. II en eft de<br />
la quantité variable, comme du genre Se de l'efpece á l'égard<br />
des individus ; on peut la concevoir comme embrallant<br />
toutes les quantités déterminées. Au refte , on a coutume<br />
de repréfenter les quantités variables par les dernieres lettres<br />
de l'Alphabet %, y, x, Scc.<br />
3. Une quantité variable devient déterminée, lorfquon lui<br />
attribue une valeur déterminée quelconque.<br />
Elle peut done le devenir d'une infinité de manieres , puifqu'on<br />
peut lui fubftituer tous les nombres imaginables. La<br />
fignification d'une quantité variable ne peut étre cenfée<br />
épaifée, qu'autant qu'on aura conc.u en fa place toutes les<br />
valeurs déterminées. Ainfi une relie quantité comprend<br />
tous les nombres tant pofitifs que négatifs , les nombres<br />
entiers & fra£fci©nnaires, ceux qui font rarionnels , irrationmels<br />
Se tranfeendants ; on nedoitpas méme en exclure zéro ,<br />
ni les nombres imaginaires.<br />
4. Une fonclion de quantité variable eft une expreffion ana/yaque<br />
compofée, de quelque maniere que ce foit 3 de cette méme<br />
quantité & de nombres , ou de quantités conftantes.<br />
Ainfi toute expreíTion analytique , qui outre la variable<br />
? contiendra des quantités conftantes, eft une fonction de \.<br />
Par exemple , a -+- yj£r; a\ — ¿r\\i a\-\- bVaa — ^-{¡<br />
el ¡ Scc , font des fonclions de ^.<br />
5. Une fonclion de variable eft done aujfi une quantité<br />
variable.<br />
En effet, comme on peut mettre a la placede la variable<br />
toutes les valeurs déterminées, la fonclion recevra elle-méme<br />
EN GENERAL. 3<br />
une infinité de valeurs, Se il eft impoífible d'en concevoir<br />
aucune, dont elle ne foit fufceptible, puifque la variable<br />
comprend méme les valeurs imaginaires. Par exemple ,<br />
quoique cette fon&ion V{y—\\} ne puiíle donner un<br />
nombre plus grand que 3, tant qu'on mettra des nombres<br />
réels a. la place de \ ; cependant 3 en introduiíant pour ^ des<br />
nombres imaginaires, tels que 5 V— 1 , il n'eft pas poííible<br />
d'afligner une valeur" déterminée, qui ne puifle étre déduite<br />
• de la formule V ( 9 — \\). Au refte , il n'eft pas rare de<br />
rencontrer des expreflions qui ne font que des fonclions<br />
apparentes ; car , quelque valeur qu'on donne a la variable ,<br />
elles confervent toujours la méme valeur, comme ^° ; ií;<br />
"^ ; . Ces expreflions, fous la forme apparente de fonclions<br />
de variables, font réellement des quantités conftantes.<br />
6. La principóle différence des fonclions confifte dans la<br />
combinaifon de la variable & des quantités conftantes 3 qui les<br />
ferment.<br />
Elle dépend done des opérations par lefquelles les quantités<br />
peuvent étre compofées Se combinées entr'elles. Ces<br />
opérations fonc l'Addition & la Souftracüon ; la Multiplication<br />
& laDiviíion ; TElévation aux PuiíTances & l'Extracüon<br />
des Racines; a. quoi il faut ajouter encoré la Réfolution<br />
des Équations. Ou re ces opérations,qu'on appelle algébriques,<br />
il y en a plufieurs autres qu'on nomme tranfeendantes :<br />
comme les exponencielles, les logarithmiques , & d'autres<br />
fans nombre , que le Calcul Integral fait connoitre.<br />
Diftinguons cependant certaines efpeces de fonclions ;<br />
favoir, les Múltiples i%; 3 1; {^;a^,&c. Se les PuiíTances de^;<br />
comme 1*; %*; l*i% '; Scc, quantités formées par une<br />
feule opération, Se qui, comme celles qui réfultent de la<br />
combinaifon de plufieur.s, ne laiflent pas de porter de méme<br />
le nom de fonclions.<br />
7. Les fonclions fe divifent en algébriques & en tranfeendantes<br />
i les premieres font formées par des opérations algébriques<br />
Aij
I.<br />
•<br />
i<br />
P<br />
I I '<br />
I<br />
1<br />
i<br />
|(|T- -<br />
4 D E S F O N C T I O N S<br />
feulement, & les dernieres fuppofent pour leur formatioñ des<br />
opérations tranfeendantes.<br />
Les múltiples & les puiíTances de \ font done des fonctions<br />
algébriques , ainfi que toutes les expreflions, qui n'admettent<br />
que les opérations algébriques , dont nous avons<br />
parlé ; telle eft la quantité -^-^— l ~ c [ 2 } ~ ttJ . Souvenc<br />
t ' i aa^ — 3^^<br />
Jes foncüons algébriques ne peuvent étre repréfentées explicitement;<br />
telle feroit la fonclion Z de%, íi elle étoit exprimée<br />
par l'équation Z s = a%% Z 5 — b^* Z 1 H- c\* Z — i.<br />
Car, quoique cette équation ne puiíle étre réfolue , il n'en<br />
eft pas moins certain que Z eft égal á une expreflion compofée<br />
de Ja variable \ Se de conftantes, & que par conféquent<br />
Z eft une fonclion quelconque de ^. Pour avoir une rbnction<br />
tranfeendante , il ne fifEt pas qu'il entre dans ion expreflion<br />
une opération tranfeendante, il faut de plus qu'elle<br />
affecle la variable ; car íi elle n'affecloit que des conftantes,<br />
la fonclion n'en feroit pas moins ceníee algébrique. Par<br />
exemple, fi c défigne la circonférence d'un cercle , dont le<br />
rayón = i, la quantité c fera bien une quantité tranfeendante<br />
; cependant ces expreflions c-^-%; c\ z ; 4^ c , &c.<br />
feront des fonclions algébriques de \. Car il importe peu de'<br />
favoir fi ees fortes d'expreílions \ c doivent étre mifes au<br />
nombre des fonclions algébriques ou non. II y a aufli des<br />
Géométres qui ont mieux aimé donner aux puiíTances<br />
de \, dont Jes expofans étoient des nombres irrationnels,<br />
comme z*' a , le nom de fonclions interfeendantes, que celui<br />
de fonclions algébriques.<br />
8. Les fonclions algébriques fe fubdivifent en rationnelles &<br />
en irrationnelles. Dan- les dernieres la variable eft ajfeciée de<br />
radicaux , & dans les premieres elle n'en eft poim ajfeciée.<br />
Par conféquent, les fonclions rationnelles n'admettent pas<br />
d'autres opérations óue l'Addition , la Souftraclion , la<br />
Multiplicaron , la Divifion Se l'Elévation aux PuiíTances ,<br />
dont les expofans font des nombres entiers; ainfi , les quan-.<br />
INGENÉR.AL. 5<br />
c J<br />
títés a •+- 1; a — ^ ; a •{ ; —^ ^ ,a^<br />
s<br />
— b$ , Sec. /ont<br />
des fonclions rationnelles de \; mais ces expreflions V \i<br />
en feront des fonclions irrationnelles.<br />
Cellcs-ci fe divifent commodément en explicites & en implicites.<br />
Les explicites font développées au moyen des radicaux;<br />
nous en avons donné des exemples , Se les implicites dépendent<br />
de la réfolution des équations. Ainfi Z fera une fonction<br />
irrationnelle implicite de 7, fi elle eft repréfentée par<br />
cette équation Z 7 = a ^Z 1 — b^ s . En eflet ,on ne peut en<br />
tirer la valeur explicite de Z, méme en admettant les Iignes<br />
radicaux , par la raifon que l'Algébre n'eft pas encoré parvenue<br />
ÍL ce degré de perfeclion.<br />
9. Les fonclions rationnelles enfin, fe divifent en entieres 0<br />
en fraclionnaires.<br />
Dans celles-lá, il n'entre aucune puiftance négative de la<br />
variable \ , ni aucunes fraclions qui renferment cette variable<br />
dans leurs dénominareurs; d'oii il fuit que Jes fonctions<br />
fraclionnaires font celles qui ont des dénominateurs<br />
affeclés de Ja variable ^, ou dans lefquelles fe rencontrent des<br />
expofans négatifs de cette méme variable. Ainfi la formule<br />
genérale des fonclions entieres fera a + ^ + q' *+. ¿j?*<br />
"t" * * 4 "t"-A S ~*~ & ^- Car on ne peut imaginer aucune fonction<br />
entiere de %, qui ne foit renfermée dans cette expreflion.<br />
Quant aux fonclions fraclionnaires , comme plufieurs fractions<br />
peuvent toujours étre réduites a une feule, elles feront<br />
compnfes dans la formule<br />
•4- hK + ^ + ¿^1 + «**•+- /V H-«fc.<br />
«í «'Y-*- *\* -t- Kv H-&C..<br />
Remarquez ici que les quantités confiantes a,b,c,d, Scc.<br />
«» C, 7, t, Sec. foit qu'on les fuppofe pofitives ou négatives ,<br />
entieres ou fraclionnaires , rationnelles ou irrationnelles , ¿
w<br />
6 D E S F O N C T I O N S<br />
méme tranfeendantes , ne changent point la nature des<br />
fonclions.<br />
i o. II faut enfuite remarquer principalement la divifion des_<br />
fonclions en uniformes & en multiformes.<br />
La fonclion uniforme eft celle qui n'obtient qu'une feule<br />
valeur déterminée , quelque valeur dérerminée qu'on donne<br />
á la variable r. La fonclion multiforme eft celle qui, pour<br />
chaqué valeur dérerminée qu on met a la place de la variable<br />
, donne plufieurs valeurs déterminées. Toutes les fonctions<br />
rationnelles foit entieres , foit fraclionnaires , font des<br />
fonclions uniformes , parce que ces fortes d'expreílions ,<br />
quelque foit le nombre qu'on fubftitue á la variable, n'obtiennent<br />
qu'une feule valeur; mais les fonclions irrationnelles<br />
font toutes multiformes, a caufe de fambiguité des<br />
iignes radicaux, Se de la double valeur qu'ils indiquent. II y<br />
a aufli parmi les fonclions tranfeendantes des fonclions<br />
uniformes Se multiformes, on peut méme admettre des fonctions<br />
infinitiformes; tel feroit l'arc de cercle qui répondroit<br />
au finus i, car il y a une infinité d'arcs circulaires qui ont<br />
tous Je méme íinus. Dans ce qui fuic nous fuppoferons que les<br />
lettres P Q R, S yT, Scc. repréfentent chacune des fonc- '<br />
tions uniformes de ^.<br />
n. Une fonclion biforme eft celle qui, par la fubftitution<br />
¿une valeur déterminée de z , recoit deux valeurs.<br />
Tel les font les fonclions déíignées par les racines quarrées,<br />
comme V (i \ -+- \\) i car > quelque nombre qu'on fubftitue<br />
á r, on obtiendra pour lexpreffion V{ **•+•*•*) deux valeurs<br />
, Tune pofitive, l'autre négative. En general, Z fera<br />
une fonclion biforme de ^, fi cette quantité eft déterminée<br />
par l'équation du fecond degré Z'-PZ -4- Q = o; PSc Q<br />
étant des fonclions uniformes de £ En eífet, Z = \ P<br />
4- V í i P 1 Q)'y d ' ou ^ ^ uit ^ u '^ chac l ue valeur déterminée<br />
de \, répondent deux valeurs déterminées deZ; mais<br />
il faut remarquer que l'une'& l'autre valeur de Z eft a la<br />
fois reelle ou imaginaire. D'ailleurs on fait par la théone<br />
!N GENERAL. J<br />
des équations , que leur fomme = P , Sz que leur produit<br />
» Q.<br />
íi. Une fonclion triforme eft celle qui, pour chaqué valeur<br />
de z, recoit trois valeurs déterminées.<br />
Ces fonclions dépendent de la réfolution des équations du<br />
troifieme degré En efTer fi P, Q Se R font des fonclions<br />
uniformes , Se qu'on ait l'équation Z 3 — PZ 1 -+- Q Z —-<br />
R = o , Z fera une fonclion triforme de^, puifque Z recoit<br />
trois valeurs déterminées pour chaqué nombre qu'on fubftitue<br />
á £. Ces trois valeurs de Z feront ou toutes trois réelles.,<br />
ou l'une feulement fera réelle Se les deux autres imaginaires.<br />
Au refte leur fomme =» P, celle de leurs produits deux á deux<br />
c=s Q, Se le produit des trois = R.<br />
13. Une fonclion quadriforme de z eft celle qui, pour une<br />
valeur de cette variable, eft-Jufceptibie de quatre valeurs déterminées.<br />
Elle eft renfermée dans la réfolution des équations du quatrieme<br />
degré. Car, ü. P, Q, R Se S déíignant , comme cidelTus,<br />
des fonclions uniformes, on a l'équation Z 4 — PZ i<br />
"+" QZ % — RZ -+- S =0 , Z fera une fonclion quadriforme<br />
de %; chaqué valeur de ^ donnant pour Z quatre valeurs<br />
dérerminées. Or ces quatre valeurs feront toutes réelles,<br />
ou deux feront réelles Se deux imaginaires , ou elles feront<br />
toutes quatre imaginaires; mais leur fomme = P; la fomme<br />
de leurs produirs deux á deux = Q ; celle de leurs produits<br />
trois a trois = R; Se le produit de toutes = S. II en fera<br />
de méme de la nature Se de la formation des fonclions de<br />
degrés plus eleves.<br />
14. Done ft Z eft determiné par l'équation Z .— P Z n — 1> -+-<br />
QZ n - a -RZ n -3-+-SZ n - 4 , &c. = o-Z fera une<br />
fonclion multiforme de Z, laquelle pour chaqué valeur de cette<br />
variable, prendra autant de valeurs quil y a d'unités dans<br />
l'expofant n.<br />
II faut faire attention que n doit étre un nombre entier;<br />
Se en general, pour pouvoir juger de quel degré la fonclion Z
•<br />
8 D E S F O N C T I O N S<br />
eft multiforme, l'équation qui la renferme , doit étre rendue<br />
rarionnelle; alors l'expofant de la plus haute puiíTance de Z<br />
indiquera le nombre cherché de valeurs de Z correfpondantes<br />
á chaqué valeur de r. II ne faut pas non plus perdre<br />
de vue que les lettres P, Q, R,S, Scc. doivent défígner<br />
des fonclions uniformes de % ; car, fi quelqu'une d'entr'elles<br />
déíignoit deja, une fonclion multiforme de ^ , la fonclion Z<br />
fourniroit pour chacune des valeurs de % beaucoup plus de<br />
valeurs correfpondantes que ne l'indiqueroit le nombre des<br />
dimeníions de Z. Au refte , s'il doit y avoir des valeurs<br />
imaginaires , elles feront toujours en nombre pair. Par<br />
conféquent, fi n eft un nombre impair , il y aura au moins<br />
une des valeurs de Z, qui fera réelle; Se au contraire fi n<br />
eft pair, il eft poííible qu'il n'y en ait aucune de réelle.<br />
15. Si Z eft une fonclion multiforme de z, telle quelle ne<br />
puijfe jamáis obienir qu'une feule valeur réelle , elle fe rapprochera<br />
par ce caradíre des fonclions uniformes, &pourra,pour<br />
cette raifon, étre rangée parmi ces dernieres. K<br />
TeWes font les fondions VP, \TP, y'P, Scc. car elles<br />
n'auront jamáis qu'une valeur réelle, toutes Jes autres étant<br />
imaginaires, pourvu que P foit une fonclion uniforme de r.<br />
m<br />
C'eft pour cette raifon que l'expreflion P n , toutes les fois<br />
que n fera impair, pourra étre mife au nombre des fonctions<br />
uniformes , m étant un nombre pair ou impair; mais<br />
m<br />
íi n eft un nombre pair, alors P n ou n'aura aucune valeur<br />
réelle, ou en aura deux; d'oii il fuit que dans ce dernier<br />
cas, les expreflions telles que P n pourront, avec raifon ,<br />
étre mifes au rang des fonclions biformes; pourvu que la<br />
fraclion — ne foit pas réduclible a une plus fimple expreflion.<br />
16. Si y eft une fonclion quelconque de z , réciproquement z<br />
fera une fonclion de y.<br />
En<br />
EN GENERAL. £<br />
En effet, pulfque y eft une fonclion de £ , foit uniforme ,<br />
foit multiforme , on aura une équation, par laquelley fera<br />
donné en \ Se en conftantes ; mais on pourra réciproquement<br />
conclure de la méme équation la valeur de \ en y Se<br />
en conftantes. Done y érant une quantité variable, la quantité<br />
\ qui fera égale a une expreflion compofée de y Se de<br />
conílanres , fera une fonclion de' y. 11 fera facile d'en<br />
conclure le degré do la fonclion, Se il peut fe faire que y<br />
foit une fonclion uniforme de ^ , tandis que ^ fera une fonction<br />
multiforme de y. Par exemple , fi la valeur de y en ^<br />
eft donnée par l'équation y J *= ay\ — b%%, y fera une<br />
fonclion triforme de 7K, Se ^ une fonclion feulement biforme<br />
de y.<br />
17. Si y & x font des fonclions de z, y fera auffi une<br />
fonclion de x , & réciproquement, x une fonclion de y.<br />
Puifque y eft une fonclion de ^, ^ fera auffi une fonctiondey:<br />
femblablement, % fera uñé fonclion de x. Par<br />
conféquent la fonclion dey fera. égale a une fonclion de x.<br />
Par cette équation la valeur de y fera donnée en x, Se celle<br />
de x en y. II eft done évidentque y eft une fonclion de x,<br />
Se que x eft une fonclion dey. A la vérité , le plus fouvenc<br />
ees fonclions ne peuvent étre repréfentées explicitement, a.<br />
caufe de i'imperfeclion de l'Algébre ; cependant on n'en<br />
appercoit. pas moins la réciprocité des fonclions, comme<br />
s'íl étoit poííible de réfoudre íes équations de tous les degrés.<br />
Au refte les méthodes algébriques nous apprennent que de<br />
deux équations , Tune entre y & ^, & l'autre entre x Se \,<br />
on peut par l'élimination de \ , en former une troifieme qui<br />
exprimera la relación- entre x Se y.<br />
_ 18. Enfin on doit diftinguer des fonclions paires & des fonctions<br />
impaires. Une fonclion paire de z eft celle qui donne la<br />
méme valeur, foit qu'on prenne pour z une valeur déterminée<br />
-t- k ou — k.<br />
Telle eft la fonclion ^; car, fi l'on fuppofe 1 = -+- k<br />
ou — ^ •> d en réfulrera toujours pour ^ ^ la méme valeur,<br />
EULER, Introduclion a lAnal, infin. Tome I. B
¥vr<br />
m<br />
I<br />
I<br />
i<br />
i'."!<br />
r."<br />
i'o D E S F O N C T I O N S<br />
favoir -f- kk. Pareillement les puiíTances •^,\ 6 ,\ t ,SC en<br />
general toute puhTance ^ m , m étant un nombre pair , foit<br />
poíitif, foit hégatif, fetont des fondions paires de %. De<br />
m<br />
plus, comme la quantité % " peut paffer pour une fondion<br />
uniforme de ^, íi n eft un nombre impair, il eft clair que<br />
m<br />
% n fera une fondion paire de •{ , lorfque m eft un nombre<br />
pair , Se que n eft un nombre impair. Done toure expreflion<br />
compofée de teiles puiíTances , de quelque maniere que<br />
ce foit, íera une fondion paire de %. Ainfi Z fera une fonction<br />
paire de \, fi on a l'équation Z =(?»-+-^(fl4— i*))Sec.<br />
D'oii ilfuit que les fonclions paires peuvent étre définies des<br />
fonclions dezz.<br />
En effet, íi l'pn fuppofey — %% _, & que Z foit une fonction<br />
de y; en mettant ^ a la place de y, Z deviendra une<br />
fondion de %, dans laquelle % aura un nombre pair de dimenfions.<br />
II faut cependant excepter les cas, oü dans l'exprefíion<br />
il entreroit des quantités , relies que Vy, Se d'autres,<br />
dans lefquelles en faifant y = %%, le figne radical difparoírroit.<br />
Car, quoique par exemple, y -t- V ay foit une<br />
fondion dey, cependant en faifant y = ¡j^, la méme formule<br />
ne deviendra pas une fondion paire de \; puifquelíe<br />
devient y -4- Vay = \\-+- \V a. Mais, ces cas exceptes,<br />
Ja derniere définition des fondions paires eft bortne, Se peut<br />
meme lervir a en formen<br />
11. Une fonclion impaire dez efl celle dont la valeur, en<br />
faifant z négatif, devient auffi negative.<br />
Ainfi, on trouvera -aurant de fondions impaires de ?<br />
dans chacune des puiíTances de % , dont les expofans font des<br />
nombres impairs. Teiles font les auantités,£ ??, \\ $% &&<br />
— 1<br />
^ c '¿v? 5 > í" 5 » & c - I-a puiíTance \ n - fera encoré<br />
une fonclion impaire , fi les deux nombres m Se n font des<br />
B ij
I<br />
I<br />
•"'I<br />
í<br />
I<br />
S<br />
I<br />
r|T"<br />
i<br />
Í2 DES F O N C T I O N S<br />
nombres impairs. En general, toute expreflion compofée de<br />
femblables puiíTances fera une fondion impaire de ^, comme<br />
'- 2. — X<br />
a^-i-brj, a%-h a^" l ; Sc % * -+- a %* -4- b % } , Scc. Au refte,<br />
la nature Sc Ja formarion de ces fondions fe reconnoitronc<br />
plus facilement par celles des fondions paires.<br />
22. Si une fonclion paire de z eft multipliée parz, ou par<br />
une jonclion impaire de cette variable, le produit fera une<br />
fonclion impaire de z.<br />
Soit P une fondion paire de i, laquelle, par conféquent,<br />
refte la méme, fi Ton met — ^ á la place de £ Si dans<br />
le produit P % on met — ^ au lieu de ^ , il en réfultera la<br />
quantité— P%. DoncP% fera une fondion impaire de r.<br />
Soit toujours P une fonclion paire de ^, 6c fuppofons Q<br />
une fondion impaire de la méme variable, il eft clair d'aprés<br />
la définition , que fi au lieu de ^ on écrit — i,-' P refte le<br />
méme, & que Q devient — Q; par conféquent le produit<br />
P Q par la fubftitution de •— ^ au lieu de ^, fe changera<br />
en — PQ> c'eft-á-dire , qu'il deviendra négatif. Done<br />
P Q eft une fondion impaire de \. Ainfi la quantité<br />
o -+~y(aa -4-%%) étant une fondion paire, Se %' une<br />
fondion impaire , leur produic a^ 1 •+- ¡j' y (aa-4-%^) fera.<br />
une fondion impaire de %. Semblablement, ? x —"*"<br />
"í n a<br />
g eft une fondion impaire. On voit encoré par-la<br />
que íi , des deux fondions P Se Q, dont la premiere P eft<br />
paire , Sc la íeconde Q impaire, 1 une eft divifée par l'autre,<br />
le quotient -¿y ou -p- fera une fondion impaire de r.<br />
23. Si une fondion impaire eft multipliée ou divifée par une<br />
fonclion impdire , le produit ou le quotient feront des fonclions<br />
paires.<br />
Soient Q Se S des fondions impaires, de maniere qu'en<br />
mettant —• \ a la place de \, Q devienne — Q , Se que S fe<br />
change en — S, iJ eft clair que ni le produit Q S , ni le<br />
EN G E N E R A L . JJ<br />
quotient ~ ne changent de íigne par le changement de<br />
figne de^. Done le quarré d'une fondion impaire eft une<br />
fondion paire; le cube une fondion impaire; la quatrieme<br />
puifTance une fondion paire ; ainfi de fuite.<br />
24. Si y eft une fonclion impaire de z , réciproquement z<br />
fera une Jonclion impaire de y.<br />
En eífet, puifque y eft une fondion impaire de \, fi l'on<br />
¿crit — ^ a la place de •{ , y fe changera en —y. Done , fi<br />
la valeur de \ eíí donnée en y, il faut néceíTairement qu'en<br />
mettant — y au lieu de y, \ devienne auffi —\, Sc par<br />
conféquent % fera une fonclion impaire de y. Par exemple,<br />
fiy es \\y eft une fondion impaire de \ , Se de l'équation<br />
^ 5 =y, ou ^=y T , on conclura de méme que \ eft une<br />
fondion impaire dey; Se parceque, fi y = a\ -h b\ l ,<br />
y eft une fondion impaire de \, on vena que réciproquement<br />
la valeur de % tirée de l'équation b\ l -+- a ^ = y, eft<br />
une fondion impaire de y.<br />
15. Si la nature de la jonclion y eft exprimée par une équation<br />
, telle que dans chacun des termes feparément, la fomme<br />
des expofans de y & de z , foit par~tout un nombre pair ou un<br />
nombre impair, dans ce cas, y fera une fonclion impaire de z.<br />
Car fi dans cette équation on écrit parto ut — \ au lieu de %,<br />
Sc en méme temps •— y au lieu dey, tous les termes de<br />
l'équation ou refteront les memes, ou deviendront tous né-<br />
Dans.les deux cas, féquation demeurera la méme.<br />
fatifs. )'ou il fuit que — y fera determiné par — ^, de la méme<br />
maniere que -4- y i'eft par -+- ^. Par conféquent, fi pour ^<br />
on met— ^, y deviendra —y; c'eft-á-dire, que y fera<br />
une fondion impaire de ^. Ainfi dans les deux équations<br />
y* = ay^-\-b^-+-c; Se y 1 •+• ayy \ , =^byw -\-cy-\-d\,<br />
y fera une fondion impaire de 7.<br />
2 6. Suppofons que Z 0 Y foient refpeclivement des fonclions<br />
de z & de y ,• & que Y foit determiné par la variable y<br />
0 par des conftantes , de la méme maniere que Z l'eft par la<br />
(*)
T&<br />
ib 1<br />
u<br />
•i<br />
D<br />
16 DE LA TRANSFORMATION<br />
champ qu'elle devient sss o dans trois cas , favoir_, lo^ 11 ®<br />
-, = i, ou i = 2 , ou ^ = — 3 ; propriétés , qu'il eut ete<br />
moins aifé de conclure de la premiere forme 6 — 7 ^ -f- 7 •<br />
Ces fortes de fadeurs, dans lefquels il n'entre aucune puiifance<br />
de Ja variable $, font appellés fadeurs fimples , pour<br />
les diftinguer des fadeurs compoféj, qui renferment le<br />
quarré, ou le cube, ou une autre puiffance plus élevée de<br />
Ja variable. Ainfi la forme genérale des fadeurs fimples<br />
íera.f'+'gx; celle des fadeurs doubles , f-^g\ -+> h\r ;<br />
celle des facleurs triples , f-hgl -4- htf -+• i\ l , ainfi des<br />
autres. II eft clair d'ailleurs qu'un fadeur double renferme<br />
deux fadeurs fimples ; un fadeur triple, trois fadeurs<br />
fimples, ainfi de fuite. Done une fondion-entiere de •{,<br />
dans laquelle l'expofant de la plus haute puifTance = n,<br />
contiendta n fadeurs fimples, Se par conféquent, le nombre<br />
des fadeurs, s'il y en a de doubles, ou de triples", fera en<br />
méme-temps connu.<br />
29. Les facleurs fimples d'une fonclion entiere Z de z fe<br />
trouvent, en égalant la fonclion Z a -{ero, & en cherchant<br />
toutes les racines de cette équation ; car elles donneront chacune<br />
ib) autant de facleurs fimples de la fonclion Z.<br />
Eneffet, foit l'équation Z = o, laquelle ait pour racine<br />
3, =/, ;£ —f fera un divifeur-, Se par conféquent un fadeur<br />
de la fondion Z. Ainfi, en déterminant toutes les racines<br />
dfe l'équation Z = o , que je fuppofe étre 5 = /, \ =*£,<br />
% = k; la fondion Z fera décompoíée en fes fadeurs fimples,<br />
Sc prendra la forme du produit Z => (? —/) ¡K.— g)<br />
(y _ ¿ ) Sec: mais il faut obferver que, fi le coefficient de<br />
la plus haute puüTance de 1 dans Z n'étoit pas l'unité, il<br />
(c) faudroit de plus multiplier le produit par ce coéfHcient.<br />
Par exemple, fi ¿fe* A{ «4- B?*~W ' £$*' a -+- Scc , on<br />
auraZ = ^U-/)fí— £)(*-*) & c i ou hienüZ = A<br />
^.Bi -+• C£-h Di s .-\-£%*-¥• Scc, Se que les racines 1 de<br />
l'équation foient f,g, h •> i i &c, on aura Z = A (1 — y\<br />
( 1 -<br />
D ES FONCTIONS. *7<br />
fi é¿ 4- V (1 *-) Scc. Concluons de-la réciproquement<br />
que, fi l'un des fadeurs de la fonclion Z eft { —/ou 1 — -jr»<br />
la valeur de la fonclion fe réduit á zéro, fi on écrit /a la<br />
place de * Car en faifant * =/, un fadeur \ -/ou 1 - -j><br />
de la fondion Z doit s'évanouir, Se par fuite la fondion Z<br />
elle-méme.<br />
,0 Les facleurs fimples feront done ou réels 'ou imaginaires,<br />
&fi la fonclion Z a des fadeurs imaginaires, ils feront toujours<br />
en nombre pair. . . .<br />
Car, comme les fadeurs fimples proviennent des racines<br />
de l'équation Z = o, les racines réelles fourmront des facteurs<br />
réels, Se les racines imaginaires des fadeurs imaginaires;<br />
mais comme dans toute équation , le nombre des<br />
racines imaánaires eft toujours pair, il s'enfuit que la ronction<br />
Z n'aura aucun fadeur imaginaire, ou quelle en aura<br />
deux, ou quatre, ou fix, &c. Si la fondion Z renferme<br />
feulement deux fadeurs imaginaires , leur produit lera reel,<br />
Se donnera conféquemment un fadeur double reel. Car<br />
rolt p— a u produit de tous les fadeurs réels, le produit<br />
des fadeurs imaginaires fera|-, Se par conféquent réel.<br />
Semblablement, fi la fondion Z renferme quarré, ou fix,<br />
ou huit, &c. fadeurs imaginaires, leur produit lera toujours<br />
réel & égal au quotient de la fonclion Z, divifée par le<br />
produit de tous les fadeurs réels.<br />
31. Si Q eft un produit réel de quatre facleurs fimples imaginaires<br />
, je dis que ce méme produit pourra étre réfolu en deux<br />
facleurs doubles réels. '<br />
Car la fondion Q aura cette forme f 4- A £ -+• tí \ -h<br />
Cr .4- D. Si l'on nie qu'elle puiíTe erre décompoíée en<br />
deux fadeurs doubles réels, elle pourra l'étre du moins en<br />
deux fadeurs doubles imaginaires, qui auront cette forme :<br />
VT--i{D-+-qif—i)x-*-r+si/'--i9&Cll--¿ip--qV'-- 1 .K<br />
\. r— sV— 1; car on ne peut concevoir d'autres formes<br />
EULER , Introduclion a [Anal, infin. Tome I. C<br />
4<br />
5<br />
?<br />
I
m<br />
V)<br />
xl DE L A. TRANSFORMA-TÍO»<br />
imaginaires , dont<br />
Y •+• A^ -+• Bf<br />
le produit foit réel , c'eft-k-diré,<br />
-4- t?. ¿£-4- D. Or on tirera de ces fadeurs<br />
imaginaires doubles les quatre fadeurs imaginaires fimples<br />
de Q, comme il fuit.<br />
I. \ — ip+qV— \)-+-V{pp-t'ipqV— i— qq—r—sV— i)<br />
II. i— {p-^qV— 0— ^(pp-í-ipqlS— I — qq—r—sV— i)<br />
IIl,l--(p--qi' , --i)-+'P r [pp--ipqV r --i--qq--M'Slf--i)<br />
lY.Z—(p—qV—i)—v r {pp—ipqv r -~i—qq—r-*-sv r —i)<br />
Si Ton multiplie f un par l'autre , le premier Se le troifieme<br />
de ces fadeurs, en faifant, pour abréger, t =pp — qq — r,<br />
Seu=ipq — s, on aura un produit réel, qui fera = \\ —<br />
(xP -—Kzt4-aK(t i -+-« i )) i -*~PP -+- qq —P K** -i- 2» (*'-+- B* )<br />
• u 7 -) -4- q V-<br />
de méme le produit du fecond 6c du quatrieme fadeur fera<br />
réel, & = \\ — {tp •+- /M + »^(t'4-»') ) K •+- /Y 7 •+• ??<br />
-4- /> ^¡mTTTT^) •+• KF+7» Donc le P roduic P ro '<br />
•+• q V— »t+iV(c+«')<br />
pofé @ qu'on fuppofoit n'étre pas décompofable en deux<br />
fadeurs doubles réels, fe trouve par le fait décompofé en<br />
de tels fadeurs.<br />
32. Quelque foit le nombre de facleurs fimples imaginaires,<br />
dont une fonclion Z de z eft compofée, on pourra toujours en<br />
eombiner deux, de maniere qu'il en réfídte un produit réel.<br />
Le nombre des racines imaginaires étant toujours pair,<br />
fuppofons le = t n, d'abord il eft clair que le produit de<br />
toutes ces racines imaginaires eft réel. S'il y a feulement<br />
deux racines imaginaires, leur produit fera certainement<br />
réel; Se s'il y a quatre fadeurs imaginaires, leur produit,<br />
comme nous venons de le voir, peut étre décompofé en<br />
deux fadeurs doubles de la forme f\ % -*-g% -+- k. Quoique<br />
la méme maniere de démontrer ne s'étende pas aux puiffances<br />
plus élevées, il paroít cependant hors de doute que<br />
cette propriété convient également a un nombre quelconque<br />
•2Í<br />
DESFONCTIONS. 19<br />
de fadeurs, de forte qu'a la place de 2 n fadeurs fimples<br />
imaginaires, on pourra fuppofer un nombre n de fadeurs<br />
doubles réels. Done toute fondion entiere de ^ pourra étre<br />
décompofée en fadeurs réels, ou fimples , ou doubles. Si<br />
la. vérité de cette propolition n'eft pas démontrée ici en toute<br />
rigueur, elle acquerra dans la fuite un nouveau degré de<br />
forcé, quand nous décompoferons efíedivement en fadeurs<br />
doubles réels les fondions de cette forme: a-+- b\ ; a >4- b-£<br />
+ c^ n ;a~*-b^-hcf"-hd^ n , Scc.{Foyé-{l'art. 154, &<br />
¿a note qui y eft relative).<br />
33. Si une fonclion entiere Z , en faifant z= a, prend la<br />
valeur A , ¿V en faifant z =« b, prend ¿a valeur B ; en mettant<br />
a la place de z, des valeurs moyennes entre a. & b, la fonclion<br />
Z peut prendre toutes les valeurs moyennes qu'on voudra,<br />
entre A & B.<br />
Puifque Z eft une fondion uniforme de \, quelque valeur<br />
réelle qu'on donne a ^, la fondion Z aura auffi une valeur<br />
réelle, & fi la quantité Z, dans le premier cas, oü ^ => a,<br />
prend la valeur A, Sc dans le fecond cas oü \ — b, Ja<br />
valeur B, elle ne pourra paíTer de A kB, qu'en pallanr par<br />
toutes les valeurs inrermédiaires. Donc, fi l'équation Z — A<br />
r= o, & l'équation Z — B = o , ont une racine réelle,<br />
l'équation Z — C = o , en aura une auffi, pourvu que C<br />
foit renferme entre A Sc B. Done, fi les expreflions Z — A<br />
Sc Z — B ont un fadeur fimple réel , J'expreflion Z — C<br />
en aura un auíli, toutes les fois que C fera renferme enrre<br />
A Se B.<br />
34. Si dans la fonclion entiere Z l'expofant de la plus<br />
haute puifjance de z eft un nombre impair 2 n -4- 1, la fonclion Z<br />
aura au moins un fadeur fimple réel.<br />
La fondion Z aura cette forme ^ anH " 1 *\-a r ln -t-e? 1 " -1<br />
•4- > \ -4- dcc. Si l'on fait \ — 06 , tous les termes difpa-<br />
roírront devant le premier, Se elle deviendra Z = ( co ) ín ~ hI<br />
?s= 00. Donc Z — 00 aura un fadeur -fimple réel, favoir,<br />
C ij
i<br />
•<br />
10 DE LA TRANSFORMATION<br />
^ — oo. Mais fi on fuppofe % = — oo, Z deviendra ( — oo )<br />
= — oo , Se par conféquent Z -4- oo aura pour fadeur fimple<br />
réel, •{ •+• oo- Puis donc que Z — oo 6c Z -4- °° ont chacun<br />
un fadeur fimple réel, il s'enfuit que Z-\-C aura un facteur<br />
fimple réel, pourvu que la valeur de C foit renfermée<br />
entre les limites -4- oo Sc — oo ; c'eft-á-dire,_ pourvu que C<br />
foit un nombre réel quelconque, ou pofitif, ou négatif.<br />
Donc, fi C = o, la fondion Z aura un fadeur fimple réel<br />
^ — c , Se la quantité c fera comprife entre -+-. oo Sc — oo ;<br />
c'eft-á-dire, fera ou une quantité poíitive, ou une quantité<br />
négative, ou zéro.<br />
35. Done une fonclion entiere Z, dans laquelle l'expofant<br />
de la plus grande puiffance de z eft un nombre impair, aura<br />
ou un fadeur fimple reel, ou trois , ou cinq, ou fept, &c.<br />
11 vient d'etre demontre que la fondion Z avoit au moins<br />
un fadeur fimple réel, $ — c. Suppofons qu'elle en ait encoré<br />
un autre \ — d, Se divifons cette fondion Z , dans laquelle<br />
la plus haute puiffance de ^ eft \ %n x , par ( \ — c) (% — d),<br />
la plus haute puifTance du quotient fera =¿= % , dont<br />
l'expofant impair annonce encoré un fadeur fimple réel.<br />
Donc, fi la quantité Z a plus d'un fadeur fimple réel, elle<br />
en aura ou trois , ou (en continuant de raifonner de la<br />
méme maniere) cinq ou fept, &c. c'eft-á-dire, qu'il y aura<br />
un nombre impair de fadeurs fimples réels; & comme le<br />
nombre de tous les fadeurs fimples = 2 n -4- 1, ceJui des<br />
fadeurs imaginaires fera pair.<br />
3 6. Une fonclion entiere Z, dans laquelle l'expofant de la<br />
plus haute puijfance de z eft un nombre pair in, aura ou deux,<br />
ou quatre, ou fix, ou, &c. facleurs fimples réels.<br />
Car fuppofons que le nombre des fadeurs fimples réels<br />
de Z foit impair Se = xm -4- 1; fi 011 divife la fondion Z<br />
par leur produit, la plus haute puifTance du quotient fera<br />
B* f**t"í*""% dont l'expofant eft impair. La fondion Z<br />
aura donc encoré au moins un fadeur limpie réel. Donc le<br />
DES FONCTIONS.<br />
mhre des fadeurs fimples réels fera au moins = 4m H-1,<br />
nombre oes ráete r ¿ fadeurs imaginaires fera<br />
& par c o f X Done leí fadeurs fimples imaginaires d'une<br />
t í ^ ^ J ^ c o ^ e f o n , toujours en,nombre p«r;<br />
C ° ~ 7 n s 7 f i n Z L l'expofant de la plus haute puifi<br />
faVcJ,7unI:mLpair, O que le terme abfolu ouconftant<br />
^oTtaffedétfigne^, hJMion Z aura au moins deux fae-<br />
UV L f &£% dont il s'agit ici, aura donc cette forme:<br />
L í - l Z ívieUa, c^mme ci-deílus,= 00 , & fi Yon<br />
f \ "o Z deviendra = - A. Done Z - 00 aura \ehc-<br />
; a e'Lr\éel z - 00 , Se Z -4- A le fadeur réel z. - o d ou ü<br />
fu ir nue o étan renferme entre les limites - 00 Se -4- A,<br />
Z^a'un fldeur fimple réel z - C c étant comáis en re<br />
les limites o Sc 00. En faifant enfuite K ==•- ~ , Z devient<br />
íes iimiw.» fadeur ^ -4- «o , ÍSC<br />
t ^ Z iZ'jfroí fafteur Z-'o, a senfuit que z+-o<br />
t . -„. n„¡ confíate a vente de la propofition. Un voit<br />
L-Ti'queTz eft une fondicn, «Ue^íE eft: f«ppo«.<br />
Fci réqüation Z = o a au moins deux racnes réelles 1 une<br />
l'autre négative.<br />
,8 5¿ ¿«5 une fonaion fradionnoire la variable z a a««w«<br />
ou plus de dimenfions dans le numérateur que dans le denomtnateur<br />
cette fondion pourra étre decompofee en deux pames,<br />
l'uneaui rLn entier, & l'autre une fraclion dans le nume-<br />
Zur^de laquelle la variable z aura moins de dimenfions que<br />
"tn e f i & X t de la plus haute puiíTance de * étant<br />
moindre dans Fe numérateur que dans le denommat^<br />
divifons á la maniere ordinaire le numérateur par le déno-<br />
aI
11<br />
DE LA TRANSFORMATION<br />
minateur, jufqua ce que nous trouvions au quotient un<br />
expofant négatif pour ?, 6c rerminons la l'opération de Ja<br />
diviíion, nous aurons un quotient compofé d'une partie<br />
entiere Se d'une fradion , dans le numérateur de JaqueJle<br />
le nombre des dimenfions de % fera plus petit que dans le<br />
dénominateur; & ce quotient lera égal a la fondion propopofée. Prenons, pour exemple, la fondion fradionnaire -<br />
en faifant la diviíion, comme on le voit ici : » + tt<br />
• a*<br />
Nous trouverons -l±il = n _ x .4- -_L_. Ces fortes de<br />
fondions fradionnaires, dans Iefquelles la variable? a autant<br />
ou plus de dimenfions au numérareur qu'au dénominateur<br />
peuvent etre appellées, comme en Arirhmétique, des fractions<br />
jmproprement dites, pour Jes diftinguer des véritables<br />
íractions, dans le numérareur defqueJIes Ja variable ? a<br />
moins de dimenfions que dans Je dénominateur. Ainfi une<br />
fondion fraclionnaire improprement di te pourra étre réfolue<br />
en une fondion entiere, & en une fondion fradionnaire<br />
proprement díte; Si cette réfolution fe fera par la diviíion<br />
ordmaire.<br />
39. Si le dénominateur d'une fonclion fradionnaire eft compoje<br />
de deux fadeurs premiers ent/eux , cene fonctwn pourra<br />
etre decompofée en deux fradions, dont les dénominateurs Joient<br />
refpedtvement égaux a ces deux fadeurs.<br />
Quoique cetre décompoíition convienne également aux<br />
deux efpeces de fondions fradionnaires, doiunous venons<br />
de parler; nous l'appliquerons particuliérement aux fonctions<br />
fradionnaires proprement dites. Ayant donc décompofé<br />
le dénominateur de la fondion en fes deux fadeurs<br />
premiers entr'eux , la fondion propofée fe changera en deux<br />
DES Fo NCTI ON S. 23<br />
autres, qui font véritablement fradionnaires, & dont les<br />
dénominateurs feront refpedivement égaux á ces deux facteurs<br />
; de plus cette téíolution, pourvu qu'il s'agifle de<br />
véritables fradions, ne pourra s'effeduer que d'une feule<br />
maniere. Un exemple fera mieux fentir que le raifonne.ment,<br />
la vérité de ce que nous avancons; foit donc pro<br />
pofée la fonclion fradionnaire , ^ ^ t l ? ' ^ ><br />
donc Ie<br />
dénominateur 1 -h 4 f eft égal au produit (i + i | + m )<br />
f!^^^.!^); cette fradion fe décompofera en deux<br />
autres , dont l'une aura pour dénominateur! -+-2^-4-2^,<br />
Se l'autre 1 i?4-in. Comme ce font de vraies fractions,<br />
fuppofons, pour les trouver, le numérateur de Ja<br />
premiere = *-+-£?, e£ celui de la feconde = 7-+-**, nous<br />
r , , c 1 — H+3U- 4V •»-*-»!<br />
aurons par hypothele , ^^^ H-H-*. nt<br />
—v±_h—. Aioutons ces deux fradions, aprés les avoir<br />
réduites au méme dénominateur; leur fomme aura pour<br />
Numérateur , Dénominateur<br />
•4-tt— 2 «^-4-2*^^<br />
H-^í -4- 2 *ix •+• i¿V<br />
Le dénominateur étant donc égal á celui de la fradion<br />
propofée, il eft néceíTaire de renore auíli égaux les numérateurs,<br />
ce qui pourra toujours fe faire, Sc cela d'une<br />
maniere feulement, a caufe qu'il y a précifément autant<br />
de letttes inconnues * , £, y, f que de termes á égaler. Ainfi<br />
nous aurons les quatre équations fuivantes :<br />
I. «-4-^=1 III. 2*— 2C-f-Z5,-f-2^=J<br />
II.—2a>i-c+i>^-1r = —1 iv. 2e-h2
3<br />
24 DE LA TRANSFORMATION<br />
propofée 1 — a ^-«-3t? —4t_. efl. transformée en ees deux-ci:<br />
'. • , H — ! —,—. II eft facile de voir que dans<br />
tout autre cas la décompoíition doit de méme réuífir,<br />
parce qu'il y a toujours aurant de lettres inconnues qu'il<br />
eft néceíTaire, pour trouver chaqué numérateur. Mais la<br />
(e) théorie ordinaire des fradions nous apprend que cette<br />
réfolution ne peut avoir lieu que dans les cas ou les fadeurs<br />
du dénominateur font premiers entr eux.<br />
40. La fondion fradionnaire -jr- pourra done fe réfoudre en<br />
autant de fradions fimples de la forme • 9 que le dénominateur<br />
N renferme de fadeurs fimples , inegaux entr'eux.<br />
Cette expreflion — repréfente une fondion fradionnaire<br />
quelconque proprement dite , telle que M Se N foíent des<br />
fondions entieres de \, Se que la plus haute puifTance de ^<br />
dans M foit moindre que dans N. Décompofons done le<br />
dénominateur N en fes fadeurs limpies, Se fuppofons-les<br />
inégaux entr'eux, lexpreUion -rr fera transformée en autant<br />
de fradions qu'il y a de fadeurs fimples dans le dénominateur<br />
N, parce que chaqué fadeur devient le dénominateur<br />
d'une fradion partidle. Si donc p — q ^ eft un fadeur de JY,<br />
il fera le dénominateut d'une des fradions partidles, Se<br />
comme le nombre des dimenfions de ^ doit étre plus petit<br />
dans le numérateur que dans le dénominateur/»—q\, le<br />
numérateur fera néceíTairement une quantité confiante.<br />
Donc chaqué fadeur fimple p — q^ du dénominateur N<br />
don ñera une fradion fimple , de maniere que la<br />
p —11<br />
fomme de toutes ces fradions foit égale á la fradion propofée<br />
ir-<br />
EXEMPLE.<br />
DES<br />
F O N C T I O N S .<br />
EXEMPLE.<br />
Soit propofée la fondion fradionnaire '_" > les fadeurs<br />
limpies du dénominateur étant ^,1 — \, Sí 1 -4- %, cette<br />
fondion fe décompofera en ces trois fradions limpies —•<br />
.+. B _i ~ na •' **" K -» dont il s'agit de déterminer<br />
1 — ? i + t ' i — V<br />
les numérateurs conflants A, B Sc C. Réduifons ces fradions<br />
au méme dénominateur, ^ —£ 3 , la fomme des numérateurs<br />
devra étre égale á 1 -h^; ^oii na * c l'équation<br />
A-hBx — A ^1=1 4-n= I "«- o; [ + U'<br />
Nous tirerons de-lá, en comparant les coéfficiens des puiffances<br />
égales, autant d'équations qu'il y a de lettres inconnues,<br />
A, B, C, favoir,<br />
I. A-= 1.<br />
II.5-4-C=o.<br />
III. —^-f-J5—C= 1.<br />
Donc B~C= %iA^* 1 j'J&s- 1,U C«¿^-Vía fradion<br />
propofée prendra donc cette forme — -4- j - — - + » On<br />
voit femblablement que, quelque foit le nombre de fadeurs<br />
fimples, inégaux entr'eux, du dénominateur N, la fradion<br />
— fe décompofera toujours en autant de fradions limpies;<br />
mais, s'il y a quelques Üdeurs égaux entr'eux, on s'y prendra<br />
d'une autre maniere qui fera expliquée ci-aprés.<br />
41. Chaqué fadeur fimple du dénominateur N, fourniffant<br />
une fradion fimple pour la réfolution de la fondion propofée w ><br />
il s'agit de faire voir comment la connoijfance d'un fadeur<br />
fimple du dénominateur N donne celle de la fradion fimple<br />
correjpondante.<br />
E-ULER , Introdudion a l'Anal, infin. Tome I. D<br />
*5
' p f- JM<br />
i<br />
1<br />
Ȓ DE LA TRANSFO R'M A T I O N<br />
Soit jP — «7^ un fadeur fimple de A 7 ", de maniere que<br />
jY = (p — q ^) S, Se que «5" foit une fondion entiere der;<br />
fuppofons la fradion qui derive du fadeur^ — q ^, = ~—, Sc<br />
foit —- la fradion qui réfulte de l'autre fadeur S du<br />
dénominateur, de maniere que (art. 39 ) -^- =<br />
Af -p. P M — AS „ ~*<<br />
i<br />
I<br />
a8 DE LA TRANSFORM ATI ON *<br />
a pour fadeur ( p — qz) l ;o« trouvera de la maniere fuh'ante<br />
les fradions partidles qui réfultent de ce fadeur.<br />
Nous avons montré comment on trouvoit les -fradions<br />
partidles qui dérivoient des fadeurs fimples , inégaux entr'eux.<br />
Suppofons a préfent qu'il y ait deux fadeurs égaux,<br />
ou , en les réunifíant, qu'un fadeur du dénominateur<br />
JVfoic(/> — q\Y,- Suivant l'art. précédent, il en réfultera<br />
ces deux fradions partidles (<br />
^<br />
M M<br />
B<br />
P — íi .OrfoitJVaa<br />
nyS, on aura -^ = Jf=JWI TT^TW<br />
-4- J. L- £-, — défignant la fomme de toutes les<br />
fradions fimples qui proviennent du fadeur S du dénomi-<br />
P M-AS-Bjp-gQS<br />
nateur. Donc on aura ~- = 7p-V¿ 1 ^' " ' &<br />
p „ M-AS-B(p-gQS __ ^ une fond¡on entiere. fl<br />
faut- donc que la quantité M — A S — 5 (/» — 9 ^) 5 foit<br />
divifible par (/» — q %) \ Elle le fera donc d'abord par/»— q%><br />
Sc l'expreffion totale M — AS—- B{p— q\) S s'évanouira,<br />
filón fait/ — qi =0, ou z, = -^-. Ecrivons donc partout<br />
-£-a la place de •{; nous aurons M — ^S on doit faire cette<br />
DES FONCTIONS. *9<br />
divifion avant de faire la fubftitution de -^- á la place de 5;<br />
ou bien fuppofé M ~_ AS = T, on aura B = — , en faifant<br />
r—, -£-; les numérateurs A Sc B étant ainfi trouvés , on<br />
f A B<br />
connoltra les fradions (p _ ?tjl -4- ^ _gI , que donne le<br />
fadeur (p— q\) % du dénominateur A'.<br />
EXEMPLE I.<br />
Soit propofée la fondion fradionnaire—^"^^y, &<br />
confidérons le fadeur quarré de r^-du dénominateur, nous<br />
aurons 5=i-f-?r, Se M = 1 — n; foient les fradions<br />
partidles qui en dérivent : —— -4- — ; nous aurons- A = —<br />
— Inü. le fadeur 7 étant fuppofé = o. Donc A = 1.<br />
— i-t-{? ' .-—-• x rr<br />
Enfuite M — AS = — 2 ^r, quantité , qui divifée par le<br />
fadeur fimple de ^ , donne T = —- 2 ^, & par conféquent<br />
D __ /_ __ —J±. Done, á caufe de r = o, B = o; &<br />
•° s i-*-{t ^<br />
il ne proviendra du fadeur ^ du dénominateur que la<br />
fradion partidle — •<br />
EXEMPLE II.<br />
Soit propofée la fondion fradionnaire (l_,y (t .+• t<br />
donr les fradions partidles qui naiíTent du fadeur quarré<br />
(i-0\foient(-^+ —• IdM-*S& *>=<br />
! _+. i* Par conféquent ^4 = -j = 7^7 — i, en faifant<br />
! —^ = 0, ou* — 1. Done M — AS « jr» -— i —-?* 4<br />
s— JL '"*- »' '— -sX 4 ' S 11 ^^» ^ divifée par 1 — \,<br />
donne r = - j - i í - J U + ií 5 ' & conféquemment
30 DE LA TRANSFORMA TION<br />
B = T = ""¡^T "«"*"*' = < en faiíant «-—*•«•) -»**»<br />
fradions partidles demandées font donc —-—** — -— x —-#<br />
"Í "~S a ( x -í)<br />
44. Si le dénominateur N de la fradion — renferme un<br />
fadeur, tel que (p—qz)'; on déterminera de la maniere<br />
fiuvante les fradions partidles qui naiffent de ce fadeur i<br />
r '_¿i A íi KJ<br />
I avoir, 7 .7—h -. rr- H .<br />
J » ( p_ q z)l -7- (p_q Z)* -T- p _ q z<br />
P<br />
Soit A r = (D — 77)' 5, & foit — la fradion qui derive<br />
j c o c D J^—AS — B (p — q r) S — C(p — qzY S<br />
du fadeur S , on aura P = —^—f^ *•— ¥1 - ; - -<br />
\P — 11)'<br />
= a. une fondion entiere. Le numérateur M — AS —<br />
B{p — q\ ) S —t C(p— q-[) z S doit donc avant tout étre<br />
en<br />
divifible<br />
faifant<br />
par<br />
p<br />
p<br />
—q^<br />
— q\\ par<br />
o ,<br />
conféquent<br />
ou z = —. Alors<br />
il fe réduira<br />
M — AS<br />
1 a zéro = o ,<br />
1<br />
Se A = — , en fuppofant ^ -. A ayant été determiné<br />
de cette maniere, M — AS fera divifible parp—q^. Soit<br />
M— AS<br />
j Ti T—BS — C(p — q%) S fera encoré divi-<br />
p — 11<br />
íible par (p—q %)*, Se deviendra. = o, .fi l'on fuppofé<br />
— q ^ = o. Donc B en mettant — a la place<br />
S • q<br />
, de \. Aprés avoir trouve B; T— BS fera auffi divifible par<br />
T— BS<br />
p — q\- Suppofons'——-— = yt y— CS refte encoré<br />
11<br />
divifible par/—q%. Donc V—-CS = o, Sc C v<br />
en<br />
faifant toujours \ = -j-. Les numérateurs A, B, C ayant<br />
donc été ainfi determines, on connoítra les fradions par-<br />
A R C<br />
tielles --. CT--+- -, TÍ—* > °\ ue donne le<br />
(PriS)' (P-IK-Y p-11 * ^<br />
fadeur (/ — q^)' du dénominateur' iV.<br />
r<br />
DES F O N c T I O N s.<br />
EXEMPLE.<br />
Soit la fradion íí , dont le dénominateur<br />
renferme le fadeur cubique (1—^) 3 , qui donne les frac-<br />
• 11 A B c T\<br />
tions partidles ; r-, -4- r~—"~r, -+- • -L/ans ce cas<br />
Af = :[:{,&»S=i -4- %i- Done on aura d'abord A =<br />
= 7 , en faifant 1 — % = o, ou •{ 1. Soit fait<br />
tí<br />
I H<br />
r =<br />
tant<br />
11<br />
M—AS<br />
» —t<br />
. Done T =^ii-^-= —<br />
1 — 1<br />
3*<br />
-1^, &par-<br />
5 = —!—HL = — 7, en faifant ? = 1. Soit enfuite<br />
r—^5 T-HÍ<br />
» —t »-? '<br />
: 011 aura V. I^.{ " 1 1'<br />
& par conféquent C= — = - 9 —i, a caufe de %<br />
= 1. Ainfi les fradions partidles qui naiílent du fadeur<br />
cube (1 — ^) J du dénominateut , font—-,———ry —<br />
2(1 - O 1 4(1 — {) '<br />
45. Si le dénominateur N de la fondion fradionnaire a pour<br />
fadeur ( p — q z) n , on déterminera de la maniere fuivante<br />
les fradions partidles qui en réfultent, favoir , 7—^—r-5<br />
'"<br />
c<br />
n— I 4-- ^——: -í<br />
P— 11<br />
(p~iO (p—iO<br />
Soit le dénominateur N=**(p — q\) n Z, on trouvera,<br />
en raifonnant comme ci-deíTus<br />
P. c.:.p_<br />
,<br />
'_. done<br />
ir' v ?<br />
,°. ^ = 4,Tétant = -^.SoitP==4=r<br />
¿ 5=|-,?étant=:f.Soit(?= -^:f<br />
K<br />
P — BZ ; done<br />
3°. C = -|,íétant=-^.Soit/e = - f ^ f ; done<br />
4 o . 2>=-f-'? étanc== f -Soit5== R pZ. D 5 i done<br />
5°. 2s=a-Tj-, ^ étant ==—. &c.<br />
?í
I<br />
3*<br />
DE LA TRANSFORMATION<br />
Donc, fi Ton determine de cette maniere tous les numérateuts<br />
conftants^4,2?, C,D,Sec, on aura trouve toutes<br />
les fradions parridles qui naifTent du fadeur (/—q\) n -<br />
du dénominateur N.<br />
EXEMPLE.<br />
I -f-ít<br />
Soit propofée la fondion fradionnaire yr^+^rp Le<br />
.fadeur V du dénominateur doit donner les fradions partidles<br />
é—-3r- — _i \ 1 . Pour trouver les numérateurs<br />
í 7 ^ i 4 t' t! l<br />
conftants de ees fradions, vous obferverez que M= H- ?[ r_,<br />
Z = i H- z } , SC — = o. Faites donc le calcul fuivant :<br />
: = i , en faifant ^ = o.<br />
r<br />
%— r 1 ; donc<br />
Sok g » p ~* z =-1^11= ? r j ; done<br />
C = -^- = ' ~ c - =i,a caufe de j( «= o. .<br />
Z?<br />
Soit i( =^l^ = s_l_^= — i —??; done<br />
— i — ti<br />
—= — i, a caufe de % o.<br />
i 4-t»<br />
S0k ¿ = *=£í¡^3£±É«, _ ?-4-^; done<br />
.t í<br />
. P __ _ 5 _. _. "—L±S1 = o , á caufe de ? == o.<br />
Les fradions cherchées font donc -^--t--^--H-p- ^ ""^y •<br />
4^. Do/zc f uf//e que foit lo fondion rationnelle fradionnaire<br />
-—- , en vous y prenant de la maniere fuivante , vous la<br />
décompofere^ en fes parties , & la ramenere\ a fa forme la<br />
plus fimple. j ^<br />
r r Cherchez<br />
r D E S F O N C T I O N S . 33<br />
Cherchez tous les fadeurs fimples foit réels, foit imaginaires<br />
du dénominateur N; traitez féparément ceux qui n'ont<br />
point leurs pareils, Sc calculez la fradion partidle qui ^derive<br />
de'chacun par la méthode donnée ( an. 41.)' Si le méme<br />
fadeur fimple rcyient deux fois ou davantage, formez de leur<br />
produit une puifTance qui aura la forme (/ — q\) n ,Sc<br />
cherchez les fradions partidles qui en découlent ( art. 45 ).<br />
Aprés avoir ainfi déduit de tous les fadeurs fimples du dénominateur<br />
les fradions partidles qui en réfultent , vó\is en<br />
ferez une fomme qui fera égale á la fondion propofée -^ ;<br />
á moins que cette fondion ne fut pas une fradion proprement<br />
dite; car alors il faudroit extraire la partie entiere ,<br />
Sc Tajouter á la fomme des fradions partidles que vous .<br />
aurez trouvées, pour avoir fóus la forme la plus fimple la<br />
valeur de la fondion ~. Au refte , il revient au méme. de<br />
chercher les fradions parridles avant ou aprés l'extradion<br />
de Tender. Car chaqué fadeur du dénominateur fournira(/J<br />
toujours la méme fradion partidle , foit que vous employiez<br />
le numérateur M, foit que vous employiez le méme<br />
numérateur augmenté ou diminué d'un múltiple du dénominateur<br />
N, comme il eft aifé de s'en convaincre a quiconque<br />
aura examiné les regles que nous avons données.<br />
-EXEMPLE.<br />
Qu'il foit queftion d'exprimer de la maniere la plus fimpie<br />
la valeur de la fondion<br />
-r-. Preñez d'abord<br />
le fadeur fimple'uñique• 1 -4- \ du dénominateur,<br />
vous aurez -?-= — 1, M=i,& Z = ^ ~ z? -4- ? f ;<br />
1 . A<br />
done pour déterminer la fradion<br />
vous aurez A<br />
— — i. á caufe de z=» — 1 , & par confé-<br />
EULER, Introdudion a lAnal, infin. Tome I. E
m<br />
má<br />
1<br />
I<br />
u<br />
34 DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS.<br />
quent le facleur i -4- jjdonnera la fradion partidle — 4(1_f_ly<br />
Preñez enfuite le fadeur quarré ( i — $*, Iequel donne<br />
£-— i M= í, &: Z = ;(' -4- ;[ 4 . Repréfentez les frac-<br />
? A B<br />
tions partidles qui en réfultent par (l_t), -l- -7^7 > vous<br />
trouverez ^ = , ' = r> en faifant ^ = 1. Soit P =3<br />
t'-t-r<br />
M-kZ _ -^JZili = M - í 4 - f 4-^'. Donc 5 =<br />
_}_ Jl •j+l±¿±lil = 1, á caufe de r<br />
& les<br />
fradions partielles demandées feront , t _ ,, rr -1- •+- - , _.)'•<br />
Enfin le troifieme fadeur cubique £ donne — = o ; M = 1,<br />
& Z = 1 — %-*- í*-*-?'. Suppofez qu'il fourniífe ces trois<br />
/?<br />
fradions partielles —7<br />
—; vous trouverez d'abord<br />
í<br />
= 1 , en faifant 7 - o. Soit P =a<br />
i-{-V +<br />
Ai— Z<br />
1-*-$--%%', done B =*-%-— 1, a caufe de<br />
5 = o. Enfin , foit (2 = ? ~ Z = z ~ íí» vous trou ~<br />
verez C= -%- = 2, en faifant toujours ^ = o. Ainfi la<br />
fondion propofée aura pris la forme — -4- —r H—-—h<br />
. .1 1 -1 : -—-. II n'y aura point d'entier<br />
a ajourer, parce que la quantité , dont il sagic , eit une<br />
véritable fradion.<br />
7<br />
DE LA TRANSF. DES FONCT. PAR SUBSTIT.' ,35<br />
C H A P I T R E III.<br />
De- la Transformation des Fonclions<br />
par Subjlitution,<br />
46. Si y eft une fondion quelconque de Z , & que z foit<br />
exprimé par une nouvdle variable x, y pourra tétre de méme<br />
par x. . . .<br />
Ainfi, fuppofant quey foit une fondion de \, en íntroduifant<br />
une nouvdle variable x, on repréfente les deux<br />
premieres au moyen de cette troifieme. Par exemple, fi<br />
1 —j^_ Sc qu'on fafFe % *-, cette fubílitution<br />
y<br />
tt<br />
a. la place de % donnera y = Donc une valeur<br />
I -+- X X<br />
quelconque déterminée, prife pour x, déterminera celle<br />
de y Sc de ^, Se fera connoitre conféquemment la valeur<br />
de y correfpondante á celic de %. Si l'on fait , par exemple,<br />
x = ~ , on aura ^ = 7, Se y = f ; on tronveroit de méme<br />
y •= j , fi dans l'équation y = -•*•-" ** , on faifoit £ = 7.<br />
Cette introdudion d'une nouvdle variable a deux ufages.<br />
En effer, lorfque l'expreffion par laquelle y eft donnée<br />
en £ renferme des radicaux, c'eft un moyen de s'en débarraíTer;<br />
ou bien, lorfque l'équation qui exprime la relation<br />
entte y 6c ^ , eft d'un degre trop elevé pour qu'on en puifíe<br />
tirer une fondion explicite de •{ égale a y, on introduit<br />
une nouvdle variable x, par le moyen de laquelle on puiíle<br />
exprimer commodément -Sc y Se 7C On peut donc par-la<br />
juger d'avance du grand ufage des fubftitutions ; mais la<br />
fuite en fera mieux fentir encoré l'importance.<br />
47. Si y = /(a + bzjjOs trouvera de la maniere fuivante<br />
la •nouvdle variable x , qui rendra rationnelles les valeurs<br />
dey & de z.<br />
E ij
I<br />
•i?<br />
•<br />
\<br />
\<br />
36 DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS<br />
Puifqu'on fe propofe de rendre á la fois y Sc •{ une fonction<br />
rationnelle de x, il eft clait qu'on remplira ce but en<br />
faifant V (a -4- ¿^) =¿.x. D'abord on aura y = bx , Sc<br />
a-±- ¿? = b z x\ Donc * =bx* ~. Ainfi y Se % deviennent<br />
des fondions rationnelles de x, lorfque y étant<br />
== \T{a-\-b-{), on fait^ix 1 f; car alors y = b x.<br />
m<br />
¿S, 5¿ y *= (a -4- b z) **", o^ trouvera de la maniere fuivante<br />
la nouvelle variable x , qui rendra rationnelles les valeurs de<br />
y b dez. -<br />
Soit fait y = x m , {a-+-bz) H deviendra = x m , Se par<br />
conféquent 'a -4- ¿ x)" =» *« Donc a-+-¿*— *% &*«<br />
.** ~ ' . Done on aura en x des valeurs rationnelles pour<br />
b<br />
les quantités y Sc •{, en faifant £ •» -J- 2 -, ce qui donne<br />
y _,, y] Ainn quoiqu'on ne put obtenir fous une forme<br />
rationnelle Ja valeur de y en ^ , ni celle de r en y; cependant<br />
on eft veuu á bout au moyen d'une.íubílitution convenable<br />
, de rendre ees deux quantités une fonclion rationnelle<br />
d'une méme variable x.<br />
m<br />
49. Si y =(" H " bz )~, on demande une nouvelle qnantité<br />
variable x qui rende rationnelles les valeurs de y & de z.<br />
11 eft évident qu'on fatisfera á la queftion, en fuppofant<br />
m<br />
alots (7^) " = * m > & P ar confé q uen x t<br />
m : car<br />
tL « **, d'oii l'on tire 5 ^ ^ t t i fubftitution qui<br />
donne y = x m .<br />
On voit encoré par-la que ii {^7f~y } ~~~ \ f+ gi /<br />
on 'aura pour y & pour r des quantités rationnelles , en<br />
fuppofant Tune & l'autre formule = *"-?', car on trouvera<br />
y A R S U B S T I T U T I O N . -<br />
¿ — f* !<br />
., _ «-v* ffl fe y s- -f" *" **-. .Ces cas ne préfentent<br />
aucune difKculté.<br />
5¿ y=:{/[(a+bz) (c-Hdz)],^4row£m
I<br />
1<br />
3$ DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS<br />
*= a -\- x\ , nous aurons b -4- c\— zax -4- xxz_ ; d'oíi<br />
£ = —— J 5: par conléquenty = a -4- JC ?_ = - .V* — c<br />
expreflions dans Icíquelles £ 8c y font des fondions rationnelles<br />
de x. Soit maintenant<br />
II. y=V(«fl^-4-^-4-f); & fuppofons •foa ^-H ¿^-4- c) =<br />
a^H-x, nous aurons /^ -4- c = zax%-±- xx, Se % = v*^~<br />
Donc _y = ¿r^ «4- x =<br />
• .ac-4- £x — axx<br />
b— tt<br />
Jir. Si / Sc /-font des'quantités négatives, alors a moins<br />
qu'on n'air. ^ 4//", la valeur de y Cera, toujours imagi-<br />
(g) «aire; mais íi qq eft >4/>r, Texpreffion / •+- Q\ -4- r\%<br />
pourra étre décompofée en deux fadeurs ; ce qui reviene<br />
au cas de Tart. précédent. Au refte , ii cíl íouvent plus<br />
commode de ramener á cette forme: y = V \ao -4- (b -4- c\)<br />
((/+«?)]; dans ce cas, pour faire difparoítre le radical,<br />
on fera y = a-h(b-+-c%) x, Sc on aura*/-+-«•£= zax-\-bxx<br />
., , . ¡/ — áa* — ¿** o. —at-+-(cd — be)x—acxx<br />
-f-cxx*; d ou r — _ _ — — * ocy = CVK —
I<br />
40<br />
DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS<br />
III. Soit « n = y n -4- * ou n = ^— , en divifant<br />
l'équation par ¡f ", on aura ax" -4- b%<br />
4- cx<br />
= o; d'oü l'on tire \ = (-^ w -^ w ) e^"^. .<br />
_ ^<br />
^-a*«'*-C*V M N ,gJgvl«J fej/gX»^-«s*"-c**"^ag_gv_,J 4<br />
On a donc obtenu de trois manieres différentes des fonctions<br />
de' x égales á ^ Sc á y. De plus? on peut prendre<br />
pour m une valeur arbitraire, excepte zéro, & par ce<br />
moyen les formules pourront étte ramenées á rexpreífion<br />
la plus commode.<br />
EXEMPLE.<br />
Suppofons que la nature de la fondion y foit exprimée<br />
par cette équation y J -4-7/ — cy^ = o, Sc chetchons les<br />
fondions de x égales a y Se á 5. Nous aurons donc a =— 1;<br />
¿-a— i;* = 3; e= 5 ; 7= i, &í=l.<br />
La premiere maniere, en. faifant m == 1 , donnera £ —<br />
C X X<br />
ir -+-*'<br />
La feconde donnera ces valeurs : ^ = Cri?) '* &<br />
y = x ( c ^ ) f ;ou { = - ^ ( a - i ) & 7 ^<br />
La troifieme fournira les réfultats fuivants : ;< = (cx —x') T ><br />
&yc«x (cx — X J ) ».<br />
53. On comprend par-la, qu'en fuivant une marche retrograde<br />
, on pourra former des équations entre y ¿> z, fi" indiquer<br />
la maniere de les réfoudre, en introduifant une nouvelle<br />
variable x. • •<br />
Car fuppofons que la réfolution ait deja été faite , Sc<br />
qu elle<br />
P A R S U B S T I T U T I O N . 4 1<br />
- p<br />
. , . Sax a +bx'°+cxV+.Slc. \ r<br />
qu'elle ait donné ces valeurs z=> { —— , ) »<br />
• „ r — ) • D o n c / = * i><br />
ni, - 4*" + ¿*ff+c*y-4-8cc. /-<br />
& * - * * ' P^que^ = A ^ B x ^ C x , ^ ^<br />
nous mettons au lieu de x fa valeur y \~¿ > ü en<br />
— *? — gg 7-yf<br />
— *>"* T-^-h^K. p 4-^y y t p -4- &c :<br />
réfulteral'équation i p — _. _rí<br />
^4-¿A—£- •+• Cy t"~7+ &c -<br />
qui fe réduit á celle-ci :AiJ + By"X P " -*" ty'* P<br />
—•*? ,» — e? ~" y?<br />
.+. &c. = oy*r ~f -+- ¿V c í ~7~ -4- cy y * p • -*- «c:<br />
-Í , . - A Z±±L<br />
laquelle érant multipliée par ^ ~f deviendra A\ P<br />
tcq — «« + r ' aq—»q •+• r<br />
.4- By*\ p•— -4- Cy^ >— -+- &c. ...<br />
N ay" -4-¿y e * "V" 1 - -f- ¿y** ~p— -+- &c.- Sup- (*)<br />
pofons -^-— = w , & -Í2-ZÍ2 = n : / deviendra<br />
¿= a _. 4"; o = TZ; SC r=a.m — Gm ^- *n; d'oü naítra<br />
l'équation ^ m -í-^y^x "^r? -4- Cy'i a-Q -4- &c.<br />
^ ay* ^ by^if- -4- cy y ^ T=T* -+* &c -. laquelle<br />
par conféquent fe réfoudra de maniere & avoir.....<br />
/ g«* -I- bx$ -t- c«V -f- &c. \ „ m . u - .„ ¿<br />
*~ ^ ^ + 5^-f- cV-h&c. ^<br />
V:=3( /" *** -f- ¿^g 4- c« y -4-&c N •„», — ?»»-.«* ^<br />
^ A •+• Bx^ -f- C*' -t-Scc'<br />
EULER , Introdudion a ¿'Anal, infin. Tome I. F
4*<br />
DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS<br />
*I — I"Í •+• r<br />
ou bien fuppofons n, nous<br />
r<br />
Sc - =<br />
ciq ~*~ T = m, Sc<br />
11<br />
p p<br />
aurons m — n = — L , oc - - =<br />
P<br />
m _, , aW ~ t "•**,. Done /? devient = M , ? = ra — /z; & r =»<br />
^^2 — «m 4-
\M<br />
•<br />
•<br />
44 DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS<br />
H- €x n "" s -4- yx n 2 -f- &c. d'oü vous conclurez . .<br />
(<br />
" 4- Cx « — i<br />
m m — i<br />
4* 4- ¿x<br />
/• aX n<br />
y= x K.—n<br />
+ yx" - 2 + ix a ~ 3 -H &c.N ^Z~„<br />
cx dx m — 3 &c. )<br />
Sx n — i -f- yx» - * 4- *«" ~ 3 -f. &c.>y ¿TZT<br />
ax<br />
, m — i<br />
•+bx<br />
m — a<br />
+cx<br />
dx m—3 &c. )<br />
Cette réfolution a lieu toutes les fois que l'équation<br />
entre x Sc y renferme un nombre de dimenfions double;<br />
comme dans. le cas précédent, ou le nombre des dimenfions<br />
dans chacun des termes eft ou m ou n.,<br />
58. S'il fe trouve dans l'équation trois fortes de dimenfions,<br />
de maniere que la plus grande futpajfc la moyenne, autant que<br />
celle-ci furpajfe la plus petite ; on pourra toujours déterminer y<br />
O z en x par la réfolution d'une équation du fecond degré.<br />
Car, íi l'on fait y = x^; aprés avoir divifé par la plus<br />
tetite puifTance de \, la valeur de ^ en x, depondrá de<br />
Í'extradion d'une racine quarrée, comme on le verra par<br />
les exemples fuivants.<br />
EXEMPLE I.<br />
Soit ay* •+• by*i -4- cy\\ •+• d^ — zeyy -4- zfy\<br />
-4- 2g\\ -4- hy -4- i^; faifóns y. asa xz;, - aprés avoir<br />
divifé par £, il refiera (ax* -4- bxx -4- cx •+*• d) 7^ =<br />
z (exx -4- fx -4- g) £ •+• hx >4r i i d'ou nous tirerons<br />
par la valeur de 7 . . . .<br />
gxx-f fx-¥-g-J-y/[(,exx+fx-i-gy-<br />
X~~" ax 1 • 'ax' -t-¿x» -j-cx-j-d) (ftx-f-i)].<br />
•+• bxx -j- ex -+- d<br />
ce qui donnera y = x\. /<br />
EXEMPLE II.<br />
Soit y* = zai£ -4- by -4- c%; nous ferons y '== x^.<br />
Donc x y ?/*=*
W •<br />
I<br />
I<br />
M. •<br />
4¿ Dü DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS<br />
autres fondions, quoique le nombre des termes de la fuite<br />
foit infini. Au refte, il eft évident qu'une fondion non<br />
entiete de ^ ne peut étre repréfentée par un nombre fini<br />
de termes de cette forte: A -4- B \ -4- C^ -4- Scc; car íi<br />
elle pouvoit l'étre, elle feroit par cela méme une fondion<br />
entiere; Sc fi quelqu'un doutoit qu'elle püt étre exprimée<br />
par une telle ferie d'un nombre infini de termes, le développement<br />
méme de chaqué fondion ne kii laifTera aucun<br />
doute; mais pour plus de généralité, outre les puiíTances<br />
de >[, qui ont des expofans pofitifs Se entiers, on doit<br />
admettre des puiíTances quelconques. Ainfi il ne refiera<br />
aucun doute, que toute fondion de •{ ne puifTe étre transformée<br />
en une ferie infinie de cette forme: A\ -\-B-{ •+<<br />
C\ v -4-*DT/_, les expofans *,£, y, S, Scc. exprimant des<br />
nombres quelconques.<br />
6o. On fait qu'au moyen d'une divifion continué, la frac-<br />
tion<br />
a<br />
aí'z !<br />
n r ,r . . . - . a agz ag'z 1<br />
-=- le refout en cette fuite intime: r + '—r-<br />
• a ° z * — &c, laquelle nomme une progreffion<br />
gz<br />
géométrique}parce que choque terme a un rapport conftant i: —><br />
avec celui qui le fuit.<br />
II y a une autre maniere dG trouver cette ferie; c'eft de<br />
la fuppofer d'avance, quoique inconnue , toute développée:<br />
car, foit = A 4- 57 -4- Cf -f- D-C 4- E?4- &c. Pour<br />
gt<br />
produire l'égalité , cherchons les coéfficiens A3 B, C, D, Scc ;<br />
nous aurons a = («4- f *) ( A -4- B^-4- Cf -4- D? -4- Sec.)<br />
Sc aprés la mulriplication faite, . . . . . . . . .<br />
a = *A 4- *Bi -4- «Cf-H ^ { ! + «JFr^4- &c.<br />
-4- eA^ -4- eBf 4- fC^-4- CD? 4- &c.<br />
Par conféquent nous devons avoir a = « ^í, donc A = ~-\<br />
il faudra enfuite égaler a zéro la fomme des coéfficiens de<br />
chaqué puifTance de \; ce qui donnera les équations:<br />
• - - m<br />
EN S E R I E S I N F I N I E S . 47<br />
*B 4- €A = o chaqué coéfficient trouve fera donc con-<br />
*C-4-£.fí = o noírre facilement le fuivant. Car fi le<br />
«D-+- £ C = o coéfficient d'un terme quelconque = P,<br />
*E-t- £D=o & le fuivant = @; onaura* Q-+-£P =<br />
G P<br />
Scc. o , ou Q = — —• Ainfi le premier<br />
terme A = — > étant une fois determiné, on en conclura<br />
ct<br />
les valeurs des lettres fuivanres B, C, D, Sec. qü'on tiouvera<br />
les memes que celles que donne la divifion. Au refte,<br />
on voit a Tinfpedion , que dans la ferie trouvée pour •• • „ - ><br />
le coéíficient de la puifTance % fera = H^ -7—[>l e «gne 4-<br />
te<br />
ayant lieu lorfque n eft un nombre pair , Sc le figne —<br />
lorfque n eft impair , ou íi l'on veut, le coéfficient<br />
61. On peut de méme, au moyen d'une divifion continué,<br />
convertir en une ferie infinie la fradion —^—5 •<br />
.Mais comme la divifion eft une opération ennuyeufe, Sc<br />
qu'elle ne fait pas connoitre fi facilement la nature de la ferie<br />
infinie, il fera plus commode de préfuppofer. la ferie qu'on<br />
doit avoir, Se de la déterminer de la maniere precedente.<br />
Soit donc -1t*I- • =A-+-BK-Í-CT 1 -+-V?-I-ET* + SCC.<br />
a-+-g{-4-yíí X X X X<br />
multipliez depart 6c d'autre par ••{•{, Sc vous aurez<br />
a -f- bi = *A-\-«Bi-k-*C^ -4-«Z>^ J -4- «.E^-f- Scc.<br />
-t- 6Ai -4- eB£ 4- cC£ -4- eDf -+- &c.<br />
+ > ^ + yBf 4- y C$* •+• Scc.<br />
Done * A = a; «B 4- CA = b; d'oii A = -> Se B = -<br />
a ^<br />
— - " • Les autres lettres feront déterminées par les équations<br />
fuivantes:
1<br />
i 48<br />
I l<br />
•<br />
Dü DÉVELOPPEMENT DES FoNCTlONS<br />
*.C-+"GB-+~yA= o On peut donc, au moyen de deux<br />
«D-+-cC-t-yB = o coéfficiens confécutifs quelconques,<br />
a.E-^-CD-+-yC== o trouver le fuivant. Par exemple,<br />
«F-hGE~{-yD= o fi les deux coéfficiens confécutifs font<br />
P Se Q, Sc le fuivant R , on aura<br />
&c><br />
«R-i-£Q + yP= o, ou R = ~ s Q.- vP .. Ainfi les deux<br />
premieres quantités A Sc B une fois calculées, les autres<br />
dériveront fucceffivement de celles-ci; Sc on aura la ferie<br />
infinie A -4- B$ 4- Cf 4- D? 4- &c. égale á la fradion<br />
P r °P° fée "> + cT-t t r«*<br />
£" X £ Jtf P L E.<br />
Soit la fradion -,1*1^» & prenons pour la repréfenter<br />
la ferie ^ -H B{ -4- Cf -+- D £ -4- &c. a caufe de o = 1;<br />
A = 2- tt= i* £ = — i;> ——1, nous aurons dabord-íís— 1;<br />
Sc B = 3 ; enfuite . . . . . . '<br />
C — 5 -t- J[ Done chaqué coéfficient eft égal a la fomme<br />
D=C-i-B des deux précédents. Ainfi, en fuppofant<br />
E =* D -4- C connus les deux coéfficiens confécurifs P Se Q,<br />
p= E+-D le fuivant fera R = P 4- Q. Puis donc<br />
Scc. que les deux premiers coéfficiens AScB fonc<br />
connus, la fradion propofée 7=—"*- fe chan e en cette<br />
S<br />
ferie infinie f.~*> 5 \ •+• 4*- *i-T-tf «*":*?** -4- 18 */ -*- &c,<br />
qu'on peut prolonger fans peine auffi lom qu on voudra.<br />
62. Ce que nous venoris de diré fuffit pour roettre k<br />
portee de bien connoitre la nature des feries infinies , qutproviennent<br />
du développement des fondions fradionnaires;<br />
car elles obfervent une telle loi, que chaqué terme peut<br />
étre determiné par quelques-uns de ceux qui précedent.<br />
Par exemple, fi le dénominateur de la fradion propofée<br />
eft z;4-Jz»,<br />
on obtiendra la valeur d'un coéfficient quelconque $ de la<br />
ferie, au moyen des trois précédents R, Q Sc P, en faifant<br />
«.S -4- GR 4- y Q 4- ¿P = °» u en ^ era & méme des autres.<br />
Ainfi dans ces fortes de feries, chaqué terme eft determiné<br />
par quelques - uns des termes qui précedent, íuivant une<br />
cerraine loi confiante , qui fe conclut naturellement du<br />
dénominateur de la fradion qui produit la ferie. Le célebre<br />
MOIVRE, quia examiné plus particuliéremenr la nature de<br />
ces feries, les appclle Recurrentes} par la raifon' qu'il faut<br />
recourir aux termes qui précedent, pour trouver ceux qui<br />
fuivent.<br />
63. Au refte, pour la formation de ces feries, il faut<br />
que le terme conftant * du dénominateur ne foit pas = o;<br />
.car, ayant trouve le premier terme de la ferie A = -,<br />
celui-ei Sc tous les fuivants feroient infláis íi * étoit = o.<br />
Excepté donc ce cas que je traiterai dans la fuite, la fondion<br />
fradionnaire, qui doit étre transformée en une ferie infinie<br />
c a "*" ¿ t -+- e t % •+• ^í' + &c - T-<br />
récurrente, aura cette rorme: \_al_-t,_y{!_^+<br />
_&c. * JC<br />
fuppofé le premier terme du dénominateur = 1, car une<br />
fraclión peut toujours étre ramenée a cet état, á moins que<br />
le premier terme ne foit =- o;. & je regarde tous les autres<br />
termes du dénominateur comme négarifs, afín que tous les<br />
termes de la ferie qui en deriven; loient poíitifs. En eñet,<br />
ü la ferie recurrente , dont il s'agit, eft repréfenrée par<br />
j _t_ Bi -+- Cf -t- Df -4- Ev£ 4- Scc 3 les coéfficiens fe<br />
détermineront comme il fuit :<br />
EULER , Introduclion d l'Anal, infin. Tome I. G
i<br />
50 Du DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS<br />
A = a<br />
B = *A -hb<br />
C — ctB -hCA -+• c<br />
D•'= *C-^cB-h7A+-d<br />
E = aD-^-CC^yB^-^A 4-¿<br />
Scc.<br />
Chaqué coéfficient eft donc égal a la fomme de quelques<br />
múltiples des précédents , i/ointe a un certain nombre que<br />
donne le numérateur; mais a moins que ce numérateur<br />
n'ait une infinité de termes, cette addition ceííera bientót,<br />
Sc dés-Iors chaqué terme fera formé fuivant une loi confiante<br />
par quelques-uns des précédents. Mais pour que la<br />
loi de la progrefiion ne foit pas troublée, il conviendra<br />
d'employer une fondion fradionnaire proprement dite ; car<br />
íi on en employoit une autre, la partie entiere que celle-ci<br />
contiendroit, entreroit dans la ferie, Se interromproit la<br />
loi de la progrefiion dans les termes qu'elle augmenteroit<br />
ou diminueroit. Par exemple, cette fradion improprement<br />
dite I "t_ 2t ~ t ; y donnera la ferie 1 + 3{ + 4f + 6{'<br />
-4- 107 4 H- ió^ f -H 26** 4 1 - 427J-4- Scc; oii le quatrieme<br />
terme fait exception a la loi, par laquelle chaqué coéfficient<br />
eft la fomme des deux précédents.<br />
64. Les feries recurrentes méritent une áttention particuliere,<br />
lorfque le dénominateur de la fradion, d'oü elles<br />
naifTent, eft une puifTance. Par exemple, la fradion , *_ *.;<br />
iéduite en ferie donnera<br />
a-*-z*a -4- 3 «*ÍZ I-4-4*'ÍZ 3 4- 6a*a-4 4- &c.<br />
-f- b -V 2 «.b -f- $*b -4-4*'^<br />
ferie dans laquelle le coéfficient de la puifTance %" eft<br />
(n _j- 1)
..-"<br />
52 Du DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS<br />
cette ferie renfermera tourcs les progreílions algébriques<br />
du troifieme ordre, dont les diíTérences troifiemes íont<br />
conftantes. Done toutes les progreílions de cet ordre que<br />
je repréfente par A -4- B -+- C-^-D -4- E -4- F-+- Scc. feront<br />
des feries recurrentes dépendantes du dénominateur i — 47<br />
_}_ ¿7* —, 4^'-4- T* ; d'oii il s'enfuit que E — 4.D — 6 C<br />
.4. 4 ¿ _ A;F = A.E—6B -+- A
m<br />
I<br />
'ríT*"<br />
54 Du DÉVELOPPEMENT DES FoNCTIONS<br />
. ^ ^ ^ = 4 4- £ 4- C-f- DK 4- i? r* -4- &C¿<br />
Sc en sénéral<br />
4-<br />
-I- ¿{4- c{'+ &c.<br />
A<br />
= — 4 -<br />
"{*(i-«t - «Y-vt ! -& alors v = • ~~ z ~ zx ., Se par conféquent y =.— 2 —<br />
H-# y 1—4* — #* * * • /<br />
iox— 42XX—178X 3 —• 754/c 4 — Scc. On peut de cette<br />
maniere trouver pour y autant de feries recurrentes qu'on<br />
voudra.<br />
71. Les fondions irrationnelles font ordinairement transformées<br />
en feries infinies, au moyen du Théoreme general:<br />
m<br />
— m<br />
(P4-0 "=.P"4-^P<br />
m(m— n)<br />
n. ÍÍ f 0*<br />
m(m-n)(m-2n) p 1!_11 O' -h Scc : en effet, a. moins que *<br />
n. 2 n. 3 n " *"- n<br />
ne foit un nombre entier pofitif, le nombre des termes eft<br />
infini. Ainfi, en mettant pour m Sc n des nombres determines<br />
, on aura . . , .<br />
t_<br />
(P+Q)-í=P~í-±P~ÍQ+ yp-r £*—iiMp--5- Qi+. scc,<br />
E N<br />
S E R I E S I N F I N I E S . 5?<br />
(P+0 w ^p^e-^p-^^^p-v^^scc.<br />
(P^^í^p-f-ip^^^e-^"^ e+ía.<br />
(P-4-0 W ^p-T^_.^Q I 4-^p-^<br />
1 + n<br />
" " p j Sc en multipliant<br />
m<br />
le réfultat pat P » , nous obtiendrons la ferie ci-detTus. Mais<br />
íi w ne défigne pas feulement des nombres entiers, mais<br />
auíli des nombres fradionnaires, on pourra en toute süreré<br />
prendre l'unité pour n. Cela pofé, fi nous écrivons Z au<br />
lieu de 2.» qui eft une fondion de ^, nous aurons (i -4- Z) n<br />
== x ^ ^.2 4- , "; (w 7 l) Z*-H w -("-Q('"-^ Z J 4- Scc.<br />
Mais pour bien obferver les loix fuivanr.es des progreflions,<br />
il fera bon d'avoir remarqué cette conveffion en ferie de la<br />
formule genérale (i -f- Zf~ = i -+- fc^^fcí&í Z'<br />
(m-i)(w--a)(w-3) z ? ^ &C><br />
2.<br />
73. Soit d'abord Z a *:{; nous aurons (1 4-
56 Du DÉVELOPPEMENT DES FoNCTIONS<br />
_f_ ( 7 "~ 1 ) - j _ («—*)(» — ») ai ?* . (*—i)(»» —a)(m —3) aj y<br />
4- Scc. Au lieu de cette ferie, écrivons la formule genérale<br />
j _+_ Ai -+-Bf 4- Cz r 4r 4- Af %; a 7 x 4- A 7 "/'-»- Scc.<br />
Chaqué coéfficient A -dépendra du précedent M, Sc fe<br />
trouvera au moyen de l'équation A r = - * M. Ainfi en<br />
faifanr n = i, comme M eft = i , nous aurons N =<br />
m —i<br />
a., Faifant enfuite. n = z, a caufe de M —<br />
A = -—- «, nous "trouverons A 7 " = B = * M ^<br />
(«-OO»-*) ,»• & en fuivant le meme ptocédé, C ==*<br />
I. 2 * 4<br />
* a. B = K — — * J ; comme le fait voir la<br />
3 i. 2. 3<br />
ferie trouvée ci-deíTus.<br />
74. Soit Z •=> a-\-\-^\\\<br />
m— i<br />
nous aurons (i—H «^4-^7 7)<br />
Difpofons donc les puiíTances de ^ par ordre de grandeur,<br />
ce qui donnera (i4-*{4-^{)"' I = . . . . . . .<br />
i4("- , ) n+ M ( "" > ) » , f+ M ( ""- f a ) « , ? i +&C.<br />
1 x 1. a «• 1. 2. 3<br />
denrs par l'équation N = " "^ " "Af 4 ~7~ ^> ^**fi<br />
tous les termes pourront fe conclure du premier, qui eft 1.<br />
En effet, on aura •<br />
¿ = Cjfci) ¿<br />
£ ¡==><br />
, fm — i) , , (m—1) (m — 2) . .1. .<br />
4- V ¿ « £ 4- ^7 ¿ 2aC^ 3 -f- SCC<br />
Écrivons, pour cette ferie, la formule genérale : . . .<br />
1 + ^4.5^4-^4- 4-Z {"- í +M^- I +<br />
JV"7' l 4- Scc; chaqué coéfficient fe déduira des deux précé<br />
(m _ a)V<br />
'.¿<br />
( » — 2)<br />
/<br />
EN SERIES INFINIES. 57<br />
c s- kmSl «B 4- fc^- } c¿<br />
r)==fclii*C4- ( ^=^g5<br />
4 N • 4<br />
8cc. x '<br />
75. Si Z «= «?_ 4- r^^C4- ( ^^c5+ ( ^ ) ^<br />
£ _ fcáú ,D 4- t ^ c c+ ( -^f- 5) \B<br />
Scc.<br />
EULER , Introduclion a lAncd. infin. Tome I. H<br />
_II<br />
58 Dü DÉVELOPPEMENT DES FoNCT. ÉN SERIES INFINIES.<br />
76.' Done, en general, íi nous fuppofons (i4~, les feries<br />
troúvées fe conviendront parfaitement. Au refte, ce n'eft<br />
pas ici Je Jieu de démontrer diredement la loi de cette<br />
progrefiion: ce qui pourra fe faire facilement dans la fui re<br />
par les principes du calcul difFérentiel; il fuffira donc en<br />
attendant d'en avoir prouvé la vérité par Tapplication que<br />
nous en avons faite á toutes fortes d'cxemples.<br />
DES FONCTIONS DE DEUX OU D'UN PLUS GRAND, SCC. 5*<br />
CHAPITRE V.<br />
Des Fonclions de deux ou d'un plus grand nombre<br />
de Variables.<br />
77. Les quantités variables que nous avons confidérées<br />
jufqu'ici, avoient entr'eües une telle liaifon, qu'elles étoient<br />
toutes des fondions d'une íéule variable, Se que la détermination<br />
d'une feule emportoit celle des autres; mais nous<br />
allons traiter á préfent des quantités variables qui n'ont<br />
aucune dépendance reciproque, de maniere qu'en fubftituant<br />
k Tune d'elles une valeur déterminée, les autres<br />
reílent encoré indéterminées Sc variables. Ces fortes de<br />
quantités que je repréfente par x, y, %, quant á leur fignification<br />
ne changent point de nature, chacune renfermant,<br />
comme á Pordinaire, toutes les valeurs déterminées, mais<br />
en les comoarant on remarquera entr'elles cette difTérence,<br />
que ñ l'on met pour 7, par exemple, une valeur quelconque<br />
déterminée , les autres x Sc y auront une fignification<br />
auffi indéfinie qu'auparavant. La difTérence entre les<br />
quantités variables, dépendantes ou indépendantes les unes<br />
des autres, confifte donc en ce que, pour les premieres la<br />
valeur déterminée d'une feule donne cdles des autres, Sc<br />
que pour les dernieres la décermination de Pune ne limite<br />
nullement la fignification de ceiles qui reílent.<br />
78. Done une fonclion de deux ou d'un plus grand nombre<br />
de variables x, y, z, efi une expreffon compofée de ees<br />
quantités, de quelque maniere que ce foit.<br />
Ainfi l'expreííion * s 4- x\\ 4- af fera une fondion des<br />
trois variables x,y, £. Si dans.cette quantité on determine<br />
une variable, par exemple % , en mettant un nombre cenftant<br />
en fa place, elle demeurera encoré une quantité variable,<br />
favoir, une fondion de x Sede y; mais fi, outre ?,yeíl<br />
H ] )<br />
I
m<br />
><br />
I<br />
I<br />
I<br />
1<br />
ío DES FONCTIONS DE DEUX<br />
auffi determiné, il ne refiera plus qu'une fondion de x. Une<br />
fondion de plufieurs variables n'obtiendra donc une valeur<br />
déterminée ,• qu'aprés que chacune des quantités indéterminées<br />
qui la ccmpofent Catira recu une valeur donnée.<br />
Donc une quantité variable pouvant etre déterminée d une<br />
infinité de manieres, Une fondion de'deux variables, qui<br />
pour chaqué valeur de Pune d'elles ," eft encoré fufceptible<br />
d'une infinité de valeurs, admettra une infinité de fois un<br />
nombre infini de dcterminations. Le nombre de dérerminations<br />
fera encoré une infinité de fois plus grand dans<br />
une fondion de trois variables,¡Sc. croítra á proporción.'<br />
pour un plus grand nombre d'indéterminées.<br />
"70. les fonclions de plufieurs variables fe divifent commodémeht<br />
comme celles d'une feule, en algébriques O en<br />
tranfeendantes. - , -.<br />
Les premieres font celles dont lacompofition ne dépend<br />
que d'opérations algébriques; les dernieres font celles dans<br />
la form'ation defquelles il entre des opérations tranicendantes.<br />
On pourroit encoré á l'égard de celles-ci en diitinguer<br />
de plufieurs efpeces, felón que les opérations transcendantes<br />
aífedent toutes les variables, ou quelques-unes<br />
feulement, ou méme une feule. Ainfi Pexpreflion ?í 4-y<br />
loe. 7, qui renferme le logarithme de ^, fera bien une<br />
fondion tranfeendante de y Se de" r; mais elle doit etre<br />
regardée cependanr comme moins-tranfeendante, parce que<br />
la variable 7 une fois déterminée la fonclion devient algébrique.<br />
Au refte, il eft inutile de multiplier ces fortes de<br />
fubdiviíions.<br />
8 o Les fonclions algébriques fe divifent enfuite en rationnelles<br />
& en irrationnelles i O les rationnelles en entieres & en<br />
La° raifon de ces dénominations eft fuffifamment expliquée<br />
dans le premier Chapitre. La fondion rationnelle eft dégagée<br />
de toute irrationnalité, qui affede les quanutés variables,<br />
dont elle eft dite fondion. Elle fera entiere s'il n'entre point<br />
I<br />
ou D'UN PLUS GRAND NOMBRE DE VARIABLES. 6I<br />
de fradion dans fa compofition, Sc dans le cas contraire<br />
elle fera fraplionnaire. Telle fera done la forme genérale<br />
d'une fondion entiere de deux variables y &^:« + íy +<br />
7* 4- *y<br />
Donc fi P<br />
O défignent des fonclions entieres, íoit de<br />
Se<br />
deux, foit d'un plus grand nombre de variables, -^ feral:<br />
forme venérale des fondions fradionnaires. Enfin une fonction<br />
irrationnelle eft ou explicite ou implicite ; celle-la fe<br />
reconnoit aux radicaux qu'elle met en évidence; Sc cclle-ci.<br />
eft donnée par une équation infoluble. Ainfi V~ fera une<br />
fondion implicite-irrationnelle "dey Sc de \, fi l'on a /^' =<br />
(ayí4-í 3 )^4-(y 4 4-í 4 )/ >r 4-/4-lízy^4-f.<br />
%\. On veut auffi difiinguer des fonclions multiformes de<br />
plufieurs variables comme d'une feule.<br />
Ainfi les fondions rationnelles feront uniformes, parco<br />
qu'a chaqué détermination des variables elles ne recoivent<br />
qu'une feule valeur. Soient P,Q,R,S,Scc. des fondions<br />
rationnelles ou uniformes des variables x, y , 7; V fera une<br />
fondion biforme des memes variables, fi V*~P V-\-Q= o;<br />
car quelques valeurs déterminées qu'on fubftitue aux quantités<br />
x, y Se \, la fondion V aura toujours non une fimple,<br />
mais une double valeur. De méme V fera une fondion<br />
triforme ,fi V — P V* 4- Q V— R = o, Sc une fonclion<br />
quadriforme, fi V"— P V 4- Q ^ - R V-+ S == o On<br />
afli
-1,<br />
6z DES FONCTIONS DE DEUX<br />
fera déterminée par les deux autres, Sc deviendra une<br />
fondion de celles-ci. II en feroit de méme, fi on égaloit la<br />
fondion non a zéro, mais a une quantité confiante, ou<br />
méme- a une autre fondion ; car, dans toute équation<br />
quelque foit le nombre de variables qu'elle renferme , la<br />
valeur d'une feule dépend toujours des autres, Sc en devient<br />
une fondion. De méme au moyen de deux équations différentes<br />
entre les memes variables, deux variables font déterminées<br />
par les autres; ainfi de fuite.<br />
83. La divifion la plus remarquable des fonclions de deux ou<br />
d'un plus grand nombre de variables, eft la divifion en homogenes<br />
& en héterogenes.<br />
S'il regne par-tout un égal nombre de dimenfions, la<br />
fondion eft dite homogene ; finon elle eft hétérogene.<br />
Chaqué variable eft cenfée former une dimeníion ; le quarré<br />
d'une variable, ou le produit de deux forme deux dimenfions;<br />
le produit de trois variables répétées ou non, trois,<br />
ainfi de fuite; les quantités conftantes naugmentent point<br />
le nombre des dimenfions. Par exemple, dans ces formules<br />
«y, f£, on ne compre qu'une dimenfion; on en<br />
compte deux dans celles-ci: «y 1 ; Gy^; y£; rrois dans ces<br />
autres «y'; Cy*r^; yyg; *•£; 6c quatre dans ees dernieres:<br />
".y 4 » ^'X'» yy % "C » AXX 1 > e I 4 » a " in ^ ^ es autres.<br />
84. Appliquons d'abord cette diftindion aux fondions<br />
entieres, Sc fuppofons qu'il n'y air que deux variables; car<br />
ce que nous allons en diré conviendra a un plus grand<br />
nombre.<br />
Une fonclion entiere fera homogene , fi chaqué terme a un<br />
égal nombre de dimenfions.<br />
II fera donc ttés-commode de fubdivifer ces forres de<br />
fondions, fuivant. le nombre des dimenfions que forment<br />
les variables. Ainfi «y 4- C ^ fera la forme genérale des fonctions<br />
entieres d'une dimeníion; «y 1 -!- Cy\ 4- yr* la forme<br />
genérale des fondions entieres de deux difnenfions. La<br />
forme genérale des fondions de trois dimenfions fera<br />
ou D'UN ruis GRAND NOMBRE DE VARIABLES. 6$<br />
comprife dans Pexpreflion «y 3 4- Gy 1 ^ 4- yy\ 2 -+- f^; celle<br />
de quatre dimenfions dans ay 4 4-£y J £ 4- *****•+• ¿y 7 5 4-<br />
«jr 4 , ainfi des autres. Par analogie la quantité confiante «<br />
fera une fondion de dimenfion nulle.<br />
85. Une fonclion fradionnaire Iiomogene, eft celle dont ¿e<br />
numérateur & ¿e dénominateur font eux-mémes des fonclions<br />
homogenes.<br />
Ainfi cette fradion ^--—J~ fera une fondion homogene<br />
dey Sc de ^. Or on connoírra le nombre de dimenfions, en<br />
fouftrayant du nombre des dimenfions du numérateur celui<br />
des dimenfions du dénominateur; on trouvera d'apiés cela<br />
que la propofée eft une fondion d'une dimenfion. Cette<br />
autre fradion £—— fera -une fondion de ttois dimenfions.<br />
yy-*-¿i<br />
Donc, s'il y a le méme nombre de dimenfions dans le numérateur<br />
Se dans le dénominateut, la. fradion fera une fonction<br />
de dimenfion nulle; comme dans la quantité - y **-• J<br />
ou dans celles-ci: |; ¿0-; Jl. S'il y a plus de dimenfions<br />
dans le dénominateur que dans le numérateur, le nombre<br />
des dimenfions de la fradion fera négatif: ainfi ¿L fera une<br />
0<br />
tí<br />
fondion de — 1 dimenfion.' ~~¡. une fondion de — x<br />
' ¡r-r- r<br />
dimenfions: -— une fondion de— 5 dimenfions, parce<br />
qu'il n'y a aucune dimenfion dans le numérateur. Au refte,<br />
il eft évident que plufieurs fondions homogenes, dans lcfquelles<br />
il regne un méme nombre de dimenfions , étant<br />
ajoutées ou foufttaites, donnent toujours une fondion homogene<br />
du méme nombre de dimenfions. Par exemple, cette<br />
expreflion * y 4 -/- 4- ~~-~: fera une fondion d'une<br />
1 J<br />
y yy\-*ryn<br />
feule dimenfion, Sc celle-ci * 4- -& 4- -^ 4- ^±-"- fera<br />
x y y yy — tz<br />
une fondion de dimenfion nulle.<br />
86. La nature des fondions homogenes s'étend auíli aux
,i ii i<br />
I<br />
M -<br />
64 DES FONCTIONS DE DEUX<br />
expreflions irrationnelles. Car fi P eft une fondion quelconque<br />
homogene de n dimenfions, par exemple, VP íera<br />
une fondion de \ n dimenfions; \¡ P lera une fondion de f n<br />
dimenfions, Sc en general P T fera une fondion de -^ n<br />
dimenfions. Ainfi V{yy 4- \\) fera une fondion d'une<br />
dimenfion ;V (y 9 4- f) fera une fondion de trois dimenfions:<br />
(y?4-?í) 7 fera une fonclion de i dimenfions,<br />
& HL±JS- felra Une fonclion de dimenfion nulle. D'aprés<br />
cela /sc* ce qui precede , on comprendra facilement que<br />
„ (r -1 . yV(yy + u) y _,, Z^í .<br />
1 expreflion - 4 g ¡/(y'-t?) ^ iWy + V fondion<br />
de — 1 dimenfion, en faifant y = u%, /^deviendra =<br />
\~ '. ( """*",•')» Les fondions irrationnelles ne font pas plus<br />
exception; car fi F= ?j!foffiffi > °l u[ eft une f o n & ion<br />
¿e — 1 dimenfions; en faifant y = u\, on obtiendra l'équa-<br />
tion V=* T~ » (• U J¡us+ U 1y ° )' Ainfi, de cette maniere, les<br />
fondions homogenes de deux variables feulement feront<br />
ramenées á des fondions d'une feule variable; car la puiffance<br />
de •{ érant un fadeur, eft cenfée ne pas altérer Ja<br />
fondion de u.<br />
89. Done une fonclion homogénea des deux variables y & z<br />
d'une dimenfion nulle, aprés la fubftitution de y =* uz fe changera<br />
en une fonclion puré de la feule variable u.<br />
Car le nombre des dimenfions étant nul, la puiffance<br />
de \, qui multipliera la fondion de u fera \° = 1 ; Se dans<br />
ce cas la variable \ fort tout-a-fait de Pexpreflion. Par<br />
exemple,foit F= 5~& > en faifant y=u \, on aura V= ^ ;<br />
Sc pour les fondions irrationnelles ,fi on a ^«á^^í^Ilíí/.,<br />
en fuppofant y = u %, V deviendra = u — V (u u — 1). .<br />
90. Une fonclion homogene & entiere de deux variables y & z,<br />
pourra étré décompofée en autant de facleurs fimples de la<br />
forme *y 4- £z, qu'elle aura de dimenfions.<br />
EULER, Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. I<br />
•<br />
IJ<br />
I<br />
P
66 DES FONCTIONS DEDEUX<br />
Car la fondion étant homogene, fi Pon fait y == u\, elle<br />
fe changera en un produit de ^"par une certaine fondion<br />
entiere de u, laquelle par cette raifon pourra étre décompofée<br />
en fadeurs limpies de la forme ¿u 4- C. Multipliant<br />
chaqué fadeur par £, chacun aura la forme a.u\ 4- £;[ =<br />
«y4-C¡[, á caufe de u^ =y; mais a caufe du multiplica-<br />
teur T", il y aura autant de fadeurs de cette forme, que<br />
l'expofant n contient d'unités, Sc ces fadeurs fimples, feront<br />
ou réels ou imaginaires, fuivant que les coéfficiens * Sc C,<br />
feront ou réels ou imaginaires.<br />
II fuit donc de-la qu'une fondion de deux dimenfions<br />
a yy 4- i'yi •+• C IK. renferme deux fadeurs fimples de la<br />
forme *y 4- £r_; Sc qu'une fondion relie que ay i -\-by x -{ 4cyT¿-\-di¿<br />
aura trois fadeurs fimples de la forme «y 4- £>£.<br />
II en fera de méme des fondions entieres homogenes, qui<br />
auront plus de dimenfions. •<br />
91. Done cette expreflion «y +£? comprend la forme<br />
genérale des fondions entieres d'une dimenfion, comme la<br />
quantité (*y4-Sz) (-,y4-x)(Jy4-«i[4- %x); Sc les fondions d'un<br />
ou D'UN PLUS ORAND NOMBRE DE VARIABLES. 6y<br />
plus grand nombre de dimenfions font encoré moins fufeeptibles<br />
d'étre ramenées á de femblables produits.<br />
92. On comprend par ce que nous venons de diré des<br />
fondions homogenes, ce que c'eft qu'une fondion hétérogene;<br />
c'eft , comme nous Pavons dit, celle dans laquelle<br />
tous les termes n'ont pas le méme nombre de dimenfions.<br />
Les fondions hétérogenes peuvent étre divifées fuivant^ la<br />
multiplicité des dimenfions. Ainfi nous appellerons fondion<br />
bifide , celle qui renferme un nombre double de dimenfions<br />
; elle fera par conféquent un afTemblage de deux<br />
fondions homogenes, dans lefquelles les nombres des dimenfions<br />
font diíTérents ; par exemple >y r 4- zy'f 4-yy 4- ;[£<br />
fera une fondion bifide, parce qu'eíle contient partie cinq ,<br />
partie deux dimenfions. Une fondion trifide, eft celle dans<br />
laquelle il fe trouve trois nombres diíTérents de dimenfions,<br />
ou qui peut étre partagée en trois fondions homogenes,<br />
comme y 6 4- y*í a 4- z 4 4- y — 7.<br />
II y a en outre des fondions hétérogenes fradionnaires<br />
ou irrationnelles,telIement compliquées, qu'on ne peut les<br />
décompofer en fondions homogenes ; teiles font les expreffl0ns<br />
£fc¡aL; jg-V(rrf«).<br />
H -+- tí yy — b i<br />
93. Quelquefois une fondion hétérogene, au moyen d'une<br />
fubftitution convenable, faite á la place d'une ou de deux<br />
variables, peur devenir homogene. 11 n'eft pas fí facile d'indiquer<br />
dans quels cas ce changement a lieu. II fuffira donc<br />
de préfenter quelques exemples qui en faflent connoitre Ja<br />
poífibilité. Soit propofée , en conféquence, la fondion<br />
yí _f_ ?yy 4-y' ¡j 4- — j avec une legere attention on vena<br />
qu'elle devient homogene en faifant ^t==xx; car alors elle<br />
devient y s 4- x 4 y 4- y J x*4- *—j fondion homogene de cinq<br />
dimenfions des variables x Sc y. De méme la fondion<br />
« 4.y , x + _y ! x'+y t x 4 +- fera rendue homogene en<br />
I<br />
«t.
¥ 7<br />
•<br />
•<br />
m<br />
n<br />
9<br />
68 DES FONCT. DE DEUX OU D'UN PLUS GRAND NOMBRE, SCC.<br />
faifant x = — • car elle devient la fondion d'une dimen-<br />
fion y 4- — 4- — 4- — 4- a ?• II y a d'autres cas oü une<br />
fubftitution auffi fimple ne fuffit pas pour rendre la fondion<br />
homogene, Sc qui préfentent beaucoup plus de difficultés.<br />
94. Enfin on doit avoir égard a. une autre diviíion aljez<br />
ufitée des fondions entieres ; je veux parler de kur divifion<br />
en ordres. L'ordre eft determiné par fe plus grand nombre<br />
des dimenfions qui fe trouve dans la quantité. Par exemple,<br />
xx _4_ y y -4- rr -h ay — aa eíl une fondion du íecond<br />
ordre, parce qu'elle a des termes de deux dimenfions;<br />
& y4+y^—ay* \ 4- aby•{ — a*y l -¥- b* appartient aux<br />
fondions du quatrieme ordre. On a égard a cette .divifion,<br />
fur-tout dans la théorie des Iignes courbes; d'oii réfulte<br />
encoré une nouvelle divifion des fondions enrieres.<br />
95. Refte a parler de la divifion des fondions entieres<br />
en complexes Sc en incomplexes. Une fondion complexe,<br />
eft celle qui peut .étre décompofée en fadeurs rarionnels,<br />
ou qui eft le produit de deux ou d'un plus grand nombre<br />
de fondions rationnelles ; telle eíl la fondion y* — •£<br />
.+. 2a7_ J — zbyii — a*?4- zab^y—b*y\ qui réfulte<br />
de la multiplication de ees deux fonclions . - . . . .<br />
•(yy .4. u— a^4- by) (yy — ?*-+-.** ~ ¿y). Nous<br />
pouvons donc conclure que rou-e fondion entiere homoo-ene,<br />
qui renferme feulement deux variables, eft une Jonenon<br />
complexe, parce qu'elle a autant de fadeurs fimples<br />
de la forme «y -+- C\ qu'elle contient de dimenlions. Par<br />
la raifon contraire une fondion entiere fera ineomplexe,<br />
fielle ne peut fe décompofet en fadeurs rarionnels; telle eft<br />
la quantité yy 4- \\ — aa, qui ne renferme point de facteurs<br />
rarionnels, ainfi qu'il eft aifé de s'en convamcre. Au<br />
refte, c'eft par la recherche des divifeurs qu'on pourra s'affurer<br />
fi' une fonclion donnée eft complexe ou ineomplexe..<br />
DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES ET DES LOGARITH. 69<br />
CHAPI.TRE VI.<br />
Ves Quantités exponentielles & des Logarithmes.<br />
«6 Quoique la connoiíTance des fondions tranfeendantes<br />
¿Vive faire un des objets du calbul integral, cependant il<br />
fera a propos de traiter ici de quelques eípeces qu. fe préfentent<br />
plus fréquemment, Se qui preparent la voie a plufieurs<br />
«cherches. Nous confidérerons. done dabo.d les<br />
quantités exponentielles, ou les pu.ffances dont 1expo ant<br />
eíl une quantité variable; car il eíl clair que ees íortes de<br />
quantités' ne peuvent étre rapportees aux fonclions a gé-<br />
¿riques, puifque celles-ci n'admettent que des expofans<br />
conftants. On diftmgue plufieurs efpeces de q"*^"P?nentielles,<br />
fuivant que l'expofant feul , ou que 1 expofant<br />
avec le nombre qu'il affecle eft une quantité variable; aS eft<br />
de la premiere efpece , Se y" de la feconde. Deplus,l'expofant<br />
méme peut étre une quantité exponentielle, comme<br />
dans les formules ¿* /} / 5 ¿' Nous ne multiplierons<br />
pas davantage les efpeces de ces grandeurs; car leur nature<br />
fera fuffiíarnment connue, aprés que nous aurons traite<br />
feulement la premiere efpece.<br />
Q7 Soit donc propofée la quantité exponentielle a\ ou<br />
ce qui reviene au méme, une puifTance de la confiante a,<br />
qui ait pour expofant la variable 7. Cec expofant z renfermanr<br />
tous les nombres determines, il eft ev.dent que fi a<br />
la place de *_, on fubftitue fucceílivement tous les nombres<br />
entiers pofitifs, on obtiendra pour a* les valeurs déterminées<br />
¿; a 1 1 a?; a*; a", a 6 ; Scc; Sc 11 Pon met pour x les nombres<br />
né¡atifs - 1, - 2, - 3 , Scc, la quantité a\ deviendra fuc-<br />
/
i<br />
1<br />
MF"~^<br />
70 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
ceflivement -; -i-; -\', \ l Scc; Sc fi Pon fait 7 = 0, on<br />
aura toujours a° = 1. Mais fi Pon fubftitue a \ des fradions,<br />
comme \; }; ~; ^; ^, Scc, on aura pour réfultats les quantités<br />
Va;\Ja; \¡c?; y a; \¡a>; Scc; lefquelles confidérées<br />
en elles-mémes, ont deux ou un plus grand nombre de<br />
valeurs, puifque Pextradion des racines en fournit toujours<br />
plufieurs. Cependant on n'admet ordinairement dans ce cas,<br />
que les valeurs qui fe préfentent les premieres, c'eft-a-dire,<br />
celles qui font réelles Se politives, parce que la quantité aS<br />
eft regardée comme une fondion uniforme de \. Ainfi a"<br />
tiendra un certain milieu entre a* Sc a?, Se fera par conféquent<br />
une quantité du méme genre; Sc quoique a' ait la double<br />
valeur —aaVa Sc 4- aaVa, cependant on ne tient compte<br />
que de la derniere. II en eft de méme fi l'expofant \ a des<br />
valeurs irrationnelles ; mais comme il eft difhcile dans ce<br />
(p) cas de concevoir le nombre de valeurs que renferme la<br />
quantité propofée, on fe contente de coníidérer la feule<br />
valeur réelle. Ainfi ar 7 fera une valeur déterminée comprife<br />
entre les limires a* Sc a 1 .<br />
98 Les valeurs de la quantité exponentielle a 1 dépendent<br />
fut-tout de la grandeur du nombre conftant a; car, fi<br />
a=\, Oj fera toujours = 1, quelque valeur qu'on fubftitue<br />
á l'expofant % ; mais fi a eft > 1, la valeur de a 1 fera d'autant<br />
plus grande, qu'on fubftiruera á ^ un plus grand nombre,<br />
jufqu j¿ ce qu'elle devienne «= 00 , en faifant % =• «=; fi<br />
^ ^ 0 j ai deviendra = 1, Sc fi \ eft
t<br />
72 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
politive qu'on premie pour y, il y aura pour g une valeur<br />
correfpondante, qui fatisfera á la condition a 1 =* y; mais fi<br />
on donnoit a y une valeut négative, 1 expofant % ne pourroit<br />
avoir une valeur réelle.<br />
101. Soit doncy = a í , y fera une certaine fondion de £,<br />
Sc on verra facilement par la nature des puiíTances quel<br />
rapport il y a entre y Se |. En effet, quelque foit" la valeur<br />
qu'on donne á %, celle de y eft par-la déterminée. On a auffi<br />
yy==íZH.y==a3l. & en general y" = a^; d'oii Vy~<br />
K<br />
'• y<br />
-í.<br />
yy<br />
ainfi des autres. De plus fi v -= a*•> on aura vy = a<br />
Se — == a*~ l Ces confidérations font propres á facilitet les<br />
y<br />
moyens de trouver la valeur de y, celle de \ étant donnée.<br />
E X E M P L E .<br />
Soit a = 10 ; a. caufe de PArithmétique décimale dont<br />
nous nous fervons, il fera facile d'avoir les valeurs dey,<br />
lorfqu'on prendra pour \ des nombres entiers. En efTet, on<br />
aura 10 10; 10<br />
Sc 10 = 1; de méme 10<br />
s 100; io 3 = 1000; io 4 = 10000,<br />
1<br />
10<br />
o, 1; 10<br />
0,01; 10 -' ==> -^ => o, 001 : Sc fi Pon prend pour % des<br />
1000<br />
fradions, les valeurs dey pourront étre indiquées a Paide de.<br />
Pextradion des racines; ainfi io T = V"\o = 3, 162277 Scc.<br />
102. Si étant donné le nombre a , on peut conclure de<br />
chaqué valeur de %, celle de y; réciproquement ayant pris<br />
pour y une valeur quelconque pofitive , on concoit qu'il<br />
exilie pour \ un nombre convenable pour que a K -=y; cette<br />
valeur de %, en tant qu'elle peut étre regardée comme une<br />
fondion de y, s'appelle ordinairement le LOGARITHME<br />
de<br />
1<br />
100<br />
ET DES L O G A R I T H M E S . 73<br />
de y. La théorie des logarithmes fuppofé donc Pexiftence<br />
d'un nombre conftant repréfente par a, que pour cette<br />
raifon on appelle la Bofe des logarithmes. Cette bafe une<br />
fois choiíie, le logarithme d'un nombre y n'eft autre chofe<br />
que l'expofant de la puifTance a* égale a. -ce nombre y. On a<br />
coutume d'indiquer le logarithme du nombre y de cette<br />
maniere ly. Conféquemment, fi a í =*y, \= ly- 11 s'cnfuit<br />
de-lá que la bafe. Jogarithmique, quoique arbitraire,<br />
doit cependant étre plus grande que Puniré, Sc qu'il n'y a<br />
que les nombres pofitifs qui puiiTent avoir des logarithmes<br />
réels.<br />
103. Ainfi, quelque nombre qu'on prenne pour la bafe<br />
logarithmique a , / 1 fera toujours = o; car, fi dans l'équation<br />
aS =y, qui revient a celle-ci ^ = ¿y , on fuppofé y =— r,<br />
on a 1 — o. Enfuite les logarithmes des nombres plus grands<br />
que Puniré feronr poíirifs Sc dépendants de la valeur dé la<br />
bafe a; ainfi ¿a = 1, la a = 2 ; la} ^. 3 ; /.<br />
¿y % = — — ly, ainfi des autres; d'oü il s'enfuit qu'étant<br />
• donné le logarithme d'un nombre quelconque, on pourra<br />
EULER > Introducción a ¿'Anal, infin. Tome I. K
\l<br />
74 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
trouver les logarithmes de toutes les puiíTances de ce méme<br />
nombre. Suppofons á préfent deux logarithmes connus;<br />
faveir, /y = 7, Sc Iv = x; puifque y == ar'; Se v = a", nous<br />
aurons Ivy = x 4- T_ = / V + ly. Donc le logarithme du<br />
produit de deux nombres eft égal» a la fomme des logarithmes<br />
des fadeurs; nous aurons de méme / — ==•{ — x,=*<br />
¿y — ¿v; donc le logarithme d'une quantité fradionnaire<br />
eft égal au logarithme du numérateur diminué de celui du<br />
dénominateur. Ces regles fervent á calculer les logarithmes<br />
de plufieurs nombres, lorfqu'on en connoít deja quelques-uns.<br />
105. D aprés ce que nous venons d'expofer , il eft clair<br />
qu'il n'y a de logarithmes rarionnels que ceux des puiflances<br />
de la bafe a j car i\ un autre nombre b n'eft pas une puiffance<br />
de la bafe a , fon logarithme ne peut erre exprimé<br />
par un nombre rationnel , le logaritnme de b ne fera pas<br />
non plus un nombre irrationnel; car fi on avoit Ib === V'n,<br />
on auroit auíli a* n — b; ce qui eít impoffible, puifque les<br />
nombres a Se b font fuppofés rationnels. Or ce font les<br />
logarithmes des nombres rationnels Sc entiers dont on a<br />
fur-tout bofoin, parce qu'ils feryent á trouver. ceux des<br />
fradions Sc éeux des nombres fourds. Puifqu'aucun nombre,<br />
foit rationnel, foit irrationnel, ne peut repréíenter les logarithmes<br />
des nombres, qui ne font pas des puiflances de la<br />
bafe, on a done raifon de les rapporter aux quantités tranfeendantes;<br />
Sc c'eft Ja caufe pour laquelle on a coutume de<br />
ranger les logarithmes parmi ces dernieres.<br />
106. On ne peut donc obtenir les logarithmes des nombres<br />
que par approximation au moyen des fradions decimales;<br />
Sc ils approcheront d'autant plus d'étre exads, qu'ils auront<br />
¿té calcules avec plus de chiffres décimaux. II fera pofíible,<br />
de cette maniere, d'avoir á-peu-prés le logarithme de tout<br />
nombre, par la feule extradion d'une racine quarrée. En<br />
effet, puifqu'en fuppofant ly wa \, Se Iv = x; lyvy = —~ i<br />
ET DES LoG_ARITHMES. 7J<br />
fi le nombre propofé b tombe entre les limites o, 7031150; / =s VFH<br />
/ = 4,958069; // == o, 6,53125; K = VHI<br />
K = 5,001865; IK =•- o, 6992187; Lr= y IK<br />
L === 4,980416; IL =?= o, 6972656; M - VKL<br />
4,901627; IM = o, 6982421; N= VKM<br />
K ij
•3<br />
II<br />
76 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
o =<br />
P «=<br />
p =<br />
r =<br />
IV ^<br />
r =<br />
z =<br />
242; IN — o, 6987304; O = ^-ÁTAT<br />
5,000052; 10 « o, 6989745; P = j/#0<br />
4,998647; /P = o, 6988525; () = KOP<br />
4,999350; / £ = O, 6989135; P : : v o q<br />
4,999701; /P = o, 698944©;<br />
4,999876; IS = 0, 6989592;<br />
4>9999 6 3i /I* ~ o» 6989668;<br />
5,000008; ¿V=* o, 6989707;<br />
S = VOR<br />
T = VOS<br />
r= VOT<br />
W^ V-TV<br />
4,999984; //^= o, 6989687; X=» vwv<br />
4*999997> lX = °> *9*9*9?i Y = K/^f<br />
5,000003; IY = o, 6989702; Z = j/'X.F<br />
5,000000; /Z = o, 6989700;<br />
Ainfi, en prenant des moyennes proportionnelles, on eft<br />
parvenú a trouver Z = 5,000000, a quoi rép.ond le logarithme<br />
cherché 0,698970, en fuppofant la bafe logarithmique<br />
= 10. Par conféquent 10 10000 ° = 5 a-peu-préa C'eft de<br />
cette. maniere que BRIGGS SC ÚLACQ ont calculé<br />
la table ordinaire des logarithmes, quoiqu'on ait imaginé<br />
depuis des méthodes plus cxpéditives pour les trouver.<br />
107. II ya donc autant de fyftémes difFérents de logarithmes<br />
qu'on peut prendre de nombres diíTérents pour la<br />
bafe a, Sc conféquemmcnt le nombre de fyftémes logarithmiques<br />
fera infini. Aú refte, dans deux Jyftémes, les '<br />
logarithmes d'un méme nombre ont toujours entr'eux un<br />
meme rapport. Car foit la balé d'un fyftéme = a , celle<br />
d'un autre = ¿, le logarithme d'un nombre n dans le premier<br />
= p, dans le fecond ='' q, on aura- N " , équation<br />
qui ne renfermant plus la bafe a , fait voir clairement que<br />
la fradion — a une valeur indépendante de la bafe a. En<br />
efTet, foient /* Sc ? les logarithmes des mémes nombres M<br />
Se Af pour une autre bafe b, on en concluía parcillement que<br />
M = N>'DoncN» = A r ' «í^feuffi:/,::/,:,. C'eft<br />
ainfi que nous avons deja vu que dans tout fyftéme de lo£arithmes,<br />
Jes logar, de différentes puiíTances du méme nombre<br />
comme y m , Sc y" font entr'eux comme les expofans m : n.<br />
109. Ainfi, pour conftruire une table de logarithmes pour<br />
une bafe quelconque a, il fuffit d'avoir calculé par la méthode<br />
que nous avons donnée ci-delTus , ou par une autre plus<br />
commode, feulement les logarithmes des nombres premiers;<br />
car les logarithmes des nombres compofés" étant é«aux á la<br />
fomme des logarithmes de tous les fadeurs, les logarithmes<br />
•<br />
V
l<br />
78 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
de ees nombres fe trouveront par la feule addirion. Par<br />
exemple, les logarithmes des.nombres 3 Sc 5 étant connus,<br />
on aura /15 = ¿3 «*• ff ; ¿41 = i¿3 4- /5, Sc comme<br />
nous avons trouve pour la bafe <br />
¿xo = 0,014240439 ; donc 100/il= 1,4140439, ajoutant<br />
/100000= '5, le logarithme du nombre cherché des<br />
habirans = 6,4240439, auquel répond le nombre = 2654874.<br />
Done au bout de cent ans le nombre des habifctns fera plus<br />
de vingt-fix fois Sc demi plus confidérable.<br />
EXEMPLE III.<br />
La terre ayant été*repeuplée aprés le déluge par fix<br />
hommes; fuppofons qu'au bout de deux eens ans le nombre<br />
des hommes fe foit elevé á 1000000, 011 demande de quelle<br />
partie il a dú augmenter tous les ans. Suppofons que pendan<br />
t ce temps le nombre des hommes fe foit accru tous les<br />
ans de — > le nombre des hommes pendant deux eens ans<br />
fera néceflairemenr monté a ( 1 -~-\ 6= 1000000, d'ou<br />
pon tire L±i = ( 1222222) -~. Done / l±í = ±. / li 0000 ?<br />
* \ 6 ) x 200 6<br />
¿== lil8 8<br />
í^o* 5» 4 7 — 0,0261092 ; conféquemment iíú<br />
=<br />
1061963 «.<br />
u IOO<br />
Toooooo °°oo = 6i
8o DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
le genre-humain fe füt accru rous les ans d'un feizieme; ce<br />
que la durée de la vie des premiers hommes rend vraifemblahle.<br />
Si la méme augmentation eüt continué d'avoir lieu<br />
pendant 400 ans., le nombre des hommes füt monté a.<br />
1000000. ^222 = 166666666666. Ce nombre d'habitans<br />
eft fi confidérable , que toute la terre n'eíit pas fuffi pour<br />
les nourrir.<br />
EXEMPLE IV.<br />
Si le nombre des hommes eft double á chaqué fiecle,<br />
quel eft 1'accroiíTement annuel? Suppofons que le nombre<br />
des hommes fe foit accru tous les ans de fa partie - 9 Sc<br />
qu'au commencement le nombre des habitans ait été = n ;<br />
au bout de cent ans il fera = ( — ) n > le< uel<br />
I<br />
devant<br />
\ * / t<br />
étre = 1 n , donnera l'équation l -^ ¿= i ' Sc / -4*<br />
1000000a<br />
= — ¿ z =0,0030103. Done -— =» rzrzzzzi **• x 10000000<br />
100<br />
— ''9555<br />
== 144 environ. II fuffit done que le nombre des hommes t<br />
ait augmenté tous les ans de -^ On voit par-la combicn r ont<br />
ridicules lesobjedions de ces incrédules, qui nient que toute<br />
la terre ait pu étre peuplée en fi peu de temps par un feul<br />
homme.<br />
ni. L'ufage des logarithmes eft particuliérement eíTentiel<br />
pour réfoudre les équations, dans lefquelles l'inconnue fe<br />
trouve en expofant. Si, par exemple, on arnve a 1 équation<br />
a" — b , d'oü il faille tirer la valeur de l'inconnue x ;<br />
on ne pourra y parvenir qu'en employant les logarithmes.<br />
En effet, puifque a* = b3 on aura la* = xla =- Ib, Sc<br />
partant x = £ Au refte, il importe peu ici dequel fyftéme<br />
de logatithmes on fe fetvíra, puifque dans tous les fyftémes<br />
° les<br />
ET DES L O G A R I T H M E S . SI<br />
les logarithmes des nombres a Sc b ont toujouts entr'eux un<br />
méme rapport.<br />
EXEMPLE I.<br />
Si un nombre d'hommes augmente tous íes ans de fa<br />
centieme partie, on veut favoir aprés combien d'années le<br />
nombre en íéra decuple. Suppofons que ce foit aprés x<br />
années, Sc que le nombre des hommes au commencement<br />
air été = n; aprés x années, il fera (121 \ n, lequel devant<br />
étre ion, donne l'équation (—} — 10 , Se par confé-<br />
quent x¿— = lio, Se x = . ;— d'oii Ton con-<br />
1<br />
100 ' 1101 —ÍIOO<br />
clura- x = i0000000<br />
43214 = 231. Donc au bout de 231 ans, un<br />
nombre d'hommes, dont TaccroiíTement annuel eft de ía<br />
centieme partie, devient dix fois plus grand ; au bout de 462<br />
ans il fera devenu cent fois, Se au bout de 693 ans, miJle<br />
fois plus grand.<br />
EXEMPLE II.<br />
Un particulier doit 400000 florins, dont il eft convenu<br />
de payer tous les ans l'intérét á 5 pour cent; il acquitte<br />
tous les ans 25000 florins; on demande aprés combien<br />
d'années fa derte fera entierement éteinte. Écrivons a pour<br />
la fomme due 400000 ñ. Se b pour la fomme 2 5000 tí. pavee<br />
tous les ans; il devra donc au bout d'un an — a — b: au<br />
100 *<br />
X<br />
bout de deux ans (121 \ a — ( l 21 \ b — b\ au bout de<br />
\ 100 / \ 100 /<br />
trois ans (121) o -(121) ¿-( 121 )b-b;Sc en mettant,<br />
Vioo/ V 100 / \ 100 /<br />
pour abréger, n au lieu de — , il refiera dü aprés un nombre x<br />
\> 1 x x ~~ 1 t * — a, * — 3 . ,<br />
d années na — n b — n b — n b — b<br />
EULER , Introduclion a ¿'Anal, infin. Tome I. L
! ¡<br />
íi DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
*=n a — ¿(i+fl + « 4 + 4-** -1 )- Mais comme 1<br />
par la nature des progreílions géométriques i 4-/z4-/z 4-<br />
^_ n* ~ l — 'L^LL; aprés x années, il fera dun a — " ^ * A.,<br />
n — 1<br />
quantité, qui égalée á zéro donnera cette équation na**.<br />
*J^k¡t oü(n — i)n X a = n b •— b , Sc par conféquent<br />
n— i<br />
; d'oii x Jb—l[b—(n—\)a].<br />
(¿ — na-\-a)n =¿,SC/z = £_(„_,)„<br />
mais, puifque fl = 400000, b<br />
n = —2 ; on<br />
ioo'<br />
nombre 7 d'années", aprés lequel la dette eft entierement<br />
/ ^5°?£zli^ = i-5-=í 6 25000 ,<br />
o, Sc¿—(/z —0 a = 5000, Sc le<br />
eteinte= —<br />
-fe-:donc x fera un<br />
2I an893<br />
/ * *. * -—<br />
100<br />
peu moindre que 33; c'eft-a diré qu'au bout de 33 ans ,<br />
la dette feta. non-feulement acquíttée, mais le creancier<br />
r J J „ (*" — 1) , J3 ÍÜ-] ,5000 — 25000<br />
fera renu de rendre b— n a= y l°' =*<br />
n — 1 1<br />
1 o<br />
lOóóóof"^ — 500000 florins. Or/—= 0,0211892991 ;<br />
\ 20 / 10<br />
par conféquent ¿(~) == 0,69924687; Sc /100000 (íl) '<br />
= 5,6992469; á quoi répond le nombre 500318, 8; done au<br />
bout de 33 ans révolus le creancier doit rendre 318 -f florins.<br />
112. Les logarithmes ordinaires calcules pour la bafe =10,<br />
outre l'ufagequi leur eft commun avec tous les autres, jouiíTent<br />
dans rarithmétique décimale d'un avantage particulier, Sc<br />
méritent par cette raifon la préférence fur ceux des autres<br />
fyftémes. En effet, les logarithmes de tous les nombres,<br />
excepté les puiíTances de 10, étant exprimes en decimales,<br />
les logarithmes des nombtes compris entre 1 Se 10 feront<br />
renfermés entre o Sc 1, Sc ceux des nombres contenus<br />
In<br />
io<<br />
ET DES L O G A R I T H M ES. 83<br />
entre 10 Sc 100 feront compris entre 1 Se 2; ainfi de fuite.<br />
Chaqué logarithme eft donc compofé de deux parties; la premiere<br />
eft un nombreenrier, Se fe nomme CAR ACTÉRISTIQUE,<br />
Sc Ja feconde eft une fradion décimale. La caradériftique<br />
eft moindre d'une uniré que le nombre de chifFres dont<br />
chaqué nombre eft compofé; ainfi le logarithme de 78509<br />
aura 4 pour caradériftique , parce que ce nombre eft compofé<br />
de 5 chifTres ou figures. On verra donc fur le champ<br />
á J'infpedion d'un logarithme de combien de chifTres eft<br />
compofé le nombre correfpondant. Par exemple, le nombre<br />
auquel appartient le logarithme 7,5804631 renfermera 8<br />
figures.<br />
113. Si deux logarithmes fe conviennent par leurs parties<br />
decimales, Sc ne différent que par la caradériftique, les<br />
nombres correfpondants feront entr'eux comme une puiffance<br />
de 10 a Puniré; Sc s'accorderont par les figures dont ils font<br />
•compofés. Par exemple, les . logarithmes 4,9130187, Sc<br />
6,9130187 appartiennent refpedivement aux nombre 818
i<br />
I<br />
•<br />
ir-'<br />
84 DES QUANTITÉS EXPONENT. ET DES LOGARITH.<br />
EXEMPLE.<br />
Si laprogreflion 2,4, 16, 256, Scc. dont chaqué terme<br />
eft le quarré du précedent, eft continuée jufqu'an vmgtcinquieme<br />
tetme; on demande la grandeur de ce dernier<br />
terme. II fera plus commode d'exprimer les termes de cette<br />
, 1 1 4 8<br />
prooreífion par des expofans,de cette maniere i ,2 ,2 ,2 ,&c.<br />
II eft évident que les expofans forment une progrefiion géométrjque,<br />
Sc que celui du vingt - cinquieme terme fera<br />
16777216<br />
i 24 as 16777216; de forte que le terme cherché =• 2<br />
Son logarithme fera donc = 16777 216 / 2; Sc comme lx » a,<br />
301019995663981195, le logarithme du nombre demandé<br />
fera = 5050445,25973367; dont la caradériftique nousapprend<br />
que le nombre en queftion exprimé de la maniere<br />
ordinaire fera compofé de" 5050446 chifTres. La partie décimale<br />
259733675952 cherchée dans la table des logarithmes<br />
donnera les premiers chifTres du nombre demandé , qui<br />
feront 181858. Quoique ce nombre ne puiffe aucunement<br />
étre exprimé, au moins eft-il certain qu'il eft compofé de<br />
5050446 chifTres, Sc que les fix premiers font 181858 , lefquds<br />
doivent étre encoré fuivis vers la droite de 5050440<br />
autres, dont quelques-uns pourroient étre determines avec<br />
des tables de logarithmes plus étendues; c'eft ainíi qu'on<br />
trouveroit pour les onze premiers chifTres 18185852986.<br />
CHAPITRE VII.<br />
Du Développement des Quantités exponentielles<br />
& logaruhmiaues en Series.<br />
114. Puifqu'on a a°= 1, &C qu'a mefure que l'expofant<br />
de a augmente, la valeur de la puiffance augmente auíli,<br />
pourvu que a foit un nombre plus grand que Puniré; il<br />
Du DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPON, ET LOG. SCC. SJ<br />
s'enfuit que fi l'expofant furpaffe infiniment peu zéro, la<br />
puiffance furpaíTera Puniré auíli infiniment peu. Soit &> un<br />
nombre infiniment petit, ou une fradion fi petite, qu'elle<br />
difTere infiniment peu de zéro, on aura a =i+4,4 étant<br />
un nombre infiniment petit; car il eft conftant par le Chapitre<br />
précedent, que fi 4 n'étoit pas infiniment petit, &> ne poutroit<br />
pas Pétre non plus. 4 fera donc ou = *>, ou >- «, ou < *>,<br />
rapport qui dépendra toujouts de la valeur de la lettre a.<br />
Comme ce rapport eft encoré inconnu, faifons 4 = ku, de<br />
maniere que a" = 1 4- ka; C\ nous prenons a pour la bafe<br />
logarithmique, nous aurons »=/(i4-A - «).<br />
EXEMPLE.<br />
Pour faire voir plus clairement comment le nombre k.<br />
dépend de la bafe a; fuppofons ¿z=io, Sc cherchons au moyen<br />
des tables ordinaires, le logarithme d'un nombre qui excede<br />
de trés-peu Puniré, par exemple, celui de 1*4-<br />
IOOOOOO '<br />
I<br />
maniere que k¿»<br />
I000000 nous trouverons '( 1000000 )<br />
/ L ocooo l ss-, 0,00000043.429 = w. Done a, caufe de k»<br />
IOOOOOO<br />
1 43429 o 1 100000<br />
2,30258. On<br />
= 0,00000 IOOOOO , -r = ——- SC K =<br />
voit ' par-Iá que ^eft ' un * nombre 100000 fini dépendant 43429 de la valeur de<br />
la bafe a; car fi nous euífions pris un autre nombre pour Ja<br />
bale a, le logarithme du méme nombre 1+ A», auroit eu<br />
un rapport donné avec le premier, Sc il en feroit réfulte une<br />
autre valeur pour k.<br />
la<br />
115. Puifque a — 1 4- k » , on aura a = ( 1 4- ka) 1 ,<br />
lu<br />
quelque nombre qu'on prenne pour i. Donc a =i + ií«<br />
.H_i(i-0(i-2) ¿¿_^ &c> ^ 1>on lk ¿<br />
1. 2 k ,j. 2.<br />
—, Sc que 5 repréfente un nombre quelconque fini, a<br />
de<br />
m
I L<br />
H<br />
A 1<br />
•<br />
i<br />
S6 Du DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
caufe de " infiniment petit, i deviendra un nombre infiniment<br />
grand, Sc par conféquent « = 4, étant une fradion<br />
dont le dénominateur eft infini, fera une quantité infiniment<br />
petite , telle qu'elle a été fuppofée. Écrivons done * á la<br />
place de », Sc nous aurons a = (i -\--S\ 3= 1 + - Á ^<br />
-!•*(*-') ¿V-H^- 1 )^-') A: , 7 J 4- l( í-'l (; - 2)(i - 3) ^7 4<br />
1. 2¿ A 'l i. ai. 3 i . 1. a*. 3i- 4'<br />
4- Scc; équation, qui fera vraie, íi Pon prend pour i un<br />
nombre infiniment'grand , Sc alors k fera un nombre determiné<br />
dépendant de la valeur de a, comme nous venons de<br />
le voir.<br />
116. Comme i eft un nombre infiniment grand; il s'enfuit<br />
que l -^- = 1 ; car il eft évident que plus le nombre<br />
qu'on fubftituera á i íéta grand, plus la valeur de la fraction<br />
l -^ approchera de Puniré; donc fi i eft un nombre<br />
ilus grand quaucune quantité aflignable , la fradion<br />
.1 — i<br />
¿galera Puniré. Par une raifon femblable; '-p = 1 ; '—^<br />
= 1 Scc. Concluons de-la que ^r = 7 ; —¡ = y; —- =\;<br />
ainfi des autres. Ces valeurs étant donc fubftituées, il en<br />
réfultera a c = 1 4- -*í 4- M. 4- *Ü' 4- : J&L 4- Scc. á Pin-<br />
1. 2<br />
1,2.3<br />
1.2.3.4<br />
üni. Cette équation exprime en méme-temps la relation entre<br />
les nombres a Se k; car, en fuppofant ^ =s 1, on auraa= 1<br />
k k l , k< , * 4<br />
Scc, Sc pour que a = 10, il<br />
1. 2 1.2.3 1.2.3.4<br />
faut que k foit environ =<br />
trouve ci-deffus.<br />
2,30258; comme nous Pavons<br />
117. Suppofons b = a", en prenanr le nombre a pour la<br />
bafe logarithmique, nous aurons Ib = n; Se puifque b ==><br />
ET LOGARITHMIQUE S EN SERIES. 87<br />
a , nous obtiendrons par une ferie infinie b = 1 4- *"*.<br />
H- *!_!L_L.4- *Lfl¿4- íl^-i- 4- Scc, Se en écrivant Ib au<br />
1. a 1.2.3 1. 2.3.4<br />
lleuden,^ ==r-h ^- Ib + £J_(lb) 1 + £ ¿ (#)' 4-<br />
.< * 4<br />
* (/¿) 4- Scc. Ainfi, la valeur de la lettre k étant une<br />
1.2.3.4<br />
fois connue par celle de la bafe a, une quantité exponentielle<br />
quelconque b pourra étre exprimée par une ferie infinie,<br />
dont les termes marchenr fuivant les puiíTances de r.<br />
Cela pofé, faifons voir a préíent comment les logarithmes<br />
peuvent étre développés en feries infinies.<br />
118. Comme a" = 1 •+-ku,u étant une fradion infiniment<br />
petite, Se que la relation entre a Se k eft donnée par<br />
cette équation: a = i + - + __ 4- _Í_ _+- Scc; en pre-<br />
1.2 1.2.3<br />
nant a pour la bafe logarithmique, nous aurons u = ¿( 14-k m)<br />
Sc m = /(1 4- km) ; or il eft vifible que plus le nombre<br />
fubftitue a i fera grand, plus la puifTance (i + ía )' furpaflera<br />
Puniré, Se qu'en faifant i = á un nombre infini, la<br />
valeur de la puiffance (1 4-^)' s'élevera au-deffus de Punité,<br />
Done íi Pon fuppofé (1 4- £«.)**=* 1 4-x, on aura /(i4-xj=!<br />
ia. II fuit de la que le nombre i», étant fini, puifqu'íl eft le<br />
logarithme du nombre 14- x, i doit étre un nombre infiniment<br />
grand; car autrement ia> ne pourroit avoir une valeur finie.<br />
119. Ayant fait (I4-A-»)' —1 -+-x; i + L = (i4-jc)7a<br />
1 i r 1<br />
Sc A:«=(n-x) ¡ — i;d'ou/&>=~L(i4-x) ¡—ij. Oria^s<br />
1<br />
./(H-jf);donc/(n*x) = -i(i-hx)7_ LJ i étant fuppoíc<br />
1
('<br />
I<br />
88 DU DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
infiniment grarid; mais(r 4-x) '<br />
,(1-0(2;-.) x,_. «(.•-o(»ir»)(3;-») x*+ &c. & i<br />
l. 2 1. 1. 1 I. 4'<br />
/- • 1 • • l- • J ' — 1 I 2Í—I í XI I<br />
caufe de i infiniment grand —.- = T; —— = *•;• —— ~<br />
i Scc. Donc¿(i4-*) T -¿4- 7 — T + 7— 7 4-Scc,Sc<br />
par conféquent /(i+x)=}( 7- T^J"" 7 "+ &c ) *<br />
a étant toujours la bafe logarithmique, Sc k défignant le<br />
nombre relatif á cette bale, de. maniere qu'on ait l'équation<br />
a = , _+- £ _*_ Ü H_ JL _+. &c.<br />
1 1. a 1. 2. 3<br />
120. Puifque nous avons trouve une ferie égale au logarithme<br />
du nombre 1 4-x, nous pourrons a. fon aide, la bale a<br />
étant donnée, repréfenter la valeur du nombre k. En effet,<br />
fuppofons 1 4- x = a, á caufe de la =•= 1, nous aurons<br />
1 /a — i (±-jy + (V-í? __ &£& + &c^ &<br />
a 3<br />
r, r t—i («i — iY (a — i) 1<br />
(—O 4<br />
par conféquent ; *> figniriant une<br />
quantité infiniment petite, Se, comme en vertu de cette<br />
propriété, k = 1, on pourra obtenir les logarithmes hyperbohques<br />
de tous les nombres. Ainfi, en écnvant e á la place<br />
du nombre trouve ci-deffus, on aura toujours e~ = i + I<br />
EULER, Introduclion a ¿Anal, infin. Tome I. M
s<br />
90 DU DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES<br />
C j . ?' - JL. * 4 - 4- Scc. Quant aux logatithmes hyper*<br />
bolioues, on les calculera au moyen des lenes l(i 4- x)<br />
* ..< _ r J- v ?I 2*' 2* 1 a* 5<br />
íi<br />
3<br />
4 T>;VS?-- 3<br />
. 4. If! -H Scc; lefquelles feront tres convergentes, fi<br />
l'cn 7 prend 9 pour x une fradion trés-petite Ainfi avec la<br />
derniere ferie on rrouvera fans peine les loearithmes des<br />
nombres, qui ne font pas beaucoup plus grands que 1 uniré.<br />
En eífet, eri faifant x =» f, on aura /{ = li = — -h 771<br />
.. _±_ -H -i- 4. Scc: en faifant x = f, on trouvera /f<br />
^ í. f 7- 3 7 ^<br />
_ * .+.JL-I.-1-4- — 4-&c,&en faifant x =» f, on<br />
obtiendra pareillement ^^T^" 4 "^"*'^"*"^?<br />
Or les logarithmes de ces fradions feront trouver ceux des<br />
nombres entiers; car par la nature des logarithmes_lT £<br />
/z4-/5 =/io,<br />
£" X E M P L E.<br />
Voici calcules d'aprés ces principes les logarithmes hyperbohques<br />
des nombres depuis 1 juíqu'* io.<br />
/ 1=0, 0000000000000000000000000<br />
/<br />
/<br />
/<br />
/<br />
/<br />
¿<br />
¿<br />
¿ 9 «<br />
/ 10 ém<br />
o, 693i47i8o5 5?9453°94i7 i 3H<br />
1, 0986122886681096913952452<br />
3<br />
i, 3862943611198906188344642<br />
4<br />
? = I, 60943791x4341003746007593<br />
6=1, 7917594692280550008124773<br />
7 == 1, 945910149055^133051054639<br />
8<br />
2, 0794415416798159282516964<br />
x, 1972245773362193827904905<br />
1, 302 58509i994045 68 4 OI 75>9 1 4-<br />
T<br />
ET tGGAMTHMIQÜES EN SERIES. 91<br />
J'ai déduit tous ces logarithmes des trois feries precedentes<br />
excepté ¿j, que j'ai calculé de cette maniere : j'ai fait<br />
dans la derniere ferie x = — 8c j'ai óbrenu /— =3<br />
99 . 9 8<br />
l¿2 = 0,0202027073175194484078230, lequel éranr fouf-<br />
49<br />
trait de l^o = 1/5 -h¿z =3,9120230054281460586187508,<br />
donne pour refte /49, dont la moitié donnely.<br />
124. Faifons le logarithme hyperbolique de 1 4- x ou<br />
/(i 4-X) — y» nous aurons y = — 4- 4- Scc.<br />
Prenons a préfent le nombre a pour la bafe logarithmique,<br />
Se foit dans cette hypothefe, = v le logarithme du méme<br />
nombre I + Í, nous aurons, comme nous l'avons vu, v =<br />
K 7 - T ' - f - f + *«.) =4> Done *-*; ce qui<br />
fournit un moyen tres-commode de determiner la valeur<br />
de A correfpondanre á la bafe a, puifqu elle fe rrouve égale<br />
au logarithme hyperbolique d'un nombre quelconque, divifé<br />
par le logarithme du meme nombre formé fur la bafe a.<br />
Ainfi, en fuppofant ce nombre = a, on aura v = 1, Sc par<br />
conféquent k •= au logarithme hyperbolique de la bafe a.<br />
Donc dans le fyftéme des logarithmes ordinaires, ou a = 10,<br />
k Cera = au logarithme hyperbolique de 10 •, ou k •=><br />
2,3025850929940456840179914; valeur dont nous avions<br />
deja approché d'aflez prés. Si donc on divifé tous les logarithmes<br />
hyperboliques par ce nombre k, ou ce qui revient<br />
au meme, fi on les multiplie par la fradion décimale<br />
0,4342944819032518276511289, on aura les logarithmes<br />
ordinaires , qui conviennent á la bafe «= 10.<br />
125. Puifque e { = i+-4- ~ 4 — 4- Scc; fi Pon<br />
' * - 1 1. a i, a. 3 '<br />
v 7<br />
fuppofé a = e ; on aura, en prenant les logarithmes hyper-<br />
• boliques, y ¿a = ^, á caufe de ¿e =* 1. Cette valeur fubftituée<br />
a ? donnera a y =i+ y -^+. ^ 4- y ' (U) ~ SCC<br />
1. 2 1. a. 3<br />
Done une quantité exponentielle quelconque peut étre con*<br />
M ij .
H<br />
• i<br />
92 DES QUANTITÉS TRAN.SCEN D A NTÍS<br />
vertie en une ferie infinie, a Paide des logarithmes hyperbcliques<br />
; mais auffi,/ défignant un nombre infiniment grand,<br />
les quantités exponentielles Sc les logarithmes peuvent étte<br />
repréfentés par des puiíTances. En efíet, e = ( 1 4- 4-.^ , Sc<br />
par conféquent a = ( i + í - j ; d'ailleurs, 011 a pour les<br />
1<br />
logarithmes hyperboliques / (1 4- x) = i T (1 4- x) 7 — 1 "1<br />
Au furplus, Pufage des logarithmes eft demontre plus en<br />
détail dans le calcul integral'.<br />
C H A P I T R E VIII.<br />
Des Quantités tranfeendantes qui naijjtnt du Cercle.<br />
126. Aprés la coníidération des logarithmes Sc des quantités<br />
exponentielles , vient celle des ares de cercle, Sc de<br />
leurs. íinus Sc cofinus , tant. parce qu'ils forment une autre<br />
efpece de quantités tranfeendantes, que parce qu'ils dérivent<br />
des quantités logarithmiques mémes Sc des quantités<br />
exponentielles, lorfquelles renferment des imaginaires, ce<br />
qu'on verra plus clairement ci-aprés.<br />
Suppofons done Je rayón du cercle ou le finus total = 1,<br />
il parolt aíTez clair que Ja circonférence de ce cercle ne peut<br />
étre exprimée exadement en nombres rationnels *, mais on<br />
a trouve par' approximation la demi-circonférence de ce<br />
cercle = .<br />
3, i4 I 59*653'5 s 9793*3 8 4 6i ¿433 8 3 179502<br />
88419716939937510582097494459x307816<br />
4062862089986x80348253421 170679 82 1 48 o<br />
865132723066470938446 4-. Pour abréger j'é-<br />
• Cene propoíition a été iMmoñuce par Lambert, Mémoins d¡ B¡r¡'m¡ mais on en trourer» nnc dímoaílrv<br />
tiui ploi fimple días le» Éllmaa de Ciomctríe du C. tejendre, qui oni pa.ru depuia peu.<br />
QUI NAISSENT DU CERCLE. 93<br />
crirai » au lieu de ce nombre , de forte que it = a la<br />
de mi circonférence d'un cercle dont le rayón = 1 ; ou wfera<br />
la longueur d'un are de 180 degrés.<br />
127. Soit^ un are quelconque de cercle dont je fuppofé<br />
toujours le rayón = 1 ; on a coutume de conlidérer plus<br />
particuliérement les íinus Sc cofinus de cet are r. Pour<br />
repréíenter dans la fuite le íinus d'un ate r, j'écrirai fin. A.r,<br />
ou íimplement fin. 3. Et pour repréfenter le cofinus j'écrirai<br />
cof. A:^, ou feulement cof %. Ainfi comme -i exprime un<br />
are de 180 o , fin. o w = o ; cof. o •n = 1 ; fin. 7 v = 1 ; cof § it<br />
a= o ;fin. -a = o •, cof.v=~ 1 ; fin. -f w = — 17 cof •*• 7t=¡Q¡<br />
fin. z 7t •=. o , Sc cof. % ir sai. Tous les finus Sc cofinus font<br />
donc renfermés dans les limites 4- 1 Sc — 1. Or cof \ =<br />
fin. (\, — K) Se fin. t = cof. (¿WT:^).: 'sX{fin. rj*'^<br />
(cof.^y = 1. Outre ces dénominations il faut diítinguer<br />
celles-ci : tang. % , qui défigne la tangente de Pare % , Sc<br />
cot. % , qui défigne la cotangente de Pare ^; on fait d'ailleurs<br />
"^'^"^•^"S tang. l<br />
eft connu par la Trigonométrie.<br />
.' Tout cela<br />
1x8. On fait auífi qu'étant donnés "les deux ares ySc r,<br />
fin.(y-*r\) = fin. y. cof sr; 4- cof. y. finí, Se cof (y 4- \) =<br />
cof.y. cof 1 — fin.y. fin %; de méme fin. (y —. ^) = fin. y.<br />
cof. x — cof y. fin.ií Sc cof. (y ~ ?) = cof y. cof 1 4-,<br />
fin. y. fin. 7.<br />
Par coníéquent, en fubftituant á y les ares f», w-; £ v, Scc.<br />
nous obtiendrons<br />
fin. (£. w 4- \ ) = 4- cof. 1<br />
ctf.{\*+-\ ) = —fin. 1<br />
fin. (* 4- \ ) = — fin. 1.<br />
cof( a» 4- \) ^ — cof 1<br />
fin. [\ *-*-1) == — cof. 1<br />
cof.(\-n+ 1) =. 4- fin. 1<br />
fin. ( 2 vr 4- ^ ) = -+- y?/z. ¡j<br />
* — •{) = —fin. 1<br />
cof.(zn--i) BS 4- cof. ^
wz<br />
I<br />
.... I<br />
I<br />
1<br />
•<br />
\<br />
I?<br />
54 DES QUANTITÉS TRANSCENCANTIS<br />
Done íi a défigne un nombre entier quelconque, on<br />
verra que<br />
fin.(^*+t)~+.(y»O<br />
cof y. fin. K - AC^O-.AO-O<br />
De plus á caufe de cof. {y** %) = cof y. cof. \ —fin.y.fin. \,<br />
Se de cof. (y — %) = cof. y. cof. % 4- fin.y. fin %, on aura<br />
femblablement<br />
cof.y. cofix = "*
I<br />
1<br />
I<br />
1<br />
iet<br />
I<br />
96 DES QUANTITÉS TRANSCENBANTES<br />
cof. a 4- cof. ¿ = 2 cof — co/I -^<br />
co/^¿—CO/?ÍZ = 2yT/z.<br />
a<br />
> .<br />
a<br />
a — b<br />
0. J a<br />
Ces réfultats nous donneront, a Paide de la divifion , ees<br />
théo remes :<br />
fin. a -t- fin. b<br />
fin. a — fin. b<br />
fin. a -+- fin. b<br />
cof. a -+- cof. b<br />
fin. a -+• fin. b<br />
cof. b — cof. a<br />
fin. a — fin. b<br />
cof a •+- cof. b<br />
fin. a — fin. b<br />
cof. b — cof. a<br />
cof. a -+• cof. b<br />
cof b — cof. a<br />
ff+ b<br />
a-i-b a—b °' a<br />
= tang. —. cot.<br />
== tang.<br />
= COt. a—b<br />
= tang.<br />
cot.<br />
a<br />
a -f- b<br />
a<br />
a — b<br />
tang.<br />
a — b<br />
Enfin de ces derniers théoremes nous déduirons ceux-ci:<br />
fin. a -f- fin. b<br />
cof. a •+- cof. b<br />
fin. a -r- fin. b<br />
fin. a — fin. b<br />
fin. a -+- fin. b<br />
fin. a — fin. b<br />
X<br />
COt.<br />
cof. b — cof. a<br />
b a — b<br />
— .COt.<br />
fin. a — fin. b<br />
cof. a -+- cof. b / a — b<br />
cof.b — cof. a ~~" V<br />
cof. b — cof. a<br />
cof. a -+- cof. b<br />
/ a -f- b \*<br />
1x1. Puifque (fin. %)*-+•(cof. z) 1 = 1 , en décompofant<br />
en fadeurs, on aura ( cof.^-i- V — i.fin. %) (cof % — y^ — 1<br />
fin. % ) = lí Ces fadeurs, quoique imaginaires , font d'un<br />
grand ufage dans la combinaifon Sc dans la multipiication<br />
des ares. En eíTer, cherchons le produit de ces fadeurs<br />
(cof. l -hV— i.fin. £) ( cof y 4- V — 1. fin,y)9 nous<br />
trouverons cof. y. cof.% — fin. y. fin. % 4- ( cof y. fin. ? -+fin.y.<br />
cof. i)}/"— 1; mais comme cof.y.cof. % —jin*y.fin. ;r=<br />
cof. (y+ i), SC cof y. fin. 1 4- fin. y. cof 1 = fin. (y 4- $ ;<br />
nous obtiendrons ce produit ( cof. y 4- Yj, — 1. fin. y)<br />
(Cof ir<br />
QUI NAlSSENT DU C E R C L E, 57<br />
(cofix + V -« 1. fin. 1) BS cof. (y 4-? ) 4-£ — 1.<br />
fin. (y + í).<br />
Semblablement<br />
( cof y — V~ 1 .fin.y) (cof. % — ]/"— i.fin.i) = fof.(y-hl)<br />
— V — i.fin. (y4-í).<br />
De méme<br />
( cqfix + V— i.jin. x) (cof y + V— 1. fin. y) (cof \ 4_r<br />
V—\.fin. £)»== cof (x -hjy 4- \)^rV— 1 fin. {x -+-y -4- ^).<br />
133. II fuit de-la que ( cof \-$-.V — 1. fin. •{ ) * = cof. 2 ^<br />
4j: V— 1. fin. 2 1, Sc (cofi\±.V"— 1. fin^Y = cof. «<br />
•±:V — 1. fin. i\;Sc qu'en general ( cOf-[ 4- y/'— i.yivz %) n<br />
= cofin^-jjr Vi— 1.-fin.n % : d'oii nous tirerons á caufe du<br />
double figne ,<br />
ccrr*—( eo f- : Í'*~^ — ' l -f m -rf' •*" (cof.i—y'—t.fin.^)" &<br />
/?/? 7 ; - ( a , A + V —l. fin, i? — (cof.^-^-i.fin. 1)"<br />
Done en dévdoppant ces binomes en feries , nous aurons<br />
cof.nK=(cof.Kr- - ( ;- , ) {cof.i)—*(fon) % HR<br />
2.<br />
n.(*-,)(.-a)(,-3H»-4)(n-j) ^ ' )n _ , (^ ; ^ )S £ ^<br />
1. 2. !• *•<br />
&fin.nl= n r(cofily->fin.¡-l(''- l) í n ~>\cofiKy-\<br />
/rm_ y)» _i- »•('-')("—»)(« — 3)(«-4)<br />
1. a.
I<br />
F<br />
•<br />
•J<br />
I<br />
•<br />
• • " • - " . - •<br />
II."<br />
98 DES QUANTITÉS TR A N SC ENDANTE S<br />
nh. v = v —i'-+- vf ¿v--i &c.<br />
^ 1.2.3 1.2.3.4.5 1. a.3.4.5.6.7<br />
Ainfi Pare v étant donné , on pourra, á Paide de ces<br />
feries, trouver fon finus Sc fon cofinus. Pour rendre Pufage<br />
de ces formules plus general, fuppofons que Pare v foit<br />
au quart de la circonférence ou a 90 o , comme m eft a n ,<br />
ou que v = -— . -^—; comme la valeur de w eft connue,<br />
^ n 2 *<br />
en la fubílituant dans tous les termes , on trouvera<br />
fin. A — 90 o =<br />
4- m -. I , 5707963267948966192313216916<br />
n<br />
«I<br />
* 7T- o, 64596409750624625-36557565636<br />
4- "77—- 0,0796926262461670451205055488<br />
r/,7<br />
— —. 0,0046817541353186881006854632<br />
0,0001604411847873598218726605<br />
m<br />
-777-' o, 0000035988432352120853404580<br />
—77-.<br />
m"<br />
O, 000000056921729219679268 1171<br />
— •—— . 0,0000000006688035109811467224<br />
, m'i<br />
4- • ,• 0,0000000000060669357311061950<br />
— —77-. o, 0000000000000437706546731370<br />
4 ^7r. 0,0000000000000002571422892856<br />
n<br />
m'J<br />
-—. o, 0000000000000000012538995403<br />
—— . O , OOOOOCOOOOOOOOOOOOOO5 I'5 645 50<br />
n' 7<br />
i 1 »<br />
. o,000000000000000000000018123O<br />
•, o,0000000000000000000000000549<br />
QUINAISSENT DU CERCLE.<br />
Et cof. A — 90 o B=<br />
I,OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO<br />
m<br />
— -TT- 1, i337°o55 OI 3¿i¿98273543ii3745<br />
4- 77-. 0,2536695079010480136365633659<br />
— -77-. 0,0208634807633529608730516364<br />
« *<br />
4- ——- 0,0009192602748394265802417158<br />
n*<br />
m<br />
— - rr* °»0000252020423730606054810526<br />
4- -77-' 0,0000004710874778818171503665<br />
«'4<br />
— - ,-• 0,0000000063866030837918522408<br />
m'<br />
m"<br />
o, 0000000000656596311497947230<br />
o,0000000000005294400200734620<br />
4- -777. 0,0000000,00.0000034377391790981<br />
•— 77T- OjOOOOOOOOOOOOOOOO1835991652IX<br />
4——-. o , 0000000000000000000820675327<br />
"— - if . 0,0000000000000000000003115 285<br />
JE 1 »<br />
4 -—•'. 0,0000000000000000000000010165<br />
m" '<br />
«— -. 0,00000000000000000000000000 2 6<br />
n ,a<br />
Mais comme il fuffit de connoitre les finus Sc les cofinus<br />
des angles jufqu'a 45 o , la fradion — fera toujours plus petite<br />
que A, Se par conféquent.a caufe des puiíTances de la fraction<br />
— , les íéries que nous venons de donner, feront tresconvergentes<br />
, de forre qu'il fuífira le plus fouvent d'en<br />
prendre feulement quelques termes , fur-tout fi Pon n'exige<br />
Ni i<br />
99<br />
•<br />
1'
I<br />
TOO DES QUANTITÉS TR ANS CENDANTES<br />
pas pour les finus Se les cofinus autant de figures.<br />
135. Les finus Sc les cofinus étant une fois trouvés , on<br />
peut calculer les tangentes Sc les cotangentes parles anaiogies<br />
ordinaires; mais ccmme pour des nombres auíli grands la<br />
multipiication Sc la diviíion re laiíTent pas d'étre tres-fatigantes<br />
, il fera bon d'en donner ici une exprefiion particuíiere.<br />
On aura donc<br />
r V ~~<br />
fin. v<br />
1 —<br />
1 !<br />
1.2.3
I<br />
I<br />
1<br />
102 DES QUANTITÉS TRA NSCEND ANTES<br />
Sc cot. za = tang. (3O4-20I. Donc tang. (30 + i¿) ss<br />
cot. (30 — b) — "tang. (-30 — ¿) . , ~ ,.<br />
—* ; ce qui donne auífi les tangentes<br />
des ares plus grands que 30 o .<br />
Quant aux íécantes Sc aux cofécantes, on Jes conclut des<br />
tangentes par la feule fouftradion ; car on a coféc. % =<br />
(r) cot. \^—cot. %, Sc pártanle. 1 -^cot. (45 o — ~ 5) — tang. r.<br />
On voit clairement par-lá comment on a pu conftruire des<br />
tables de íinus.<br />
138. Suppofons encoré dans les formules précédenres<br />
(an. 133) Pare \ infiniment petit, Sc n un nombre infiniment<br />
grand i3 afín d'obtenir pour Í'JJ une valeur finie v; nous<br />
aurons donc n^ = v, Sc % = 4-, Sc par conféquent<br />
fin. 1 = j , Sc cof ^ = 1 ; ces fubílitutions faites donne-<br />
ront cof. v<br />
O<br />
vV — I<br />
)'-0-*F0'<br />
W-'<br />
Sc fin. v<br />
Or dans le Chapitre précé-<br />
dent, nous avons vu que (14-7J =e , e défignant la<br />
bafe des logarithmes hyperboliques; ayant donc écrit pour r,<br />
d'une part4-ví^—1 Sc d'une autre part —v|/— 1, on aura<br />
cofiv<br />
,-MV-><br />
e 4-e -vy--<br />
Scfin.v =<br />
4-*V—« ¿— •"v'-i<br />
On comprend par lá comment les quantités exponentielles<br />
imaginaires fe ramenent á des finus Sc á des Cofinus d'arcs<br />
réels. On aura auífi e \ = cof. v 4- V— 1 fin. v , Sc<br />
e = co/. v— V — 1 fin. v.<br />
139. Suppofons a.préfent dans Jes mémes formules («2/7.133) a<br />
QUI NAISSENT DU CERCLE. 103-<br />
un nombre infiniment petit, ou n =. 4-, i étant un nombre (s)<br />
infiniment grand , nous aurons cof. n r == cof 4 = 1<br />
Sc /«. /i ^ =yF/z. I = j ; car Je finus d'un are 4-, qui s'évanouir,<br />
eft égal á cet are, Sc fon cofinus = 1. Cela pofé<br />
nous aurons<br />
1 ' if<br />
• I = («>/ ? -
I l<br />
io4 DES QUANTITÉS TRANSCENDANTES<br />
h — 4- — 4-— 4-* Scc; donc en fuppofant x =<br />
1 3 5 7 ,<br />
ÍX<br />
\T— i tang. i, nous aurons * ==^L_ ÍÍSKÍSL 4f¿ Üfütll<br />
— (íí^-JL 4- Scc. Faifons donc tang. % = /, de forre que<br />
r foit Pare dont la tangente eft t, Sc que nous défignerons<br />
ainfi: A. tang. t, ce qui donne ^ = -*4 tang. t. La tangente í<br />
étant connue, Pare correfpondant fera r = i —,<br />
* 3 í<br />
i_ "+" i— — Scc. Puis donc qu'en fuppofant la tangente t<br />
égale au rayón i, Pare % devient = k Pare de 45 o ou ^ =— ><br />
nous troüverons - = 1 — }4 7 — 7 4- Scc; ferie que<br />
LF.IBNITZ a donnée le premier pour exprimer la valeur<br />
de la circonférence du cercle.<br />
141. Mais pour obtenir promptement, au moyen d'une<br />
telle fétie, la longueur d'un are de cercle, il eft clair qu'on<br />
doit prendre pour la tangente t une fradion aíTez petite.<br />
Ainfi, on trouveroit facilement, & Paide dé cette ferie, la<br />
longueur de Pare •{, dont la tangente t feroit-^-; car cet<br />
are íeroit r =<br />
«• 10<br />
— 1 1 Scc. ferie dont on<br />
3000 500000<br />
peut aifément obtenir la valeur par le moyen des decimales;<br />
mais la mefure d'un reí are n'apprendroit rien pour la<br />
longueur de toute la circonférence, parce que le rapport<br />
do Pare, dont la tangente .== -^ , ^ la circonférence entiere<br />
eft inaffignable. C'eft pourquoi, dans cette recherche , on<br />
doit prendre un are qui foit une partie aliquote de la<br />
circonférence, Se dont la tangente aíTez petite puiiTe étre<br />
exprimée commodément. On choifit ordinairement pour<br />
remplir ce but Pare de 30 o dont la tangente =-^-, parce<br />
que les tangentes des ares plus petits, qui ont un rapport<br />
commenCurable avec la circonférence, font trop irrationnelles.<br />
Ainfi,<br />
QUI NAISSENT DU CERCLE. •<br />
Ainfi, a caufe de Pare de 3 o 0 105<br />
== í-, on aura — = - ^_ 4-<br />
6<br />
6 y3<br />
••Jfd<br />
3.3v/3<br />
w>5 Scc. S c . = « B ^ -3-3 33 i -' Vs-3^ ^ _7.3» n ^ &c< Ec c,eft<br />
1<br />
par le moyen de cette ferie, Se avec un travaií incroyable,<br />
qu'on eft venu a bout de trouver la valeur de » que nous<br />
avons donnée ci-deíTus.<br />
142. Ce calcul eft d'autant plus pénible, que tous les<br />
termes, font irrationnels, Se que chacun d'eux n'eft gueres<br />
plus petit, que le tiers de celui qui precede; mais on pourra<br />
remédíer ainfi á cet inconvénient: prenons toujours Pare<br />
de 45 o ou^ Quoique cet are ait une valeur exprimée parune<br />
ferie á peine convergente 1 — j 4-7 — 74- Scc; confervons-le<br />
cependant, Sc imaginons-le partagé en deux ares<br />
a Sc b, de maniere que a 4- b =. - = 45 o . Puis donc que<br />
tang. (a + b) = 1 = ^ t 12g. b' nóus aurons * -fr tang, o<br />
tang. b = tang. a 4- tang. b Sc tang. b = i^ií^. Sok main-<br />
- r "+• tang. a<br />
tenanc tang. a = T; nous troüverons tang. b = £; alors Jes<br />
deux ates a Sc b feront exprimes par une ferie rationnelle<br />
beaucoup plus convergente que la precedente, Sc leur fomme<br />
donnera Ja valeur de J'arc -. Donc . . . .<br />
4<br />
í — *<br />
ir = 4 *i. 3 3-3' f-3 5 7- 3 7 '
H<br />
5<br />
I<br />
i<br />
J<br />
•<br />
io6 D É L A R E C H E R C H E<br />
, CHAPITRE IX.<br />
De Id recherche des Facleurs trinomes.<br />
143. Nous avons fait voir auparavant que c'éroit par la<br />
réfolution des équations qu'on trouvoit les fadeurs fimples<br />
de chaqué fondion entiere. En eíTet, foit propofée la fonction<br />
entiere * 4-^^ 4- >7 1 4-«- «7^4-/"^^, qui foient réels,<br />
DES FACTEURS TRINOMES. 107<br />
tnaís dont les fadeurs fimples foient imaginaires • car il<br />
eft clair que connoiíTant une fois tous les fadeurs doubles<br />
trinomes de la forme p — q% -+. r^, que renferme la<br />
fondion * 4- ^ 4- >?»4- qq, ou ^ < 1. Mais comme les<br />
finus Se les cofinus des angles font plus petits que Punité, la<br />
formulep — q^ 4- r^ aura des fadeurs fimples imaginaires,<br />
fi = au finus ou au<br />
lyy cofinus d'un angle quelconque.<br />
Soit donc -±-r =cof.A?,ouq = z Vpr. cof. 9, Sc le trinóme^—«77/4-rr^<br />
renfermera des fadeurs fimples imaginaires;<br />
mais pour n etre géné par aucun figne radical, je choiíis<br />
cette formepp — zpq^. cof -*-qq\\, dont les fadeurs imaginaires<br />
limpies feront ceux-ci: q% —p (cof.
1<br />
•<br />
IOS D E L A R E C H E R C H E<br />
pourra les effeduer aíTez promptement; car ayant fait voir<br />
que'(cof 9 ± V— i-fin. ?)" = cof nZ-(cof. p-t-y—i fm-• i *)<br />
SCC.<br />
Scc.<br />
Faifons, pour abréger, - = r, nous aurons, aprés la fubfti<br />
tution faite, les deux équations fuivantes.<br />
* + $rcof.r a y?*. 2 7/ 4- í\* 4-, ^ 4 4- Scc, en íaifant d'abord<br />
pour chaqué puiffance de %, % = r cof. n 9, Se enfuite<br />
*" B= r" 7¿«. n 9; car > de cette maniere, á caufe de fin. 09=0,<br />
DES FACTEURS TRINOMES. 109<br />
Sc de cof o 9 = 1, on écrit 1 dans le terme conftant au<br />
lieu de ^ ou 1 pour le premier cas, Sc pour le fecond on<br />
écrit o. Si donc on tire de ees deux équations les valeurs<br />
des inconnues r Sc 9, k caufe der = ^,on aura le fadeur<br />
trinóme pp— zpq\cof.9~±- qq\\, qui renferme deux facteürs<br />
imagin.-dres limpies.<br />
149. Si Pon multiplie la premiere équation n^r fin.mv,<br />
Se la feconde par cof m9, qu'on ajoute ou qu'on retranche<br />
les produits, on aura les équations:<br />
O = *Jm.m9 + Srfm: (m-f 1) 9 -4-yr'fin (m -+- 29) -t- t^finfm -t- 3 ^ ) -*_ &c.<br />
O = mfin.m9 + erfin.(m— 1)9-h y.r'fin.(m.— *fin.(m — X9) \f¡ &c.<br />
Mais fi l'on multiplie la premiere par cof m 9 Sc la derniere<br />
par..//;, m $, on trouvera par Paddition Sc par la foüftradion<br />
ces deux autres :<br />
0= "Co/.m9-t-Srcof.(m-¡)9^v^cof.(ni-1íl)-i.^Cof(m-3o)^8cc.<br />
O «= «f'n9 + eTc0f.(mH-i)9+yrWof.(m+29)+¿rlcof.(m_hn)_hScc_<br />
Ainfi deux des équations precedentes combíneos entr'díes<br />
derermineront les inconnues r Sc 9, &c comme cela peut fe<br />
faire le plus íouvent de plufieurs manieres, on obtiendra a "la<br />
fois plufieurs facleurs trinomes, Sc par conféquent tous ceux<br />
que la fondion propofée renferme.<br />
150. Pour faire mieux fentir Pufage de ces regles, nous<br />
allons chercher ici les fadeurs trinomes de que/ques fonc<br />
tions qui fe rencontrent plus fréquemmcnt, afin de Jes avoir<br />
fur le champ, toutes les fois que ,1'occafion Pexígera. Soit<br />
done propofée la fondion a" 4- { dont on cherche Jes<br />
fadeurs trinomes de Ja forme pp — zpqKccf.9-+- qqrrz^n<br />
faifant r= L, on aura Jes deux équations 0 = / + /' corn<br />
Sco = r n fin.np, dont la derniere donne fin. n0 = o Done<br />
larc«* aura la forme (2 k r i)>,ouz^,/- déi^nanr Un<br />
nombre entier. Je diftmgue .ees deux cas, parce' que les<br />
\
'#<br />
I<br />
• I<br />
I<br />
no D E LA R E C H E R C H E<br />
cofinus y font diíTérents. En effet , dans Je premier cas,<br />
cof ( 2 A: 4- i) w = — i, Sc dans le fecond cof 2 /c * = 4- 1.<br />
Or il eft clair qu'on doit ptendre la premiere forme<br />
zz ? = ( 2 /c 4- í)?*, parce qu'elle donne cof n9 = — 1» d'oii<br />
réfulte a" — r" = o, Sc par conféquent r = cz = y-<br />
Done/ BJS ¿z, # = 1, Sc 9 = —-* *• D° n c la fondion a 4- \<br />
aura pour fadenr le trinóme a a — 2 a % cof (—„-') " + í{'<br />
Se comme on peut mettre pour k un nombre entier quelconque<br />
, on obtiendra de cette maniere plufieurs fadeurs,<br />
dont le nombre cependant fera limité, puifqu'en fuppofant<br />
a k 4- 1 plus grand que n, les premiers fadeurs reviennent;<br />
c'eft ce que Tes exemples rendront plus fenfi.ble, en obfervant<br />
que cof (2 TT-4- o>) = cof 9- De plus, íi n eft un nombre<br />
impair, en faifant 2 k 4- 1 = n, il en réfulte le fadeur<br />
quarré (a 4- ^) a ; cependant on auroit tort d'en conclure que<br />
le quarré (a-h %)* foit un fadeur de Ja fondion a 4- \ ,<br />
parce que (dans l'art. 148) on a pour réfultat une équation<br />
unique, qui apprend feulement que a 4- \ eft un divifeur<br />
h) de la formule / + {"; cette regle devra toujours étre<br />
obfervée, toutes les fois que cof 9 devient ou 4- 1 ou — r.<br />
EXEMPLE.<br />
Développons quelques cas particuliers, pour mettre fous<br />
les yeux ces difFérents fadeurs; Sc diftinguons-les en deux<br />
claües, felón que le nombre n fera ou pair ou impair.<br />
Si n = 1 Si /z = 2<br />
la formule la formule<br />
a 4- * «' •+- l %<br />
* pour fadeur a pour fadeur<br />
»ES FACTEURS TRINOMES. III<br />
Si n = 3<br />
la formule<br />
a> 4- z'<br />
a pour fadeurs<br />
«2a— za^cofi 7*-f»g{<br />
a 4- *<br />
Si /z = j<br />
la formule<br />
o s 4- ^ f<br />
a pour fadeurs<br />
aa— zazcof.y i"*-\\<br />
aa— 2a % cof. f ir 4- ^^<br />
• '•-'---"<br />
I<br />
•<br />
oí<br />
h<br />
•<br />
112 DE LA RECHERCHE<br />
tous les fadeurs a la fois; mais il faudra faire ici a Poccafíon<br />
des fadeurs quarrés la méme remarque que nous avons deja<br />
faite pour le cas précedent. D'abord la íuppofition de k = o<br />
donne le fadeur aa — za^ -{- ^, pour lequel on doit<br />
prendre feulement fa racine a — %. Semblablement, n étant<br />
un nombre pair, la fuppoíition de 2 k = n donne le fáCteur<br />
ÍZÍZ4- za-{-\-\\, qui nous apprend que a 4- \ eft un<br />
divifeur de la formule a — \ •<br />
E X E M P L E .<br />
En fuivant le méme procede qu'auparavant, on obtiendra<br />
les réfultats fuivants, felón que l'expofant n fera un nombre<br />
ou impair ou pair.<br />
Si n = i<br />
la formule<br />
a ¿- 1<br />
a pour fadeur<br />
a— l<br />
Si n = 3<br />
la formule<br />
a pour fadeurs<br />
a — ?<br />
a a — 2 a \ cof. \ ir 4-U<br />
Si n =* 5.<br />
la formule<br />
a pour fadeurs<br />
a — 1<br />
aa — za% cof. f ir<br />
aa — zai cof.j*<br />
1 .<br />
•+-n .<br />
4-U<br />
íZíZ —<br />
Si n = z<br />
la formule<br />
a pour fadeurs<br />
a — 1<br />
a 4- \<br />
Si n = 4<br />
la formule<br />
a<br />
aa —<br />
aa —<br />
4 — ?_*<br />
a pour fadeurs<br />
a — 1<br />
zar^ cof. f ir4- Sí<br />
a 4- *<br />
Si n =• 6<br />
la formule<br />
a 6 — 7/<br />
a pour facleurs<br />
a<br />
~~" ?<br />
•afl?co/i»4-?í<br />
. ia^co/^+n<br />
a 4- £<br />
152.<br />
DES FACTEURS TRINOMES". 113<br />
152. On voit done par-lá fe confirmer ce que nous avions<br />
avancé; favoir, que toute fondion entiere eft décompofable,<br />
íinon en fadeurs fimples réels, au moins en fadeurs doubles<br />
réels. Car nous venons de voir que cette fondion de dimenfion<br />
indéfinie a" 4: \" peut toujours fe réfoudre en fadeurs<br />
doubles réels, fans compter les fadeurs fimples réels. Pafíbns<br />
donc á des fondions plus compofées, teiles que*4-£:{ -hy\ .<br />
Si cette fondion a deux fadeurs de la forme » 4- 6 \ , la<br />
décompofirion, d'aprés ce qui precede, ne fouffrira point<br />
de difficulré. Refte donc á enfeigner la maniere de décompofer<br />
en fadeurs réels, foit fimples, foit doubles, la formule<br />
* 4- £ í 4- y\ dans le cas oii elle n'a pas deux fadeurs<br />
réels de la forme « 4- 9 \ .<br />
153. Examinons donc cette fondion: a — za ^ cof.g<br />
4-7 , laquelle ne peut íe décompofer en deux fadeurs<br />
réels de la forme » 4- fl/z. Si nous fuppofons le fadeur<br />
double red de certe fondion repréfente par pp— zpqcof.9<br />
^" 1111 '•> en faifant r = —, nous autons a réfoudre les deux<br />
équations fuivantes o = a —xa r cofigcof.n9>+-r :Ln cof.zn9<br />
Sc 0= — za r cof gfin. n9 4- r fin. 2 m ; ou bien au lieu<br />
de la premiere équation, prenons, d'aprés l'art. 149, (en fuppofant<br />
m •=• 2n) celle-ci: o = a fin. zn9 — za r cof gfin.n9.<br />
Comparée avec la feconde, elle donnera r = a ; alors nous<br />
aurons_/7/z. 2 /zp«= 2 cof.gfin. r¡9; mais fin. 2 n9 = zfin.n9Cofn9,<br />
donc cof n9= cof.g. Orón a toujours cof (zkvz+zg) = cof.g;<br />
donc n 9=%kir + g,SC9== * - •« Le fadeur general double<br />
de la formule propofée fera donc = a a — za-[ cof. 2*T±ff<br />
Sc nous obtiendrons tous les fadeurs en mettant<br />
£" *í? fucceffivement pour 2 A: tous les nombres pairs, qui ne font<br />
EULER, Introduclion a ¿Anal, infin. Tome I. P<br />
i
•<br />
1<br />
J<br />
R<br />
ti4 DE LA RECHERCHE<br />
pas plus grands que n; ce qui deviendra facile par Papplicatión<br />
que nous allons en faire á difFérents cas.<br />
EXEMPLE.<br />
Confidérons donc les cas ou n eft i, 2, 3, 4 Scc. Sc voyons<br />
quelle feía la formation des fadeurs.<br />
La formule<br />
aa — za^cofig 4- sft<br />
a pour facleur unique<br />
aa — za$cofig 4- *J<br />
La formule<br />
a* — z a*i 1 cof.g 4- 5*<br />
a pour fes deux fadeurs<br />
aa — za \cof\ 4- ^<br />
2<br />
,2*-±£<br />
k • '<br />
•L<br />
mil<br />
ItS DE LA RECHERCHE<br />
' toutes les fondions entietes, il fera maintenant prefque<br />
(u) entierement levé.<br />
155. Au refte cette réfolution en fadeurs peut encoré<br />
s'appliquer aux feries infinies. En efíet nous avons vu auparavant<br />
que la ferie 1+7 + ^7 + "^~- 4- £~^ -+- &c.<br />
= e", Se que e* = C 1 4- 4-J , i défignant un nombre<br />
infini ; il eft donc clair que la ferie i 4- — "+" - 4-,<br />
— 4- —— h Scc. a une infinité de fadeurs fim-<br />
1.2.3 1. 2.3.4<br />
pies í 4 - égaux entr'eux. Mais fi l'on ote le premier<br />
terme de cette méme ferie, le refte h •——•—t- -777-7<br />
4- Scc. = e x — 1 :== ^ 1 -f- _í-) — j, Comparons cette<br />
formule avec celle de Part. 151, nous aurons a = 1 4- —r- '<br />
n SB i ? Sc ^ B 1, Sc le fadeur general devient = (1 4-y Y<br />
— 2 f I+4-] a?/? ^r— 7T 4- 1 , formule qui donnera tous<br />
les fadeurs a la fois , en fubftituant k z k tous les nombres<br />
pairs. La fuppofition de 2 k = 0 donnera le fadeur<br />
quarré —.- , au lieu duquel on ne doit prendre pour les<br />
raifons rapportées ci-deflus que fa racine —. Donc x fera<br />
un fadeur de Pexpreflion e x — 1, ce qui eft évidenr. Pour<br />
trouver les autres fadeurs, il faut obferver qu'á caufe de<br />
Tare A— * infiniment petit, on a cof<br />
xk,<br />
2 k k TC TC<br />
~ 9<br />
11<br />
(art. 134^, les termes qui fuivent, difparoiíTant k caufe du<br />
nombre i infiniment grand. Done le fadeur general =s<br />
xx ._ 4^>* ^ 4**** x & conféquemment la formule<br />
¡i i»<br />
C* .— i fera divifible par i + 4- H ^—. Ainfi Pex-<br />
1 I 4íK»-?r<br />
DES FACTEURS TRINOMES.<br />
Il 7<br />
Scc),<br />
preílion e I = x(l 4-<br />
1. 2 1.2.3 1.2.3.4<br />
outre le fadeur x , aura cette fuite infinie de fadeurs<br />
(-T-^)('+T-^)('-
•<br />
II<br />
I<br />
1<br />
118 D E LA R E C H E R C H E<br />
donné á chaqué fadeur une forme convenable, pour qu'en<br />
faifant aduellement la multipiication , on ait x pour le<br />
premier tetme.<br />
**-+- t<br />
157. De méme, puifque<br />
Scc.<br />
(tH-4) ; +o-^y<br />
X* X*<br />
= i 4 h<br />
1.2 1.2. 3.4<br />
, la comparaifon de<br />
cette expreflion avec la precedente a* 4- \ n donnera a =<br />
14—-> {=! — — ) & n — i '•> ^e fadeur general fera<br />
donc => a a — 2 a T_ cof<br />
2<br />
fa*<br />
f', XX \ . lí+l<br />
O-ir;^/——<br />
2 i i<br />
(2* •+• 1)»,<br />
2 "A í i »<br />
- , + 7^ =24- -yj<br />
r COJ. . ir B= I<br />
; donc la forme du fadeur fera = 4 f* • 4-;<br />
11<br />
, le terme dont le dénominateur eft i* s'éva-<br />
nouiíTant. Mais comme tout fadeur de Pexpreflion 1 4-<br />
• Scc. doit étre de la forme i'4-«xx,<br />
*. 2 1.2.3.4<br />
pour ramener le fadeur trouve a. cette forme , il faudra<br />
le divifer par ——. .- *""'•. Donc le fadeur de la formule<br />
propofée fera 1 4- ,k 4 *1*y„„ S ^ >ou P°n déduira tous<br />
les fadeurs particuliers en écrivant fucceífivement Sc a l'infini<br />
tous les nombtes impairs á la place de z k -+• 1. On<br />
aura par cette raifon<br />
*•* •+-*• * x x*<br />
1. 2 1. 2. 3. 4<br />
1. 2.3.4. 5. 6<br />
Scc.<br />
\ srw / \ 95T:r / \ l (1 — 4 " ) (i — üí) (} 4 " \<br />
yi -g •) Scc, ou en décompofant ces faéleurs en deux,<br />
atfl-O- '+) '(i*?)J*-jí) («**)<br />
(1 — -** ) (i-H JJ) Scc. On voit auffi par-lá que fi ^ =*<br />
4- ir, on aura alors coj. ^ = o; ce qu 11 étoit encoré<br />
facile de conclure de la natute méme du cercle.<br />
159. D'aprés Part. 153, on peut trouver en outre les<br />
fadeurs de cette expreflion e* — z cof g 4- e~* =Sa<br />
* ( 1 — cof. g 4- - * 4<br />
V<br />
- H Scc. ") En efTet,<br />
J o 1.2 1. 1. 2. 2. x. 3 4 á J '<br />
cette expreflion íe change en celle-ci : (1 4- .-* Y — 2 cof.g<br />
4- (1 ¡— ~i ) f. laquelle étant comparée avec la formule<br />
•<br />
3<br />
•
I<br />
•I<br />
;<br />
t20 DE LA R E C H E R C H E<br />
eitée donne z ns=i, a= i -\—r-, Se \ — i r-. Le<br />
fadeur general de cette formule fera done = a a — zar<br />
,. xktr -4- g . xxx ( xx \<br />
cof —Y=^- + u = * -+- m * v - —><br />
(xkx^g)<br />
• Or col. 2 ^i .*' = i — 2 ~ . r- **• ¿<br />
J l l i 9<br />
donc le fadeur en queftion íera =~*- 4- 4 (a*5±ffj*<br />
ou de cette forme 1 4- -,—, Si donc on divifé<br />
( a**-±/r) t '<br />
l'expreflipn propofée par 2(1 — cof. g), afín que dans la ferie<br />
infinie le terme conftant = 1 , on trouvera, en raflemblant<br />
tous les fadeurs , " { _" y- B -<br />
-( I -f)( I ^f)( I -^)(^ I -7^)<br />
(i <br />
9*»• •+- (í— c Y ) \ ^ ¿5jr»-4- (¿ — cY ) '<br />
mais fi c'eft le figne inférieur qui ait lieu , qu'en oonféquence<br />
m déligne un nombre pair, Sc que dans le cas ou<br />
m = o , on prenne la racine du fadeur quarré , on aura<br />
b •+- x c — x<br />
j "~ e -(, 1 3 * N (x j . 4tt-c)x4-jxx\<br />
EULER , Introduclion a tAnal. infin. Tome I. Q
I<br />
•<br />
1<br />
I<br />
122 D E LA. R E C H E R C H E<br />
/, -i- 4'b-c)x >t- AXX f 4(.b-c)x + 4<br />
V "** i6** i6xx + (b— (b-cf c) V"*" *S0 *c<br />
1 " V* ~~ r ~ 36T»4-(¿—cj 1<br />
162. Soit fuppofé ¿ == o , hypothefe qui peut fe faire<br />
w<br />
I<br />
•I<br />
•<br />
1<br />
tí^ D E L A R E C H E R C H E<br />
(i^^^-)0--^^)^=(^^)<br />
(i—(, - sy ) C 1 "" Í^ÍF) O—JT^-T) 1 '<br />
(, vv \ (r—~-— vv ^ Scc. La quatrieme<br />
. . .. , cof. v - cof. g _ __<br />
combinaiíon donne — =<br />
i — cof g<br />
i. 2... 6( i — cof.g)<br />
1. 2 ( I — «/. g )<br />
h Scc. =s<br />
"^ 1. 2. 3. 4(1— «/¿O<br />
/ ^ "\ f T , a gv-w\ / -_*A*_^_ V M<br />
r I4-- 2 g v - t,v -K^ "" Y v - vv ) 8cc.= (1 -f)<br />
V 1 ^ io.»,» - c« > v i(,xx~SgJ s <<br />
(• + T^T)(^77^)(V-^7) Scc.<br />
/ vv 'N &r La feconde combinaifon donne<br />
V l — (4«*í)' ^<br />
v?<br />
T"-g -*-fín.v _ __ x — Scc.<br />
fin. g 1. 2. 3 /n. «T 1. z...-<br />
Pareillement, l'autre expreflion, fi l'on multiplie le numérateur<br />
Sc le dénominateur par 1 — ¿~" c , fe change en celle-ci:<br />
ex_ i_ e-x_ ec-x_ e<br />
X — e —e<br />
— C -\-X<br />
fíl<br />
9'<br />
. Cette derniere , en faifant<br />
c=gV-i Scx=^-! donne i ^ ^ ¿ 5 ^ =<br />
,/•-— £jj£± = cof. 7<br />
co<br />
£LL_. On aura done<br />
: l — cot.\g.fin. 1 = 1 — -
I<br />
126 DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,<br />
( I ^L_ ^ Scc. Done fi on fait v = 2 7, ou 7 =s| v ;<br />
on aura cof ^^~ v) = ¿0/ | v 4- /¿/z¿". T £ fin. \ v *=<br />
j£íU±ll =cofiiv-tang.±gfin.iv=(i-Tl-)<br />
^jrfi^ Cofiv-cot.igfin.iv =(l- y)<br />
( fc¿ - ) ( 1 v —) ( ¡ X —^— ) &c<br />
V^^ xx —g J \ xx -+g J \ j.*T 4" — g J<br />
ÉLd^L ^ eofiiv 4- ¿j.*/ jtff * = (x-hf )<br />
(i--l— } (, + -!-) (1 ^-) Scc.<br />
V 2a— g J \ Xx-t-gJ \ 4*—g/<br />
La loi progreflive qu'obfervent ces fadeurs eft alTez fimple<br />
Sc uniforme. Et ces dernieres expreflions redonneront, par le<br />
moyen de la multipiication, celles que nous avons trouvees<br />
dans l'article précedent.<br />
CHAPITRE X.<br />
De l'ufage des Facleurs trouvés ci - dejfus 3 pour<br />
la fommation de Series infinies.<br />
165. Si i 4 - i { + S f + C f +<br />
Dr< 4- &C. eü<br />
( i + ^ ) ( I + C í ) ( I + H ) ( I + ' J ) &C; ces facteurs,<br />
quel qu'en foit le nombre fini ou infini, étant multipliés<br />
les uns par les autres, doivent redonner la fuite<br />
1 + ^ + Bf 4- Cr 1 4- Di* 4- Scc. Le coéfficient A<br />
fera donc égal a la fomme de toutes les quantités « 4- £ 4-<br />
74.^4-1 4- Scc. Pour le coéfficient B, il fera égal a la<br />
TOUR LA SOMMATION DE SERIES INFINIES. 127<br />
fomme des produits des mémes quantités prifes deux a. deux j<br />
c'eft-á-dire, qu'on aura B = *G -+• a.y -+- atr -f-c>-+- %g<br />
4- yS -+- Scc, Se en égalant le coéfficient Cá la fomme<br />
de§ produits de toutes les lettres prifes trois á trois , on<br />
aura C =• «Cy 4- a £ ^ 4- C >
I<br />
128 DE L'USAGE DES FACTEÜRS TROUVÉS CI-DESSUS,<br />
Avec un peu d'attention on appercevra fans peine la vérité<br />
(u) de ces formules; au refte elle fera rigoureufement démontrée<br />
dans le calcul diíTérentiel.<br />
X — *<br />
167. Ayant trouve ci-deíTus e "— =x{* -+• 77^ •+• 1>a#3-4 5<br />
+ rx^r7-^ = (^H) (-";£) ('>*£)<br />
i^ j_ JÜLA Scc. Soit xx ==«?, alors 1 4- -~ ^ -4-<br />
\ ibxxj v 1.2.J<br />
¡xt-ií- , Tiibí ,+iC£ --{ ,+ '£K ,+ iOC ,+ iO<br />
f i4-^>í") (i-r- — K^ &c i en appliquant donc a ce cas<br />
la regle precedente , nous troüverons A = -y; 5 =<br />
4L; C s= —; D B= -¿g- Scc. Suppofons donc . . .<br />
i 3 = 1+ ~ +7 * & * £* i + &c '<br />
Q^ x j-^^j.¿j-_L_+-_l-.4-Scc.<br />
jR<br />
36 a<br />
4* ' 9<br />
i<br />
^^ 4' 9' 16» **' l6«<br />
1 ' *6<br />
1<br />
4- '<br />
4» T"T 91<br />
j-i.j-i.j--L4-J--1--L.4- Scc.<br />
5 BS 1 4- -t 4- A 4- 4; -4- -^ •+• 77; -*- &c.<br />
4» 9* ' 16* 25' 25* 36*<br />
1<br />
^'+í+í 9' + " 16» ¿ ' + 25* ¿ Scc.<br />
' 36»<br />
Scc.<br />
En déterminant les valeurs de ces lettres par celles des<br />
lettres A, B, C, D, Scc. nous troüverons<br />
P • JLZ<br />
r 6<br />
X*<br />
POUR LA SOMMATION CE SERIES INFINIES.<br />
R =<br />
S<br />
aaaaaaaaaflaaaaaaaai<br />
94?<br />
x><br />
9450<br />
T<br />
935Ü5<br />
Scc.<br />
168. II fuit donc de-la qu'on peut avoir, au moyen de la<br />
demi-circonférence * la fomme de toutes les feries infinies<br />
comprifes dans cette formule genérale 14-~ 4- -¿ 4- ~ 4- Scc.<br />
toutes Jes fois que n fera un nombre pair; car la fomme de<br />
cette ferie aura toujours un rapport rationnel avec 77". Au<br />
refte, pour faire mieux connoitre la valeur de ces fuites,<br />
fajouterai ici plufieurs fommes de ees fortes de feries exprimées<br />
d'une maniere plus commode.<br />
1 4-^4-^4-^4- --4- Scc. = -^- i.^'-<br />
2 3 4 5 2 1. 2. 3 1<br />
1 +¿ + 7. + i + íi + te =ixib !••-•<br />
1 H-¿+f.-4- J"-*^ tov<br />
1 ^¿^^-+-^ + ^4- SCC.<br />
i.2.3....9 j<br />
2 8<br />
1.2.3....n 3<br />
i.*!<br />
2 3 4 5 1.2.3....13 105<br />
!»«•<br />
1 ±T¡k±ft+^jí*' &c. B=-£_M..*<br />
1 4-<br />
3'<br />
1<br />
&+?.+?.+ ?& & c - -ní^i<br />
1,617 K 16<br />
3'° " 4" " 5<br />
X....17 15<br />
I I I<br />
, J--L j-_i_ J-J_J.J_J- &c.<br />
2'<br />
==__f , l_438l7w,s<br />
2" 1222277 ia<br />
: . ÍI<br />
EULER, Introducción a l'Anal, infin. Tome I..<br />
R<br />
129<br />
I
R<br />
130 DE L'USACE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,<br />
1<br />
I •. 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3 'B+£+£•* «*• -rézt,<br />
1 +¿+¿+¿+7^+ &c -<br />
854513 w».<br />
3<br />
11818204^ „«4<br />
2'+ 7^9779 2 77ra«<br />
j». 1.2.3....27 1<br />
J'exoliquerai ailleurs Tartifice , au moyen duquel on a pu<br />
J expiiquerai ^ d ¿ ¿'avance, parce que<br />
arriver a ees léiultats. Je les ai a r e<br />
la ferie des fractions 1,7, 7, 7» »» '°" ' ' n . /<br />
(*) rrb-irréguKere au premier afped, eft d'un tres-grand ufage<br />
dans beaucoup doccaíions.<br />
i 69 .Traitons de la méme maniete l'équation donnée (att. 157);<br />
1 e'-±-'~* x _L- XX<br />
nous avions trouve -— * -*- —<br />
x* * s<br />
1.2.3.4 1.2-3-4-5- 6<br />
*c.=(i-^) (**«) (5+á£D &*áE)*<br />
Suppofant donc x* = ~¿, nous aurons 1 >*> —7. "*1<br />
fx J- i- ¿A &c; SC faifant l'application de la regle precedente,<br />
nous troüverons A = 7^; 5 => I#1.3.4.4«' = = 1TI3...6.4»» e *<br />
Done, fi nous fuppofons .<br />
1 4-<br />
R BS i 4-<br />
9<br />
1<br />
i 1<br />
1<br />
1<br />
"49"<br />
49 1<br />
Scc.<br />
1<br />
1<br />
_L- - - 4- -ñ-r •+• &C.<br />
25' 49' 8l<br />
5 ^ x j.jLj-_i_j-_l-4-^-r4-SCC.<br />
9* 25+ 49* «i*<br />
Scc.<br />
POUR LA SOMMATION DE SERIES INFINIES. 131<br />
Nous obtiendrons pour P3 Q, R s S 3 Scc. les valeurs<br />
fuivantes:<br />
p — _L £.<br />
*L -~ I # 2> '<br />
l6 1.2.3.4.5 X' *<br />
i?—<br />
7* _ 7936 «•'•.<br />
1.2.3 9* a " '<br />
JTT 22368256 »r'*<br />
W =s 1 , —-•<br />
I.2.3..... 13 2 IS<br />
^ 1.2.} * 2' '<br />
c 2 7 2 ** .<br />
1.2.3....7 2» '<br />
y _„ 35379^<br />
1.2.3.....íi* 2"<br />
170. Les mémes fommes des puiíTances des nombres<br />
impairs peuvent fe déduire des fommes precedentes, dans<br />
lefquelles fe trouvent tous les nombres. En effet, fi<br />
^ = a I + -„+ -„ + -„ + -, 4- Scc. en multipliant tout<br />
par ~, on aura - = ¿ 4- j„ 4- - 4- ¿ 4- Scc, ferie, qui<br />
ne contient que les nombres pairs, Sc qui fouftraite de la<br />
premiere, donnera pour refte tous les nombres impairs;<br />
ainfi on aura M — —n=* ^-¿r^' M B I + -,+-J-, + Í + Í<br />
-^ 4- Scc. Mais fi on fouftrait de M la ferie — prife deux<br />
fois, les fignes feront alternativement pofitifs Sc négatifs,<br />
SconauraM— — MÍIZÍZI. Af=i— - 4- -k — i 4*<br />
.«— I<br />
X ) 1<br />
\ «— -^ 4- Scc. On pourra donc, au moyen des principes<br />
expofés ci-delTus, fommer ces feries<br />
IJ-JL H-JL + Í_J-IJ- +.¿± Scc.<br />
2» 3° -^ 4" J* — 6" 7-<br />
I 4--4- — 4---4-- 4- — 4- Scc<br />
3" 5 a 7" 9 o ii"<br />
pourvu que /z foit un nombre pair; Sc la fomme ferass^w ,<br />
A étant un nombre rationnel.<br />
171. Les expreflions trouvees (art. 164) fourniront auífi<br />
R ij<br />
•<br />
•
. i<br />
t<br />
l i<br />
132 DEL'USAGE DESFACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,<br />
des feries également rcmarquables. Car, puifque cof\ v 4-<br />
Mg.igfin.i^C'-*-^) (—^)0 + J^=¡)to.<br />
fi nous fuppofons v = ^irScgr=-ir,nous aurons (i + ~ J<br />
(«-.-£) 0 + ^) Cl'-¡£¿) t*'+iil=)<br />
t(. ü_ _ _ ? • _ ¿4, M^. - H- -^57. -+- &c. Cette<br />
zan S' in 2.41* 2.4.6/i' o 2/1 2.4.6.8/1+<br />
expreflion infinie comparée avec celle de l'art. 165 don<br />
nera ces valeurs - ci : A = -¿ tang. -^; B = — —> ><br />
B-i m x j-. w * . F *' •><br />
C = — 2^6^ ' ^ TÜ > U —2T4- 6.8.»*» ^ ~" 2.4.6.8.10.»'<br />
' ' ^ 17 &C ' maÍS al ° rS * = n~^Tm i e = — ^+T«' * = 37-^'<br />
í s<br />
•><br />
3 /z -4- m<br />
•<br />
J»-<br />
;;? = - jn-t-m<br />
SCC.<br />
172. Ainfi, d'aprés la regle donnée (art. 166) nous obtiendrons<br />
les feries fuivantes.<br />
4-<br />
„__m ' ' «4-nz 3/2—/« 3/2-4-/72 . 5/2—m 5/1-t-<br />
-4-&c.<br />
n 1 . _JL_4._J_4._J_- + - 4- - +&c;<br />
Y~ ¡n-m) 1 (a-t-my (xn-my (xn+m)* (¡n-m)* 0+»)*<br />
¿2-<br />
1 1<br />
-4<br />
1 * *<br />
(«_-«)«"""(/j-t-m)' (3"— m )] (3"— m ) ! (5"-+-" J )<br />
5-*-^ (n-m)* (n-r-m)* (%n-m)* (}«4-l»)* (5 n - ffi ) 4<br />
r= («—'»»)> (in-in)' (3/2—//-•)' (^-ir"»)'<br />
^ ,<br />
(>' -'»)<br />
_r I I j 1 1<br />
;--+-T :—r„-f-<br />
* (n — m)* (n+my t>—»)' (3"H-«) 4 (?»—»)'<br />
&c.<br />
— &c.<br />
4- &e.<br />
POUR LA SOMMATfON DE SERIES INFINIES. 13 3<br />
Or en faifant tang. ^ =k, nous en conclurons, comme<br />
nous l'avons fait voir,<br />
. P<br />
1<br />
\fl<br />
I<br />
134 DE L'USAGE DES FACTEURS T'ROUVÉS CI-DESSUS ,<br />
formerons les feries fuivantes, Sc nous aflignetons leurs<br />
fommes.<br />
•i<br />
: n •+• ni 4/2 — ni<br />
G<br />
i i<br />
m* ~*~ (xn—m)-<br />
I<br />
~*~ (xn-hm)<br />
^^ 1<br />
1 "*" (4/2—/«)"•<br />
(2/2 — m)í (i/z-t-m) 1 4/2-t-M<br />
1<br />
(ift-fcii*)*<br />
1<br />
(4/2-/72)' ' (4/2-+-"!)'<br />
1 1<br />
I<br />
^ ~~ m* ~*~ (xn—iny ~*~ (xnt-my "*" (4/2—«)+ "*~ (4/2 + /")+<br />
— Scc.<br />
4- Scc.<br />
— Scc.<br />
j . _ J_ 1 1 1 . * o,<br />
' " mi '" (xn— m)i (2/2-+-m)í (4/2—m)S (4»+'») i<br />
Scc.<br />
Or ces fommes Pt Q, R, S Scc. fe trouveront de la maniere<br />
qui fuit.<br />
P= A == —t<br />
C (*¿4-l)a-a-<br />
—<br />
4nnkk<br />
/? — (**+*)»'<br />
f* "' 8/2'*'<br />
T — (2¿ 4 -4- 5 **4-3) «-'<br />
•* — 96/2'*'<br />
IX<br />
xnk<br />
— ( a -+- a **)' T *<br />
2.4. n l k 1<br />
_ (6-t-6kk)x><br />
2.4.6/2'A*<br />
_ (24-4-32*^4-8^)»-*<br />
8=5 2. 4. 6. 8 w* A*<br />
(l lO -4- 20O X ¿ -h 80 *" ) a-* -<br />
2. 4. 6. 8. IO /2 ! k ¡<br />
j / - _ (2 A* 4-17** 4-30**4-15)** B3 (7ao + i44Q**-l- 8l6 * 4 -t-9 6 *')' r *<br />
' S=S 960 n* A' 2. 4. 6. 8. 10. 12. 72 a A 4<br />
SCC<br />
175. Ces feries genérales méritent que nous prenions<br />
quelques cas particuliets, en déterminant en nombres le<br />
rapport de m a. n. Soit donc d'abord m = i Se n —= 2, k fera<br />
= tang. — = ¿«ng. 45 o = 1; Sc les deux dalles de feries<br />
deviendront les mémes; on aura donc . . . . . . .<br />
__ _ x _ _I_ .+- _ _-+-_!__ &c.<br />
4 3 5 7 9<br />
X X<br />
T J— J-<br />
3 1 ^ 5 l<br />
1<br />
Scc<br />
POUR- LA SOMMATION DE SERIES INFINIES. 13 )*<br />
32<br />
X*<br />
96<br />
1536<br />
x«<br />
960<br />
I<br />
t<br />
1<br />
1<br />
Scc.<br />
4-<br />
4-<br />
4-<br />
4-<br />
1 1<br />
1 4- '<br />
J4 7 +<br />
I I<br />
J_4- —<br />
5 S 7'<br />
4-<br />
4-<br />
4-<br />
4-<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
9 S<br />
— Scc.<br />
4- Scc.<br />
—- Scc.<br />
4- Scc.<br />
Nous avions deja trouve (art. 140) la premiere de ces feries.<br />
Parmi les autres celles qui ont des expofans pairs ont été<br />
calculées (arr. 169), Sc celles dans lefquelles les expofans<br />
font des nombres négatifs fe préfentent ici pour la premiere<br />
"fois. II n'y a donc point de doute qu'on ne puiíTe afligner au<br />
moyen de la valeur de w les fommes de toutes ces feries:<br />
__.4-_J<br />
3*4-' ~^ 5<br />
_.<br />
a 4-' 7"4- 1 9" 4-'<br />
Scc.<br />
176. Soit maintenant m = i,n= y, alors k = tang- ~ =q<br />
tang. 30°=—-^- , Sc les feries de l'art, 172 fe changeront en<br />
celles-ci :<br />
X<br />
* x<br />
*7<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
1<br />
10<br />
1<br />
1<br />
14<br />
1<br />
¡4*<br />
16<br />
I<br />
4- Scc.<br />
= ^- f -?" 4 -8^- + -7o-^^" í -i- +&e -<br />
__ I___j._ L4.J Lj- &c<br />
162V3 2" 4' ~^ 8' 10' _ i4 ! 16' -<br />
Scc. ou bien<br />
*7<br />
4*'<br />
lia/3<br />
1<br />
4<br />
- , +'f+Í'!-"?-t?'+ ^ &c '<br />
I r 4- -7 —<br />
SCC.<br />
—<br />
1 x<br />
4- Z7<br />
7'<br />
~<br />
1<br />
8'<br />
Scc.<br />
I
• i ; ><br />
«<br />
136 DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS ,<br />
Tous les nombres diviíibles .par trois manquent dans ees<br />
feries. Celles qui ont des dimenfions paires peuvent fe<br />
déduire des feries deja trouvees, en s'y prenant de cette<br />
mauiere: pmíque<br />
ÍT X<br />
6<br />
! ^-.L-í-i-j, i. -4.^-4- Scc, Sc que par conféquent<br />
= -i 4- -V. 4- 14- -,i 4- SCC =<br />
3» 6- O 1 6.9 3 12*<br />
1 ' 6 l * 9 1 • 12 1 " 54<br />
cette derniere ferie qui contient tous les nombres diviíibles<br />
par trois, étant fouftraite de la premiere, donnera pour<br />
refte rous les nombres non-diviíibles par trois: Sc partant<br />
if_= 1ZJL =_I-f-i-4-^4- ^4-p 4-Scc, comme<br />
nous veno 115 de le trouver.<br />
177. La méme hypothefe de m = 1, « == 3, Sc A = 77-><br />
appliquée a l'art. 174 fournira les fommations fuivantes:<br />
2Í/3<br />
iSv/j<br />
1 1 1 I<br />
I<br />
= i _JL-+-4.-.l.>f-_---_4- —-SCC.'<br />
7<br />
1<br />
— X-1-7T-H-<br />
7~<br />
1<br />
11<br />
1<br />
TI 7<br />
5» 7' 11»<br />
I<br />
'3<br />
1<br />
I<br />
~ff<br />
I<br />
W<br />
1<br />
7'"<br />
'3 5 '7'<br />
~*9~<br />
1<br />
SCC<br />
" *9'<br />
4--V — SCC.<br />
Les dénominateurs de ces feries contiennent feulement les<br />
nombres impairs, excepté ceux qui font diviíibles par trois.<br />
Au refte, les dimenfions paires peuvent fe conclure de ce<br />
que nous connoilTons deja: car puifque nous avons<br />
i»i-i-_f-J^-l-.i»f.i. 4-Scc, il s'enfuit que<br />
8<br />
X X<br />
8 -9<br />
t<br />
V 4-<br />
1<br />
9' 4-<br />
1<br />
M' 4-<br />
1<br />
X X<br />
4-SCC. —<br />
J<br />
21 •}%<br />
ferie, qui contient tous les nombres impairs diviíibles par<br />
trois, Sc qui étant fouftraite de la fupérieure, donnera pour<br />
refte la fuite des quarrés des nombres impairs non-divifibles<br />
par trois ; favoir<br />
5T 7T<br />
= 14-^4-^4-^4--^ Scc.<br />
178.<br />
19'<br />
POUR LA SOMMtVTION DE SERIES INFINIES. f37<br />
178. Si on ajoute, ou fi on fouftrait l'une de l'autre les<br />
feries trouvees (art. 172 Sc 174), on en obtiendra d'auttes<br />
également remarquables ; favoir... -<br />
* » . . « • 1 1 1 1 . .1<br />
2/2 xnk<br />
m 2/2-/72 zn-t-m<br />
mx<br />
„c._^-lcr:<br />
xnk<br />
or k = tang. 5£ = fin.<br />
cof<br />
xn<br />
Se 1 4- k k<br />
Done -~TTL = z fin. — coi.— = fin. —, Cette valeur<br />
1 -t- Kk J !«• J 2(2 J n '<br />
étant fubftituée, nous aurons .<br />
* 1 1 1 1 1 1 1<br />
- =<br />
r mx<br />
n fin. —<br />
m<br />
(-n<br />
— m<br />
_.<br />
n-i-m xn—m<br />
1<br />
xn+m<br />
1 i<br />
xn — m<br />
i<br />
xn-i-m<br />
J<br />
n<br />
— Scc. On aura femblablement 1 par la fouftra&ion<br />
—- -4-<br />
xnk " x xn kx (1—AA) xnk x<br />
i ,<br />
m<br />
xn —m 2/2 4-"»<br />
1<br />
0. ,-« 2 A mx m m: x<br />
n — m<br />
xk<br />
-— 4- -—; Scc. Ur — —T7 = tang. z. — == tang. —<br />
3/2—m xn-j-m i—AA o 2n b n<br />
fin. __<br />
= r mx' Done .<br />
CO/.. r<br />
J n<br />
ir. COÍ. m ¿<br />
f" rri TÍ "* '* ~<br />
j —ir<br />
— «* '* -y- *'•<br />
1-<br />
4<br />
zn—m 2/24-7/2 3/2—m •l-Scc.<br />
n. fin. —•<br />
J n<br />
Les feries des quarrés Sc des autres puiflances plus élevées<br />
de ces termes fe trouveront plus facilement par le calcul<br />
diíferentiel.<br />
179. Comme nous avons deja traite les cas oü m =s r,<br />
Sc n — 2 ou 3; fuppofons á préfent m = 1, Sc n = 4,<br />
alors fin. —• = fin. — —> —r Sc coi. •-== -.-• Donc . . .<br />
» •* n J 4 - yjx J 4 1/2<br />
x , t I I I . I I I 1 o. «•<br />
—_ == 1-4-<br />
J J<br />
V I 3 . I í<br />
1<br />
7 I . ' 9 I<br />
1<br />
" '3 »5<br />
h Scc. SC<br />
1 , l X - = 1 \--<br />
1<br />
h<br />
Qr„<br />
Scc.<br />
3 5 7 9 " '3 'T<br />
EULER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. S<br />
i<br />
íl<br />
:: 1
I<br />
138 DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,<br />
Soit m «a 1, Sc n = 8, on aura 2Z. = !L, Sc _/&?. £<br />
Ainfi<br />
__JÍ =_I^._L__.J.___-4.i-4--— &c.<br />
4Vt>-V r ») 7 9 M i7 a 3<br />
'. e_I__i.j_-L--L4----4-Scc.<br />
8(y/2 — 1) 7 9 J S «7 a 3<br />
„ n i 272 a 3 a"<br />
Soit maintenant m — 3 , Sc « = 8; dans ce cas — = -g-,<br />
fcA ¥ -' (v + 17O * ** ^ "*(T-íjs) « **<br />
C( ?/- 8 - —- —-— ; ce qui donnera les feries<br />
• 3 V a -t- 1 ' ^<br />
4v'(*4-v / 2)<br />
*<br />
1<br />
11<br />
1<br />
T" 4 -.-<br />
I<br />
«3<br />
1<br />
1<br />
»9<br />
1<br />
19'<br />
21<br />
1<br />
- a-<br />
8<br />
Scc.<br />
«Cv^tO 3 ;<br />
21<br />
l \ n<br />
180. En combinant ces téries, on trouvera:<br />
V(2 -v ya) __.___.4-L-_-JL —i— •L+IJ.I^.&C-<br />
rV(J-__ll— _<br />
4 3<br />
^4+V*____] _ , +l _.<br />
8 3<br />
li_4¿^y_____3=j _. _ 4-<br />
' 8 3<br />
»[Va-4-i-t-V(4-^V^)?_T . ' +<br />
; 8 3<br />
«[V_____-»^¿)l_t ¡<br />
• 8 *= , - 3-<br />
^3 3 5 7<br />
11 9 11 13 15 17 19<br />
I<br />
On peut aller plus loin, en fuivant un femblable ptocédé Sc<br />
faifant h _ it» SC /n = 1 ou 3 ou 5 ou 7. On tiouvera de<br />
1<br />
7<br />
1<br />
7<br />
1<br />
7<br />
1<br />
7<br />
1<br />
7<br />
1<br />
—»-.<br />
9 "<br />
1<br />
7<br />
1<br />
y<br />
1<br />
7<br />
1<br />
'7<br />
11<br />
1<br />
11<br />
1<br />
11<br />
1<br />
11<br />
1<br />
13<br />
1<br />
1<br />
«3<br />
1<br />
'3<br />
1<br />
"ñ<br />
1<br />
17<br />
1<br />
•7<br />
1<br />
'7<br />
1<br />
1<br />
Tf<br />
1<br />
19"<br />
1<br />
1<br />
&c.<br />
&c<br />
4-—4 K &c.<br />
15 17 19<br />
'5<br />
1<br />
>7<br />
1<br />
'9* &c.<br />
POUR LA SOMMATION DÉ S¿RIES INFINIES. 139<br />
cette maniere les fommes des feries r, —»—, JL, L &c><br />
dans lefquelles les variations des iignes 4- Sc — fuivroient<br />
d'autres loix.<br />
i8r. Si dans les feries trouvees (art. 178 ) 011 réunit deux<br />
termes en un feu'l; on aura -<br />
2/72 xm ^^ xm xm<br />
•—-p =« — —t— •—• -4- — .<br />
njin. ?_ m nn—mm 4nn—mm 9/272 —m« i6nn — mm<br />
Sc par conféquent<br />
nn — mm 4/2/2—mm ynn — mm<br />
Scc. =<br />
L'autre ferie donnera<br />
xmnjin. —<br />
71<br />
•&e.-<br />
2/72 2 7/2<br />
•» "• Z /7I<br />
n.tans.—TI nn — mm 4nn — mm 9/272 —mn~"~ ** c i &<br />
par conféquent<br />
—- h — 4 1 4- Scc ís —i- —-<br />
«/j —«172 4nn — mm ynn — mm xmm<br />
De la fomme de ces deux feries réfulte cdle-ci<br />
xmntang.— *-»<br />
n<br />
m<br />
x tang. — *<br />
D an<br />
i . í - . I<br />
• -4- ,. -4. • ;A, grr — _<br />
nn — mm ynn— mm «572/2— 7727» ' 47/2/»<br />
dans cette derniere ferie n =iySc m=szk, nombre pair<br />
quelconque; k caufe de tang. k -a = o, on aura toujours, i<br />
moins que A ne foit =B; o .><br />
í—7Ti"+• ;;—TFI "+" ,, ' n. •+* ' * ¿. 4-Scc. = o; mais, íi<br />
i —4*A 9—4AA 25—4AA 49—.4AA ' *<br />
dans cette ferie on fait n = z, Sc m , nombre impair quelconque<br />
sj z k 4- i; & caufe de —<br />
772 X<br />
tang. ==<br />
o, on aura<br />
! 4- ' o_ » . flr- -_ ' .<br />
4 — (2*4-1)* 16 — (2A4-i) 1 n ^36-(aA4-i) 1 ^ a(a*4-0»<br />
Sij<br />
Si<br />
J<br />
•i
• I<br />
I<br />
•<br />
14a DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,<br />
182. Multiplions les feries trouvees par nn; Sc foit- =/>;<br />
nous obtiendrons ces réfultats : . . . . . . • •<br />
4—PP 9 —PP<br />
1 1<br />
__ L.&C _, Z —.<br />
!Ó— pp^ ' xpfm.px ZPP<br />
1<br />
1 _ i<br />
Scc. x pp xptang.px<br />
T^pp " + ~4— PP~*~ 9 — pp" T 'i6— PP<br />
Soit pp = a Sc ces féties deviendront<br />
¿ ' • I * - - SCC. = T-^TTT « £?<br />
1 — 4 4 —a 9—a 16 — a<br />
xafm.x^a 2
•<br />
I •<br />
I<br />
a<br />
142 DES AUTRES EXERESSIONS INFINIES<br />
lefquelles étant décompofées en fadeurs fimples donnenr<br />
- mx mx fxn—m\ { xn + m\ f 4n — m\ { 4n-*-m\ /6n — m\ R^<br />
f ,n - —n == 7^\-Tn-)\-xir) V-^-A"^"A~67~J<br />
m v sn — m\(n + m\ fxn-m\ fxn-i-m\ (¡n-m\ /. -J- w = 7 9 on aura 7=7 6<br />
"6 " — 2 ' 2 2 5<br />
"7 " 11 "il* 17'19* 23<br />
Si on divifé la formule de Wallis par celle ou f =-- \ 9 on<br />
trouvera ^2<br />
a. 2. 6. 6. io. io. 14- i4- '8. 18. -<br />
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13- 15- »7« '9-<br />
DES A R C S ET DES SINUS. 143<br />
186. Comme la tangente d'un angle eft égale au quotient<br />
du íinus diviíe par le cofinus, on pourra exprimer auffi la<br />
valeur de la tangente par des facleurs infinis. Si l'on divifé la<br />
premiere expreflion du íinus par la feconde du cofinus, 011 aura<br />
tang. — = ¿*L {->»\ /xn+m^ /An^m^ /4nH-ms<br />
2/. n-m\n4-m J \-Kn-mJ K xn 4-/72 J \ j7-) & c »<br />
COt. mw = I—? f___\ / r ?__«N f 3"4-77¡\ • ,*-»*<br />
2/2 /// V*«-«/ \xn-¡-mJ \4n-m) K.4~n~^i) &CC '<br />
Semblablemen t pour les ficantes, Sc pour les cofécantes on aura<br />
coféc. — = IL ( " .•) ( 3" \ /___JV Aj» \ /___\ -<br />
2/2 772 \xn-mj \xn + mj \4n-mJ W'-hW U7=M/ &c '<br />
Mais fi l'on combine les autres expreflions des finus Sc des<br />
cofinus, on trouvera<br />
tang<br />
cot.<br />
fée.<br />
772 a<br />
2/2<br />
772 a-<br />
xn<br />
m x<br />
xn<br />
M mx 2<br />
cofec. — B= —<br />
J<br />
xn 3-<br />
1 (xnín<br />
— m) ^ 3(872 4-77/) > yfan—mj -<br />
72—772 2(/24- 772) 2(3/1—772) "4(3724-7/2) * *<br />
n — m . 1 (" -4- w) , 3(3/1—772) ^ 3(3/24-/72)<br />
772<br />
2(272-/72) 2(2/24-/72) '4(4/2 — 772) ' K C '<br />
72 272<br />
72 — 7»<br />
B<br />
772<br />
72 4- nt<br />
xn<br />
xn — 772<br />
4<br />
372 — 7/2 3/24-772 5/2 — * m SCC.<br />
xn 4 n 4"<br />
272 -771 -772 Scc.<br />
4/1 — 777. 4/2-<br />
187. Si on écrir k au lieu de m3 Se qu'on determine d'une<br />
maniere femblable le finus Sc le cofinus de J'angle —, Sc<br />
qu'enfuite on divifé par ces dernieres expreflions les premieres<br />
, on obtiendra les formules : • r<br />
fin. —•<br />
M 'i<br />
72<br />
mx<br />
fin. —<br />
cof<br />
2 72<br />
X<br />
2/2<br />
772<br />
X<br />
m<br />
u~^k<br />
xn— m 14-/72 4/2 — m 4/24-/22<br />
- . * * _<br />
2/2 — k 2724-A 4/2 — k 4/2 4- k<br />
xn- 477 — 772 4724-«<br />
372 —A 3/2 4- k 5/2 — k<br />
SCC.<br />
Scc.
H<br />
1<br />
a<br />
_<br />
T44<br />
///ir<br />
2/2<br />
/. kx<br />
COf.<br />
J<br />
xn<br />
mx<br />
DES AUTRES EXERESSIONS INEINIES<br />
— ViT^A/ \»4-*y \3« — */ V3»-«-v M» — */<br />
cof. zn /P — m\ fn + m\ /xn — m\ Sxn + m\ />¡n — m\ ^<br />
fin.<br />
xn<br />
= \~T~J \lT=k) \zn + k) \4n — kJ \4n-k-k}<br />
Ayant donc ptis pour ~ un angle, dont le finus Sc le<br />
cofinus foient donnés, on pourra au moyen de ceux-ci<br />
determiner le finus Sc le cofinus de tout autre angle £J<br />
1S8. Donc réciproquement on peut aífigner les vraies<br />
valeurs de ces fortes d'expreflions, qui font compofées<br />
d'une infinité de fadeurs au moyen de la circonférence du<br />
cercle, ou au moyen dea finus Sc des cofinus d'angles<br />
donnés; ce qui ne laifle pas d'étre d'une grande importance,<br />
puifque jufqu'a préfent il, n'y a point d'autres méthodes ,<br />
qui puiíTent donner les valeurs de ces fortes de produits.<br />
Au refte, de teiles expreflions ne peuvent euere fervir a<br />
obtenir par approximation les valeurs, foit de ir, foit des<br />
finus 8c des cofinus des angles -£• En effet , quoiqu'on<br />
pdt fans dificulté multipliez entr'eux ees fadeurs \ —<br />
I ( I -F)( I -"^.)( I -4Í) & C ' en em P lo y ant Ies<br />
fradions decimales, il faudroit cependant prendre un trop<br />
arand nombre de. termes pour en conclure la valeur exade<br />
de ir feulement á la dixieme figure décimale prés.<br />
189. Le principal uíage de ces expreflions, quoique infinies<br />
, confifte dans la recherche des logarithmes; en quoi<br />
les fadeurs font fi útiles, que fans eux le calcul des logarithmes<br />
feroit tres - difficile. En effet , puifque ir =<br />
4( I -^)( I -¿)( I -4 L 9) &C ' 0namaenprenantleS<br />
N *• logarithmes<br />
DES A R C S ET DES S I N U S . 145<br />
logatithmes/W = /44-/(r —|)4-/(i—^-)-t-/(i—^)4-i<br />
„c,ou/, = / 2-/( I-l)-/( I-i- 6)-/(i-l)^<br />
Scc. quelques foient les logarithmes, tabulaires, ou hyperboliques.<br />
Mais, comme il eft aifé de conclure les logarithmes<br />
ordinaires des logarithmes hyperboliques, on pourra employer<br />
un moyen trés-expéditif d'obtenir le logarithme hyperbolique<br />
de ir.<br />
190. Puis done qu'en prenant les logarithmes hyperboliques,<br />
011 a l(i—x) — — x — — — Scc. Si nous<br />
développons chaqué terme de cette maniere, nous aurons<br />
¿ir =/4 s<br />
l<br />
I I I<br />
9 2 - 9' 3- 9'<br />
1 1 i<br />
25 2.25' 3.25»<br />
1 1 1<br />
49 -49 1 3-49 !<br />
Sec.<br />
—<br />
1<br />
4. 9*<br />
Scc.<br />
1<br />
4.2,5'<br />
Scc<br />
.. ._, ^_c,<br />
4-49*<br />
Dans ce nombre infini de feries, les termes pris en defceildant<br />
verticalemeht forment eux-mémes des feries, dont<br />
nous avons deja afligné les fommes; c'eft pourquoi, fi pour<br />
abréger, nous fuppofons „<br />
B _, , ^ L 4- 1 4- 1 4- 1 4- SCC.<br />
C = 1 4- p 4- ± 4- js 4- p 4- SCC.<br />
_. = , + í.• + i -H 1 4- 1 4- Scc<br />
Nous aurons U= l\ — (A — 1) — \ (B — 1) — f (C— 1)<br />
-_ ± (D — 1) — Scc.<br />
Eu LER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. T<br />
m<br />
I<br />
I
W. w<br />
I<br />
I'.(ti<br />
I<br />
1<br />
y<br />
ti<br />
1<br />
T4
•<br />
n<br />
ir<br />
I<br />
I48?fDES AUTRES EXPRESSIONS INFINIES<br />
i<br />
ó" 1<br />
i<br />
4-^-4- lai<br />
i<br />
6+<br />
i i<br />
i ^ I + -L 4.-L + Scc.Y<br />
6* ^ 8« ^ io a 12 a te "Ll=sz¿mrz.l(1n<br />
J ' xn<br />
/ ,<br />
«2 771 /I<br />
— m)-hl(zn-i-m)<br />
••• ^ ^<br />
— 3ln + lir—l^<br />
I<br />
a^M_BB_»i_B Scc).<br />
Tí*<br />
r*ñT \4*<br />
-fi.<br />
i<br />
12 +<br />
4- Scc.\<br />
n* W<br />
^1 ( -<br />
,n<br />
I<br />
10<br />
i2*<br />
^ y<br />
I<br />
I<br />
- 4- Scc.\<br />
To»<br />
s \4'<br />
4 72» \ 4 8 6 " 8?<br />
SCC.<br />
12* /<br />
l¿0r ÜLZ. —l(n~m) -{~l(n-hm).— 2//s<br />
- S (? * ? * ¿ + ? * * & )<br />
_JüL(±4--4-^4--íH- &c.)<br />
_. JüL (L -H 1 4- 1 4- -, •+• SCC.)<br />
~ 4/2» M« 5' ^ 7* 9« /<br />
Scc.<br />
On vient de donner (190) les fommes des dernieres feries;;<br />
(r) on pourroit en déduire les premieres ; mais pour en faciliterr<br />
l'ufage, j'ajouterai pareillement ici leurs fommes.<br />
193. Soie.nt donc pour abréger.<br />
y<br />
|*|í &c.<br />
r<br />
4*<br />
6? "' 8<br />
-LJ--4--4-J--4-SCC.<br />
8'<br />
¡v*$<br />
- 1<br />
— .— i<br />
4«<br />
SCC.<br />
1<br />
6*<br />
1<br />
i<br />
8*<br />
1<br />
Scc.<br />
Scc.<br />
D E S A R C S ET D E S S I N U S . 149<br />
Les fommes approchées au moyen des decimales feront;<br />
« = o, 41123351671205660911810 -<br />
C = o, 06764520210694613696975<br />
y = o, 01589598534350701780804<br />
l = o, 00392117717264811007570<br />
« = o, 00097753376477325984898<br />
£ = o, 00014420070472492872274<br />
» B= O, OOOO6IO38894539493329I5<br />
8=0, OOOOÍ5259O2225I27269977<br />
, = o, 00000381471182744318008<br />
* = o, 00000095367522617534053<br />
A = O, OOOOOO23841863595159154<br />
I» = o, 0000000596046483283155.5<br />
C B= O, OOOOOOOI490Il6r4l5898l3<br />
1=0, 00000000372529031233986<br />
• =s O, OOOOOOOOO93131257548284 -<br />
ir =B= O, OO0ÓOO0O023 283064370807<br />
p = o, 00000000005820766091685<br />
r =s= O, OOOOOOOOÓOI455 191 511858<br />
T B O, OOO0O00OO003637978807IO'<br />
v = o, 00000000000090949470177<br />
m<br />
i<br />
1<br />
i<br />
I<br />
f !<br />
H<br />
150 DES AUTRES EXPRESSIONS INFINIES<br />
/ Coi. ^- = / (n — m) •+• l (n -i- m) —- z l n<br />
J xn v ' '<br />
_ ¡_L (J4 - 1) - -=1 (B - 1) - -*£ (C~ 1) -Scc.<br />
72/2 V ' 2 /2 + V ' 3 /2* V '<br />
Ainfi, les logarithmes ¿w Sc /8 étant donnés, on aura<br />
. le logarithme hyperbolique du finus de l'angle — 90 o =<br />
lm-\-l(zn — m) 4- l(z,n 4- m) — yin „<br />
— o, 93471165583043575410<br />
— • o, 16123351671205660911<br />
72*<br />
772-»<br />
-YT' °» 00257260105347306848<br />
m s<br />
72"<br />
772»<br />
72»<br />
m"<br />
72 l °<br />
772»<br />
772 1 *]<br />
71" +<br />
772'*<br />
71*<br />
77I 1 *<br />
72 : *<br />
• o, 000090-32844783567260<br />
• o, 00000398179316^205501<br />
• o, 00000019415195465196<br />
• o, 00000001001328748S12<br />
• o, 00000000053404135.61,8<br />
• o, 00000000002914859658<br />
• o, 00000000000161797979<br />
• o, 00000000000009097690<br />
• o, 00000000000000516817<br />
o, 00000000000000029607<br />
— —T7~* °» OOOOOOOOOOOOOOOOI708<br />
7/1 IÍ<br />
— •—— • o, .00000000000000000099<br />
772»'<br />
—- - ..-• o, 90000000000000000005<br />
D E S A R C S E T DES S I N TJ S. iyY<br />
Et le logarithme hyperbolique du cofinus de l'angle* «^o-,<br />
l(n — m)-i- Í(n-+-m) — zln *<br />
m'<br />
—* - ¿ - ' °> »337°°yJ01-3616982735<br />
772»<br />
^-" °> °°73390i58o>o96o27i7<br />
— * o, 00048235888031404063<br />
72'<br />
772 10<br />
72'°<br />
772"<br />
«"<br />
772-4<br />
72'4<br />
m' S<br />
72 ,S<br />
o, 00003879475632402982<br />
o, 000003408272608516510<br />
o, ©©000031430809718659<br />
o, 00000002989150274450<br />
o, 00000000290464467239<br />
tt'l o, 00000000028682639518<br />
772-- m*'<br />
-¿r-r* o, 00000000002868076974<br />
— -¿n- • °j 00000000000289697956<br />
772"+<br />
'n¿r* °> 000 °oooooooo295o6o24<br />
72"<br />
7I'«<br />
o, 00000000000003026249<br />
o, 00000000000000312232<br />
-jj57-' °> 00000000000000032379<br />
8*3'<br />
o. 00000000000000003373<br />
72> l<br />
77/S4<br />
o, 00000000000000000352-<br />
772'"<br />
~TT * 0> 'OOOOOOOOOOOOOOOOOO37<br />
7/2'»<br />
~—^T ' °i OOOOOOOOOOOOOOOOOOO4<br />
195. En multipliant ces logarithmes hyperboliques des<br />
I<br />
I<br />
I<br />
I<br />
l 1<br />
I
152 DES AUTRES EXPRESSIONS INFINIES<br />
finus Sc des cofinus, par 0,4342944815) &c, on aura leurs<br />
logarithmes ordinaires rapportés au rayón == 1 Mais comme<br />
dans les tables le logarithme du finus total eíl fuppoíe ordinairement<br />
== 10, pour avoir les logarithmes tabulaires des<br />
finus Sc des cofinus, il faut, aprés la multipiication, ajoutet 10.<br />
Ainfi le logarithme tabulaire du finus de l'angle - 90 o feta =s<br />
Lm-\-l(zn —m)-h-l(zn-\-m) — jlñ<br />
4- 9> 594 0 59 88 57 0il 9°<br />
~ . o, 070022S26605901<br />
— -^—. o, 001117266441661<br />
72+<br />
^— o, 000039229146453<br />
"i!_. o, 000001719270798<br />
— -—. o. 000000084361986<br />
72'° '<br />
ü£Lt o, 000000004348715-<br />
, OLL, O, 000000000231931<br />
__ üíL. o, 000000000012659<br />
72' 6<br />
._. —. o, 000000000000702<br />
TJ 18<br />
_ j_L, o, 000000000000039<br />
Et le logarithme tabulaite du cofinus de l'angle ~ 90 o -=a<br />
l(n--m)' J c*l(n-±-m)*—zln<br />
4- 10, 000000000000000<br />
o, 101494859341892<br />
772*<br />
~7?"<br />
772*<br />
o, 003187294065451<br />
DES ARCS ET DES<br />
772 o<br />
m*<br />
n><br />
«;°<br />
72'°<br />
772'*<br />
72'»<br />
772'*<br />
72' +<br />
772 ,lf<br />
n ,l¡<br />
m'~<br />
72' 1<br />
771»<br />
72<br />
m'*<br />
o, 000109485800017<br />
o, 000016848348597<br />
o, 000001480193986<br />
o, 000000136501272<br />
o, 000000012981715<br />
o.<br />
* O,<br />
OOOOOOOOI 261471<br />
0000000001245 67<br />
o, 000000000012456<br />
O,<br />
000000000001258<br />
— -r-« O, OOOOOOOOOOOOI28<br />
f_ —JJ-« O, OOOOOOOOOOOOOI3<br />
I N U S. *J3<br />
196. On peut donc, moyennant ces formules, calculer<br />
les logarithmes, foit hyperboliques, foit tabulaires des finus<br />
Sc des cofinus de tous les angles, fans connoitre les finus<br />
Sc les cofinus mémes. Or la connoiíTance des logarithmes<br />
des finus Se des cofinus donnera -par la foufrxa&ion feule<br />
ceux des tangentes Se des cotangentes, des fécantes Sc des<br />
cofécantes; ainfi, on n'aura point befoin pout ces dernieres<br />
de formules particuiieres. Au refte, il ne faut pas perdre<br />
de vue qu'on doit prendre les logarithmes hyperboliques<br />
des nombres m3 n, n — m3 n-\-m3 Scc, lorfqu'on cherche<br />
les logarithmes hyperboliques des finus Sc des cofinus , Se<br />
les logarithmes ordinaires des mémes nombres, lorfqu'il<br />
s'agit de trouver ceux-ci au moyen des dernieres formules.<br />
De plus m : n défigne le rapport de l'angle propofé a l'angle<br />
droit; ainfi, puifque les finus des angles plus grands qu'un<br />
EULER , Introduclion a (Anal, infin. Tome I. V<br />
I
w&<br />
i» • '<br />
•<br />
154 DES AUTRES EXPS-ESSIONS INFINIES<br />
demi-droit íont égaux aux cofiaus d'angles moindrcs , Sc<br />
réciproquement; il frnfuit que la fradion \ ne devra jamáis<br />
erre plus grande que \, Sc que par conféquent ees termes<br />
deviendront beaucoup plus convergents, de forte quil fumra<br />
pour notre objet d'en prendre la moma, _<br />
197 Donnons, avant de finir, une maniere de trouver<br />
les tangentes Se les fécantes, plus commode que celle que<br />
nous avons propofée dans le Chapitre précedent. Car,-quoique<br />
les tangentes Sc les fécantes fe determtnent par les finus<br />
Sc les cofinus; cependant cette détermination qui fe fait par<br />
la divifion devient trop péniblc pour de fi grands nombres.<br />
Nous avons deja donné, a la vérité (art. 136) les formules des<br />
tangentes Sc des cotangentes ; mais nous n avons pu en<br />
donner alors la démonftration que nous avons réfervee pour<br />
ce Chapitre. _ . r<br />
108. Tirons donc d'abord de l'art.181 Iexpreffion de la<br />
tangente de l'angle •—* Puifque ~<br />
• mm ynn — tnm 25 nn—mm<br />
" „ « m 4/"« / \1<br />
4- Scc. BB — • tang. --ir, on aura tang. — • w ¡ \nn-mn*<br />
- * 4/72/1 *^ *«<br />
Scc Y Enfui ite, comme<br />
1<br />
1"<br />
I<br />
• ir •i" 1<br />
t$6 Du DÉVELOPPEMENT RÉEL<br />
CHAPITRE XII.<br />
Du développement réel des Fonclions fraclionnaires.<br />
199. Nous avons deja donné dans le Chapirre fecond<br />
la méthode de décompofer une fonclion fraélionnaire<br />
quelconque , en autant de patties que le dénominateur<br />
renferme de facleurs fimples; car ceux-ci forment les<br />
dénominateurs de ces fraclions pattielles ; d'oii il fuit évidemment<br />
que, fi le dénominateut contient quelques facleurs<br />
íimples imaginaires, les fraólions qui en réfulteront feront<br />
auíli imaginaires: or, dans ce cas, il y aura peu d'avantage<br />
á décompofer la fraólion réelle en imaginaires. Mais,<br />
comme on a fait voir que toute fonclion entiere, relie que<br />
le dénominateut d'une fraólion quelconque, peut toujours,<br />
quelque foit le nombre de facleurs imaginaires qu'elle renferme<br />
, fe décompofer en facleurs réels doubles ou de deux<br />
dimenfions, on pourra par-lá évirer les quantités imaginaires<br />
dans la décompoíition des fraólions, en prenant pour les<br />
dénominateurs des fraólions partielles, non pas les facleurs<br />
fimple's du dénominateur principal, mais les facleurs réels'<br />
doubles.<br />
200. Soit donc propofée la fonólion fraclionnaire jr-, de<br />
laquelle on extraira , fuivant la méthode donnée auparavant,<br />
autant de fraólions íimples, que le dénominateur N renferme<br />
de facleurs fimples réels; mais, au lieu de facleurs<br />
imaginaires, prenons cette expreflion pp — zpq^.cof p<br />
"+"*7 1W\-> P oul " facleur de N, Sc comme il faut avoir ici le<br />
numérateur Sc le dénominateur fous une forme développée,<br />
foit propofée la fraólion<br />
A 4- B\ -+- C? -+- D? 4- £{* -f- &c.<br />
ÍPP — zpii-wj-f-t-llil) («-t-^-t-y-.í-t-^'-l- &c)'<br />
DES FONCTIONS F R A C T I O NN A IR E S. Í57<br />
Sc fuppofons la fraólion partidle que fournit le dénominateur<br />
pp — zp q ^cofi
1<br />
• I<br />
^M<br />
.1<br />
I5? DU DÉVELOPPEMENT RÉEL<br />
Soit pour abréger le calcul,<br />
„4- Bfcofiv-t-Cffcofizt+Dpcofi}? 4-Scc. = í><br />
Bffin.,?>+-Cfffin.zv + Df } fin.}
Il<br />
I<br />
I<br />
1<br />
•<br />
I<br />
l6o Du DÉVEL OPPEMENT REEL<br />
r f X , f. XX<br />
Q = +y1fin.--irfm.—<br />
R = — cof. — — Vz cof. — — cof. ^s¡o<br />
J 4 ^ 4 y 4<br />
R _••—J&r: - — >f* j&. — —fin. 2Z = ~ i \Sz<br />
•> 4 4 J 4<br />
D'aprés cela, on trouvera QR — c¿R = — ^Vz; A = L^l- r ,<br />
Sc A =s- o; par conféquent le faóleur i 4- -¿ yz + rr du<br />
dénominateur donnera la fraólion partidle >* 2 — O • a _•.<br />
pareillement l'autre faóleur donnera celle-ci : - • **"/ , «<br />
r i — *;•/» 4-«<br />
Ainfi, la fonólion propofée d'abord; ^4-r -. fe réfoud<br />
c c\ • — x . ( ,
••_•<br />
I<br />
r í<br />
W-<br />
H<br />
l6z DU DÉVELOPPEMENT RÉEL<br />
^ 8 i , i t 64<br />
8 _; . _L __ 34V / ><br />
Q — 5V3V3 3 ' Vi 45<br />
ViVa 5-3* 3 ' ~3vV "".3V3 -35<br />
1 y/i S_ *Vx._ J_ 3£L ; ¡_¡ 9 8 ^*<br />
*" ^ 7Í*%3 J-3*'~3 3^3* 3/3 *35<br />
Done QR — QR S= — ^ p , Sc partant . 4<br />
a ICO __ * A __ _5.<br />
A 712 "178' A ! 712 "" * I78*<br />
Ainfi la fradion propofée { l_^¿l^\\ + m ) & décompbft<br />
/_„* , • 9(17—??): 178 , 5(54-270:178<br />
(aa) encesdeux-ci: ^ _ u ^ „ -*- x + H+m '<br />
204. Remarquons qu'on peut conclure des lettres Q Sc Q<br />
les valeurs des lettres R Sc R. En effet, puifque . . .<br />
Q = * 4- efeof. 9 -+- yf cof z 9 4- í/ 5 cof. 3 9 4- Scc.<br />
Q BS C/J£¿ «p 4- yf'fin. z 9 4- */* jí». 3 9 •+• & c i<br />
on aura «<br />
Q «/* -rr Qfin.z = *.cof.
•<br />
I<br />
a<br />
I J<br />
164 Dü DÉVELOPPEMENT REEL<br />
20¿. On voit au reíle par ce qui precede que cette réfolution<br />
ne peut réuílir, fi la fonclion Z renferme encoré le<br />
méme faóleur^ — z-pq^cofo -*- qq\\- En effet, aprés<br />
avoir fait, en ce cas, dans 1'équariorr M = AZ+ A Z -( la<br />
fubftitution f -=/" (cof n 9 _- j/"— 1 fin. n
M*.<br />
• :<br />
•<br />
1.1<br />
1<br />
I<br />
I<br />
I<br />
•<br />
tSS DU DÉVELOPPEMENT R¿EL<br />
r- M — (A-f-Ar)Z __ p. sr<br />
Soit enfuite ^3^,^7:7+??« "" '<br />
faifant f = ~ • «>/• a 9 , foit P = P,<br />
€t faifant f *=•£./«.«*, foit P = »;<br />
nous obtiendrons •<br />
B BS PN-HPN PN —PN # C0/.9<br />
N* H- N 1 N"- -+- N' * fin. 9<br />
— PN-f-PN _t*<br />
B "^ N* -+• V< * p-fin.
!£
J J i<br />
w<br />
\M<br />
m<br />
•<br />
i<br />
I<br />
•<br />
, 7 0 D E S S É R I E S _<br />
donnent les fraólions partielles, les coéfficiens de la. puiffance<br />
x n leur fomme donnera le coéfficient de la puiílance *.<br />
dans la 'ferie recurrente A 4- B K 4- C? 4- D ? 4- Scc. ^<br />
ii4 On pourroit ici former le doute, fi, dans le cas ou<br />
deux feries font égales entr'elles, lors, par exemple, que<br />
^4-_7+C7 I 4-2)í ! 4-Scc.==A4-B-í4-C*íM-D^-i:-Scc,<br />
il s'enfuit néceíTairement que les coéfhciens des puiíTances<br />
fcmblables foient égaux entr'eux, ou que A = A; B -<br />
B. (^_________ Q. J) _-. D; Scc. Mais ce doute diíparoitra bien-tb\,<br />
fi on fait- attention que cette égalité doit avoir lieu,<br />
quelque foit la valeur de la variable ( Soit done * = o ;<br />
Sors il clair que A •* A. Retranchant done de part &<br />
d'autre ces termes égaux, & div.fant 1 équation reliante<br />
par i; on aura B 4- CX 4- D f 4- Scc. sjB + q + D ^<br />
4- Scc; d'oii 5 = B, on fera voir pareillement que C ==<br />
C D ' = D, ainfi de fuite & l'infini.<br />
215. Confidérons donc les feries qui proviennent des<br />
- fradions partielles réfultantes de la decompofition d une<br />
fraólion quelconque: il eíl d'abord év.dent que la fracción<br />
_A_ donne la ferie A 4- Ap * 4- A f f 4- A p 1 tf<br />
4- Scc, dont le terme general eíl A / th car on acoutume<br />
dTappellet-cette exprefiion Terme general, la raifon quen<br />
mettant fucceflivement tous les nombres a la place de «^on<br />
a tous les termes de la ferie. Enfuite la fradion — ^<br />
donne la ferie A 4- z AFl<br />
4- 3 A/ < + 4 A/»' t'4-^Scc.<br />
¿Ont le terme general eft (* 4- i) Ap» f. Et la fraólion -J-JJJ<br />
donnera la ferie A 4- 3 A/» t-4- í A/ f+ ioA/^4- Scc,<br />
dont le terme general eíl íi±iHi±^ A ^ f. En general<br />
la fradion<br />
Íl___A/s*^<br />
1. a •* *<br />
fournit cette ferie A 4- kAp\<br />
(n-pt)*<br />
h.(k<br />
A/* 1 ¡j.' 4- Scc. dont le terme<br />
0J__O<br />
I. a. 3<br />
R E C U R R E N T E S .<br />
general eíl («4-0 («•*•») O+ 3) ^^^^A^r" La<br />
0 1. a. 3 (*— O " * *<br />
progrefiion de la ferie fait voir auífi que ce méme terme =<br />
' A / n f. Or cette exprefiion<br />
1. 2.<br />
eft égale á la premiere, comme il eíl facile de s'en convaincre<br />
en multipliant en croix. En effet, on aura<br />
I.2.3...77.(/-4~I)...(«4-Á:—1) =1.2.3...(/x—i)k...(k-hn— 1)<br />
équation identique.<br />
216. Ainfi toutes les fois que dans la réfolution des fonctions<br />
fradionnaires, 011 arrivera á des fradions partielles de<br />
. la forme , _ .k 9 on pourra aífigner le terme general de la<br />
ferie recurrente A 4-¿? •{ 4- Cf 4- D ¡j 5 4- Scc, qui réfulte<br />
de la decompofition de la fonclion; puifqu'il fera la fomme<br />
¿es termes généraux des feries, qui proviennent des fradions<br />
partielles.<br />
EXEMPLE I.<br />
Trouver le terme general de la ferie recurrente, qui natc<br />
de la fraclion — •<br />
J I Z 2ZZ ' '<br />
Cette ferie fera i + or+2-^4- 2*-' 4-
w V<br />
I<br />
I<br />
_•<br />
1<br />
I<br />
•<br />
P72 D E S S É R I E s<br />
de lo fraclion -.^"¿Tz* w de ** '&** l + * Z + "**?<br />
décompofé en celles-ci -*£ * j££ 5 ¿'ou réfulte le terme<br />
4-lízM- i8z on trouvera pour<br />
terme general: i(« + i)f + i f 4--} (—i)"f = iü±l±2 g, .<br />
Le figne fupérieur aura lieu,. fi n eíl un nombre pair, SCl'inférieur,<br />
fi n eft un nombre impair.<br />
117. On peut obtenir de cette maniere les termes généraux<br />
de toutes les feries recurrentes, parce que toutes: les?<br />
fradions peuvent fe réduire en fradions partielles de cette.<br />
forme ; mais, fi on veut éviter les expreflions imaginaires, on<br />
arrivera fouvent a des fradions partielles de la forme fuivante::<br />
A -t- Bpt . A -f- Bpi . 9¡i A: -t- B>tü><br />
SC<br />
1 — zpícef.
I<br />
1<br />
i i<br />
I<br />
ia^B^h<br />
•<br />
J I<br />
r-74 D E S S E R I E S<br />
(bb) Serie dont le terme general n'eft pas fi aifé areconnoitre.<br />
218. Pour arriver au but, confidérons les deux feries ;<br />
Ppifin.
I<br />
• '•<br />
I)<br />
i<br />
¿7$ D E S S E R I E S<br />
U«-t-*)/*-^-Wa-(* •+•*)? B - „_ Donc Je terme géng-<br />
tal cherché, c'eft-á-dire, celui de la ferie, qui nait déla fradion<br />
A -4- Bpi n __ (/>-4-3)yw.(7/4-l)p— (// +!)//»• (n + 3)? ^<br />
/i — 2/7{co/.1p-l-7'/'íí)* " 4.(/«- •?)'<br />
A Cny" J- -O" 4* O /"•(•»?> - *A(*-*-a)g g<br />
221. Soit ¿ = 3 , Sc le terme general de la ferie, qui<br />
viendra de la fradion<br />
f—IpZJfcof.ip — gfi".
1<br />
1<br />
I<br />
1<br />
,-g D E S S E R I E S<br />
fin, g = fin. 9<br />
4 (fin. 9)' = lfin-9- fi"-i9<br />
l6(fin. g)' = io fin.9- fP'TT* ' >-^<br />
64 tpn. g)- = 3í/«.4.-ai/«.3v+ 7 fin- 5 f - /«• 7 4><br />
a-6 Qfo. *)» =» »6/«-í - 84jfM* 4- 3*>- 5 9 - 9^- 7? + >• 9 *<br />
12,. Toute fondion fradionnaire pouvant done etre<br />
décompofée de cette maniere en fradions partielles réelles<br />
il s'eníuit qu'il fera poflible d obtenir en expreflions réelles<br />
les termes\énérw* de toutes les feries recurrentes. Pour<br />
rendre cette vérité plus feníible, on a ápute les exemples<br />
fuivans. r<br />
EXEMPLE I.<br />
La fradion u_ollJaK-._<br />
avec la formule<br />
,<br />
,_2p^.co/:g-+-/'/'íi<br />
on<br />
\ , 1 V o\Tl_. V I.g==l==6o 0 ;A==4-t;&BB=-f;<br />
aura(art. 2I8J/JB= — 1, v—? » »<br />
, , , , 2 /&7.(rH-i)g- >•"?./ jy.j.ri.-.^.<br />
d'oii réfulte le terme general 4 ¿-_-¿ V /\<br />
* Voyez la fin du Chapitre XIV.<br />
R E C U R R E N T E S .<br />
•4f„.(n + i)9-*fil.n9 t<br />
9^3 \ l > x —^<br />
4fin.(n 4-i) — — xfin.n^.<br />
3 3<br />
9/3<br />
*75><br />
.(—i)Y-<br />
Faifons une fomme de toutes ces expreflions, Sc nous<br />
aurons le terme general cherché de la ferie en queílion,<br />
t,fin. (n + 1) — — 2fin.n —<br />
C7f + 7 + £X±^'± \ , ? 7" OÜ il<br />
faut prendre les fignes fupérieurs, fi n eft un nombre pair,<br />
Seles fignes inférieurs, fi B eft un nombre impair. Remarquons<br />
ici que fi n eft un nombre de la forme 3 m , on<br />
aura 4Af («-*-0«- — ayfi-.¿«-r * Í, „_.,-__ T<br />
9~7^ -=±j> q ue » fl = 3 m + i,<br />
cette expreflion deviendra = 4-^^; Sc que fijz = 3 OT 4- 2¿<br />
elle aura pour valeur 4- £, fuivant que n fera un nombre<br />
pair ou impair; cela pofé, la nature de la ferie pourra étre<br />
ainfi déterminée , de maniere que<br />
ñ<br />
n = 6 m •+• o<br />
/?<br />
«<br />
/z<br />
1 6 m 4- 1<br />
• 6" /*« -4- 3<br />
¡ 6 /77 4- 4<br />
on aura pour terme general<br />
( nn n \<br />
C^ + T-A)-"<br />
•aT + T^iJí-<br />
( «/I 77 . \<br />
n<br />
n<br />
_ H - - 4 - t ) r<br />
Par exemple, fin = 50, la forme * =3 6m-*-z<br />
le terme de la ferie fera == 234 £*-'.<br />
a lieu, &<br />
EXEMPLE II.<br />
La fradion - 1 * < ^ « - produit la ferie recurrente<br />
l-t-i*4-l<br />
Zij<br />
I
lí<br />
H:,<br />
I<br />
j8o D E S S E R I E S<br />
I + 1Í+3H + 3 f 4-4^4- 5 *M-f -/ 3 ; Sc<br />
par conféquent D = « C-4- QB-\-yA;E —cD^-C C-f- > B;<br />
F= ~E -t- €D 4- yC; Scc. Ce font ces multiplicateurs<br />
«, -4- G, 4- y que MOIVRE appelle Échelle de relation. La loi<br />
de la progrefiion confifte donc dans l'échelle de relation,<br />
Sc cette échelle donne fur le champ le dénominateur<br />
de la fradion dont la réfolution forme la ferie recurrente<br />
propofée.<br />
225. Ainfi pour trouver le terme general ou le coéfficrent<br />
de la puilTance indéfinie ¡j", il faut chercher les fadeurs<br />
fimples, ou doubles, fi l'on veut éviter les fadeurs imaginaires,<br />
du dénominateur 1 — «-( — C^— 7£. Suppofons<br />
d'abord tous fes fadeurs fimples, inégaux entr'eux Sc réels, tels<br />
que (1—p\) (1—^^)(i—rr); la fraclion génératrice déla ferie<br />
fe changera en celles-ci: 5<br />
o 1—pr__ - —íi<br />
A . B . C . . ,<br />
—— j ce qui donnera,<br />
pour le rerme general de la ferie: (Ap" 4- Bq n -+- C/ J! )7 n .<br />
S'il y a deux fadeurs égaux, par exemple, fi q —p le terme<br />
general fera de cette forme : [ ( An 4- B)/> n 4- C r'] *¿% Sc fi<br />
de plus r — p -=• q; le terme general fera de la forme<br />
( An' -t- B/z 4- C 1 p a f; mais fi le dénominateur a un fadeur<br />
'double de maniere qu'il foit = (1 — p z)(i — 2 q ^ cof.9-\- q qr r);<br />
alors le rerme general fera = ( A/H-^^***^"*^) £.<br />
Donc, puifqu'en fuppofant fucceflivement pour n ¡es<br />
nombres o, 1 , 2 , on doit obtenir les retines A, Br, C-(%<br />
il fera facile de determiner les valeurs des lettres A, B, C.<br />
zz6. Suppofons une échelle de relation a deux termes, c'eftá-dire,<br />
que chaqué coéfficient foit determiné par les deux<br />
précédents, de maniere que C = *B — GA;D = * C— ¿5 -jE<br />
= *D— CC Scc. II eft évident que la ferie récurrenre<br />
A + B^-* Ci*-h D? -t- E?+ y ../.... 4- Pf-h<br />
1<br />
I<br />
1
I<br />
I<br />
1<br />
i<br />
l84 D E S S E R I E S<br />
nous aurons • • .-<br />
. {(A - .B).V+*£QRjr J R R . Sc á caufe de R =<br />
'¿=-- BB — * AB+ZA¿<br />
^ Q —• CP, '<br />
- CSAP'-i- 2C(«A - J)PQ4-[^-(««-g)^H'<br />
Z — — ~üB -+• *AB -t- $A A<br />
or . • •<br />
2 _ t t r « C I ; donc Y ^ r ~ \ & P" conféquent<br />
-gj?/»4-ag,4PQ-+-(l-"^>4-7'4-r (ce)<br />
== *; pq 4- pr 4- qr C Sc pqr =¡y; on trouvera la<br />
proportion fuivante:<br />
#-— z«Q]<br />
-H«~H C)C ) -(«e->)G<br />
4-axy i 3 -} — 2^p , e<br />
4- *>• p*<br />
^-i-(a*4- e)#<br />
— (-Í4-3>)^5<br />
4- *? *1<br />
,-(,c >)B*<br />
4-(«>4-^)^i5*<br />
— tff* ^ B<br />
ri- y y A $<br />
>"=as<br />
Le terme i? dépend done des deux précédents P Sc Q3 &pour<br />
le trouver il faudra réfoudre une équation du troifieme degré.<br />
&31". Aprés ees obfervations fur les termes généraux des<br />
EULER , Introductiva a l'Anal, infin. Tome I. 2 A<br />
T-
H<br />
I<br />
•<br />
D E S S E R I E S<br />
feries recurrentes, il nous refte encoré á chercher les fommes<br />
de ces feries. D'abord il eft clair que la fomme d'une ferie<br />
recurrente continuée á l'infini , eft égale a la fradion qui<br />
l'a fait naítre , Sc comme le dénominateur de la fradion<br />
eft connu par la loi de la progrefiion, il n'y a plus que le<br />
numérateur á determiner. Soit done propofée la ferie<br />
„4-5-í4-Cf4-¿)-í J 4-£í 4 4-F-r i 4- Gj-'-h Scc;<br />
dont la loi de progrefiion donne le dénominateur i — *\<br />
4-C-r»— >-( 1 4- f\*. Suppofons la fradion, qui exprime la<br />
fomme de cette ferie infinie = x _ * + ¿¿¿j¿¡ji-¡rf¿ i comme<br />
la ferie propofée en derive, on aura, en comparant, . .<br />
a BB A<br />
b = _ — a A<br />
c = C—«B + cA<br />
< / = D - . C + C B — y A:<br />
Donc la fomme demandée fera<br />
>A-¥(B - *A)i + (C-«B + ZA)? + (D — «C+CB — VA)?<br />
2-31¡ On comprend aifément aprés cela comment on<br />
trouve la fomme d'une ferie recurrente continuée jufqu'a<br />
un terme donné. En effet, fuppofons qu'il foit queftion de<br />
trouver la fomme de la_ ferie propofée jufqu'au terme P%\<br />
Sc faifons •<br />
í = ^ + ^ + cí , + i)f+í{ t 4- /Y-<br />
Comme la fomme de cette ferie prolongée i l'infini eíl<br />
connue, cherchons celle des termes qui fuivent le dernier<br />
JV 2t l'infini, laquelle nous fuppofons<br />
t==:Q_í'>"+.RK"+>+Si*+ s +Ti"-*-h&Cc.<br />
cette ferie étant divifée par -£** ' donne une ferie recurrente<br />
parfaitement conforme k la premiere, dont la fomme fera<br />
par conféquent t = . . .<br />
.Qr*+*+(R-KQ)¡*+* + (S-«R-*-GC¿)i'+> + iT-«S+eR-vC>)f~\<br />
1 - *t -h V - vV ± *?<br />
RECURRENTES. I87<br />
On en conclura que la fomme cherchée Í B . : . .<br />
-f- A -t-(B — «A)j-+- CC— *B 4- SA)?-h(D — *C+GB — vA)t*-<br />
I — * l 4- €-.* — -/?' •+• a^í*<br />
— Q{"*'- (R—«(Df+i — íS—vR + SQjf+' — ÍT—uS+eR—yC))?**<br />
1— «{4-
•l<br />
1<br />
l88 DE LA MULTIPIICATION<br />
cofinus == y, Sc fa tangente =-/; on aura xx4-yy==I,<br />
Sc t = -• Ainfi puifque les finus Sc les cofinus des angles \\<br />
ar; 3r; 4^; forment, comme nous l'avons obfervé, une<br />
ferie recurrente, dont Pcchelle de relation eft zy — 1, on<br />
obtiendra d'abord pour les finus de ces ares les expreflions<br />
fuivantes: • • •<br />
fin. o\ = o<br />
fin. 1 \ =B X<br />
fin. z 1 BB z xy<br />
fin. 3i= 4 x y* — x<br />
fin. 4 *( BS 8 x y' — 4 x y<br />
fin. 5 -¿ = 16 x y x<br />
6 xy<br />
4 — 12 x y 1 4fin.<br />
6*(=se 3 2 x y s — 3 2 * y* 4fin.<br />
JI e_ 64. x y* — 80 x y 4 4- 24 x y 1 — x<br />
fin. 8 1 = 128 x y 7 — 191 x y s d'oü l'on concluí<br />
4- 80 x y* — 8 xy<br />
Hff)fin.ni=x[z-'y —(*—2)2 'y '4— —1 y<br />
—r—*: T" 2 > "*" *• *• 3- 4 J<br />
23 5. Si nous faifons Tare n$ = s; nous aurons fin.n% =<br />
fin. s =fin. ( * — J) =>. (z*-hs)=fin.(^ — s) Scc. car<br />
tous ces finus font égaux entt'eux. Nous tirons de la plufieurs<br />
valeurs pour x, favoir,<br />
lefquelles, par conféquent conviennent toutes également á<br />
l'équation trouvée. Or on obtiendra pour x autant de yaleurs<br />
différentes que n contient d'unités. Elles feront conféquemment<br />
les racines de l'équation dont il s'agit. II faut done<br />
avoir Tattention de ne pas regarder comme érales les valeurs<br />
qui doivent étre confio 1 érées comme les mémes, en nad-<br />
ET DE LA DIVISIÓN DES ANGLES. 189<br />
mettant que les expreflions alternad ves. Les racines de (gg)<br />
l'équation étant donc ainfi déterminées, quoique d'une<br />
maniere indirede, leur comparaifon avec les tetmes de<br />
l'équation nous fournira des propriétés remarquables. Mais,<br />
comme pour cet objet, il faut avoir une équation qui ne<br />
renferme que l'inconnue x3 on dévrá fubílitucr á y fa<br />
valeut V(i — xx); ce qui exigera deux opérations, fuivant<br />
que n fera un nombre pair, ou un nombre impair.<br />
236. Soit n un nombre impair; comme la difTérence des<br />
ares —3- > 4-^,4-3^,4-5^; Scc. eft 2 % 3 Sc que le cofinus<br />
de cette difTérence =1—2 xx,. l'échelle de relation de la<br />
progrefiion des finus fera 2 — 4XX, — i. Donc . , .<br />
fin.— ?=--x<br />
fin. -£= x<br />
fin. 3-/=.3 x— 4x*<br />
fin. j ^ = j x— IOX'-4. IÍJC'<br />
fin. 7¡-;B=7 x— j 6 x 1 4- 112 x 1 —s 64 x'<br />
fin. 9 £ =-\9 x —--I20X' 4-432 x $ -—57
190 DE LA MULTIPLICATIOW<br />
dans le cas contraite) a donc pour fadeurs ( i — ; j¡_-¿)<br />
0 A¿+0<br />
conclut de-la que .<br />
i<br />
) ( - M 4 r+0 )<br />
Scc. On<br />
ftn.ni "fin.i<br />
>(T+0 JKT + O **-<br />
jufqu'a ce qu'on ait un nombre n de termes. Pour le produit<br />
de tous ces fadeurs, on aura '<br />
2 n —'<br />
4- 'r<br />
fin. ni<br />
OU<br />
1 fm^.fin. Q^^y.^z+().fi. (1.-4-,) &c.\<br />
fin.nl = ^2^fin.l.fu1.Q^-^fin. (^4-I)-/«(T + 0 &C "<br />
Sc, á, caufe que l'avant dernier terme manque, on a . .<br />
EXEMPLE I.<br />
Si done n = 3, on aura les équations fuivantes:<br />
¿rr/n.í-f->.(ia
•<br />
I<br />
•<br />
1<br />
•<br />
I<br />
192 DE LA M Ü L T I P L I C A T I O K<br />
Sc en general •<br />
n{nn — 4) , n. {nn — 4) {nn — 16) ,<br />
(ü) fin. ni B= [«x ,. 2. 3 * H 1. a. 3-4-5<br />
n.Utt-4)(".*-i.«?=±'->-!>'(Í-'>(T + 'HH-:-<br />
Les cas partlculiers apprendront de quel figne on doit faire<br />
ufage.<br />
EXEMPLE.<br />
Ainfi, en fubftituant pour n fucceflivement les nombres 2,4,<br />
eS,Scc,'sc choififTant un nombre n de finus différens,on aura<br />
fin. xi= 2fi*.ifi»-{_j—1)<br />
/n.6í_ w^S-^G ^^-(?-^(V^^-(?-0<br />
jB-.8f- .28/^a. (£-?) fin. (j+l) fin. (£-?) ^ ("TT+O *<br />
r ET DE LA DIVISIÓN DES AN.GLÍS. I93<br />
240. II fuit donc de-Iá qu'en general . . . .<br />
Kv-OMv+O *A«.(^-T)<br />
en fuppofant n un nombre pair. Or, fi on compare cette<br />
expreflion, avec la precedente qui a lieu, lorfque n eft un<br />
nombre impair, on remarquera entr'elles une telle reífembl?nce,<br />
qu'on pourra Jes réduire a une feule. On aura<br />
done, foit qu'on fuppofé n un nombre pair, foit qu'on le<br />
fuppofé un nombre impair,<br />
fi,n^x—fi,,fi, (Í-O^^^O^CÍ-^XT^) *<br />
/*-(v-0>-( 3 í-O &c -<br />
jufqu'a ce qu'on aitjpris autant de fadeurs que le nombre n<br />
contient d'unités.<br />
241. Ces formules, au moyen defquelles on exprime en<br />
fadeurs les finus des angles múltiples, peuvent étre uriles<br />
pour calculer les loganrhme.s des finus des angles múltiples,<br />
Sc pour trouver plufieurs expreflions des finus en facleurs,<br />
tels que nous les avons donnés (art. 184). Au refte, on aura<br />
fui. ?= -i.fin.1.<br />
fm.xi= x.fin.i.fiu.QL—-¡^<br />
¿fo.3?— 4.fin.^fin. (j—^fin. (-4- A<br />
fin.4l= S.fin+fin^-^fin. Q- + ?)/,, (^-?)<br />
fin.n^6.fin.X.fin. (l -\)fin. QL +()¿. Qf-{)fin. (iZ + ^<br />
^6?-32/w.^.(^_7)^.(^4-í)^.(^-?>.(y + ?)>í<br />
Scc.<br />
EULER , Introducción a l'Anal infin. Tome I. z B<br />
Ü<br />
i
4$A DE LA MULTIPLICATION<br />
. 242. De plus, á caufe jet^fifem * cofin^ les cofinus<br />
des angles múltiples feront exptimés en fadeurs d'une<br />
maniere femblable. »<br />
Cof. ?= !.>.('--)<br />
Cofix^ x.fin.^-,)fin-{[-^)<br />
Cof.3l= 4.fin.Q-l)fi"-Q+^y n -Qr^)<br />
Sc en généraf<br />
jufqu'a ce qu'on a^autant de fadeurs que * contient dWés,<br />
1 Í43. Les mémes expreflions ^ déduifent de la confideration<br />
des cofinus des ares múltiples. En eftet, b ion<br />
fait cof. TL -> y, on trouvera, comme il luit: . - - *<br />
Co/l" O *( = I<br />
C?/ 1 \ = y<br />
Co/i-j = ^yy — *<br />
c, _,. -<br />
i-a. 3 y \. 2.3.4 - 2 (MJ<br />
y —CCC,<br />
Cette équation, a caufe de a>/ n % = cof, (i* • n-A<br />
— eof(i^-j_-ni)^=cof(¿_.7r_±ni) = cof(6^±_ni)Scc,<br />
aura pour fes racines y: cof. ;-; eofif— -f; A; co/T (— 4- ¡A;<br />
«?o/ -?- + TJ Scc, Se 011 choifira pour y autant de ees expreflions<br />
qu'il y a de racines , c'eft-á-dire, autant que n contiene<br />
d'unités.<br />
244. D'abord, il eft donc évident, qu'á caufe du fecond<br />
terme, qui manque , on aura toujours, excepté le cas<br />
oü -zssi,fa fomnude toutes ees racines = o. Par conféquent,<br />
0^cof.X+cof (ll-^+cof. (tl + i)+cof. (í^).^ (ií+?) ¡¿<br />
•en prenant autant de termes que n contient d'unités: au<br />
refte, cette égalité fe préfenre d'elle-méme, fi n eíl un nombre<br />
pair, parce qe chaqué terme eft détruit par un autre négatif<br />
qui lui eft égal. Confidérons done les nombres impairs en<br />
excluant l'unité, Sc nous aurons , a. caufe de cof.v=* — cof:<br />
(" —v) . «<br />
4>=,(ofii—cof. (j —?) —cof. (j-+-i)<br />
C-cofit-cofi (.1-,) -cof (i4?) +«* (f-^A-cof. (^4-?)<br />
^cof.,-cof.(^-,)-cof.^+iycof (f^ + cof. (£+T)<br />
Sc généralement n étant un nombre impair quelconque;<br />
•-"*£_ (H -"'• é+0+'«• (T -0 +
:<br />
; I<br />
s9£ D E LA MÜ.LTI.PLIC A TIOH<br />
ayant foin de ptendre toujours autant de termes que n contient<br />
d'unités: mais,. il eft néceíTaire que n foit un nombre<br />
impair plus grand que.l'unité, commenous en avons deja avertí.<br />
145. Quant au produit de toutes les racines, on obtient<br />
l la vérité difTérentes expreflions , fuivant que n eft un<br />
nombre ou impair, ou impairement pair, ou pair eme nc<br />
pair • mais elles font toutes comprifes dans 1 expreflion genérale<br />
trouvée ci-deíTus (art. 142), en changeant les finus en<br />
cofinus. Ainfi, on auracof<br />
?= i.cofii<br />
eof.2^ a.o/.(^-h?)^/.(^-?)<br />
tffttta 8. cof. Q-'- + í)cof. Qf-,) cof (j+x)c*f- (f -i)<br />
Sc en general<br />
en prenant autant de fadeurs que n contient d'unités.<br />
246.- Soit n uo nombre impair, Sc commencons l'équatiott<br />
*4*4/ I . • "<br />
par l'unité; nous aurons o 1 4- a-y Scc, équation<br />
cof.nx<br />
dans laquelle il faudta prendre le figne fupérieur, fi n eft<br />
un nombre impair de la forme 4 - 4- i, Sc l'inféneur,,<br />
fi« = 4" — 1. Nous tirerons de-lá. • • •<br />
•••• ••••i •—••—i<br />
3<br />
•-/•3Í -A «/Q--0' c O0<br />
j !_=_?<br />
;H *&-*«)• -4V-0' < H<br />
ET DE LA DIVISIÓN DÍS.ANGLES. 197<br />
& généralement, en fuppofant n = z m -A- 1, . .<br />
2m-h 1<br />
oof.ny cof.(2m-i-i)7 . ('w , \ ^/ , " í V r/'"• — * \<br />
— 8CCÍ<br />
«*(*/—0 ^(V--*-*) ^-OV*-*) ^(V s4 *0<br />
en prenant autant de termes qu'il y a ; d'unités dans n.<br />
247. Donc, á caufe de 7— =B= fée v, 011 en conclura<br />
pour les fécantes ees propriétés remarquables: favoir,<br />
fie. i = féc.i<br />
3fic.n^c.{^)^c.{^-l)-fic. (^+?)<br />
SC généralement, en faifant « = 2 — 4- 1 ; on aura . t<br />
nfccni^tfc. (J*-«-?) 4-/¿'c. (-^*—? ) —•/&• (^^T^*-*-?)<br />
fiC. (— »-t) I"/-. ( ~- -+T) + /«. (__ a,-,} - .<br />
¡jb C¡^-+?) -fie$?*-«).+>*• C^— »'-Nr) 4-......._y?í.?J rJ<br />
248. Quant aux cofécantes, on ttouvera d'aprés ce que<br />
nous avons vu (art 237) . • . . . . . . . _<br />
cofic. {— coféc. 1<br />
icofécii^coféci + cofic.^j- ^ •—&•( J+yE<br />
,fic.-¡i = cofi!c.z +copec ( l- t) _co/2c. £ y•+ ^-fofic. ( ^-IJ,-' I<br />
SíOj<br />
+ »/<br />
I<br />
*I<br />
I<br />
'.
I<br />
•<br />
fe,? DE LA MULTIPLICATIOtf<br />
7cofk.7l=:cofk.^cofk. f|-t) -»>• (y + O-^-Cy^O<br />
r ¿t#. (^-Hí) 4*** (f-?) -«#• (^4-t)<br />
Sc généralement en fuppofant n ¡= z m 4- i, en aura<br />
vcofk.n^cofk.x+cofk. (^~l) - tofk. (7+í) -"/ ¿c " ( T " ~ V<br />
^ (^4-t) * * * (^- nous aul ' ons lang - n * = (l"4^7^)V-^7-4-(I-^-0^-X J<br />
ce qui donne. pour les tangentes des angles múltiples les<br />
expreflions fuivantes: . . , • • 1<br />
tang. 1<br />
tang. a- \<br />
tang. 3 ?<br />
t<br />
i f<br />
i — te<br />
3- — t><br />
1 — yt<br />
4'— 4' !<br />
/^. 4 j = r_6lt^<br />
• I,<br />
•-<br />
i<br />
*oo DE LA MULTIPIICATION<br />
251. Mais comme cot. v «s -—- coi. (» — v), on aura<br />
.cot. i = cot.x<br />
xcot.xi=cot.i—cot. í — — \\<br />
•icot.ii=cot.i-xot. (^ - í) + «"-(y +?)<br />
Sc en general .... . . • • • • • - ••<br />
ncot.ni — cot.x — cot. f —— í) + Cl »- \"~" f "í) """"• C~** — 0<br />
*^.(^*}~«» (^_í)+COf..( £-•-<br />
- o a, -<br />
le fio-ne fupérieur — a lieu, fi m eft un nombre pair, Sc<br />
Vinférieur 4- fi m eft un nombre impair. On aura donc, i<br />
caufe du coéfficient du fecond terme . . . . . . .<br />
tang. x=tang.l .<br />
Vang.n=tang.,i+iong. (i 41J4"'^-\ J +1)<br />
itang.Ki=tang.íi+tang. (y+t) A-tang. (y +t) A"H- ( y +*) +'"*• ("f+7<br />
Scc.<br />
2j3,<br />
ET DE LA DIVISIÓN DES AKGLES. ÍOT.<br />
153. Comme tang. v =*~.tang. (.» — v), les angles plus<br />
grands qu'une angle droit fe ramenent á ceux qui font plus<br />
petits, Se on a<br />
tang. i = tang.7^<br />
3 t¿ng. 1 Z = tang. x —tang. ^ ~ — ^ 4- tang. f y +_¡\<br />
5 tang. x,x-tang.i- tang. ( i - ^ + tang. (-4-A -*»£> ( —- A +<br />
7^ir.7í = '^.{-^íT.(~?) 4-/^.(-+A-M^Yií-{"\ ^<br />
Sc généralement fi n= im<br />
1, on aura<br />
*
II<br />
II<br />
1<br />
I<br />
1<br />
• _ •<br />
toa DE LA MULTIFLICATIOM<br />
Sc en general, fi n = % m, . ^. . . . . . t<br />
f»^- nt"— 1 cot. ni — 4-1=0 ^<br />
le figne fupérieur — a lieu, fi m eíl un nombre impair, Sc<br />
Tinférieur 4- fi ~ eft pair. En comparant donc les racines<br />
avec le coéfficient du fecond terme, nous troüverons . .<br />
— a cot. 21=tang. 14- tang. ^ — 4- í J<br />
— 4coí.4í=(^.í-t-w/!g.(y4-^ +*»*?. (^ + í) 4-M-jy. (y+í)<br />
— 6f«.6i = /«-^.{+ítMg. (^-A-l^-t-taig. (ÍI +l\+tang. \^~+Zj<br />
^(T^) + ri-tang. '^(X+0<br />
Scc.<br />
256. Á caufe de ««#. v = — «wjg. (» — v) j on formera<br />
les équations fuivantes: . . . , -<br />
a«?*.2r.B= — tang. £ +tang. ( ^— M<br />
•4coi.4i=2.—t
I<br />
, I<br />
104 D É L A MULTIPLICA TI o H<br />
Comme la fomme de cette progreífion continuée á l'infini<br />
eft ?/•(**-••-_; confidérons les termes qui fuivent le dernier<br />
a l'infini: favoir, fin. [a 4- (a 4- i) ] b -A*fin. [a4- (a 4- i) ¿3<br />
4-/a. [a 4-" («4-3) ¿ ] 4- Scc. leur fomme íera= •—-^-p ><br />
retranchons cellc-ci de la premiere, Sc il redera la fomme<br />
demandée, c'eft-a diré, que fi on fuppofé s- =fin. a -A-fin. (a -A-b)<br />
+ fin. (a 4- 2¿) 4- 4-/a. (a 4- a¿); on aura<br />
z6o. Pareillement, fi on veut avoif la fomme des cofinus,.<br />
Sc qu'on fafle " * * /<br />
s=±cof.a + cof.{a-*-b) + cof. (a+zbf-A- cefi(a + lb)A-Sec.<br />
.\ Tinfini, on trouvera s = ?»-.»««# * + « *<br />
en fuppofant* =_i.Donc i caufe de 2 co/Ta. «/ b - a»/(
^<br />
b<br />
ao¿ DES SERIES RESULTANTES<br />
2¿3. On aura pareillement les puiíTances des cofinus:<br />
cof\ = cof. i<br />
z(cof.Ky= 1 4- cofin<br />
4(«A) ,-S 3^/í4- cof. 3*<br />
8(«-A) 4 -» 3 4- 4co/2*4- co/4?<br />
i6(cofitf—iocofii-A- 5 co /3í4- «5/5*<br />
3i(cc9/:*) d =io 4-15 ^ K ^ ^ 4 ? + ">/*?<br />
6A (cof l) 7 *= 3 5 «?/ * 4-11 cof 3 * 4- 7 co/ 5 * 4- cof. 7 *.<br />
Scc.<br />
II faut faire ici a l'égard de la loi de la progreífion la méme<br />
remarque, que nous avons faite pour les finus.<br />
CHAPITREXV.<br />
Ves Serles réfultantes du développement des Facleurs.<br />
Z64. Soit propofé un produit compofé d'un nombre<br />
quelconque de fadeurs , fini ou infini, de cette maniere<br />
(14-«?) (I + ^J (i+n) O -*-«r0 (14-tO (1 4-?0 &c -<br />
lequel , étant développé par la multipiication , donne<br />
14- ¿Í-4-2??'-*- Cfrh D?-*- É£+> Ff+- Scc;<br />
il eft évident que les coéfficiens A3 B 3 C, D, E Scc. font<br />
formes des nombres «, e, T, «r, ., ?, Scc, de forte que<br />
_ ~ * H- 6 4- r4-
•<br />
•' •'<br />
IV r<br />
1<br />
I<br />
i<br />
I<br />
|-? ' H •<br />
~~'<br />
208 DES SERIES RESULTANTES<br />
2¿8. H en feta de méme, fi on met pour *, C, y, i, Sec.<br />
des puiíTances quelconques des nombres premiers; íi 1011<br />
fait, par exemple ,<br />
En eíTet, en faifant la multipiication, on aura . . . •<br />
1 1 1 , 1<br />
1 1<br />
— 4- •—<br />
7" — 10"<br />
-4¡ 4- SCC<br />
Ces fradions renferment tous les nombres, excepte ceux<br />
qui font des puiíTances, ou qui font divifibles par quelque<br />
puiuancc. Car tous les nombres entiers étant eux-memes ou<br />
des nombres premiers, ou des nombres formes de ceux-ci<br />
par la multipiication, il n'y aura d'exclus ici que ceux dans<br />
la formation defquels le méme nombre premier entre deux<br />
ou plufieurs fois.<br />
•• 60. Si nous prenons négativement les nombres «, £, y,
•<br />
tIO D ES S É R I E S RESULTANTES<br />
ferie, oii fe trouvent tous les nombres qui peuvent étre<br />
formes feulement par Ja multipiication du nombre deux;<br />
c'eft-á-dire, toutes les puiíTances de deux. On aura enfuite<br />
On ne trouve ici que les nombres formes par la combinaifon<br />
des nombres 2 Sc 3, ou qui n'ont d'auttes divifeurs<br />
que 2 SC 3.<br />
273. Done, fi au lieu de«, C, y, &c -<br />
on aura<br />
P = *-*- 7 4-f 4- \ 4- f 4- i 4-y 4-i 4- j 4- Scc.<br />
Serie qui comprend tous les nombres •, tant les nombres<br />
premiers, que ceux qui en font formes par la multipiication-.<br />
Or comme tous les nombres font ou des nombres<br />
premiers, ou des nombres compofés de ceux ci par la multipiication<br />
, il eft évident qu'on doit ttouver ici tous les<br />
nombres entiers dans les dénominateurs.<br />
274. La méme chofe arrive, fi on prend des puiíTances<br />
quelconques des nombres premiers. En effet, fi on fuppofé<br />
(-¿X-?)(._7)(-¿)('-.T.)*..<br />
on aura<br />
1 1 1 1<br />
P= *4-f.4-p4-¿ 4-¿4-¿4-¿4-¿4-&c.<br />
T"~ + ~(r-~*~r «^<br />
Serie dans laque le íe trouvent tous les nombres naturels<br />
fans exception. Mais fi dans les fadeurs on met par-tout<br />
le figne 4-, de maniere que<br />
*"'O+¿0 (•+?)(> ¡0 O+^C'+ir-)**-<br />
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEÜR... UJ<br />
¿lora . . . . . . . . . .<br />
Ici les nombres premiers ont le figne —-; ceux qui font le<br />
produit de deux nombres premiers, les mémes ou non,<br />
ont Je figne H-, Sc en general les nombres qui font formes<br />
par un nombre pair de fadeurs premiers, ont Ié figne 4-,<br />
Sc ceux qui font compofés d'un nombre impair de fadeurs<br />
premiers, font precedes du figne —. Ainfi le terme — ,<br />
¡I ?í f T í 4 °, = Z - *' V- ¿" Í » aüra le % ne "4- > comme<br />
il eft facile de le voir par l'art. 270, en faifant K == & 1.<br />
tmnlt; EU A Com ^ lant ce f ^ultats avec les précédents , on<br />
Car fok ' nC Je pr ° duit eft é S al a ****<br />
on aura . . " í<br />
^«,4-^4-^4-14-14-1 4- ¿4-&c"<br />
Sc<br />
^=«—?-7l~l4-~l4--¿.----^Scc. (art. 2^)Sc<br />
il eft évident qu'on aura PQ =- 1.<br />
27Í. Mais fi 011 fuppofé<br />
'"O^O+^CTH-I) (.^(^^to<br />
aDij<br />
V<br />
I
II<br />
1<br />
II<br />
I<br />
•<br />
1<br />
iia DES SERIEs RESULTANTES<br />
on aura .<br />
3 * * *<br />
i2 = i4-l4-l4-l4-l4-l4-T?4-T?4- Scc.<br />
i<br />
Se, de méme qu'auparavant, PQ — i.La. fomme d'une des<br />
feries étant donc connue, celle de la feconde le fera auífi.<br />
277. Réciproquement, étant données les fommes de ees<br />
feries, on pourra aífigner les valeurs de produits compofés<br />
d'une infinité de fadeurs. En effet, foit<br />
M<br />
V 4" 5<br />
Sc on aura<br />
r<br />
1<br />
r<br />
i<br />
Scc.<br />
^"0»¿)0-?).0--¿)('-^0-^ ta -<br />
On obtient par la divifion . . . .<br />
•3"<br />
Enfin on aura<br />
AfM *• + » 3__.. 5l±i. £±± . _l±i . Scc.<br />
"Ñ -- '^T 3"-- í"- 1 7"-» ** B —*<br />
Par conféquent M Sc N étant une fois connues, on aura ,<br />
outre les valeurs de ces produits, les fommes de ces feries -<br />
1 1 i + i.-i_ .__ _ i Scc.<br />
a» jn ;n f» 7» IO» íi-»<br />
• -'<br />
" • * ' '__!_ f -JL -*- — __r—- — SCC.<br />
DU DÉV ELOPPÍ MENT DES FACTEURS. 113<br />
^+1 + ¿+¿+8CC.<br />
~Ñ~ x" + 3* h x" 5"<br />
ÍV z<br />
1 4:-L>- &S<br />
10"<br />
x ___ • _L _£.._ .i i.' "'<br />
JW — * "" ? — 3" + 4""" 5 n 6" "" 7" 8- 9-<br />
Et la combinaifon de celles-ci peut en donner plufieurs<br />
autres.<br />
EXEMPLE I.<br />
Soit a ss 1; comme nous avons demontre auparavant que<br />
I — X<br />
X 1 *»<br />
*4- — H-<br />
*• **<br />
-*- —t- —H- 4-Scc;on aura, en<br />
3 4 " f o<br />
fuppofant x—=1,/ SB/OOSBX4>— H H H H&c^<br />
r r > i _ _ " st 3 4 5<br />
mais le logatithme d'un nombre infini 00 eft lui-méme<br />
infiniment grand; donc<br />
ÍÍ = I + 1+_+_L+1 + 4-+--- +&c.= w.:<br />
2 3 4 $ 6 7<br />
Done, á caufe de -^ = -^- = o, on aura<br />
O ss 1<br />
I 1<br />
x 3. 5 6 7 10 11 13<br />
En prenant les produits, on trouvera<br />
M<br />
00<br />
00<br />
14 *$ &c.<br />
"("-TM-ÍH-DC-TH-^ 8 '*<br />
ce qui donne<br />
1 a<br />
1<br />
4<br />
11 _ 13<br />
10 ' ia<br />
Sc''<br />
16<br />
•9<br />
' 18 **•<br />
1 a _ 4 6 10 . ia 1a 16 . _io 18 . .<br />
11<br />
Enfuite, d'aprés la fommation des feries que nous avons<br />
donnée auparavant, * nous aurons<br />
1 1 1 . 1 1 1 . *•»
,, v<br />
114 D--S SáMES RESULTANTES<br />
D'oü nous conclurons ces fommes de feries<br />
6_<br />
w ¡r<br />
I I I I I<br />
1~" II»<br />
— &C.<br />
ft-H 1 1<br />
I I . I<br />
»-—H 1<br />
I<br />
1<br />
I<br />
H &c -<br />
a 3 5 6 7 10 ii<br />
a = I<br />
a 3 4 . 6 7 8 9 10 3 I<br />
Et, fi nous employons les fadeurs, ils nous donneront<br />
* • * • 3» 5* 7» 11'<br />
ir*-<br />
T<br />
Et<br />
__ 4_<br />
2'— 1 3*— 1 j'— 1 7*—i 11* —<br />
' 3<br />
.2.<br />
8<br />
00 : = 1. 4<br />
— •<br />
3<br />
JSf_.<br />
24<br />
á caufe de —r—<br />
OU<br />
49 III<br />
48 - • ^——<br />
120<br />
= 00,<br />
iv<br />
6 8 ia<br />
• '<br />
— • — —— •<br />
11<br />
S 7<br />
OU<br />
t -<br />
ou<br />
169<br />
. &c.<br />
768<br />
de<br />
_V<br />
Ai<br />
14 18<br />
— • -<br />
•3 »7<br />
B3 C<br />
a *_ S 7 " 13 17 *9 „<br />
3 4 6 8 ia 14 18 ao<br />
Sc<br />
\ 4 6 8 ia<br />
i a 4 6 10<br />
OU<br />
14<br />
12<br />
18<br />
16<br />
ao<br />
20<br />
~f<br />
&c.<br />
&c.<br />
. &o<br />
o B — • — • — • — • i. 4" '• — * —•<br />
6 8<br />
i. • i. . £. . 1 . JL &c.<br />
6 9 10<br />
3 a ' 3 ' 4 6 7<br />
Les numérateurs de ces fradions, ( j'en excepte la premiere )<br />
íont moindres que les dénominateurs d'une unité ; Se les<br />
fommes des numérateurs. Sc des dénominateurs de chaqué<br />
fradion donnent conftamment les nombres premiers<br />
3, 5> 7» «•• 13» i7> *9» &e-<br />
8cc.<br />
M<br />
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 215<br />
EXEMPLE II.<br />
Soit a B= 2 ; d'aprés ce que nous avons vu, *<br />
iV= 1 .+- —<br />
V 7ÍT + T + 7 +Sc «. 5a i :<br />
i i i<br />
4-<br />
1<br />
l+<br />
3* 4* "F 5* *. """ 6* ,' 7» 4-&C.--1.<br />
90<br />
On aura d'abord ces fommes de feries<br />
_5_ _ t __^_<br />
••x a»<br />
-í°_ =a ___<br />
•rtr -<br />
1<br />
' __L 1 ___ 1 .<br />
3* 6<br />
1<br />
3 1<br />
f 1<br />
1<br />
•-T--TÍ- + 10* 11»<br />
+.-I I_ + _<br />
1 1<br />
í 1 6* 7+ io* i,*<br />
1 1<br />
*-ic*^t^.-fe*4: 6*<br />
10<br />
üt eniuite ces valeurs des produits fuivants :<br />
a-a: __ 2» 3* r<br />
.___..____»_<br />
~6~ a*—1 3» —1 j . _ , 7a_.<br />
1 1 * - 1<br />
90<br />
___<br />
2» V 5*<br />
x* 1 3»_ 1 54_, 74_,<br />
II«<br />
„.,___,<br />
.Íl±_ , ._-±2.ll±_* ?'-*-i 11*-f i<br />
a* A» _' * _» * :<br />
* 3 5 7» íi-<br />
Ou<br />
1<br />
4<br />
-&c.<br />
- &c.<br />
a T-4-&C<br />
II'<br />
* I I I -<br />
•7 T ~8»- + F" , ''T» &C<br />
«Scc.<br />
&c.<br />
ij 5 10 x6 jo 12a i70 '<br />
SC<br />
J_ 3= a '- < -' . 3*-*-» . Y'-f-i y-4-1 11-+1<br />
a 2*—1 3»-i J __ ' y*, * „>_, **•<br />
OU<br />
•4* =-4—Lvj_._a: .ÍL.ÜL &C.<br />
* • •'" 5 4 12 a4 60 84<br />
bu<br />
* 4 ia• " a4 * 60 ' "84" &C#<br />
Dans ces fradions les numérateurs furpaffcnt d'une unit*<br />
I<br />
I<br />
ait» DES SERIES RESULTANTES<br />
les dénominateurs, Sc pris enfemble ils forment les quarrés<br />
des nombres premiers 3% 5% 7% n% Scc.<br />
EXEMPLE III.<br />
Comme, d'aprés ce que nous avons vu, on ne peut avoir<br />
les valeurs de M, qu'entant que a eft un nombre pair,<br />
f(i
I<br />
I?<br />
1<br />
218 DES SERIES RESULTANTES<br />
i i /__ + _i_ + _i_ + _L_ + _L_ 4- &c. "\<br />
3 W» 3 é " 5 6ffl 7 6 ° II6 1<br />
I_6n " '<br />
.±f_L<br />
4 V 2S"<br />
«8» rS.i<br />
I I<br />
—— -4— —^——<br />
7811 118"<br />
Scc.<br />
En combinant ces réfultats , on obtiendra IM — 7 / N ><br />
&C.<br />
*'(T-H-Í- 4 -?-+^-¿á^**-)<br />
1 f—<br />
5 3<br />
1 1<br />
31 a «,"• yJ/><br />
113»<br />
I<br />
115"<br />
)<br />
&c )<br />
' A-- /'-L-.*-—+ — -»- — +--— 4-&C }<br />
* 7 V 27. ^ 37» ~ «.7» ~ 77« _ 117» J<br />
Scc.<br />
279. Si a —a 1 ; on aura M=I4-T4-7*4-^4-SCC.<br />
B= /oo, CCÍ^B:-^, on en conclura /. /°o — il^j- —<br />
*•(-_- +4-+-V+ -r-^ + *")<br />
Scc.<br />
Or ces feries, a l'exception de la premiere , non feu ement<br />
ont des fommes finies, mais encoré toutes réumes , elles ne<br />
forment qu'une fomme finie, Sc méme aíTez petite; d'ou il<br />
s'enfuit néceflairement que la fomme de la premiere ferie<br />
(mm) T 4- T 4- 7 4- 7 4- -^ 4- &c, eft infiniment grande , Sc<br />
qu'elle difTére aííez peu du logarithme hyperbolique de la<br />
ferie i + ! + i4-;+7 + i+ 8 - c -<br />
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 119<br />
180. Soit n = z; on aura M e_ ^L & iV = —<br />
d'oü il s'enfuit que<br />
4-<br />
1 / * ___ x ' 1 1<br />
-r(.— ^-jr* — ? — 4- — + &c.)<br />
3 V. 2*<br />
i 1<br />
Scc.<br />
^r + TÍr-H &c.)<br />
M--/90B-1 ^_L_ + _L_ _._!_. __I_ . » . _ \<br />
+ 7(± + Ír + -¡r+-7 A- 1jr+"8_c )<br />
Scc.<br />
-u _ / _ . ' • ' r 1 v<br />
Scc.<br />
281. Quoique lalm, que fuivent les nombres premiers,<br />
fie foit pas connue, cependant il ne fera pasdifficile S'ávoír apeu-pres<br />
la fomme des puiíTances un peu élevées de ces feries.<br />
tn efi-et, foit la lene<br />
M I+<br />
= ± + T + ~->-~- 4-JL +?7<br />
Sc celle- ci<br />
4-acc.<br />
f = -í- .f -I- + ___. _*_!<br />
3' !• 7« + 5 n'<br />
i<br />
on aura<br />
1 1<br />
" 6' ~"W~7j<br />
.<br />
—~ 4- «te,<br />
?3"<br />
r<br />
io» f z£ i)<br />
90<br />
I<br />
•
220<br />
Ai<br />
a<br />
2»<br />
Ai— Aí<br />
DES SERIES R E S U L T A N T E S<br />
4"<br />
-!+•<br />
Sc parce que<br />
+ TT +<br />
on aura<br />
i<br />
9"<br />
OU<br />
^--K 1 "^)-^<br />
a» / 9" M"<br />
Sc i caufe de<br />
4-<br />
i i<br />
IO'<br />
M V — 2* J 3" 3" " 9* ' M"<br />
on obtiendra<br />
I<br />
12"<br />
8cc.<br />
I<br />
I í &c.<br />
*5" ai'<br />
21<br />
21»<br />
2C_»<br />
&C.<br />
I<br />
27"<br />
— &c.<br />
í - B Í M - D ^ - ^ ^ - ^ - f - - ^ - ^ - - ^ S5"<br />
— &c<br />
Ainfi, comme on connoit la fomme M, on trouvera facilement<br />
la valeur de S, pourvu que a foit un nombre paüabfement<br />
grand.<br />
282 Au refte, les fommes des plus hautes puiíTances étant<br />
(nn) trouvees, on peut auífi , á l'aide des formules precedentes ,<br />
aífigner les fommes des puiíTances moins élevées ; Sc te» par<br />
cette méthode que nous avons obtenu les fommes luivantes<br />
de la. ferie<br />
I<br />
1 1<br />
T'~ -*-— + —<br />
Si<br />
I<br />
•4-<br />
4- &c.<br />
7« u» ' 13* '7*<br />
la fomme de la ferie fera<br />
a = z; 0,452247420041222<br />
n — 4;<br />
a = 6;<br />
a =B 8;<br />
a B- 10;<br />
« =B 1 2 j<br />
a =-14;<br />
0..0769.9313 97 ó 4*- 5*<br />
0,017070086850639<br />
0,004061405366515;<br />
0,000993603573633<br />
0,000246026470033<br />
0,0000612443 9 6 7 Z S<br />
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 22 J<br />
n =B 16; 0,000015282026219<br />
a = 18; 0,000003817278702<br />
n as ao; 0,000000953961123<br />
a —* 22 ; , 0,000000238450446<br />
n = 24 ; 0,000000059608184<br />
zz =1 26 ; 0,00000^014901555<br />
7Z = 28 ; 0,000000003725333<br />
n BB 30 ; 0,000000000931323<br />
n = $z ; 0,000000000232830<br />
;z="34; 0,000000000058207<br />
-z = 36; 0,000000000014551<br />
Les autres fommes des puiíTances paires décroiílent en raifon<br />
quadruple.<br />
2 8 Í . Cette converfion de la ferie 1 4 — 4- —-- 4- —— 4- &c<br />
J 2 n 3* 4»<br />
en un produit infini, peut auffi s'efFett-uer directement, en s'y<br />
prenant de la maniere fuivante : foit<br />
, _, . 1 1 1<br />
>í = i4-—r a» 4-—r o» 4- -7 _j« 4-<br />
5» 6<br />
retranchez<br />
_ Ass-<br />
2'<br />
(<br />
•+•<br />
6» ' 8«<br />
vous aurez<br />
' 4--~*-~-*fc&«<br />
4_ &c.<br />
1 \ 1 1 1 1 Í<br />
1 -\A=i-l 1 1 1 h —a»<br />
/ 3» 5» 7" 9« ii"<br />
ainfi tous les termes divifibles par 2 ont difparu.<br />
1 1 1 1<br />
i5« 21'<br />
•4- &c. = B :<br />
Hetranchez — •»? — _<br />
3 3<br />
vous aurez<br />
¿Scc.<br />
(-F) 3*/<br />
1<br />
1 +<br />
5"<br />
4-<br />
1<br />
7" 11" 13"<br />
4- &c. as f-<br />
De cette maniere,vous n'aurez plus de termes divifibles par 3;
•<br />
422 DES SERIES<br />
Retranchez — c _= -— 4-<br />
5*<br />
(.li)*-ÍJ<br />
j» 25"<br />
il vous refiera<br />
7»<br />
1<br />
íi"<br />
+<br />
13'<br />
1<br />
55*<br />
:•; í E S<br />
1<br />
17"<br />
8cc.<br />
4- &c;<br />
ainfi tous les termes divifibles par 5, auront auífi difparu.Vous<br />
qu apres avoir rait aiíp.<br />
par les nombres premiers, il ne refiera plus que l'unité. Par<br />
conféquent, en mettant pour B, C, D,E Se leurs valeurs,<br />
vous aurez enfin<br />
d'oíi vous coftclurez la fomme de la ferie propofée =<br />
A —<br />
A =<br />
C-i)(-F)('-r)(-F)(-^) & '<br />
2" 3"<br />
X a — 1<br />
3»— 1 5" —<br />
o 11<br />
. -21<br />
7« — 1<br />
284. Cette méthode pourra encoré étre employée avanrageufement<br />
pour rransformer en produits infinis les autres<br />
feries, dont nous avons auparavant determiné les fommes.<br />
Or nous avons ttouvé (art. 175 ) les fommes de ces feries<br />
V<br />
1<br />
íi»<br />
&c.<br />
1<br />
F 11 13<br />
lorfque a eft un nombre impair; car leur fomme eft B NTZ";<br />
Se nous avons donné les valeurs de N dans l'endroit cité.<br />
Mais il faut obfetver que parmi les nombres impairs , qui<br />
font les fculs , qui fe préfentent ici, ceux de la forme 4/a 4- 1<br />
ont le Íigne4-, Sc que les autres de la forme 4/B — 1 ont<br />
•. Soit done<br />
le figne<br />
.1- — 4- —<br />
T<br />
1<br />
9" — _!__,_. -<br />
XI- -3" i5-<br />
4 &e.<br />
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 223<br />
I JM _i_ z 1 1<br />
3» 3? 9" ij« 2i» 27<br />
^1 1 1<br />
B<br />
V y . 2 5" 35" 55'<br />
&c. Ajoutez, vous aurez<br />
8cc; retranchez. ¡1 vous reñera<br />
réfultat, dans lequel les nombres divifibles par 3 Se par <<br />
manquent ; r ''<br />
— C =<br />
7 a 7 a<br />
1<br />
49~<br />
——- 4- &c; ajoutez, vous aurez<br />
( * 4 - ^ ) c - i - ^ + ^ _ I _ -&C._=Z>;<br />
par cette opération les nombres divifibles par 7 ont difparu.<br />
JL. D = _L_ _í _J_<br />
11* ii" 121 &c ; ajoutez, la fomme fera<br />
( 1 4- —-) D= 1 + —L_ _, ! &c _ p<br />
Par ce moyen , les nombres divifibles par n ont auífi<br />
difparu ; Se continuant de faire difparoítre de certe maniere<br />
tous les autres nombres divifibles par les autres nombres<br />
premiers, vous óbtiendrez a la fin<br />
•A= >-" 5' 7"<br />
ou<br />
II» 13' 17»<br />
3«-Hi 5» —1 7»H-I n» + i IJI—IT?*--'!<br />
Les numérateurs renferment les puiíTances de tous les nombres<br />
premiers , lefquelles fe trouvent auífi dans les dénominateuns,<br />
mais augmentées ou diminuées d'une unité, fuivant<br />
que les nombres premiers font de la forme 4 m — 1 . ou<br />
Am 4- 1.<br />
&c.
•<br />
'".<br />
•<br />
«1<br />
214 DES SERIES RESULTANTES<br />
285. Ayant fait a = 1, on aura, * caufe de A =<br />
r» 3 . ,7 . » 11 _ •<br />
10<br />
i!<br />
14<br />
Ici les nombtes premiers forment les numérateurs , Se les<br />
dénominateurs font les nombres impairement pairs , qui aitférent<br />
d'une unité des numérateurs. Enfin , fi on diviíe cette<br />
derniere par la premiere •<br />
2 B:<br />
_4_<br />
2<br />
2<br />
3<br />
_4_<br />
6<br />
12<br />
10<br />
OU<br />
17<br />
18<br />
, on aura<br />
i2 IÍ> 20<br />
~¡T' - 8~* 18<br />
4 6 6 8 i 10<br />
1 r ' 7 ' 9 " 9<br />
'9<br />
18<br />
_3_<br />
£2<br />
__L<br />
22<br />
12<br />
11<br />
fice;<br />
• Scc.<br />
• Scc.<br />
Ces fradions proviennent descombres premiers impairs<br />
* 1 7.n_i3, *7> &c > en P arta g eant chacun en deUX<br />
,<br />
patries qui différent d'une unité, Sc prenant les parties<br />
paires pour les numérateurs , Sc les parties impaires pour<br />
les dénominateuts.<br />
i 8 6. Comparóos ces expreflions avec celle de IValus<br />
a. 4- 4. 6. 6.8. 8. -. 'o- 10. .»_ 12<br />
&c;<br />
i. 3- 3- 5* 5- 7- 7- 9<br />
OU<br />
11. 11<br />
_4_ _ 3 -3 5.5 7-7 _ 9^_? 11 . 11<br />
~T - T77 * T7T " "6. 8 8.10 10.12 Scc.<br />
comme<br />
DU DÉVELOPPEMENT D ES F A C TEU R S. 225<br />
comme ona * *r2g-\<br />
3-3 5-5 7.7 "•" 13-13 Scc.<br />
2.4 4.6 6.8 io. 12 12.14<br />
en divifant celle-lá par celle-ci, le quotient donnera<br />
3a 9 . 9 15.1; 21.21. 25.2f<br />
«•' 8.10 14.16 20.22 24.26 8cc.<br />
réfultat,dans lequel les numérateurs renferment tous les nombres<br />
impairs non premiers.<br />
287. Soit maintenant « B J , on aura A —- —; d'oii<br />
«_ • 3' 5' 7' IU a3» ifí<br />
32 S?_K3 5 : — 1 7*+i II'4-I 13) — 1 i7s— i<br />
Mais la ferie *<br />
_*<br />
«45 — " **" •• + -<br />
4 4 5 4<br />
donné<br />
*•«<br />
_J* _ 7 f<br />
945 2» — 1 3* — 1 . 5 — 1 7" •<br />
3 S<br />
ou<br />
4- Scc.<br />
5* n'<br />
13'<br />
960 3«_ 1 f~~í 7« _ x ÍI - T¡ I3«_"I<br />
i3«<br />
n tf — 1 13*— i<br />
Cette derniere ferie étant divifée par la premiere, donnera<br />
— =_ 3 * . 5' . 7 ! ; ii ; .13» ; 17»<br />
30 3'— I 5=4-1 7» — 1 II»—! _3¡-a- , 1754-!<br />
Et enfin celle-ci divifée par la premiere, donnera l'équation<br />
16 3¡ 4- 1 5>— 1 7$ 4-1 ir*4-i<br />
3¡ — 1 5; 4-1 7! — 1 IIJ_I " i3¡4- .<br />
OU<br />
14 62 172 666 1098<br />
-5 J 3 63 171 ¿65 1099<br />
! 3<br />
&c.<br />
133-1 * ---i&c.<br />
• 8cc.<br />
i3 ! 4-i<br />
Ces fradions font formées des cubes des nombres premiers<br />
impairs ; en partageant chacun en deux parties , qui différent<br />
d'une unité, Se prenant les parties paires pour les numérateurs<br />
, Sc les impaires pour les dénominateurs.<br />
EULE R., Introducción a l'Anal, infin. Tome I. 2 F<br />
Scc.<br />
8cc;<br />
•(i*7>
zz6 DES SERIES RESULTANTES<br />
288. On peut tirer encoré de ces expreflions de nou-<br />
•*/zg.s velles feries, dans lefquelles tous les nombres naturels for<br />
ment les dénominateurs. En effet, puifque *<br />
«r<br />
4<br />
3<br />
3 + 1<br />
5 7 11<br />
j — i 7 + 1 11 4-1<br />
on aura<br />
1<br />
•3<br />
13 — I<br />
6 ('^)0 + T)(-T)0 + 7)('^)(-^ &C<br />
dont le développement donnera la ferie fuivante<br />
1 I 1<br />
— = 1— — — f- 1 4 — —<br />
CI__i -_i.4-l4.i_H.<br />
"s<br />
&c.<br />
1<br />
- &c;<br />
IO<br />
6 a 3 4 5 6 7 " r » 9<br />
dans laquelle 011 obfervera pour la loi que fuivent les fignes ,<br />
que le nombre deux a le figne — , les nombres premiers de<br />
la forme 4-72 —- 1 , figne —, Sc ceux de la forme 4 m 4- 1, le<br />
figne 4-; quant aux nombres compofés, ils auront le figne ,<br />
qui leur convient, á raifon de leur compofition par la multipiication<br />
des nombres premiers ; c'eft ainfi qu'on trouvera<br />
facilement que la fradion -¿¿, á. caufe de tío =— 2. 2. 3. 5<br />
aura le figne —, On aura femblablement<br />
(-i)(-T)(-T)(' + 7)('^)(.-y &c -<br />
ce qui donnera la ferie<br />
*~'— 4- — — — 1<br />
4<br />
_L_±4_^4-^4-i-&c,<br />
6 7 8 9 10<br />
dans laquelle le nombre deux eft precede du figne 4-, les<br />
nombres premiéis de la forme 4/72 — 1 font precedes du<br />
figne —, Sc ceux de la forme 4 a. 4- 1, du figne 4-; Sc un<br />
nombre quelconque compofé aura le figne, qui lui convient<br />
a raifon de fa compofition , d'aprés les regles de la muí-,<br />
riplication.<br />
DV DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 117-<br />
185-. Enfuite, puifqu'on a *<br />
(-?)(' + T)0-7)(-¿K I+ ^<br />
on trouvera, en développant,<br />
-«+--*--_ 1 1 i 1 1<br />
— 4- - 4- — — &c.<br />
7 9 11 13 15<br />
II n'y a dans cette ferie que les nombres impairs, Sc la loi<br />
des fignes eft telle, que les nombres premiers de la forme<br />
4az -— 1 font precedes du figne 4-, tandis que les nombres<br />
premiers de la forme 4 m 4- 1 le font du figne —. Ce<br />
qui determine, en méme temps, les fignes des nombres<br />
compofés. Au furplus, on peut tirer de-la deux autres feries<br />
qui renferment tous les nombres. En effet, on aura<br />
(-T)(-T)C' + f)C'-7)('-í)(' + í)^<br />
dont le développement donne la fuite<br />
--14-Í.+ L + JL - L •+ ' + _L + i. + !_____. 1 te;<br />
2 3 4 $ 6 7 — 8 ~ 9 10<br />
dans laquelle le nombre deux a le figne 4-, les nombres<br />
premiers de la forme A m — 1 ont le figne 4- , Sc les<br />
nombres premiers de la forme 4 m 4- 1, le figne —.<br />
On aura auífi<br />
' (- + i)(-T)(-i)(-7)(-f,)0^)-<br />
Sc, en développant,<br />
2<br />
JL+±_.i_£<br />
3 4 J 6<br />
1 — * * ... 1 .<br />
— ~~ "o + — * — Scc.<br />
7 8 9 ^ 10<br />
oü le nombre deux a le figne — , les nombres premiers de<br />
la forme 4 — — 1, le figne 4-, Sc les nombres premiers d©<br />
la forme 4/a 4- 1, le figne —.<br />
a F ij<br />
# (2«5s><br />
I
I<br />
m<br />
I<br />
_B<br />
128 DES SERIES RESULTANTES<br />
290. Concluons de-lá qu'on peut varier a l'infini les fignes<br />
entr'eux, de maniere que la fomme de la ferie<br />
1 1<br />
T» — '<br />
1 1 1 1<br />
foit aífignable. Par exemple , puifque<br />
-,- 8- &c.<br />
/ = (-r)(-7)(-7)0+7)0^) &c -<br />
Multiplions cette expteflion par * l — z, nous aurons<br />
f (-i) (-7)0-1) 0 + 7)0-n-)*+h) (•+*) ~<br />
Sc , en faifant le développement,<br />
JL1 . ^ I ^ + I + i + ' + I + Scc/<br />
3 4 5 6 7 + T ?<br />
Ici le nombre deux a le figne 4-; les nombres premiers de la<br />
forme 4 az — 1 ont auífi le figne 4-; Sc les nombres premiers<br />
de la forme 4 az 4*. 1, excepté cinq, ont le figne —•-.<br />
DU DÍVELOPPEMENT DES FACTEURS. 129<br />
291. On peut auífi trouver une infinité de feries de cette<br />
forme, dont la fomme foit = o. En effet, puifqu'on a * * (177)<br />
J L...7 .<br />
4 6 8<br />
il s'enfuit que<br />
1<br />
11<br />
12<br />
_1L<br />
14<br />
'7<br />
18 8cc.<br />
'(-r)0+i)(-f)(-f)0^)(-T?) **<br />
Sc qu'en conféquence , comme nous l'avons déjá vu,<br />
1 1 1 I , I 1 1 1<br />
°- I -T-T + 4-T + '6"-?-8" + 9 10<br />
Tous les nombres premiers ont le figne — , Sc les fignes des<br />
nombres compofés fuivent la regle de la multipiication.<br />
Multiplions á ptéfent cette expreflion par '.^ =3» nous<br />
aurons pareillement<br />
'(-4)('ñ)(-7)(-f)(-n)(. + f5)*
1<br />
1<br />
130 DES SERIES RESULTANTES<br />
le figne —, la fomme de la ferie eft =0, Sc qu'au contraire<br />
toutes les fois que tous les nombres premiers, excepté<br />
quelques-uns feulement, ont le figne 4-, la fomme de la<br />
ferie eft infiniment grande.<br />
292. Nous avons donné (art.. 176*) la fomme déla ferie<br />
^_a I r<br />
A BS i „ 4- -<br />
2" 4<br />
5" 7" "" 8"<br />
. x ' l -.<br />
— n Scc.<br />
10" 11* 13"<br />
lorfque a eft un nombre impair : nous avons donc<br />
LA=— — — 4- s- — — A-—<br />
2» x" 4" %* io« 14*<br />
Scc: ajoutons,nous aurons<br />
' ' '<br />
/ I \<br />
B l<br />
= V**£)¿= -<br />
I ! I I I I I I<br />
+ + &ei<br />
f*+T*- —-+7p-i7» T? " ñ' v~* -<br />
i-_5BS i.! i- 4- — L_ __c# nous aurons, en ajoutant,<br />
,. r _5« J5. J5. .<br />
C- (I+I>= 1 + _._!_+_i L... i-—i- «ce.<br />
\
I<br />
232 D E S<br />
__. ___ a T 4<br />
2 3 3<br />
a 6 6<br />
V3 y 7<br />
SERIES<br />
8 10<br />
9 9<br />
12 18<br />
11 19<br />
RES ULTANTE S<br />
14 itf<br />
• —— • 8cc.<br />
«5 *S<br />
»3 *9<br />
Dans la premiere expreflion, les fraótions font formées des<br />
nombres premiers de la forme izm 4-6+ 1, Sc dans la<br />
derniere, des nombres premiers de la forme 12^4-1, en<br />
partageant chacun en deux patties, qui différent d'une unité,<br />
Sc prenant les parties paires pour les numérateurs, Sc les<br />
impaires, pour les dénominateurs.<br />
295. Examinons encoré la ferie que nous avons trouvée<br />
(art. 179) Sc qui étoit ainfi exprimée :<br />
* I I I I I I I , 0 .<br />
—— — i-j- —_—_ —4 h \-8CC = A, onaura<br />
2^2 3 5 7 9 11 11, 13 15<br />
1 , 1<br />
3 3 9 15 2! 27 l fouftraction,<br />
3j<br />
— A —<br />
7) 5 13 17<br />
Sc en faifant la<br />
Scc. = B.<br />
— B = -— — — — .4. — — Scc; ajoutez, Sc vous aurez<br />
(<br />
i \ I I I I I „<br />
14--IB— — -4 1 h-Scc. = C:<br />
5 ) 7 11 13 17 19<br />
Sc en fuivant le méme procede , vous arriverez enfin a<br />
cette expreflion :<br />
^(-T)(-7)(-f)('-f,)(^f3)0-f7)('-f5) & ^<br />
dans laquelle les fignes font tellement combines , que les<br />
nombres premiers de la forme 8 m 4- 1 , ou 8 m 4- 3 ont le<br />
figne<br />
Saz<br />
xV' x<br />
-, Sc les nombres premiers de la forme 87-24-5 ou<br />
7, le figne 4-. Ainfi , on aura<br />
2<br />
_7_<br />
8<br />
11<br />
10 14<br />
17<br />
16<br />
19 ; 23! scc;<br />
18 24<br />
oii tous les dénominateurs font ou divifibles par 8 , ou font<br />
feulement<br />
1<br />
DU DÉVELOPPEMENT DES FA C T E U R S. 235<br />
feulement les nombres impairement pairs. Puis donc qu'on a<br />
jr<br />
4<br />
-ir<br />
2<br />
* —<br />
1<br />
•x<br />
___!<br />
4<br />
_ _3_<br />
2<br />
=<br />
xV 2 - =<br />
.-L<br />
4<br />
6<br />
3-3<br />
2.4<br />
4<br />
7<br />
• ——<br />
. 7 8<br />
6<br />
._!_.<br />
4- 6 6.<br />
4<br />
11<br />
12<br />
11<br />
10<br />
Se par<br />
i.Zi.<br />
on en<br />
7<br />
6<br />
12<br />
14<br />
17<br />
16<br />
• — 17<br />
18<br />
conféquent<br />
7 11.<br />
8 10.<br />
concl ura<br />
11<br />
12<br />
11<br />
12<br />
•<br />
12.<br />
• -<br />
*3 — *<br />
12<br />
17<br />
18<br />
-9 — •<br />
20<br />
«9<br />
18<br />
*3<br />
14<br />
- •<br />
Scc:<br />
. # a—-<br />
20<br />
22<br />
a 3<br />
24<br />
231<br />
22<br />
Scc.<br />
Scc. *<br />
oii il n'y a plus de dénominateurs divifibles par 8, mais ou<br />
fe trouvent les nombres pairement pairs, toutes Jes fois qu'ils<br />
différent d'une unité des numérateuts ; Sc fi on divifé la<br />
premiere expreflion par la derniere, le quotient donnera<br />
I —: _3_<br />
4<br />
_6_ 9 10 11 „<br />
3 4 ? 7 7 8<br />
Ces fractions font formées des nombres premiers en partageant<br />
chacun en deux parties, qui différent d'une unité, Sc<br />
prenant pour les numérateurs tes parties paires , á moins<br />
qu'elles ne foient pairement paites.<br />
296. Pareillement , les" autres feries que nous avons<br />
trouvees pour les expreflions d'arcs du cercle (árt. 179 Sc<br />
fuiv. ) peuvent étre transformées en facleurs formes des<br />
nombres premiers. On peut ainfi trouver beaucoup d'autres<br />
propriétés, tant de ces facleurs que de ees feries infinies •<br />
mais comme j'ai rapporté ici les principales , je ne m'arréteraí<br />
pas pluslong-temps fur cet objet,.Sc je vais pafler a un autte<br />
fujet, qui a quelque rapport avec celui que je viens de traiter.<br />
En effet, ayant envifagé dans ce Chapitre la formarion des<br />
nombres , en tant qu'ils naiíTent de la multipiication , j'examineraidans<br />
le fuivant leur génération, en tant qu'elle fe fait<br />
par voie d'addition.<br />
EULER , Introducción a l'Anal, infin. Tome I. G<br />
8cc.<br />
•
wm<br />
1<br />
f<br />
134 DE L A PARTITION<br />
C H A P I T R E XVI.<br />
De la parúúon des Nombres,<br />
297. Propofons-nous cette. expreflion :<br />
(1 4-x*?) (1 4- x^zj(i4-x v 1) (14- x*%) (i+x ! ^) Scc.<br />
Sc cherchons la forme qu'elle prendra , étant développée par<br />
la multipiication. Suppofons qu'elle devienne<br />
i 4- P? 4- Qi* 4- R? 4- S? + Scc.<br />
il eft évident que P fera. la fomme des puiíTances<br />
x*-A-x° 4- áf« 4-.JC^ 4- x* 4- Scc. Enfuite Q fera la<br />
fomme des produits de deux puiíTances différentes, ou un<br />
aílemblage de plufieurs puiíTances de x , dont les expofants<br />
font les fommes de deux tetmes diíTérents de cette ferie<br />
«, C , y , 4- iy**» 4-aa*" 4- 8_c.)<br />
Scc.<br />
Au moyen de ces feries, on peut trouver tout de fuite de<br />
2 G ij<br />
';'• I<br />
ni<br />
•<br />
'11
f J<br />
n<br />
h<br />
136 DE LA PARTITION<br />
combien de manieres difTérentes un nombre propofé peut<br />
réfulter d'un nombre determiné de termes diíTérents de cette<br />
ferie 1,2,3,4,5,6', 7,8, Scc. Voulez-vous favoir, par<br />
exemple, de combien de manieres différentes le nombre 3 5<br />
peut étre la fomme de fept termes difFérents de la ferie<br />
1, 2,3,4,5,6", 7, Scc? Cherchez dans la ferie, qui<br />
multiplie *{ 7 , la puilTance x ls , Sc fon coéfficient 15 vous<br />
apprendra que le nombre propofé 35 peut étre de quinze<br />
manieres difTérentes la fomme de fept termes de la ferie<br />
> ,*> 3» 4» 5 > 6 >7> 8 > &c -<br />
301. Mais, fi vous,fuppofez -( = 1 , Se que vous fafliez<br />
une fomme des puiíTances femblables de x, ou, ce qui revient<br />
au méme , fi vous développez cette expreflion infinie<br />
(1 4- x) ( 1 4- x*) (1 4- x 3 ) (1 4- x*) (1 4- x s ) (1 4- x 6 ) Scc.<br />
vous aurez la fuite<br />
1.+. x 4-x*-A- 2x J 4- 2**4- 3«c s 4- 4X* 4- $x 7 4- 6x 9 4- Scc.<br />
dans laquelle chaqué coéfficient indique de combien de<br />
manieres différentes l'expofant de la puiílance correfpondanre<br />
de x, peut réfulter par addition des termes diíTérents de la<br />
ferie, 1, 2, 3 , 4, 5 , 6,7, Scc. Ainfi , il eft vifible quTl y a<br />
Cx manieres de former le nombre 8 par l'addition de<br />
diíTérents nombres. Les voici:<br />
8 = 8<br />
8 B j + 3<br />
8 = 7 4-1 8 = 54-24-1<br />
8 = 6 4-2 8=44-34-1<br />
II faut remarquer ici qu'on doit mettre auífi en ligne de<br />
compte le nombre propofé, parce que le nombre des termes<br />
n'eft pas determiné , Se que par conféquent on peut n'en<br />
prendre qu'un.<br />
302. On voit, par ce qui precede, comment chaqué<br />
nombre eft produit par l'aadition de nombtes diíTérents.<br />
Mais cette condition qui fuppofé des nombtes diíTérents n'aura<br />
DEsNoMBRES. 237<br />
plus lieu , fi nous tranfportons ces facleurs au dénominateur.<br />
En effet, foit propofée cecte expreflion<br />
1<br />
(^^^^-/^(i-^OÍi'-^fi-x^) Scc.<br />
laquelle étant développée par la divifion donne la ferie<br />
14- P\-A-Ql* 4-i?-( J 4-¿V4- Scc;<br />
il eft clair que P fera la fomme des puiíTances de x , dont<br />
les expofants font compris dans cette ferie<br />
«t, S , y, f, », f , JI, &C.<br />
Enfuite Q fera. un aílemblage de puiíTances de x, dont les<br />
expofants font les fommes de deux termes, répétés ou non ,<br />
de cette ferie. De plus, R fera Ja fomme des puiíTances dex,<br />
dont les expofants font formes par l'addition de ttois termes,<br />
Sc J la fomme des puiíTances , dont les expofants font formes<br />
par l'addition de quatre termes contenus dans cette ferie ;<br />
ainfi des autres.<br />
303. Par conféquent, fi on fuppofé que l'expreflion ait<br />
été entierement développée ,,Sc qu'on ait rafíemblé les termes<br />
femblables, 011 verra de combien de manieres difTérentes un<br />
nombre propofé a peut étre formé par l'addition de m<br />
termes, diíTérents ou non, de la ferie •*,£.-/, J 1 , e _. ¿?, Scc.<br />
Cherchons , par exemple , dans l'expreflion développée le<br />
terme x" % m , Se fon coéfficient que je fuppofé N, de forte<br />
que le terme total foit = Mx n z_ m ; ce coéfficient ./V nous<br />
apprendra de combien de manieres difTérentes le nombre n<br />
»eut étre formé par l'addition de m tetmes contenus dans<br />
f<br />
a fuite *,£_?-,
_____I<br />
I<br />
13S DE LA PARTITION<br />
dont le développement efTecTué par la divifion donnera<br />
i+{(* 4-x l 4- *' 4- ** 4- ~ 5 4- x 6 4- * 7 4- ** 4- *' 4- &c. )<br />
4- ^(x'-hx' + xx* 4- a* 5 4-3* 5 4- 3* 7 4- 4* 8 4- 4*' 4- 5*'° 4- &c.)<br />
4- .' (*' 4-**4--* J 4. j„í +. 4*7 _,_ 5*s -1- -r,.» 4. 8*'» _+_ ,0x ir 4- &c.)<br />
4-{«(**4-* s 4-a* í 4-3* 7 4- 5* 8 4- 6*» 4- 9*"' 4-XI* t ' 4- 15*' * 4-&C.)<br />
4- í>(*>4.* ff 4- 2*7 4- 3* 8 4- *' + 4- 8cc)<br />
4-^' (*'4-* 8 4- W'+JÍ' 4 + S*' "4-7*'*-+-11*' ; 4-i5-c' + -t-2i_'' 4- &c. )<br />
4-f. 8 (* 8 4* !> 4-2-; lo 4-3*" 4-J*'*-i-7*' i 4-ii*' + 4- 1J*,' ? 4- --* ,ff 4- &c.)<br />
SCC.<br />
On peut donc, 4 l'aide de ces feries , trouver fur le champ<br />
de combien de manieres difTérentes un nombre propofé peut<br />
étte formé par l'addition d'un nombte donné de termes de<br />
cette ferie i, 2 , 3 , 4, 5 , 6,7, Scc. Veut-on favoir, par<br />
exemple, de combien de manieres difTérentes le nombre 13<br />
peut réfulter de l'addition de cinq nombres entiets ? II faudra<br />
chercher le terme x x, $f.~9 dont le coéfficient 18 apprend<br />
que le nombre en queftion 13 peut étre de dix-huit manieres<br />
le réfultat de cinq nombres ajoutés.<br />
305. Si on fuppofé •( = 1 , Sc qu'on réunille en une<br />
fomme les puiíTances femblables de x, cette exprefiion<br />
1<br />
"(1— x)(i— x*)(i — x J )(i — x 4 )(i — x f )(i — x") Scc. J<br />
fe changera en cette ferie<br />
! _4- x-A- 2X l 4-3* J 4- 5* 4 4- 7xM- 1 ix s 4-i5x 7 4-2 2x 8 4- Scc.<br />
dans laquelle chaqué coéfficient marque de combien de<br />
manieres difTérentes l'expofant de la puifTance correfpondante<br />
peut étre formé par l'addition de .nombres entiers,<br />
foit égaux foit inégaux. Pat exemple , le terme nx 5 fait voir<br />
que le nombre 6 peut étre produit de onze manieres par<br />
l'addition des nombres entiers. Les voici :<br />
DES N O M B R E S .<br />
239<br />
6=6<br />
6 = 34-14-14-1<br />
6=54-1 6 24-24-2<br />
6 = 44- 2 6 24-24-14-1<br />
Í B 4 4 1 + 1 6 1+1+1+1+1<br />
6=34-3<br />
6= J + I + I<br />
6 14-14-14-14-14-1<br />
Remarquez auífi que le nombre propofé étant contenu dans<br />
la ferie des nombres 1, 2., 3 , 4^ 5 ,6, Scc. fournit luwnéme<br />
une maniere.<br />
306. Cela pofé en general, cherchons uneméthode facile,<br />
qui nous donne chacune des compofitions , dont vous venons<br />
de parler, Se prenons d'abord en confidération celle qui<br />
n'admet que des nombres entiers diíTérents , Se dont il. a été<br />
queftion en premier lieu. Soit donc propofée, a cet effet,<br />
1'expreflion íuivante<br />
Z B (1 4- x z) (1 4-x\) (1 4- x\) (1 4-X^) (1+x\) Sec.<br />
ui développée Sc ordonnée par rapport aux puiíTances de % ,<br />
3onne la ferie<br />
Z-.I4-P-Í4- Qf 4-^^4-5f 4-7Y 4-Scc.<br />
pour laquelle il s'agit de trouver une méthode expéditive<br />
d'obtenir les fondions P, Q,R,S3 T, Scc. de x; car on<br />
aura, par ce moyen , fatisfait d'une maniere convenable á la<br />
queftion propofée.<br />
307. Or il eft clair que fi on écrit x^ pour % , on aura<br />
(i4-x 1 í)(i4-x 3 í)(i4-x*-í)(i4-x^)Scc.=- T<br />
Done, en fubftituant x*( á \, la valeur dü produit, qui étoit Z,<br />
fe changeta en 1. x<br />
; ainfi , puifque<br />
Z B 1 4- P\4- (?**4-R^' + S^4- Scc.
I<br />
\<br />
240 DE LA PARTITION<br />
on aura<br />
gf ».-• = I 4- Pxi 4- QxX 4- ¿2*Y 4- 5 xY 4- 8CC.<br />
Multiplions donc par 1 4- x •(, 8c nous obtiendrons<br />
Z = i + Pxi 4-»2 x Y4--Rx'^4-a9xV4-Scc.<br />
4- x 1 4- PxY 4- «^x'f 4- i?xY 4- SCC<br />
Cette valeur de,Z comparée avec la premiere donnera<br />
P _ * .n— Pxl • p— °- x¡ • c___Rü_ 0<br />
-^ — T~7' Vf — T -- ^' K — a -- ?' ° — r~T4 Scc.<br />
On aura donc pour P, Q, R x S, Scc. les valeurs fuivantes<br />
P __--!—<br />
1 — *<br />
= — ' )('-*')<br />
i? =<br />
aS ==<br />
( l - * ) ( l * l )d— *')<br />
(l_*)(l_,>)(,_...)(,_ f l:4)<br />
_^J<br />
( I — *)(!—*»)( I - *»)(!— **)(l-*»)<br />
Scc.<br />
308. Nous pouvons donc obtenir féparément chacune<br />
des feries des puiíTances de x, qui doit nous apprendre de<br />
combien de manieres différentes un nombre propofé peut<br />
étte formé par l'addition d'un nombre donné de parties entieres.<br />
Au refte , il eft vifible que toutes ces feries font<br />
recurrentes , parce qu'elles font le réfultat du développement<br />
d'une fondion fradionnaire de x. En effet, la premiere<br />
expreflion P = —r-— donne la progreífion géométrique<br />
x 4- x* 4- x J 4- x 4 4- x s 4- x fi 4- x 7 4- Scc.<br />
laquelle fait voir évidemment que chaqué nombre eft contenu<br />
une fois dans la fuite des nombres entiers.<br />
309. La<br />
/<br />
D E S N O M B R E S. z^t<br />
309. La feconde expreflion ,l_xf(l_xx) donne la ferie<br />
x } 4- x + 4- 2x' 4- 2X* 4- 3X 7 4- 3X S 4-4X* 4- 4*'° 4- Scc.<br />
dans laquelle le coéfficient de chaqué terme apprend de<br />
combien de manieres l'expofant de x peut étte pattagé en<br />
deux parties inégales. Par exemple, le terme 4 x 9 marque<br />
que le nombre 9 peut étre partagé de quatre manieres en<br />
deux parties inégales. Si nous divifons cette ferie par x',<br />
nous aurons celle qui provient déla fradion -7 ¿ .<br />
favoir :<br />
I4-X4- 2X* 4- 2X» 4-3**4- 3 * r 4- 4x* 4- 4X 7 4- Scc.<br />
dont nous fuppoferons le terme general = JVx\ D'aprés la<br />
"génération de cette ferie, on fait que le coéfficient N indique<br />
de combien de manieres différentes l'expofant a peut<br />
étre formé par l'addition des nombres 1 Sc z ; Se puifque Je<br />
terme general de la premiere ferie _- Nx n +l, nous en<br />
conclurons ce thcoréme:<br />
^ On pourra partager le nombre n 4- 3 en deux parties inégales<br />
d'autant de manieres, différentes , qu'on pourra former U<br />
nombre n par l'addition des nombres 1 & z.<br />
310. La troifieme expreflion '(^(J^,__,,) , étant<br />
réduite en ferie, donnera<br />
x 6 4- x 7 4- 2X a 4- 3X* 4- 4X' 0 4- 5*" 4- yx" 4- 8x" 4-Scc.<br />
Le coéfficient de chaqué terme de cette ferie marque de<br />
combien' de manieres différentes l'expofant de la puiflance<br />
correfpondante de x peut étre partagé en trois parties inégales.<br />
Mais le développement de la fradion ¡ —-i—-—__<br />
donnera cette autre íerje<br />
i4-x4-ax , 4-3x J 4-4x 1} 4-5x , 4-7x 4 4-8x r 4-Scc.<br />
dont nous fuppoferons le terme general = Nx n . Ce coéfficient<br />
N indiquera de combien de manieres différentes<br />
EULER , Introduñion d ¿'Anal, infin. Tome I. x H
I<br />
'1.<br />
242<br />
DE LA PARTITION<br />
1 e nombre )mbi a peut etre foi tormé par l'addi l'addition des nombí nombres<br />
1, 2,3; ainfi le terme general de la ferie precedente étant<br />
Nx "+ 6 , nous en déduirons le théoréme fuivant.<br />
On pourra partager le nombre n 4- 6 en trois parnés inégales<br />
, a"autant de manieres qu'on pourra former le nombre n<br />
par l'addition des nombres 1 , 1 & 3.<br />
311. La quatrieme expreflion développée en ferie donnera<br />
,»o 4* x" 4- 2X ,X 4- 3X ,J 4- 5x ,4 4- 6x' y 4-9x ,(5 4- Scc.<br />
oü le coéfficient de chaqué terme fera connoitre de combien.<br />
de manieres différentes l'expofant de la puifTance correfpondante<br />
peut étre partagé en quatre parties inégales ; mais,<br />
íi on fait le développement de cette expreflion<br />
1<br />
(1—x) (I—-X a ) ( I — X J ) (i —X 4 )<br />
on obtiendra la premiere ferie divifée parx'°, c'eft-á-dire ,<br />
1 4- x 4- 2x* 4- 3x J 4- 5X 4 4- 6x*.4- 9X S 4- 1 ix 7 4- Scc.<br />
dont nous fuppofons le tetme general = Nx n ; il fuit de-Iá<br />
que le coéfficient N indique de combien de manieres difTérentes<br />
le nombre n peut étre formé par l'addition de ces<br />
jquatre nombres 1,2,3,4. ^ uxs done que le terme general<br />
de la ferie precedente doit étre —- Nx " + JO ; nous en conclurons<br />
le théoréme qui fuit:<br />
On peut partager le nombre n 4- i o en quatre parties inégales<br />
, d'autant de manieres différentes qu'on peut former le<br />
nombre n par l'addition des nombres 1,2,3 ¿> 4.<br />
312. Donc, en general, fi cette exprefiion<br />
-<br />
—; __ __ .<br />
(I—X)(I —x-)(i—X J J . (l—-X m )<br />
eft convertie en ferie •, Sc que le terme general foit<br />
le coéfficient N indiquera de combien de maniere? d\\ r<br />
Nx\<br />
diffé-<br />
rentes le nombre n peut étre formé par l'addition d des<br />
D E S N O M B R E S.<br />
nombres 1, 2, 3 , 4, m. Mais, fi cette expteflion<br />
m ( m 4- 1 )<br />
(1— X)(I — X*)(I— x 1 ) (1 — x 4 ) (1 — x m )<br />
eft changée en ferie, le terme general fera = N x fí + m(m ' i ~<br />
dont le coéfficient N marque de combien de manieres<br />
difTérentes le nombre a 4- -l^til peut étre partagé en m<br />
parties inégales; d'oü s'enfuit le théoréme :<br />
Le nombre de manieres différentes dont on peut former le<br />
nombre n par l'addition des nombres — _ * , » ^ , 3,4^ < p - - | _ r - - - - " —-_a_ m,efi<br />
^ a, , __<br />
le méme que celui dont onpeut partager le nombre n4- m( "" < "' )<br />
en m parties inégales.<br />
243<br />
313. Aprés avoir expofé la partition des nombres en<br />
parties inégales, examinons a préfent celle qui n'exclud pas<br />
l'égalité des parties, Sc qui réfulte de cette expreflion<br />
Z= *<br />
(i-xi) (i-* 1 * ; (i-*'0 (i-x
•a<br />
244 DE LA PARTITION<br />
En comparant, on trouvera<br />
P -1 rJL-.; Q «: --__-; J2= __--; * -_ __-_; &C.<br />
1—x » ^ 1 — ** * 1—a* 7 1 — ** »<br />
ce qui donnera pout P, @, i?, S, Scc, les valeurs fuivantes<br />
P -B<br />
R =-<br />
5 =<br />
1 — *<br />
(I-X)CI -**)<br />
(1—*) (i-**) (i—*')<br />
« • ••<br />
(1-*) (i-**) (i-* 1 ) ( I - * , «<br />
Scc.<br />
314. Ces expreflions ne différent de celles que nous avons<br />
données plus haut, qu'en ce que les numérateurs ont ici de<br />
moindres expofants que dans le cas précedent; Sc c'eft<br />
pourquoi les feries qui naiflent de leur développement, s'accordent<br />
parfaitement par les coéfficients; accotd qu'il a déjá<br />
été facile de faifír par comparaifon (art. 300 Sc 304) Sc dont<br />
la raifon eft á préfent connue. On en conclura donc les<br />
théorémes analogues que voici :<br />
Autant qu'd y a de manieres différentes de former le<br />
nombre n par l'addition des nombres 1,2, autant il y a de manieres<br />
différentes de partager le nombre n -+- 2 en deux parties.<br />
Autant qu'il y a de manieres différentes de former le nombre<br />
n par l'addition des nombres 1,2,3; autant il y a de<br />
manieres différentes de partager le nombre n 4- 3 en trois parties.<br />
Autant qu'il y a de manieres différentes de former le<br />
nombre n par l'addition des nombres 1,2,3,4; autant il y<br />
a de manieres différentes de partager le nombre n 4- 4 en<br />
quatre parties. Et, en general, on aura ce théoréme.<br />
Autant qu'il exifie de manieres différentes de former le nombre<br />
11 par l'addition des nombres 1, 2, 3 ni, autant il y a<br />
de manieres différentes de partager le nombre n 4- m en m<br />
parties.<br />
DES N O M B R E S . 245<br />
31 y. Qu'on ait donc ¿V trouver en combien de manieres<br />
un nombre donné peut étre partagé , foit en un nombre m<br />
de parties inégales, foit en un nombre m de parties , tant<br />
égales qu'inégales; ces deux queftions feront réíblues, fi on<br />
fait de combien de manieres chaqué nombre peut étre formé<br />
»ar l'addition des nombres 1, 2,3,4 ~» comme on<br />
Í<br />
e verra par les théorémes fuivants, qui dérivent de ceux<br />
qui précedent.<br />
Le nombre n peut étre partagé en m parties inégales 3 d'autant<br />
de manieres que le nombre n l—zü—L2_ peut étre formé<br />
par l'addition des nombres 1,2,3,4 m.<br />
Le nombre n peut étre partagé en m parties, foit égales ,<br />
foit inégales 3 d'autant de manieres que le nombre n — m peut<br />
étre formé par V addition des nombres 1,2,3<br />
Nous en déduirons ces autres théorémes.<br />
Le nombre npeut étre partagé en m parties inégales 3 d'autant<br />
de manieres que le nombre n — "v"-"~i/.. peut étre partagé en<br />
m parties , foit égales , foit inégales.<br />
Le nombre n peut étre partagé en mparties, foit égales,<br />
foit inégales, d'autant dé manieres que le nombre n «4-% *""•'<br />
peut étre partagé en. m parties inégales.<br />
316. Or la formation des feries recurrentes nous apprend<br />
de combien de manieres différentes un nombre donné n peut<br />
étre formé par l'addition des nombres 1,2,3,4<br />
m > U<br />
faudra, pour cela , développer la fradion<br />
(1 — *) (1 — **) (I - *») . II - X")<br />
& continuer la ferie recurrente jufqu'au terme Nx", dont<br />
le coéfficient N indiquera de combien de manieres le nombre<br />
a peut étre formé par l'addirion des nombres 1 , 2,<br />
3 , 4 . ... . m. Mais , ce moyen d'arriver ne laiíTera pas<br />
d'étre laborieux, pour peu que les nombres m Sc n foient<br />
grands; car l'échelle de relation que fournit le dénominateur<br />
m -
I I<br />
I<br />
i<br />
246 Di LA PARTITION<br />
développé pat la multipiication , eft alors compofé d'un plus<br />
grand nombre de termes, ce qui rend pénible la continuation<br />
de la ferie pouffée un peu loin.<br />
317. Au refte, cette recherche donnera moins de peine,<br />
ÍI On traite d'tbord les cas les plus fimples; car il fera<br />
facile de paíTer de ceux-ci aux cas plus compofés. En effet t<br />
fuppofons que la ferie, qui naít de la fradion<br />
(i-V) (1-*») Ci-.*-») (i-**)<br />
1<br />
ait un terme-general = _Yx", Sc que celle qui provient<br />
de la formule<br />
x m<br />
(i-x) {1 — X*) (1—*») (1— x m )<br />
ait pour terme general la quantité Mx", dont le coéfficient<br />
M indiqueta de combien de manieres différentes le<br />
nombre a — m* peut étre formé par l'addition des nombres<br />
1, 2,3 m. Retranchons cette derniere expreflion de<br />
la premiere, nous aurons pour refte:<br />
1<br />
( ,_*)(__*>) (i_x») ( i - x m ~ ¡ )<br />
Or il eft évident que le terme general de la ferie réfultante<br />
fera ( N— M)x n . Done le coéfficient N— M fera connoitre<br />
de combien de manieres difTérentes le nombre a peut étre<br />
formé par l'addition des nombres 1, 2, 3 .....(- —1).<br />
'318. Nous tirerons donc de-lá la regle fuivante :<br />
Soit Z le nombre de manieres, dont le nombre n peut étre<br />
formé par l'addition des nombres 1,2,3 (~ — 1).<br />
Soit M le nombre de manieres, dont le nombre a—m peut<br />
étre formé par l'addition des nombres 1, 2, 3 m.<br />
Et loit N le nombre de manieres , dont Je nombre a peut<br />
étre formé par l'addition des nombres r , 2 , 3 .. .. . m.<br />
Cela pofé, on aura, comme nous venons de voir ,<br />
l = N — M, Sc par conféquent 2V-= Z 4- M. Donc , fi<br />
DES N O M B R E S . 247<br />
nous trouvons de combien de manieres différentes les nombres<br />
n Sc n — m, peuvent étre formes par addition , le<br />
premier avec les nombres 1,2,3 (m — 1 ); & ]e<br />
fecond avec les nombres 1,2,3 az, il s'enfuivra que<br />
nous connoítrons auífi de combien de manieres différentes le<br />
nombre n peut étre formé par addition avec Jes nombres<br />
1 > 2 » 3 -• On pourra, a l'aide de ce théoréme ,<br />
pafier des cas les plus fimples, qui ne préfenrent aucune<br />
difficulté , aux cas de plus en plus compofés; Sc c'eft de cette<br />
maniere qu'a été calculée la Table ci-jointe *, dont voici<br />
I ufage.<br />
Voulez-vous favoir de combien de manieres différentes le<br />
nombre 50 peut étre partagé en 7 pames inégales ? Preñez<br />
dans la premiere colonne verticale le nombre 50 — •?-~= 22<br />
Sc dans la rangée horifontale fupétieute le chiffre romain VII,<br />
le nombre 52*placé dans l'angle vous donnera le nombre'<br />
de manieres, ^ue vous demandiez. Voulez-vous á préfent<br />
connoitre de combien de manieres différentes le méme nombre<br />
jo,peut étre partagé en 7 parties , foit égales, foit<br />
inégales ? Preñez dans la premiere colonne verticale le nombre<br />
50 -. 7 = 43 , le nombre 8946, qui lui correfpond<br />
dans la 7 e colonne, fera le nombre cherché. •<br />
319. Les feries verticales de cette Table, quoique recurrentes<br />
, ont cependant, avec les nombres narureis, triangulares,<br />
pyramidaux Sc fuivants,une grande connexion,que<br />
nous allons expofer en peu de mots. En effet, comme Ja<br />
fradion - ¡A — donne la ferie<br />
(1 — *). ( 1— xx)<br />
i 4-X4- 2X*4- 2X 3 4-<br />
3x 4 4-3*' 4- Scc.<br />
Sc conféquemment la fradion -•* celJe-ri<br />
(i —x) (1 —xx) tC1 e<br />
*<br />
C1<br />
x 4- x*4- 2X } 4- 2X 4 4- xx s 4- $ x 6 4- Scc.<br />
Si on ajoute ces deux feries, leur fomme donnera cette autre,<br />
J Voycz page aja.<br />
> .
248 DE LA PARTITION<br />
14- 2x4-3x*4-4x'4-J x 4 4-6x , 4-7x 6 4-Scc.<br />
quefournitle développement delafradion . _' . _^.x\= (^.¡¡y'<br />
Ce qui fait voir clairement que les termes numériques de<br />
la derniere ferie forment la fuite des nombres naturels.<br />
Donc en ajoutant deux termes confécutifs de la feconde<br />
ferie de la Table, on obtiendra. la fuite des nombres naturels<br />
, en fuppofant x = 1.<br />
i + i+i+_ + 3 + 3 + 4 + 4 + f + 5 + 6 + 6 4-&c.<br />
i + s 4-34-44-J4-C.4-74-84-94- 10 4-u 4-12 4- &c<br />
Done réciproquement la ferie des nombres naturels donnera<br />
la ferie fupérieure , en retranchant chaqué terme de la ferie<br />
fupérieure du terme fuivant de la ferie inférieure.<br />
3 20. La troifieme ferie verticale provient de la fradion<br />
- r— r—7 rr-« Mais "cOlTimA- r-r- =<br />
(x—x) (I — xx) (1 — x') *% ( I — *)'<br />
( 1 ••+•*) ( 1 4-* 4- xx ) ., "..,__•. * . ] ><br />
(I-X)(I -„)(,-,.) » » eft évident quen ajoutant<br />
(00) d'abord trois termes de cette ferie , enfuite deux termes<br />
de la ferie réfultante, on doit obtenir les nombres triangulares<br />
; ce dont il eft aifé de s'affurer par ce qui fuit:<br />
I+I4-1+ 3 + 4 + ! 4-74-8 4-10 4» 12 4- 14 4-16 4-19 4- Scc'<br />
14-24-44-6 4- 94-ia 4- 164-204-254- 304- 364-4*4-49 4-&c.<br />
1 4- 3 4- 6 4-104-154-214-284-36 4.454-55 4-664-78 4-91 4-&c.<br />
Réciproquement on voit comment on peut tirer la<br />
fupérieure de celle {des nombres triangulaires.<br />
311. Pareiliement, comme la quatrieme ferie provient<br />
de la fradion (l_x) {l _ xx')\l _xl)(l__ ^ , on aura<br />
(1 4-X) (14-*-*-**) (i4-x4-x»4-x») 1<br />
(1— x) (1— xx) (i— *•) (1 — X«) (I— X)*<br />
. Si dans la<br />
quatrieme ferie on ajoute d'abord quatre termes, enfuite<br />
trois<br />
J -<br />
DES N O M B R E S .<br />
H9<br />
trois dans la ferie réfultante , Sc enfin deux dans cette<br />
derniere , on trouvera la fuite des nombres<br />
comme íe fait voir le calcul fuivant.<br />
pyramidaux,<br />
1 4- 1 4- x 4- 3 4- s 4- 6 4- 9 4- n 4- 15 4-18 4- 23 4- 27 4- 5sc.<br />
x 4- 2 4-44- 7 4-11 4-i64-«3 4- 31 4- 41 4- ÍJ -+-67 4- 83 4- Sc».<br />
* + i 4- 7. + '3 4-22 4-344- 504- 70 4- 954-1254-1614-2034- Scc<br />
t 4- 4 4-104-204-35 4-564-844-1204-1654-2ao4-28¿4- 3644- &c.<br />
Semblablement la cinquieme ferie conduira aux nombres<br />
pyramidaux du fecond ordre, la fixieme a ceux du troifieme<br />
ordre ; ainfi de fuite.<br />
322. Donc , réciproquement on pourra , au moyen des<br />
nombres figures , former les feries qui fe trouvent dans leí<br />
tables par des opérations , que le calcul fuivant rendra fáciles<br />
á faifir.<br />
14-14-34-44-54-64-74-8 4-9 4-I0 4-&C<br />
l4-i4-24-24-3-t-34-44-4 4-5 4- $ 4- Seo IL<br />
* 4" 3 4- 6 4- 104- 154- 2i 4-28 4- 36 4- 45 4- 55 4- &c.<br />
1 4- 2 4- [4 4- 6 4- 9 4- 12 4- 16 4- 20 4- 25 4- 30 4- &c<br />
14-14-24-34-44-54-74- !8 4-10 4- 12 4- Scc. Ilt<br />
1 4- 4 4- 10 4- 20 4- 35 4- 56 4- 84 4- 120 4- 165 4- 220 4- &c.<br />
I 4- 3 4- 7 4- 13 4- 22 4- 34 4- 50 4- 70 4- 95 4- 125 4- &f.<br />
14-24-44-7 4- 11 4- 16 4- 23 4- 31 4- 41 4- 53 4- Scc.<br />
1 4- 1 4- 2 4- 3 4- 5 4- 6 4- 9 4- II 4- 15 4> 18 4- &C. IV.<br />
1 4- 5 4- 154- 35 4- 7° 4- 1264-210 4-330 4-495 4- 715 4- Scc<br />
1 4- 4 4-11 4- 24 4- 4* 4- 8* -1- 1304- 200 4- 295 4- 420 4- &c.<br />
1 4- 3 4- 7 4- 144- 25 4- 41 4- 64 4- 95 4- 1364- 189 4- Scc.<br />
1 4- 2 4- 4 4- 7 4- 12 4- 18 4- 27 -+- 38 •+• 53 4- 71 4- Scc.<br />
1 4- 1 4- 2 4- 3 4- 5 4- 7 4- 10 4- 13 4- 18 -4- 23 •+• Scc. V.<br />
Scc.<br />
EULER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. 2 I<br />
"-<br />
1 1
I<br />
m<br />
m<br />
tjo DE LA PARTITION<br />
Dans ces diíTérents groupes de feries, les premieres font leí<br />
* nombres figures, Sc en retranchant chaqué terme de"ia feconde<br />
ferie du terme fuivant de la premiere on forme la<br />
feconde. Puis on ajoute deux termes de la troifieme ferie,<br />
qu'on retranche du terme fuivant de la feconde, Se on<br />
obtient la ttoifieme ; Sc en continuant ainfi de fouftrairé lá<br />
fomme de trois , de quatre termes , ou d'un plus grand<br />
nombre , de la ferie ultérieure , du terme fuivant de la ferie,<br />
qui precede, on formera les autres feries, jufqu'a ce qu'on foit<br />
arrivé á celle qui commence par i 4- i 4- 2 Scc; Sc ce fera<br />
la ferie de la Table.<br />
323. Toutes les feries verticales de la Table commencent<br />
de la méme maniete, Sc ont continuellement unplus grand<br />
nombre de termes communs ; d'oü il s'enfuit qu'á l'infini ees<br />
féres deviendront identiques. On aura alors la ferie 3 qui<br />
provient de la fraclion.<br />
i<br />
(I—x) (1—x l )(i —x 3 ) (1—x 4 ) (i—x 5 ) (1—x 6 ) (i —X 7 ) SCC.<br />
Comme cette ferie eft recurrente , confidérons d'abord le<br />
dénominateur de la fradion pour en déduire l'échelle de relation.<br />
Or fi les fadeurs du dénominareur font continuellement<br />
multipliés entr'eux, 011 trouvera la fuite<br />
,__x-x*-t-x'4-*'-*' l -* ,5 4-* ll 4-* stf -^ M -* 40 '+- j:,, - f - &c -<br />
Sc fi on examine avec un peu plus d'attentipn la nature de<br />
cette fuite, on verra qu'elle ne renferme d'autres puiíTances<br />
de x, que celles dont les expofants font compris dans cette<br />
tyP) formule ^ nn±n . Si a eft un nombre impair, les puiíTances<br />
feront négatives, 8c elles feront pofitives, fi a eft un nombre pair.<br />
3 24. Donc l'échelle de relation étant<br />
4- 1, 4-1,0,0, -1,0,-1,0,0,0,0, +1,0,0,4-1,0,0, 8cc<br />
La ferie recurrente que donnera le développement de la<br />
fradion<br />
(i-.*)(i-**)íi-*')(--* 4 )l»-* , )0-* , )l 1 -*' } &p -<br />
CES N O M B R E S .<br />
151<br />
fera celle-ci:<br />
-4-x4-2X 1 4-3x 1 4-5x 4 4-7* , 4-iix 4 4-i5x 7 4-<br />
12x* 4- 30x^4-42x" 4-y6x M 4-77x'*4- IOIX ,, 4-<br />
I35X 14 4- I76x ,í, 4- 23ix ,tf 4- 297 ,7 4- 385X'* 4-<br />
490x' 9 4- 627x 10 4- 791 x" -A- I002x"4- I255X 11 4*<br />
1575 x' 4 Scc.<br />
Par conféquent dans cette ferie, chaqué coéfficient indique<br />
de combien de manieres difTérentes l'expofant de x peut fe<br />
former par l'addition des nombres entiers. Ainfi le nombre 7<br />
peut étre formé de quinze manieres par addition.<br />
7 = í + i<br />
7=54-*<br />
7 = 5 4-14-1<br />
7=44-3<br />
7 = 44-24-1<br />
7 = 44- 1 4- 1 4- 1<br />
7 = 34-34-1<br />
7 = 54-24-2<br />
7=44-1 4-1 4-1<br />
_%i_\i Sí on développé ce produit<br />
(i4-x)(i4-x*)(i4-x } )(i4-x 4 )(i4-x í )(i4-JC«) Scc.<br />
on aura la ferie qui fuit ,<br />
1 4-x 4-x*4-2X 3 4- 2X 4 4- 3x J 4-4*' 4-5X 7 4- 6"x* 4*j<br />
8x»4- iox 10 4- SCc.<br />
dans laquelle chaqué coéfficient marque de combien de<br />
manieres différentes l'expofant de x peut étre formé par l'addition<br />
de nombres inégaux. Ainfi le nombre 9 peut étre de<br />
kuit manieres différentes la fomme de nombres inégaux.<br />
9 = 9<br />
9 = 84-1<br />
9 = 74-2<br />
9 = 64-3<br />
9 s=a 6 4- 2 4- I<br />
7 = 3 4- 1 4- 1 4- 1 4- »<br />
7 _= z4- 24-24-1<br />
I<br />
73=24-14-1 +1 + 1<br />
7 = 24-14-14-14-14-1<br />
7 = l4-i4-i4-i4-i4-i4-t<br />
9 = 54-4<br />
9 = 54-3-4-1<br />
9 = 44-34-2<br />
2Üj
Pal<br />
I*<br />
1<br />
• 1<br />
ti<br />
1<br />
151 Di LA PARTITION<br />
326. Afin de pouvoir comparer ces formules entr'elles,<br />
fuppofons<br />
P = (i — x)(i— X^I — X^I — x 4 )(i — x')(i — x tf ,Scc.<br />
Sc<br />
Q = (i 4-x) (14-*•) (14-x J ) (1 4-X 4 ) (I 4-X') (I 4-X«) SCC.<br />
nous aurons<br />
PQ = (1—**KI— X*)(I— x s )(I—-X 8 ) (l-x ,0 )(l— x 11 ) Scc<br />
Comme tous ees fadeurs font contenus dans P, divifons P<br />
pat PQ, le quotient feta -^- = ( 1 — x) ( 1 — x») (1 — x')<br />
(1—x 7 ) (1 —x ? )8cc.<br />
Sc par conféquent<br />
p==- í L<br />
P- (1 — *) (1— *>; (1 — Í«')(I—»')(i— x>) &c<br />
Le développement de cette fradion produira une ferie, dans<br />
laquelle chaqué coéfficient apprendra de combien de manieres<br />
différentes l'expofant de x peut étre formé par l'addition<br />
des nombres impairs. Puis donc que cette expreflion<br />
eft égale á celle que nous avons confidérée dans I'article<br />
précedent, nous en conclurons le théoréme fuivant»<br />
Autant qu'il y a de manieres de former par addition un nombre<br />
donné, avec tous les nombres entiers inégaux entr'eux;<br />
autant il y a de manieres de former le méme nombre 3 par addition<br />
, avec les nombres feulement impairs, foit égaux foit<br />
inégaux.<br />
327. Comme nous avons vu ci-deffus que<br />
4-x 7 P =s 1 —- x —x — x"<br />
2 4-x-4- x 7 — x" — x" 4-x" 4-x 1 '—<br />
.u<br />
,••»<br />
Scc.<br />
on aura en mettant xx pour x,<br />
P Q = i __ x» _ *4 + x.<<br />
M 5 * — 8cc.<br />
i-H •-*> /•30 X 14<br />
_.-.<br />
65<br />
64<br />
¿5<br />
66<br />
6-,<br />
68<br />
É9<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ii<br />
1<br />
33<br />
35<br />
34<br />
34<br />
?5<br />
35<br />
35*<br />
3¿3<br />
374<br />
385<br />
397<br />
408<br />
410<br />
43*-<br />
2087<br />
2178<br />
2280<br />
237*<br />
2484<br />
258IÍ<br />
27 00<br />
2808<br />
8056<br />
8529<br />
9027<br />
9542<br />
10083<br />
IOÍÍ42<br />
11229<br />
11835<br />
><br />
i<br />
221<br />
ZA<br />
x6<br />
25<br />
zá<br />
31<br />
i\<br />
3 6 '<br />
EULER, Introducción h l'Anal. infi\<br />
I
I<br />
il<br />
w<br />
PQ<br />
_i<br />
í» *j<br />
5 ~S<br />
JO<br />
•3 -^<br />
•- »^ ** O ri NO Vo C\H C\ CNOO a*> i*s o v\ t D w í O - r t O W H M H f l m + V S M i A e o u C\»4 w » O 46 w, w \ A « \J d O K Vi »4 '« 5\ii IA K w rl »5 IA N M K<br />
•. r-i ri -TN -4" "x N CN «•• NO - í> L? X<br />
-a<br />
v^ ^ ^ ° °° •**»**•"« N "» O O -^ N S O \0 ri N C\ O Vo •- •*- N ri i- O >-. M m ri C\ N -«t" N «^ OO OO O C\ w w H I- rf- N VO °"><br />
v NO OB rt w *^ C\ fftOO .o O oo K K C\ "V O M O "CQ>- \D ^ "\ N H « V3 rt OV<br />
ri rr» w ^- + v^. i^«\0 VO<br />
MH**."*~*r^-— U ^ H O - ^ * ^ * NOS •+ ri N O O 'i» N + t i^ « ri •+ •^ O H rrsoo ri o oo vo o .«-.rovo NOO ^ M N •«*- N "i- O O "N -<br />
M .. ri «N -^- >*-• N CN ri NO « vo ^ - H •^ O co O m Vo —<br />
_ _ ,| H » i t W«00 E<br />
— CN •>*- — OO — N — »« CN VO ri NO VO O CN O -4-— m 0\ +VO H »^\0 o\ «Va oo CNOO N O tt i- c\ o ri —<br />
;N ri •$- N "- O «^.rt OCO 0\ 0 + CNVl va CN ->*- ^ NO ••< -I- O O + rs fv IvVS V3 M «•• M<br />
ri H *v-» 'o j . - f^ Js. N-\<br />
>NO CO CSC H -"t" VO ON ri .»> CN ~.CO<br />
^t- -^- ~^%<br />
HOc\CNOriNs<br />
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— N*-"" N « r^vo r^--^ eso «-•<br />
+ ^ S C\ H *í-\0 C^trtVO o\-«í-oo<br />
N vo >- es >^ •*• n o c\Vo -*-oo «~ t-» -4-VD eooo t + 0 O » CNOO r-~ - »i •*• H m H r t S r ) M O t + V 3 f C \ C \<br />
M w H .rv'í-v-ilv.OsrJ ^\ O «^ «. CNOO C\ is K Cv * + C\ C\\_l oo O O O — ^- ^ v^.-4-^ra v->»aoo *r%»« t-~4-*^- C\ »-• va O<br />
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ra. H CS^vOO O » »>f>^Vb NOO O « "N~>cc O 4- N « v - , 0 ^ 2 ^ |^ ^- x O o\ C\ O ri 0N-Í-« CN5C CNriVO ri O «a TiOO w^^vt^.<br />
N V0 00<br />
M M i- ri ri ri ffs^Tj-'t-m'-^VO N0OO0 0N ri "v -t V0 0O CN— »V0 «O •+N0 "NN— 0 *^ O >^-I t~^<br />
• ^ |N«8 CN— ri 4"V00C 3\ H TfVO<br />
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H. ri «^ N O "NOO -«NO N N N O - + H C N - 4-ri w N N O O T\-^-O0 »-SO •4-x-^vo ri CNri Neo ri woo «00 -+V0 N"">»»»CNV© ri Ooo OiM NVo CsVo CNNri «\ri CN'«^><br />
B H l ^ r t m m + v ^ ^ 0 í n 1 , * ^ A ^ l ^ « C ^ m ^ r t O ^ + O ^ + m M M B H + ^ _ O t 5 \ V ^ m M M l . m ^ o O V 5 m M M m ^ 5 O V a ^ + \ ^ G \ « r t « 4 o o t ' ^ • l ^<br />
__ _. „__ __ _j ti ti «, «s * + «VO VO NSO 0\ O ~ ri -n t^,Tj-VO tVO NOS N00 O H ri tVOOO T1-V__OO O r\ H >^^Oo--OVa riCO<br />
M»-MP^.«^VN0 W NOO OV» - f OO *^- ti CN N "*• « O CNOO. Neo NOO OO o O<br />
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— — - — " « - . " - i M r i r i r i r i r i r i r i r i<br />
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M M « ri ri w\ m 4 i^VO NOO CNO ** «TN'^-VOOO O ri t NC\H " ^ ¡ ^ 4- N «<br />
--* _.<br />
iO • MriNN^->^vNOOOri4-voCN— + N O w , N O H - « H V 0 - V » ^ O , ^ ' 0 , ^ " , V O H O O - + - O N » < N O N ,<br />
Í - — 0 \ o + ' 1 0 0 0 N , ^ T ' ' v r i - M O O O O<br />
^-J i—• WMw^-,•—< M H - H I - W ~ - I — « - « - « r i r i r i r i r i r i r i r i r i r i r i - f N N -<br />
, 4- N ao O ri<br />
ri NN íi- w» Vo NOO ÜN O «<br />
ri tr» f*N rrv ffN WN ff\w\WfAfft4 + ^-<br />
K* ^ !__; MririNN-r«''í-+'^w-vVoVaNNOOOOCNCNOO — ».ririHNW\'
DE í N O M B R E S .<br />
Sc en divifant cette expreffion par la premiere<br />
C--TZ • *»•—.-.•»-»-x'° •+-*'+_ *M _ x' Scc.<br />
i—x—x*-4-x' -r-*? — «'* — *•* -h* ll 4-*"> _ &c.<br />
*53<br />
Done la ferie Q fera. auffi recurrente, Sc fera éeale á la<br />
/*/ • I<br />
lene —» en multipliant celle-ci par i — x* — x 4 4- x 10 4-<br />
* 14 — x* 4 Scc. Ainíi., puifque (art. 314)<br />
-p= r 4-x 4-zx 1 4-3x'4-5x 4 4-7x í 4- IIX 4 4- I5x 7 4-<br />
2 2X» 4- 30X 9 4-Scc.<br />
Si on multiplie ce réfultat par<br />
1 — x* — x 4 4- x 10 4- x' 4 — Scc.<br />
on trouvera pour produit<br />
l4.*+w' + 3-'+ -*• -f- 7,1 H- nx< .+. 1JX7 .+. _,_» ^ 30x, + &c<br />
— X 1 — X> — xx* — 3** _ J*« -_. ?X1 _ lia;i _ , Jx» _ &c#<br />
— * • _ * ! _ sur* _ 3*? __ J4C« __ ^ ______ &Cf<br />
OU<br />
i -+- * 4- *' 4- ax» -*-»*• •+• 3*' + 4*' 4- j*» .+. fot + _„ + &c# __ Q<br />
Done avec la formation des nombres par l'addition de$<br />
nombres, tant égaux qu'inégaux, on aura celle des nombres<br />
par l'addition des nombres inégaux , Sc conféquemmenc<br />
celle des nombres par l'addition des nombres feulement<br />
impairs.<br />
328. Refte encoré a traiter Sc a expliquer quelques cas<br />
particuliers, qui ne font pas fans utilité pour faire connoitre<br />
la nature des nombtes. Conlidétons, par exemple, cette<br />
expreflion<br />
(1 4-x) (1 4-x') (14-x 4 ) (i 4 x 9 ) (i-z-x> 6 )(i-z.x>*) Scc,<br />
dans laquelle les expofants de x croiíTent en raifon double.<br />
Si on développé cette expreflion 3 on trouvera, á la vérité,<br />
la ferie<br />
1 4-x 4- x 1 4- x 1 4- x 4 4- x r 4- x' 4-x 7 4- x* 4- Scc.<br />
il
•<br />
*54 -^ E LA PARTITION<br />
Mais, comme on peut douter íi cette ferie continuera de<br />
fuivre la méme loi, Sc íi elle formera a l'infini une progreífion<br />
géométrique , examinons-la plus particuliérement. Soit á<br />
cet effet<br />
P _= (i + x)(i-+-x i )(i 4-x 4 )(r4-x')(i4-x") Scc.<br />
Sc fuppofons que le développement de cette quantité donne<br />
la ferie<br />
P _=_ i4-«x 4-£x* 4- 7X* 4- ¿x* 4- *x r 4- fx' 4- »x"<br />
4- 8 x 8 4- Scc.<br />
Or il eft clair que íi au lieu de x on écrit x x, on aura<br />
le produit '<br />
(i4-xx)(r4-x 4 )(i4-x*) (i4-x ,í )(i4-x 51 )8cc.=_^:-.<br />
ayant donc fait dans la ferie la méme fubftitution, on aura<br />
_____ ! ^¿x^-A-Zx* -A-yx s -z-s-x % A-tx l0 -*-Zx"-A-Scc.<br />
I •+• X<br />
Sc multipliant par i 4- x ,<br />
P—s i4-x4-*x 1 4-*x , 4-£x 4 4-£x , 4->x*4--,x*.<br />
4- íx 1 4- ¿x» 4- Scc.<br />
Cette valeur de P comparée avec la precedente, donnera<br />
ttB= i; c == * ;-y = *; t —- ¿; * = C; | = y ; » =By , Scc.<br />
Donc tous les coéfficients feront —- i; Se par conféquent<br />
le produit P, dont il eft queftion , étant développé , foutnira<br />
la ferie géomé trique<br />
I 4-x-; X 4-x 4 4-x í 4-x í 4-x 7 4- Scc.<br />
329. Puifque toutes les puiíTances de x fe trouvent dans<br />
cette fuite, Sc chacune une fois; concluons, d'aprés la forme<br />
du produit (1 4-x) (I 4-x*) (1 4- x 4 ) Scc , que tout nombre<br />
entier peut étre formé par 1'addition de termes diíTérents de<br />
la progreífion géométrique double, 1,2,4,8,16,32, Scc,<br />
Sc cela d'une maniere feulement. Cette propriété eft connue<br />
de ceux qui font dans l'habítude de faire des pefées ; car il*<br />
V<br />
'% h a »<br />
D E s N O M B R E S .<br />
2 »<br />
íavent qu'avee des poids feulement de 1,1,4,8,16,32^<br />
Scc. livres, ils peuvent faire toutes les pelees poífibles , tant<br />
qu'il n'y aura pas de fra&ions de livre. Ainfi , avec ces dix<br />
poids, favoir 1«% 2^, 4^, 8 *% 16^, 32^, 64^, 128^<br />
z_)6 fi ~,_yiz ti ~, on peut pefer jufqu'i 1024***, Sc íi on y<br />
ajoute un poids de 1024^", on pourra pefer jufqu'a 2048'*".<br />
330. On fait de plus dans lapratique qu'avee un moindre<br />
nombre de poids, Sc qui croiíTent en raifon géométrique ,<br />
favoir, 1 , 3 , 9 , 27 , 8 r, Scc, on peut pareillement faire<br />
toutes les pefées poííibles , á moins qu'on n'ait befoin de<br />
fradbions. Obfervez que dans ce dernier cas , on ne place<br />
pas les poids d'un feul cote de la balance, mais des deux<br />
cotes , á la fois , s'il eft néceíTaite. Cette pratique eft fondee<br />
fur ce qu'en prenant toujours des termes diíTérents de la<br />
progrefiion - géométrique triple, 1 , 3 , 9 , 27, 81, Scc ; 011<br />
peut, par l'addition Sc pat la fouftracTion, former tous les<br />
nombres entiers imaginables. En efTet<br />
1 = 1<br />
2 = 3 — 1<br />
3 = 3<br />
4=34-1<br />
5 _ 9 — 3 4- 1<br />
6 = 9 - 5<br />
7 -= 9 — 3 4- 1<br />
8 = p — 1<br />
Scc.<br />
9 = 9<br />
1 o = 9 4- 1<br />
11 B 9 4- J —<br />
12 = 9 4-3<br />
331. Pour démontrer cette vérité, je prends ce produit<br />
compofé d'un nombre infini de fa&eurs<br />
(ÍÍ-'+I 4-x 1 ) (x- J 4- 1 4- x') (x' s 4- 1 4- x s )<br />
(x " 17 4- 1 4-x 17 ) Scc. = P,<br />
lequel étant développé, ne donnera d'autres puiíTances de x<br />
que celles dont les expofants peuvent étre formes par les<br />
nombres 1, 3 , 9 , 27, 81, Scc, foit en les ajoutant, foit en<br />
les fouftrayant. Mais obtiendra-t-on toutes les puiíTances,
I<br />
i<br />
I<br />
156 DE LA PARTITION DES NOMBRES.<br />
Sc chacune d'elles feulement une fois ? C'eft ce que je<br />
cherche de la maniere fuivante. Soit<br />
P = Scc. 4- fX- , 4-¿x- , + íljf'+ 1 .+. aJC« + cx*<br />
•4- y X' 4- f x* 4- «x* 4- Scc.<br />
Or il eft évident, que,fi au lieu dex on écrit x', on aura<br />
*" ' 4-.I4-*'<br />
• Scc. 4-¿x" s 4-^zx*'4-I4-«x , 4- Cx*<br />
4- yx' 4- SCC.<br />
Done P == J<br />
- 3<br />
.«x" , 4-aíx" í 4-
2j 8 DE<br />
A =<br />
5 =<br />
C =<br />
X> =<br />
E =<br />
L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
a<br />
*A<br />
«B<br />
«C<br />
a.D<br />
b<br />
cA<br />
GB<br />
CC<br />
Scc.<br />
c<br />
yA<br />
yB<br />
d<br />
*A 4- c<br />
Or le terme general ou le coéfficient de la puilTance \ n , fe<br />
trouve en décompofant la fraclion propofée en fraólions<br />
limpies, dont les dénominateurs foient les facleurs du dénominateur<br />
i — a ? —G77 — 7-7- — Scc, comme on l'a vu<br />
( Chap. XIII. )<br />
334. Quant á la forme du terme general , elle dépend<br />
principalement de la nature des facleurs fimples du dénominateur,<br />
fuivant qu'ils font réels ou imaginaires , inégaux entre<br />
eux , ou égaux deux á deux, ou en plus grand nombre.<br />
Pour parcQurir ces diíTérents cas par ordre, fuppofons d'abord<br />
que tous les facleurs fimples du dénominateur foient<br />
réels Sc inégaux entr'eux. Soient done tous les facleurs íim-*ples<br />
du dénominateur (1—p%) (1—q${i—r7) (1—ST)<br />
Scc ; au moyen defquels la fraclion propofée puiíle étre<br />
décompofée en ces autres fraólions íimples ——<br />
Pl<br />
B C D<br />
4- Scc. Celles - ci étant<br />
1 —?í<br />
connúes<br />
1 — rx j — si<br />
le terme general de la ferie recurrente fera =<br />
l" (Áp n -A- Bq n 4- Cr" 4-D."4- Scc.) que nous ferons<br />
== P^ n , c'eft-á-dire, que P fera le coéfficient de la puiffance<br />
-(", Se ceux des puiíTances fuivantes feront Q, R, Scc,<br />
de maniere que la ferie recurrente deviendra<br />
A -A-BI-A-C^-A- D^ -A- + Pf + ^ " + ' 4-<br />
R^' 1 -*- 1 4- Scc.<br />
335. Suppofons á préfent n un nombre tres-grand, ou<br />
la ferie recurrente continuée jufqu'a un trés-grand nombre<br />
-_<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQÜAT. 259<br />
de termes ; comme Jes puiíTances des nombres inégaux font<br />
elles-mémes d'autant plus inégales , qu'elles font plus élevées,<br />
il y aura une f\ grande difTérence entre les puiíTances Ap n ,<br />
Bq n 3 C r", que celle, qui réfultera du plus grand des nombres<br />
P-i q •> r y Scc, furpaflera beaucoup en grandeur les autres, Sc<br />
que celles-ci deviendront abfolumeut nuiles a l'égatd de la<br />
premiere, fi n eft un nombre infiniment grand. Les nombres<br />
P•> q •> r, Scc, étant donc inégaux entr'eux , fuppofons p le<br />
plus grand de tous; par conféquent, fi n eft un nombre<br />
infini, on aura P = Ap n ; mais fi n eft feulement un nombre<br />
trés-grand, on aura á-peu-prés P = Ap n ; on aura pareillement
I<br />
I,<br />
1<br />
•<br />
160 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
ou du figne — , car dans les deux cas, fes puiíTances augmentent<br />
également.<br />
337. II eft aííez facile a préfent de voir comment fe peut<br />
faire l'application de ces principes á la recherche des racines<br />
d'une équation algébrique quelconque. En eíTet, les faóleurs<br />
du dénominateur 1 — «-( — £%*— y\^ — «^^ 4 — Scc. étant<br />
connus, on aflignera facilement les racines de cette équation<br />
1 --«s--X m ~' — SCC.= 0,<br />
on aura , á l'aide de la méme méthode , la plus gtande<br />
racine de cette derniere équation, favoir x =p><br />
338. Soit donc propofée cette équation<br />
x' etx m - t — £x m -*—yx m - 3 — Scc. = o<br />
laquelle ne renferme que des racines, réelles Se inégales<br />
entr'elles, on trouvera de la maniere fuivante la plus grande<br />
de ces racines. Formons des coéfficients de cette équation<br />
la fraólion<br />
_¡ 4- ¿g 4- c^ -4-¿{i-t-&c.<br />
1 — «£ — e^ 1 — yx 1 — ¿ l* -*- &c -<br />
Sc de .cette fraólion , une ferie recurrente, en prenant a<br />
volonté le numérateur, ou , ce qui revient au méme, en<br />
prenant arbitrairement les premiers termes ; de maniere<br />
qu'elle foit<br />
A-4-Bi-A-C^-A-D^-h -A-PK n -hQi ,, + t ;<br />
h fraólion -J- donnera la valeur de la plus grande racine x<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT. 261<br />
de l'équation d'autant plus approchée , que n fera un plus<br />
grand nombre.<br />
EXEMPLE I.<br />
Soit propofée l'équation xx — 3X— 1 =0, dont ¿l<br />
sagit de trouver la plus grande racine.<br />
Formons la fraólion — ; en prenant pour premiers<br />
termes 1,2, nous aurons la ferie recurrente<br />
-> 1,7-. 2 3> 7 6 » 2 5*> «»9» i738, ^-c.<br />
Donc la quantité -vrr - approchera de la valeur de la plus<br />
grande racine de l'équation propofée. Or la valeur de cette<br />
fraólion exprimée en decimales eft<br />
3>3 0i 7744 _<br />
tandis que la plus grande racine de l'équation —= -—t—íl —<br />
3, 30277 5 6<br />
laquelle furpaíTe la precedente feulement d'un millioniéme.<br />
Remarquez au refte que les fraólions-r- font altetnativement<br />
plus grandes Sc plus petites que la vraie-racine.<br />
EXEMPLE II.<br />
Soit propofée l'équation 3X — 4X 3 =1, dont les racines<br />
repréfentent les finus de trois ares 3 dont les triples ont un<br />
finus = -f.<br />
Ayant ramené l'équation á la forme o = 1 — 6x *4- 8x ? ,<br />
cherchons-en, pour nous en tenit aux nombres entiers, la<br />
plus petite racine, de maniere qu'il ne foit pas néceífaire de<br />
mettre — pour x. Formons donc en conféquence la fraólion<br />
a -A- b x 4- trxx<br />
1 — 5x f 4- 8 x 3<br />
Sc comme les trois premiers termes font á notre choix ,<br />
(W)<br />
——•-—
,<br />
B<br />
i<br />
261 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
nous prendrons o,o,.r, pour rendre, par ce moyen, le<br />
calcul plus expéditif; ce qui nous donnera, en omettant les<br />
puiíTances de x, parce que nous n'avons befoin que des<br />
coéfficients, la ferie recurrente fuivante<br />
o; o; 1 ; 6; 36; 208 ; 1200; 6912; 39808; 219248.<br />
La valeur approchée de la plus petite racine de l'équation fera<br />
donc = 39808<br />
a.9a48 = - ^ r = 0,1736460, laquelle conféquemment<br />
devroit étre le finus de l'angle de 10 o ; mais, fuivant<br />
les Tables, ce finus eft 0,1736482 ; quantité, qui furpaíle<br />
la racine trouvée auparavant de •_.,_" •• Au refte, cette<br />
IOOOOCOO<br />
méme racine peut- fe trouver plus facilement en faifant<br />
x = i y, pour avoir l'équation 1 — 3 y * 4- y 1 = o.<br />
Traitée de la méme maniere que la precedente, elle donnera<br />
la ferie<br />
0 -o, 1,3, 9, 26,75, 216,622, 1791 , y 157, Scc.<br />
On aura donc pour la valeur approchée de la plus petite<br />
• I 79 I x 99 T\ a<br />
racine y = -4^- = — =0,3472949. Doncx = \y —-<br />
0,1736479; valeur dix fois plus approchée que la precedente.<br />
EXEMPLE III.<br />
On veut connoitre la plus grande racine de la meme équanon<br />
\on propofée 0 = 1 — 6 x * 4- 8 x'.<br />
Soit x =—- ; 011 aura y' * — y y 4-1=0. On trouvera<br />
la plus grande racine de cette équation par une ferie recurrente<br />
, dont l'échelle de relation eft o, 3,-1, d'oü<br />
réfulte, les trois premiers termes ayant été pris á volonté ,<br />
la ferie<br />
t» i,i. i, i» 5» 4» *3 »7» 35» 8 >9 8 » — XI » &c.<br />
Et comme on arrive á des termes négatifs, c'eft une preuve<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES llQUAT. 263<br />
que la plus grande racine eft négative; en effet x =—fin. 70 o<br />
= — 0,9396926. II faut donc avoit égard á cette circonftance<br />
dans le choix des premiers termes, en cette maniere :<br />
1 _ 2 .4- 4 __ 7 + H _ M -H 49 __ 89 4- 172 —<br />
316 4- 6oj — Scc.<br />
— 605<br />
d'oü l'on tire y —-<br />
& = va<br />
... , 3'6 * ~~6¿~ 632 ~ °>957> *e«r,<br />
qui s ecarte beaucoup de la vérité.<br />
319. La raifon de cette difTérence vient fur-tout de ce<br />
que les racines de l'équation propofée étant fin. 10". fin. 50 o ,<br />
Sc — fin. 70 o , Jes deux plus grandes différent li peu J'une de<br />
l'autre , que ^ dans les puiíTances , «jufqu'auxquelles nous<br />
avons continué la ferie, la feconde racine fin. 50 o a encoré<br />
un rapport fenfible avec la plus grande, Sc qu'elle ne difparoít<br />
pas á l'égard de celle-ci. Le faut, que nousobfervons,<br />
vient auíli de ce que Jes valeurs trouvees deviennent alter- ( rr '<br />
nativement trop grandes Se trop petites. Ainfi, en prenant<br />
y -^.«dericn. - • = « • - -=# ^ « f t<br />
En elTet, comme les puiíTances dé la plus grande racine<br />
deviennent alrernativement pofitives Sc négatives, les puiffances<br />
de la feconde racine font auíli alternativement<br />
ajoutées Sc retranchées : c'eft pourquoi, pour rendre cette<br />
difTérence infeníible , on doit continuer la ferie beaucoup<br />
plus loin.<br />
34©. Mais on peut remédier d'une autre maniere á cet<br />
inconvénient, en transformant, au moyen d'une fubftitution<br />
convenable, l'équation en une autre , dont les racines ne<br />
foient pas fi voiíines. Par exemple, íi dans l'équation o =<br />
1 — 6x4- 8 x' dont les racines font — fin. ~o° , 4- fin. 50 o<br />
4- fin. 10 o , on fait x —- y — 1 , Téqu-ition o = 8y 3 —<br />
zAyy 4-18^ — 1, aura pour racines 1 —fin.70 0 ; 1 -A-fin.fo%<br />
1 4- fin. 10 o ; Sc par conféquent la plus petite racine
264 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
fera 1 —fin. 70°, tandis qu'auparavant celle-ci fin. 70 o étoit<br />
la plus grande de l'équation precedente ; Sc á préfent<br />
!_: .4-. fin_ 50 o eft la racine la plus grande, lorfque précédemment<br />
la racine fin. 50 o étoit la moyenne. Ainfi, une<br />
racine quelconque pourra, par le moyen d'une fubftitution ,<br />
devenir la plus grande ou la plus petite d'une nouvelle<br />
équation , Sc étre en conféquence détetminée par Sa méthode<br />
que nous venons de donner. De plus , comme dans<br />
notre exemple la racine 1 — fin.-jo 0 eíl beaucoup plus<br />
petite que les deux autres , il fera facile d'en avoir la valeur<br />
approchée par une ferie recurrente.<br />
EXEMPLE IV. • -<br />
Trouver la plus petite racine de l'équation o = 8 y' —<br />
24y * _+_ 18 y —' 1 , qui étant foufiraite de l'unité donnera<br />
pour refte le finus de l'angle de 70 o :<br />
Soit y = \i, pour avoir o -- \ - — 6 1 *¿ *•" 9 í ~~" I »<br />
dont la plus petite racine fe trouvera par une ferie recurrente<br />
, dont l'échelle de relation eft 9, — 6, 4- 1 , Sc la<br />
plus grande , en prenant l'échelle de relation 6,—9,4- 1.<br />
Pour avoir la plus petite, formons donc cette ferie<br />
1, 1, -> 4» 3*> z 5 6 ' ZI22 > -7593» H5 8(í - "•> &c -<br />
nous aurons á-peu-prés ? =-{^üf =.0,11.061483 Sc<br />
y = 0,06030741, bL fin. 70 o = 1 —y = 0,93969258,<br />
valeur qui ne s'écarte pas de la vérité , méme dans le dernier<br />
chifTre. On comprend donc par-lá combien il peut etre<br />
avantageux de transformen par une fubftitution convenable,<br />
une équation, pour en trouver les racines, Sc que par ce<br />
moyen la méthode que nous avons expliquée, ne s'applique<br />
pas feulement á la recherche des plus grandes Sc des plus<br />
petites racines , mais qu'elle peut les donner toutes.<br />
341. Ayant donc trouve par approximation une racine<br />
quelconque d'une équation propofée , de maniere que le<br />
nombre k. par exemple , difiere trés-peu d'une des racines,<br />
1 nous<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT 165<br />
nous ferons x -k =y, ou * = y .+.*, Sc par ce moyen<br />
nous aurons une eqiiation, -dont la plus petite racine fera' =<br />
x —k; Se ñ nous la cherchons par une ferie recurrente ce<br />
qui lera tres-facile, puifque cette racine eft beaucoup plus<br />
penre que les autres en l'ajoutant á *, nous aurons une<br />
des vraies racines x de l'équation propofée. L'ufa * • 9? 33 > J AU 0 9 > --5 8 5> ^945, Scc.<br />
EULER, Introduciion a [Anal, infin. Tome I. z L '<br />
\<br />
•<br />
I
1 p<br />
4<br />
z66 DE L'USAGE DES SERÍES RECURRENTES<br />
Car elle fera á-peu-prés —.-——— __0j¡1^j . or x^6\ eft<br />
á-peu-prés = Vj, qui eft la plus grande racine de l'équation.<br />
343. Quoique le numérateut de la fraólion qui forme la<br />
ferie recurrente, foit arbitraire, cependant la forme qu'on<br />
lui donne , peut contribuer beaucoup á trouver plus promptement<br />
la valeur approchée de la racine. En effet, ayant<br />
pris , comme ci-deíius (art. 334) les fadeurs du dénominateur<br />
; foit le terme general de la ferie recurrente =-<br />
2?(kp n -\- B«7 n 4- Cr n 4- Scc.) cés coéfficients A,B,C,<br />
Scc, fe détermineut par le numérateur de la fraólion ; par<br />
conféquent il peut arriver que A ait une valeur grande ou<br />
petite; dans le premier cas, la plus grande racine/- fe trouve<br />
plutót, Sc dans le fecond, plus tard; on peut méme prendre<br />
un numérateur qui faíTe difparoítre entierement A;<br />
alors la ferie , quoique continuée a l'infini, ne donnera jamáis<br />
la plus grande racine p. Or cela arrive , lorfque le<br />
numérareur qu'on a choifí, alui-méme pour faóleur, 1 —p\ ,<br />
car alors ce faóleur foftjra entierement de l'expreífion. Par<br />
exemple, fi on propofé l'équation x' — 6 x x 4- 1 o x.— 3 = o,<br />
dont la plus grande racine — 3, Se qu'on en forme la fraólion<br />
• - - _____3ÍL__,<br />
1 — 65 4- ios 1 — 3 x'<br />
de forte que l'échelle de relation foit 6, — 10 , 4obtiendra<br />
la ferie<br />
•<br />
1, 3» 8, 11, 55, 144, 377, Scc.<br />
dans laquelle le rapport de deux termes n'approche nullement<br />
de 1 : 3. La raifon en eft que la "méme ferie provient<br />
de la fraclion • , Sc qu'elle donne par<br />
1<br />
— 31 •+• íí<br />
conféquent la plus grande racine de l'équation x a — 3x4-<br />
I S— O.<br />
344. 11 eft encoré poííible de prendre un numérateur, qui<br />
falle connoitre par la ferie recurrente telle racine qu'on<br />
on<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQÜAT. 267<br />
voudra de l'équation; il faut pour cela que le numérateur<br />
ioit le produit de tous les fadeurs du dénominateur excepté<br />
celui, auquel répond la racine cherchée. Ainfi' en<br />
prenant dans le premier exemple le numérateur 1 — i ? _¿ r y<br />
la fraólion —— - donnera cette ferie récur-<br />
1 —Oí-Hioj*—*3j'<br />
\<br />
vv "" ¡«-nv áci-ur-<br />
rente 1, 3, 9, 2?j 81. 243 , &c, laquelle formant une<br />
progreífion géométrique donne tout de fuite la racine x == 3 ;<br />
car cette fradion eft égale á cette fradion fimple—i~.<br />
II fuit de-lá que fi les premiers termes qu'on peut prendre<br />
á volonté, font tels qu'ils forment une progreífion géométrique<br />
, dont 1 expofant foit égal á une racine de l'équation<br />
, toute la ferie recurrente fera géomérrique, Sc don- *<br />
ñera par conféquent cette racine, quoiqu'elle ne foit ni la<br />
plus grande ni la plus petite.<br />
345- Ainfi, pour n'étre pas expofés, lorfque nous cherchons<br />
la plus grande ou Ja plus petite racine , á trouver<br />
contre norre artente, une aurre racine par la ferie recurrente<br />
, il faut choifir un numérateur qui n'ait aucun fadeur<br />
commun avec le dénominateur; ce qui fe fera, en prenant<br />
1 unité pout numérateur. Donc le premier terme de la<br />
ferie fera = 1 , Sc avec celui-lá, on déterminera tous les<br />
autres , d'aprés l'échelle de relarion. De cette maniere on<br />
lera toujours sur de trouver la racine de l'équation , la plus<br />
grande ou la plus petite » felón qu'on le défire Ainfi<br />
s'étant prooofé l'.équation y' * — 3y H- J =-_ 0 f áom Q¿<br />
veut connoitre la plus grande racine, au moyen de l'échelle<br />
de relation o , 4- 3 , — 1 , on formera , en commencant<br />
par 1 unite , Ja ferie recurrente fuivante<br />
!— 04-3 — 14-9 — 64-28 — 274-90 — 1094-297— ,<br />
417 4-1000— 1548 4-3417 —5644 4- &c.<br />
laquelle tend manifeftement á un rapport conftant, Sc faít<br />
voir que la plus grande racine y eft négative. Se qu'elle eft<br />
2 L i)
B<br />
(")<br />
268 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
á-peu-prés y = - = ——— =— 1,651741 , tandis qu'elle<br />
devoit étre = — 1,86793852. On a vu auparavant la<br />
raifon pour laquelle on arrive fi lentement á la vraie valeur,<br />
c'eft que l'autre racine n'eft pas beaucoup moindre que la<br />
plus grande, Sc que d'ailleurs elle eft pofitive.<br />
346. Aprés avoir bien examiné ce que nous avons dit en<br />
general, Sc á l'occafion des exemples que nous avons rapportés<br />
, on reconnoítra fans peine la. grande utilité de<br />
cette méthode pour trouver les racines des équations. Nous<br />
avons fuffifamment indiqué les moyens'qui peuvent abréger<br />
les opérations, Sc les rendre plus fáciles, de forte que nous<br />
n'aurions rien á ajouter, s'il ne reftoit á examiner les cas,<br />
oü l'équation a des racines égales ou imaginaires. Suppofons<br />
donc que le dénominateur de la fradion<br />
a -4- b\ -f- c\ % -4- aV 4- &c.<br />
I _ aj — £?» — yl* — ¿l*— &C.<br />
renferme le fadeur ( 1 —/»?)'» outre les autres fadeurs<br />
1 — q^ , 1 — r^, Scc. Le terme general de la ferie qui en proviendra,<br />
fera donc = % "[(«4-1) A/>"4- Bp n 4- Cc7 n 4-8cc].<br />
Pour favoir quelle valeur en réfultera , lorfque n eft un<br />
nombre trés-grand, diftinguons deux cas, celui oup eft un<br />
nombre plus grand que les autres q ,r,SCc 3Sc celui oü p ne<br />
donne pas la plus grande racine. Dans le premier cas, oü p eft<br />
la racine la plus grande, á caufe du Coéfficient ( n 4- 1), les<br />
autres termes.B/-" 4- C q n Scc, ne s'évanouiront pas á l'égard<br />
du premier, auífi-tót qu'auparavant; Sc fi q eft >•/>, le terme<br />
(n -+- i)A.p n ne diíparoitra que tard devant Cq n 3 Sc par<br />
conféquent, on aura beaucoup plus de peine á trouver la<br />
plus grande racine.<br />
EXEMPLE I.<br />
Soit propofée l'équation x' — jxx 4-4= o, dans laquelle<br />
La plus grande racine zfe trouve deux fois.<br />
Cherchons donc la plus grande racine fuivant la méthode<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT. 269<br />
que nous avons expofée ci-delTus, en développant la fradion<br />
1 — \\ * 4* J -<br />
en une ferie recurrente; qui fera<br />
i> 3. 9> 1 3*57>i35>3 I 3J7 1 'i ví5P3> &c*<br />
II eft vifible qué chaqué terme divifé par le précedent,<br />
donne un quotient plus gtand que deux. La raifon sen<br />
déduit trés-facilement du terme general; car en rejettant les<br />
puiíTances Cq n , Scc,on aura le terme correfpondanr á la<br />
puilTance *£% —- («-4- 1)Ap n 4- Bp n , Se le fuivant =<br />
(«4-2)A/ n +' 4- Bp" + >, lequel étant divifé pat Je<br />
premier , donne -J-^-±-lj^-±A p _> p, k moins que n ne<br />
foit infini.<br />
EXEMPLE II.<br />
Soit,propofée maintenant l'équation x 3 — xx— 5 x —• 3 =— o,<br />
dont la plus grande racine = 3 , & les deux autres égales<br />
Cherchons la plus grande racine par le moyen d'une ferie<br />
recurrente, dont l'échelle de relation eft 1 4- 5 4-3 ; ce<br />
qui donne<br />
ljL.I> 6 y 14» 47 > 135» 4 li > i"8 , Scc.<br />
On trouve aiTez-tot h valeur 3 , parce que les puiíTances<br />
de la plus grande racine — .1 , quoique multipliées par<br />
( n 4- 1 ) difparoiífent de bonne heure auprés des puiffances<br />
de 3.<br />
EXEMPLE III.<br />
Alais 3fi onfeprópofoit l'équation x'4- xx — 8 x — 12 = o,<br />
dont les racines font 3 , — 11 — 2 ; oñ trouvera beaucoup<br />
plus tard la plus grande racine. En elíét, on aura lá ferie<br />
-,— i.9,- 5,65,3,457,347, 3345-4915- &c -<br />
qu'on devro'it : coritinúer encoré bien au-delá , avant de s'apperceyoir<br />
que la racine qui doit en réfulter, -* 3.<br />
%<br />
I
170 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
347. Semblablement, s'il y a dans l'équation trois fadeurs<br />
égaux, de forte qu'un fadeur du dénominateur foit (1—p\V,<br />
Seles autres 1 — ?£, 1 — r^, Scc , le terme general de la<br />
ferie fera=^"( (, '^' ) ^- t - 2) A/> B 4- (»-hi)B/ 4-<br />
Cp n 4- D q n 4- C r n 4- Scc ). Donc fi p eft la plus grande<br />
racine, Sc que n foit un nombre aflez grand, pour que les<br />
puiíTances q tt , r"¿ Scc , difparoiífent devant p n , alors la ferie<br />
recurrente donnera la racine ==<br />
|(n-f- a)(ii4'3)A + (/i + a)B 4-C<br />
í(»+i)(- + í)A+(fl+i)B 4-C-^ J<br />
qui n'indiquera la vraie racine de p , que lorfque n fera un<br />
nombré tres-grand Sc prefque infini. Or cette valeur de la<br />
racine =p + —, !»4-QA-*.B '<br />
e ? t>4- i) (»4-a)A 4-(«4-1) B 4- C "*<br />
Mais , íi p n'eft pas la racine la plus grande , on épróuvera<br />
beaucoup plus d'embarras á la ttouver, d'oü il fuit que les<br />
équations, qui renferrnent des racines égales, fe réíolvent<br />
par les feries recurrentes, en fuivant cette méthode beaucoup<br />
plus difficilement , que fi toutes les racines étoient<br />
inégales entr'elles.<br />
348, Examinons maintenant la nature d'une ferie recurrente<br />
continuée á l'infini, lorfque le dénominateur de la<br />
fradion contient des fadeurs imaginaires,. Soit donc la<br />
fradion . -<br />
a -\r bi 4- c^ % 4- ¿i* -+- &c. _<br />
I — «{ __ _*£» _ yjl _ f-¡+ — 8K.<br />
dont le dénominateur ait pour fadeurá réels, 1 i—o?", i—rr<br />
Scc, Se de plus le fadeur trinóme 1 — zp^cof. 9 4-ppr?'<br />
qui renferme deux fadeurs fimples imaginaires. Donc , fi la<br />
ferie recurrente, qui réfulte de cette fra,ólion , eft<br />
A-±-B%-{- C1'-{-Dz 1 4- .4- Pf 4- Qz' + \<br />
on aura , fuivant ce que nous ávons expofé plus haut, le<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT 271<br />
coéfficient P = __tí__^__¡_*é__Lt f _ + c ?. + ¿ ^<br />
^ Scc. Donc, fi le nombre p eft plus petit que chacun des<br />
autres, q3 r, Scc, de maniere que la plus grande racine de<br />
l'équation<br />
x' •
1<br />
ti<br />
I<br />
_/<br />
272 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
EXEMPLE IL-<br />
Soit propofée l'équation x* — 4XX4- 8x — 8=oj dont<br />
une racine réelle eft 2 . & le produit des deux imaginaires = 4,<br />
& eft par conféquent égal au quarré de la racine réelle 2.<br />
Cherchólos donc cette racine par une ferie recurrente, Sc<br />
pour plus de facilité , faifons x = zy , afín d'avoir y 5 —•<br />
zyy -A- zy —1 = o; ce qui donnera la ferie recurrente<br />
1, 2,2, 1 ,0,0,1,2,2, 1,0,0,1,2,2, 1, Scc.<br />
Comme les mémes termes reviennent continuellemént, on<br />
n'en peut rien conclure , íinon ou que la plus grande racine<br />
n'eft pas réelle, ou qu'il y a des imaginaires dont le produit<br />
égale ou furpalTe le quarré de la racine réelle.<br />
EXEMPLE III.<br />
Soit encoré propofée l'équation x J — 3X*+4X — x = o „<br />
dont la racine réelle eft 1 , & le produit des imaginaires =— 2.<br />
Formons donc avec l'échelle de relation 3 , — 4,4- 2 ,<br />
la.ferie<br />
i, 3,5, 5, •'» — 7,— x 5» — -5s I -33^5, í 5»iJ&c<br />
Comme les termes y font 'tantot pofitifs , Sc tantót négatifs,<br />
on n'en pourra nullement déduire la racine réelle 1. Mais ces<br />
retours íiiccefíifs de fignes apprennent toujours , que la racine<br />
que devoit donner la ferie , eft imaginaire ; car ici les<br />
racines imaginaires font plus grandes en puifTance que la<br />
racine réelle 1. - .<br />
350. Suppofons donc dans la fradion genérale le produit pp<br />
de deux racines imaginaires plus grand que le quarré d'aucuiie<br />
racine réelle, de maniere que les autres puiíTances<br />
q", r", Scc, difparoiíTent á l'égard.de p a , fi n eft; un nombre<br />
infini. Dan» ce cas, P deviendra =<br />
A-fin.(n4-1)
_••<br />
li I<br />
274 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES<br />
aura o = T Q Qp ( cof} 9— cof. 9) 4- \ Q R (1 — cof zp )<br />
4- .7 P Qpp ( 1 — cof Z9) , Se en divifant par f Q,<br />
( Ppp 4- i? ) ( 1 —• cof i/T 2 9 = 2 yz/_. 9*. Donc<br />
Ppp i? í z Qp cof.9 Sc cof p *^=<br />
méme a>/. * aje¿><br />
*~Q/><br />
__ Qpp + 5 ^ ^ j , o n dédu¡t Jes vajeurs<br />
indiquées ci - deíTus , favoir<br />
C¿R — PS<br />
/ = V<br />
JP ±<br />
RR — QS<br />
QQ — P R<br />
Sc de<br />
cof 9 = 2^(Q>-PR) (RR—QS) '<br />
353. Si le dominateut de la fraólion qui forme la ferie<br />
recurrente, renferme plufieurs fadeurs trinomes égaux<br />
entr'eux , on voit par la forme genérale que nous avons<br />
donnée auparavant que la recherche des racines devient<br />
beaucoup plus incertaine. Cependant , fi on a déjá une<br />
valeut approchée d'une racine réelle quelconque , en transformant<br />
l'équation , on obtiendra toujours une valeur de la<br />
méme racine beaucoup plus approchée. II faudra faire x égale<br />
á la valeur déjá trouvée, -4- y, Se chercher pour y la plus<br />
petite racine de la nouvelle équarion, laquelle ajoutée a la<br />
premiere, donnera la vraie valeur de x.<br />
EXEMPLE.<br />
Soit propofée l'équation x J — 3XX-4-5X — 4=0, dont<br />
in fait qu'une des racines eft a-peu-pres = 1 , puifqu'en faifant<br />
x = \,il en réfulte l'équation x J — 3XX4-5X—4—-—1.<br />
Soit x es 1 -A-y, l'équation deviendra 1 — zy — y'==o,<br />
Sc pour trouver la plus petite racine , formons une ferie<br />
recurrente dont l'échelle de relation foit 2,0, 4- 1, Sc<br />
qui fera<br />
Sí<br />
3<br />
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT. 275<br />
I » 2 >4>9> 10,44, 97» aI 4* 47 z .» ro 4 r » 1296,Scc.<br />
Par conféquent la plus petite racine dey fera. á-peu-pies<br />
T^f = °*453397; -e forte que x= 1,453397, valeur,<br />
qu'il feroit bien diffícile d'avoir plus approchée par une autre<br />
méthode.<br />
3 54. Si une ferie recurrente quelconque devient á la fin<br />
á trés-peu de chofe prés une progreífion géométrique , alors<br />
la loi de la progreífion fera connoitre facilement l'équation ,<br />
"jui aura pour racine le quotient, qui réfulte de la divifion<br />
.'un terme par celui qui precede. Soient<br />
P, Q, R, S,T,Scc.<br />
des termes de la ferie recurrente déjá trés-éloignés de l'origine,<br />
tels qu'ils fe confondent avec une progreífion géométrique,<br />
Sc foit T = *S -A- ¿ R 4- yQ 4- fP, ou , foit<br />
l'échelle de relation, «, C,y, s. Suppofons la valeur de la<br />
fraclion —r = x, on aura -£- = x x; — — x i Sc -~- = **.<br />
Ces quantités fubftituées dans l'équation precedente donneront<br />
x 4 = ctx , 4-£x 1 4- >x4-
276 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES , SCC.<br />
Ramenons donc l'équation á cette fotme<br />
x _ Z ? - H _ Í _ _ ^ V — Scc.<br />
3 60 2520<br />
formons-en une ferie recurrente, dont l'échelle de telation<br />
eft infinie, favoir<br />
- °> 3 O<br />
Cette ferie recurrente fera<br />
-6o->°>- 2J2Q<br />
o Scc.<br />
23 44<br />
4» -r-t —~<br />
if8i<br />
60<br />
2408<br />
45<br />
Scc.<br />
, , v 1681 . 45 1681 . 3<br />
O<br />
n aura donc á-peu-pres ? = --^g-fc = 24o8 . 4<br />
5043 —- 0,52356. Mais par le rapport connu de la circon<br />
S^<br />
férence au diametre , on devroit avoir ^ = 1,5 2-,598 ; de<br />
maniere que la racine trouvée différe de la véritable feulement<br />
de Au refte, on a pu faire ufage de la mé-<br />
i<br />
100000<br />
thode dans cette équation , parce que toutes fes racines<br />
font réelles , Se que les autres ne laiíTent pas de diflerer<br />
de la plus petite. Mais comme cette condition a rarement<br />
lieu dans les équations infinies , il y aura peu de cas, eü<br />
cette méthode puiífe étre employée pour les réfoudre.<br />
C H A P I T R E XVIII.<br />
Des Fradions continúes.<br />
277<br />
356. Aprés avoir traite aflez au long dans les Chapitres<br />
précédents des feries infinies, Sc des produits compofés de<br />
fadeurs infinis, il convient de diré un mot d'une troifieme<br />
efpece de formules infinies, que donnent les divifions ou<br />
fradions continúes. Car quoique cette partie ait été peu<br />
cultivée jufqu'a préfent, je ne doute pas que l'ufage n'en<br />
devienne tres-grand dans l'analyfe infinitéfimale. Quelques<br />
eflais que j'en ai faits m'autorifent á le croire. Cette théorie<br />
ne laifléra pas d'érre particulierement d'un aflez grand fecours<br />
pour l'Arithmétique Sc l'Algébre ordinaire; c'eft ce que je<br />
me propofé d'expofer Sc d'expliquer en peu de mots dans<br />
ce Chapitre.<br />
357. J'appelle fraólion continué une fradion dont le dénominateur<br />
eft compofé d'un nombre entier joint á une fradion,<br />
qui a elle-méme pour dénominateur un entier Sc une fradion<br />
formée de la méme maniere que les précédenres, ainfi de<br />
fuire, foit qu'il y ait un nombre infini de fradions, foit<br />
qu'il n'y en ait qu'un nombre fini.<br />
Teiles font les exprelfions fuivantes: -<br />
é + ¡> 4-<br />
d +<br />
/•4-&C.<br />
ou "•<br />
b 4- c +<br />
t • /"•*- &c.<br />
Dans la premiere , les numérateurs de toutes les fradions<br />
font l'unité ; c'eft celle que nous confidérerons principale-<br />
J<br />
sF I<br />
il..
I<br />
f<br />
ü<br />
278 • D E S F R A C T I O N S<br />
ment; Sc dans la feconde, les numérateurs font des nombres<br />
quelconques.<br />
358. Aprés avoir ainfi donné la forme des fradions<br />
continúes, voyons d'abord comment on peut obtenir leur<br />
valeur fous la forme ordinaire. Pour faciliter cette recherche,<br />
allons, par degres, Sc interrompons la fuite : d'abord á la<br />
premiere, enfuite á la feconde, puis á la troifieme fradion;<br />
cela pofé, il eft clair qu'on aura<br />
•*4-<br />
«4-<br />
i 4-<br />
c 4-<br />
1<br />
B3<br />
ab 4- I<br />
ebc + a 4- c<br />
be+- 1<br />
abcd-i-ab 4- td-f-cd4- 1<br />
bcd b<br />
d 4- bcde -t-be -i-dc+bc+i<br />
&c<br />
abcde -+- abe-)- ade^-cde-i-abc-i-a A- c-t-a-<br />
359. Quoique dans ces fradions ordinaires, on ne reconnoiíle<br />
pas facilement la loi fuivant laquelle le numérateur<br />
Sc le dénominateur font compofés des lettres a 3 b3 c3 d, Scc.<br />
cependant, avec un peu d'attention, on pourra découvrir<br />
comment chaqué fradion derive des precedentes. En effet,<br />
chaqué numérateur eft la fomme du dernier numérateur<br />
multiplie par une nouvelle lettre , Sc de Tavant-dernier<br />
numérateur fimple ; Sc la méme loi s'obferve pour les dénominateurs.<br />
Ayant donc écrit par ordre les lettres aJbJc3d> Scc.<br />
C O N T I N Ú E S . 2791<br />
on en formera facilement les fraólions, de cette maniere :<br />
a b c d e<br />
1 a ab-hi abc-i-a+e abed 4- ab 4- ad 4- cd -4- 1<br />
o ' 1 ' be bed<br />
Chaqué numérateur fe trouve en multipliant le dernier<br />
par la lettre qui eft écrite au - deífus de celui - ci, Sc en<br />
ajoutant au produit l'avant-dernier. II en eft de méme des<br />
dénominateurs ; mais pour qu'il n'y air pas d'interruption<br />
dans la loi, j'ai écrit á la tete la fraólion ~, qui, quoiqu'elle<br />
ne derive pas de la fradion continué , eft propre pourtant á<br />
rendre plus fenfible la loi de la progrefiion. Au refte, chaqué<br />
fradion exprime la valeur de la fradion continué en fuppofant<br />
qu'elle ait été continuée inclulivement jufqu'a la lettre écrite<br />
au-delTus du terme qui precede.<br />
360. On obtiendra femblablement pour l'autre formule des<br />
fradions continúes , favoir :<br />
« +<br />
e<br />
c 4-<br />
e<br />
- 7-, áteles<br />
réfultats fuivants, felón le nombre de termes qu'on<br />
prendra,<br />
* 4-<br />
' + -+_L<br />
c<br />
at -4-<br />
b4- d<br />
&c.<br />
a<br />
a b 4- at<br />
abe 4-C..4- «c<br />
ulcd + Gad+tícd-t-yab-^iiy<br />
bed 4- Sd4- yb<br />
Chacune de ces fradions fe trouvera au moyen des deux
•I<br />
I 'i<br />
1<br />
2S0 D E S F R A C T I O N S<br />
ptécédentes , comme on le voit ici:<br />
a<br />
1<br />
o<br />
ab- abe 4- «7
I<br />
1<br />
'?:'<br />
I •<br />
282 D E S F R A C T I O N S<br />
on aura , par ce qui precede<br />
__LÍ_<br />
i(íc4-C)<br />
» 6 #<br />
et fe -y o<br />
(¿c-4- S) (aW-t- e¿4- y¿)<br />
(bcd 4- £¿ 4- y¿) (_bcde -t- Qde 4- y¿e 4- ¿be 4- W)<br />
4- &c.<br />
D'oüil fuit que fi les numérateurs «, f, 7, ainfi de fuite.<br />
c u<br />
283<br />
trou-<br />
l66. Pour mettre cette loi plus pn évidence, fuppofons<br />
P = b<br />
Q = be -A- C<br />
R =bcd-A-Qd-^yb<br />
S = bcde-A- £de~A'ybe-A« S bc4-¿,.s<br />
Scc.<br />
Et par conféquent, en introduifant ces nouvelles lettres,<br />
on aura<br />
/ ce<br />
X ==—- — PQ 4-<br />
a o y<br />
-QR<br />
*Gyfr<br />
R S<br />
- - Scc.<br />
S T<br />
3 67. Ainfi, puifque nous fuppofons<br />
x = A— S + C- D + £ - F 4-.Scc.<br />
A =<br />
B _<br />
A ~<br />
£ —<br />
nous aurons<br />
p<br />
Q<br />
vP<br />
R<br />
*= AP<br />
~-<br />
B Q<br />
o —— —<br />
y s=<br />
A<br />
CR<br />
BP<br />
i N ij<br />
/<br />
*»
U'J<br />
.84 D E S F R A C T I O N S<br />
D<br />
C<br />
E<br />
D<br />
S<br />
( R<br />
> *~ CQ_<br />
ET<br />
DR<br />
SCC. &CC<br />
Et en prenant les diíTérences<br />
A D B= * a pTi<br />
PQ<br />
Q<br />
-4/»C<br />
Q<br />
2? ABcd1[ , Sc _ = 1-7--£)CB_c><br />
(5-C) (C-D)s=BCde-£- , Sc -| = p^fe~T<br />
(C—D) (£> — £) =- CP Í/4- , & 4" == ^c-x>)i-»-í^<br />
Scc.<br />
Ainfi,puifqueP = ¿,e = ^-^B' Íls ' enfuÍt( l Ue<br />
« = _4.5<br />
C —:<br />
Bbc<br />
A — B<br />
A Ccd<br />
(A-B) (B-C)<br />
BD de<br />
/ = (B-C) (C-D)<br />
C E c f<br />
• —' 'C-D) (D-JE)<br />
Scc.<br />
C O N T I N Ú E S . 285<br />
368. Les valeurs des numérateurs *,*£, y,
i<br />
I<br />
•<br />
286 D E S F R A C T I O N S<br />
C*dc m D*ef<br />
(C—B)\D—C) * ' (D — C)(E—D) ' &C *<br />
Faifons donc<br />
b • = A; * —= 1<br />
c=B-A; C = AA<br />
d=C-B; & P« conféquent y = B B<br />
e == D—C; i B- CC<br />
Sc la fradion continué fera<br />
x<br />
1<br />
Scc.<br />
A A<br />
- BB<br />
B—A 4-<br />
C—B 4-<br />
CC<br />
_)-C+ &c.<br />
EXEMPLE I.<br />
II s'agit de transformer en fradion continué la ferie infinie<br />
I h— H Scc.<br />
* 3 4 ~^ 5<br />
Done .4=1,5 = 2; C= 3 ; Z>=4, Scc ; Sc comme la<br />
valeur de la ferie propofée = / 2 , on aura<br />
/z _ - _ 1<br />
1 4- 1 4- 1(5<br />
«y<br />
1 4- &c.<br />
EXEMPLE II.<br />
Qu'il s'agiffe de transformer la ferie infinie — wm<br />
C O N T I N Ú E S .<br />
287<br />
»-- ;• —- j i * -_- &c.
I<br />
I<br />
I<br />
•<br />
k<br />
288 D E S F R A C T I O N S<br />
d'oü l'on conclud, en renverfant,<br />
1 mm<br />
(m-4-n)*<br />
—' (n+s-) 1<br />
" -t («4-3»)»<br />
EXEMPLE IV.<br />
Nous avons trouve auparavant (art. 178) l'équation<br />
r. cof.<br />
n. fin.<br />
m ir<br />
n.<br />
1<br />
m<br />
&c;<br />
I I<br />
n_-$-m zn—m 4- m + n -&&<br />
Ainfi, nous aurons , pour former la fradion continué ,<br />
A=m; B — # — m; Cs=»n-A-m; D=aznr-m i 8cc; Sc<br />
conféquemment<br />
X<br />
„-. cty.<br />
B. J&».<br />
7KT<br />
n<br />
/H7T<br />
n<br />
—<br />
1<br />
» 4-<br />
m m<br />
n — xm 4- («-«)»<br />
2m<br />
1 I I<br />
.45 — ^£C ^BC£><br />
+<br />
on aura les égalités fuivantes :<br />
(«4-«y<br />
« — 27» 4-,<br />
(an —m)*<br />
s»¡4<br />
AB CDE<br />
(an + r/i)*<br />
-&c<br />
b ' be Bcd Cde<br />
* " 7 '<br />
C<br />
^ B-i »>' — "(*_i) (C-i; '•>*— (C-i)(D-i)l<br />
, EiC scc<br />
- (¿>-o (£-0 '<br />
n- 2CT4-&C.<br />
370. S'il entre des fadeurs continus dans la formarion<br />
de la ferie propofée; qu'on ait, par exemple,<br />
Soit<br />
/<br />
Soit done<br />
0 = JI : »<br />
C =B _ —<br />
«f- c —<br />
e BB Z><br />
/-_?<br />
il s'enfuivra que<br />
CONTINÚES. 289<br />
u.<br />
1;<br />
w<br />
1;<br />
1;<br />
Sc partant<br />
Scc.<br />
* «=s 1<br />
6 = „<br />
7- = B<br />
t = C<br />
e = Z)<br />
B<br />
Í - I +<br />
C-i 4-<br />
D — i 4-<br />
£ — 1 4- &c<br />
EXEMPLE I.<br />
En. fuppofant que e repréfente le nombre dont le logarithme<br />
= 1; nous avons trouve auparavant<br />
1 1 1<br />
e 1 1 . 2<br />
I I<br />
t I<br />
I.2.3<br />
OU<br />
f. !<br />
1 . 2 . 3<br />
I<br />
1.2,3.4<br />
1 . 2 . 3 . 4<br />
-&c<br />
4- Scc.<br />
Cette ferie fera changée en fradion continué, en faifant<br />
A== 1 ; B= 2; C=3 ; JDB=4, SCC¿ SC par conféquent<br />
1 1<br />
" T:: ~+T+Í 3<br />
4 •+" — ___ 4<br />
EULER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. 2 O<br />
/<br />
•
I<br />
290 ' D E S F R A C T I O N S<br />
ou bien, en renverfant, Sc formant par lá une fuite par*<br />
faitement fymmétrique des ,fon origine ,<br />
* — 1 1 4— 3<br />
2 4. — 4 - ---<br />
4 + T 4- &c.<br />
E X E M P L E II.<br />
Nous avons auífi trouve que le cofinus d'un are fuppofé<br />
égal au rayón =1 4- -.— %%- — a . la . JO **?•<br />
! T — Scc.<br />
a . ia . 30 . 56<br />
Si done onfait A=si,B==z;C=iz; £>B= 3O;£B= 56, Scc.<br />
Sc le cofinus de l'arc égal au rayón B=X, on aura<br />
* —<br />
1<br />
— 1<br />
I -H-i-<br />
1 4-<br />
" 4- — 30<br />
29 + -7T<br />
55 4- &c<br />
OU<br />
1 4. — ia<br />
11 4. 30<br />
a > + ir + &c.<br />
371. Suppofons á préfent une ferie combinée avec une<br />
progreífion géométrique, par exemple ,<br />
l =<br />
x = A — B^A-C^ — D^-A-E^ — F^ + Scc.<br />
dans ce cas<br />
Bbci<br />
ACcdi<br />
Al> ;Z— A__Bl> y — (A_BljÍB— Cx)<br />
BDdtr CEtfx<br />
(B-cO{C-no * ( C — Di) (D-Ei)<br />
; Scc.<br />
C O N T I N Ú E S .<br />
Suppofons<br />
b _* 1 _,<br />
"~" í Se par conféquent<br />
I<br />
m<br />
. i<br />
•9<br />
2J)2 D E S F R A C T I O N S<br />
373. Suppofons enfin que la ferie propofée foit de cette<br />
forme<br />
ABy ABCy* ________<br />
X = LMNOi><br />
A<br />
4- Scc.<br />
L -LMl ' LMNC<br />
nous aurons les équations qui fuivent :<br />
Ab „<br />
tí<br />
Bbcy<br />
Mi — By<br />
y =<br />
CMcdyi<br />
(Mi-By) (.Ni—Cy)<br />
DNdeyt<br />
y<br />
{Ni-Cy) (Oi-Dy) — (Oí-<br />
Scc.<br />
E O tfy\<br />
Dy) (Pi- Ey)<br />
Faifons donc, pour trouver des nombres entiers<br />
b = LK;<br />
c ¡«a M -( — B y;<br />
¿- N\ - Cy;<br />
e = Oí — Dy;<br />
Ey;<br />
Sec.<br />
La ferie propofée deviendra<br />
x<br />
¿1 +<br />
d'oü<br />
C<br />
y<br />
294 D E S<br />
De plus, puifque<br />
*<br />
•^T-<br />
i<br />
V<br />
I<br />
a.a.?<br />
i<br />
2.2.J<br />
on aura auífi<br />
F R A C T I O N<br />
2.5.12<br />
I<br />
5.1a<br />
4-<br />
1.5 1. 12 5 . 29<br />
2 .12 . 29<br />
1<br />
2.12 . 29<br />
4- &c.<br />
&c.<br />
12 . 70 &c<br />
Et quoique ces feries foient tres-convergentes , leur valeur<br />
cependant ne peut pas fe conclure de leur forme.<br />
376. Au relie , pour ces fortes de fradions continúes,<br />
dans lefquelles les dénominateurs reílent les mémes ,<br />
ou reviennent périodiquement dans le méme ordre, de<br />
maniere qu'apfés avoir oté quelques termes á la fradion elle<br />
demeure encoré égale a elle-méme, il y a un moyen facile<br />
d'en avoir la fomme. En effet , puifque dans l'exemple<br />
propofé,<br />
x =<br />
2 4<br />
on aura x = ~TT > & P? r conféquent x x 4- 2 x = 1 Si<br />
x^ri=y z,de forte que la valeur de la fradion continué<br />
s—j/a i.Or, les fradions que nous avons déduires auparavant<br />
de la fradion continué, approchent toujours de<br />
plus en plus de cette valeur , Se méme fi rapidement,<br />
qu'on trouveroit difficilement un moyen pjus expéditif<br />
d'obtenir la valeur approchée de cette quantité.incommenfurable<br />
en nombres rationnels. En eíTet, f/*2 — 1 difiere íi<br />
peu de f£, que l'erreur eft infenfible, puifqu'en extrayant<br />
la racine quarrée on trouvera<br />
&c;<br />
|/"2 —1=0,41421356238,<br />
C O N T I N Ú E S . 2.9J<br />
tandis que<br />
-^ = 0,41428571428 ,<br />
de forte que l'erreur n'eft que dans les cent milliemes.<br />
377. Si les fradions continúes fourniíTent, comme nous<br />
venons de le voir, un moyen facile d'avoir par approximation<br />
V z , elles ferviront de méme á trouver les racines<br />
approchées des autres nombres. Pour cet effet, foit<br />
*-=_L_ ,<br />
.r __. I<br />
« +<br />
4<br />
on aura x =<br />
*<br />
Sc xx<br />
a 4- &c;<br />
ax = 1 d' OU X<br />
T a<br />
• ( 1 4- ia«) = *(''4.4)-_,. Cette frad<br />
ion<br />
continué fervira donc á trouver la valeur de la racine<br />
quarrée du nombre aaA-
I<br />
I<br />
É<br />
I<br />
\<br />
ip6 D E S F R A C T I O N S<br />
Remarquez que l'approximation eft d'autant plus prompte,<br />
que le nombre a eft plus grand; ainfi, dans le dernier<br />
exemple, K5 = í ^ > de maniere ^ Xkkm ^ ^<br />
oas He í , 5473 étant le dénominateur de la fraólion<br />
r rt 129a. 5473 .,<br />
fuivante -f^f-p<br />
378. On ne peut avoir de cette maniere que les racines<br />
des nombres qui font la fomme de deux quarrés. Mais,<br />
pour étendre cette méthode d'approximation aux auttes<br />
nombres , fuppofons<br />
a 4.<br />
nous aurons<br />
a 4 4<br />
b 4. ,<br />
«4<br />
b<br />
b 4- *<br />
ab 4- 1 4" *<br />
Sc<br />
Scc.<br />
— , Sc par conféquent<br />
¿x -*fr4-V(* t *'4-4'*¿).<br />
x = — -J_±\r(—bb + -) = %a<br />
On pourra donc trouver á préfent les racines de tous les<br />
nombres. Soit, fSaf exemple, a = z ; b = 7 , on aura<br />
-144-V14.'8 — 7 -*- 3^7. £t j a valeur de x fera<br />
x=<br />
exprimée á-peu-prés par les fraólions fuivantes,<br />
7» 7 7<br />
0 1 7 *y , _Ü_L, ^?- , &c.<br />
#n aura donc á-peu-pres, 7— J10 » **• r '<br />
7«5<br />
C O N T I N Ú E S . 297<br />
•7-fr = 2,6457516; or on a véritablement j/"7 =B<br />
a >^4575 I 3i, de maniere que l'erreur n'eft pas de<br />
10000000<br />
379. Allons plus loin, 8c fuppofons<br />
b 4. — t<br />
nous en conclurons<br />
X B= a 4. 1.<br />
! + ~ 4 . I<br />
a, 4 „<br />
t + — ,<br />
c H<br />
Í4-*<br />
ix4-¿c4-i<br />
a 4- &c.<br />
>x 4- ic4- 1<br />
(ab+i)x-t- abe -$-a-t-c<br />
done (
I<br />
298 D E S F R A C T I O N S<br />
de cette maniere. Soit propofée l'équation<br />
xx = <br />
Sc en procédant d'une maniere femblable, on trouvera par<br />
une fraólion continué infinie<br />
, b<br />
x = a 4- — i<br />
* H b<br />
a +<br />
a 4- &c<br />
expreflion qui ne peut étre employée fi commodément,<br />
attendu que les numérateurs b ne font pas égaux á l'unité.<br />
381. Pour montrer á préfent l'ufage fies fradions continúes<br />
en Arithmétique , remarquons d'abord que toute fradion<br />
ordinaire peut étre convertíe en une fradion continué. En<br />
effet, foit propofée la fradion x = -=-, dans laquelle<br />
A foit> B; divifez A parí?, Sc foit le quotient = a Sc<br />
le refte C,- divifez par le refte C le divifeur précedent B ,<br />
foit b, le quotient Sc D le refte, par lequel il faudra encoré<br />
divifer le refte, qui precede; continuez ainfi jufqu'a la fin ce<br />
procede , qui eft celui qu'on fuivroit pour trouver le plus<br />
grand commun divifeur de A Sc de B comme on le voit ici:<br />
B) A(a<br />
C)B(b<br />
D) C(c<br />
E)D'd<br />
F Scc.<br />
C O N T I N Ú E S .<br />
vous ^urez par la nature de la divifion;<br />
A = * B 4- C;<br />
B =bC 4- D;<br />
, C = cD 4- É ;<br />
D — dE 4- F¡<br />
Scc<br />
Se partant<br />
A<br />
B<br />
B<br />
c<br />
c<br />
~D<br />
= « 4- -y,<br />
- A _ _<br />
= c +<br />
D ' °<br />
E . D<br />
D — J . F • E<br />
-E- = J ^-E'- D-<br />
Sec. Scc.<br />
= S<br />
e 4-<br />
1<br />
¿4-<br />
D<br />
C<br />
D<br />
F<br />
299<br />
Concluons de lá , en fubftituant dans les premieres expreflions<br />
les valeurs qui font a la fuite<br />
A_<br />
B<br />
C_<br />
B T+P_<br />
c 4. D<br />
par conféquent, en exprimant x par les feuls quotients<br />
a, b,c,d, Scc, comme il fuit,<br />
1<br />
T + 1<br />
' c<br />
I<br />
T +<br />
EXEMPLE l,<br />
- ^ + f c .<br />
Soit propofée la fradion ^f-, qu'on changera de la<br />
maniere fuivante en une fradion continué , dont tous les<br />
numérateurs feront égaux ál'unité. Procedens en conféquence<br />
comme s'il étoit queftion de trouver le plus grand commun<br />
divifeur des nombres 59 Sc 1461.<br />
1 P ij<br />
Sc<br />
~
i<br />
300 D E S F R A C T I O N S<br />
59)1461(24<br />
118<br />
281<br />
45)59Ci<br />
45<br />
H)45(3<br />
42<br />
3) J 4(4<br />
12<br />
2<br />
o 2(2<br />
2<br />
On fonflera donc avec les quotients l'équation<br />
o<br />
59 *+Tí' «+- + J. v<br />
EXEMPLE II.<br />
Les fradions decimales pourront auífi étre transformées<br />
de la méme maniere; car foit propofée<br />
Vz = 1,41421356 =<br />
141421356<br />
100000000<br />
ce qui nous conduit aux opérations fuivantes :<br />
C O N T I N Ú E S . 301<br />
I0O00000O<br />
828427I2<br />
17157288<br />
14213560<br />
2943728<br />
2438648<br />
505080<br />
418328<br />
141421356<br />
I00000000<br />
41421356<br />
34314576<br />
7106780<br />
5887456<br />
1219324<br />
1010160<br />
Scc. 209164<br />
II eft vifible á préfent, d'aprés ce calcul, que tous les<br />
dénominateurs font égaux á 2 Sc par conféquent y 2 =<br />
1 4-<br />
* 4-<br />
*.-*•--__ • ' 1<br />
2 * —4- &c.<br />
Réfultat dont la raifon fe déduit de ce que nous avons vu<br />
ci-deíTus.<br />
EXEMPLE III.<br />
Le nombre e dont le logarithme eft=_'i,mérite une attention<br />
particuliere ; ce nombre e = 2,718281828459, d'ou<br />
réfulte l'équation e — 1 =BO,8591409 142295. Cette<br />
fradion décimale , traitée comme la precedente , donnera<br />
les quotients fuivants:<br />
1<br />
•
I<br />
I<br />
301 D E S F R A C T I O N S<br />
8591409142295<br />
8451545146224<br />
139863996071<br />
139311557916<br />
5)'438i55<br />
550224488<br />
IOOOOOOOOOGOOO<br />
8^91409142295<br />
1408590857704<br />
1398639960710<br />
9950896994<br />
9925886790<br />
1213667 25010204<br />
Scc<br />
Et íi, ayant pris une valeur plus exade de e, on continué<br />
le calcul de la méme maniere, on obtiendra les quorienti<br />
1,6, 10, 14, 18, 22, 26, jo, 34, Scc.<br />
qui forment tous, excepté le premier , une progreífion<br />
arithmétique, d'oii s'enfuit évidemment l'équation<br />
1 4-<br />
&c.<br />
( yy ) Réfultat dont la raifon peut fe donner par le calcul infinité<br />
fim al.<br />
382. Puis donc qu'il eft poííible de tirer de ces fortes<br />
d'expreílions des fradions, qui menent trés-promptement i<br />
un réfulrat exad , cette méthode pourra étre employée pour<br />
changer les fradions decimales en fradions ordinaires, qui<br />
en différent trés-peu. De plus, fi ón propofé une fradion<br />
dont le numérateur Sc le dénominateur foient des nombres<br />
trés-grands, on pourra trouver des fradions exprimées par<br />
de moindres termes, lefquelles , fans étre entierement égales<br />
a la propofée , en différeront cependant le moins poífible. On<br />
peut par lá réfoudre facilement le probléme autrefois traite<br />
par WALLIS¡, qui confifte á trouver les fradions compofées<br />
10<br />
14<br />
12<br />
I<br />
6<br />
10<br />
•4<br />
iS<br />
22<br />
C O N T I N Ú E S . 303<br />
de moindres termes , qui approchent tellement de la valeur<br />
d'une fradion exprimée par de plus grands termes. qu'il<br />
ne foit pas poííible d'en approcher davantage fans employer<br />
de plus grands nombres. Car les fradions obrenues par notre<br />
méthode donnent la valeur de la fradion continué tellement<br />
approchée, qu'on tenteroit én vain d'en avoir une plus<br />
exade íáns employer des termes plus grands.<br />
EXEMPLE I.<br />
Qu'il foit queftion d'avoir le rapport du diametre á la<br />
circonférence en nombres fi petits, qu'il ne foit pas poííible<br />
de l'avoir plus exadement, lans employer des nombres plus<br />
grands. Développons, en continuant de divifer fuivant la<br />
méthode que nous venons d'expofer, la fradion décimale<br />
connue<br />
3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 , Scc.<br />
nous troüverons les quotients fuivants<br />
*5 291 Scc.<br />
qui formeront les fradions ci-aprés :<br />
1<br />
o í 1 »<br />
I t<br />
7 » 106 y 113 3 J 1 o 1 > **-*-*<br />
La feconde fradion fait déjá voir que le diámetro eft á la<br />
citconférence comme 1 : 3 ; Sc certainement il n'eft pas<br />
poífible d'avoir ce rapport plus approché avec des nombres<br />
qui ne foient pas plus grands. La troifieme fradion donne<br />
le rapport d'Arckimede, 7 : 22;
304 DES FRACTIONS CONTINÚES.<br />
moyenne. Comme cette année eft de 365i 5 h 48' 55.", elle<br />
renfermera en fradion 365 f-££'-¿ jours. II fuffit done de développer<br />
cette fradion, ce qui donnera les quotients fuivants:<br />
4> 7 » i><br />
D'oii fe tirent les fradions<br />
6, 1, i, 2, 4<br />
1 ss -#¿ I-lJL<br />
1» 4> »p» 3 » > a»7>«¿o» 747» Scc.<br />
Ainfi, les heures avec les minutes Sc les fecondes, qui<br />
furpaíTent 365 jours, font environ un jour en quarré ans;<br />
c'eft lá l'origine du calendríer Julien 3 ou plus exadement,<br />
33 ans donnent 8 jours, ou 747 ans 18r jours; ce qui<br />
fait en 400 ans une augmentation de 97 jours. Auífi, tandis<br />
que dans cet íntervalle le calendrier Julien intercale 100<br />
jours, le Grégorien change-t-il dans la durée de quatre<br />
íiécles ttois années biííéxtiles en années communes.<br />
FIN DU TOME PREMIER.<br />
NOTES<br />
NOTES ET ÉCLAIRCISSEMENS<br />
m<br />
Sur quelques endroits du premier livre de tlntroductiom<br />
a tAnalyfe Infinitéfimale,<br />
CHAPITRE I,<br />
(a) AisT. 2 5. L'équation y 1 = a y 14- b £*4- c donne y 1<br />
y--í {'-c Se * = y l —bf—c<br />
Or , quelles que foient les<br />
ai qui donne y - - bí^c_yí OU x ^ ^<br />
Se á toutes celles qui feront dans les cas énoncés tant dans<br />
cet arricie que dans le précedent.<br />
C 1 A P i T R E<br />
I I.<br />
(b) ART. 29. On fait qu'une équation d'un degré<br />
quelconque, a autant de racines foit réelles foit imaginaires,<br />
qu'il y a d'unités dans Je plus grand expofant de l'inconnue.<br />
Defcartes a donné une regle pour trouver le nombre des<br />
racines pofitives Sc celui des tacines négatives, Jorfqu'elles<br />
íont toutes réelles. La regle que ce célebre Géomérre avoit<br />
d linee fans démonftration , a été démontrée depuis par<br />
l'abbé de Gua, dans les Mémoires de l'Académie des Üciences<br />
de Paris, année 1741, Se enfuite par Segner, dans les Mémoires<br />
de l'Académie de Berlín, année 1756. Comme tout<br />
le monde n'eft pas á portee de confulter ces précieufes<br />
Colledions , je vais faire connoitre en peu de mots la<br />
démonftfation de Segner ; je la donne de préférence á<br />
EULER, Introducción a l'Anal, infin. Tome I. 2Q<br />
' I<br />
E<br />
•
306 N O T<br />
celle de l'abbé de Gua, parce qu'elle eft plus fimple Sc plus<br />
direde.<br />
Si une équation tou^e ordonnée ne manque d'aucun terme,<br />
ou, en cas qu'elle en manque, fi l'on concoit écrit en fa<br />
lace + o, il eft évident qu'il y aura autant de racines dans<br />
F<br />
équation qu'on pourra former de combinaifons de deux<br />
Iignes, en joignant chacun d'eux á celui qui le fuit immédiatement.<br />
Ainfi dans l'équation x s -+-ax*— bx'— ÍX*4><br />
dx 4- e = o, il y a cinq racines Sc autant de combinaifons<br />
diftindes de deux fignes pris coníécutivement; íavoir 4—1-><br />
4 , — , h, 4- 4-, en elfet cette équation a fix termes ;<br />
Sc en general une équation du degré m a m 4- i termes,,<br />
ce qui donne m combinaifons de deux fignes, en les prenant<br />
confécutivement, comme nous venons de le faire..<br />
Mais dans quelquordre que fe trouvent les fignes d'une<br />
équation, íi on la multiplie par un fadeur limpie, qui contienne<br />
une .racine négarive, parx4-jp, par exemple,<br />
x m 4- a x m - ¡ — bx m - % — cx" 1 -' 4-dx m ~* . . . .. =Fk<br />
x 4- p<br />
'-¡;x m + l -i-ax m — bx m -'— cx m ~ x -A-dx m ~K . . +kx (A)<br />
-A-px m -hapx nt - , ~-bpx m - , --cpx rn ->A-dpx m -'\..A : ty (B)<br />
II eft vifible, par la nature méme de la multipiication,<br />
que les deux fuites (A) Sc (B) ont les memes ligues , Sc<br />
que les termes de la feconde doivent étre plus avances d'un<br />
rang vers la droite, de forte que le figne d'un terme quelconque<br />
de la fuite (B) eft le méme que celui du terme, qui<br />
precede d'un rang dans la ferie (A); mais fi on multiplie<br />
la méme équation ou toute autre par un fadeur, qui;<br />
contienne une racine poíitive, tel que x — q,<br />
x" i -hax m - l -A-bx m - , —cx Tn - ¡ —dx m -*. . . . +¿:<br />
x —q<br />
4-x m+ '4-dx*4-bx"'- 1 — cx m ~* — dx" 1 -'. ...^kx- (A),<br />
—qx m —dqx m - y —bqx m -*-*rcqx m -'-z-dqx' r -*...±kq (B)<br />
Les fignes de la ferie (B) feront diíTérents des fignes de<br />
la ferie (A), enforte. que íi on prend un figne quelconque<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 307<br />
de la ferie (B), il difTérera du figne plus avancé d'un rang<br />
dans la ferie" (A). II eft facile de voir que Jes fignes du produit<br />
dépendent de ceux des deux feries (A) Se (B) Sc du<br />
rapport qu'il v a entre les grandeurs des termes correfpondanrs,<br />
qui font afTedés de ligues contraires. D'abord il eft clair que le<br />
premier tetme du produit aura le méme ligne que le premier<br />
terme de la férie(^4), Sc que cette méme ferie (A) continuera<br />
de fournir les fignes. du produit jufqu'a ce qu'on foit<br />
parvenú á un terme au-deíTous duquel s'en trouve un, qui<br />
ayant un figne contraire foit plus grand dans la ferie (B);<br />
aprés quoi, JaifTant la ferie (A), on doit prendre la fuite<br />
des fignes de la ferie (B), jufqu'a te qu'on revienne de<br />
nouveau á un terme au-deíTus duquel sen trouve un plus<br />
grand avec le figne centraire dans la ferie (A). On écrira<br />
enfuite Je figne de ce terme fupérieur, au lieu de celui de<br />
Tinférieur, Sc les fignes fuivanrs de la méme ferie, jufqu á<br />
ce qu'on foit obligé de repaíTer á la ferie inférieure , Se ainfi<br />
de fuite altemativement; de maniere pourtant qu'on s'arréte<br />
á la fin á la ferie (B), donr le dernier terme n'en ayant aucun<br />
au-deíTus de lui, dans la ferie (A), donnera néceflairement<br />
un figne femblable ácelui, dont il eftaíTedé, pour le dernier<br />
terme du produir. 11 íuit delá que pour avoir les fignes da<br />
produit, on doit paíTer au moins une fois de la ferie (A)<br />
a la ferie (B), Se quel que foir le nombre de ees paífages<br />
fucceífifs de l'une á l'aurre, le nombre des retours de (B)<br />
á (A) fera toujours moindre d'une unité que le nombre des<br />
paífages de (A) a ( B)<br />
Si on fait attention á préfent que lorfque le mulriplicateur<br />
renferme une racine négative, on a, á-chaqué fois qu'on<br />
pafle de la ferie (A) a. la ferie (B), une permanence de plus<br />
dans le produir; puifqu'on pafle néceflairement une fois de plus<br />
de la ferie (A) á la ferie (B), qu'on ne revient de la ferie (B)<br />
á la ferie (A), nous devons en conclure, fans nous embarraíTer<br />
de ce qui arrive á chaqué retour de. (B) á (A), que le<br />
nombre des permanences eft augmenté au moins d'une unité.<br />
De méme, dans le fecond cas,•c'eft-á-dire, lorfque le multi-<br />
*Qij
: : ¡<br />
I<br />
3c8 N O T E S<br />
plicateur renferme une racine pofitive; puifque chaqué paf*<br />
fage de la ferie (A) á la ferie (B) donne dans le produit une<br />
variation de plus, Sc que le nombre des paífages de la ferie<br />
(A) a la ferie (B) furpafíedune unité le nombre des retours<br />
de la ferie (B) á la ferie (A), nous fommes également en<br />
droit d'en conclure qu'il y aura dans le produit au moins<br />
une variation de plus que dans le multiplicando<br />
Ainfi, comme une équation d'un degré quelconque, peut étre<br />
regardée comme le réfultat de la multipiication d'autant de<br />
fadeurs binomes fimples, qu'il y a d'unités dans le plus grand<br />
expofant de l'inconnue, Sc que pour la multipiication quelconque<br />
d'une équation , au moyen de laquelle une nouvelle<br />
racine réelle négative y eft inttoduite, une permanence tout<br />
au moins des fignes femblables 4- 4- ou eft ajoutée au<br />
nombre de celles qui fe trouvent dans l'équation multipliée,<br />
le nombre de ces permanences dans une équation quelconque<br />
ne feta pas moindre que le nombre de fes racines<br />
négatives. Par la méme raifon, le nombre des variations des<br />
fignes contraires H ou h, ne pourra pas non plus étre<br />
moindre que le nombre des racines réelles pofitives d'une<br />
équation quelconque. C'eft pourquoi fi dans une équatioQ<br />
tous les tetmes font ptécédés du figne 4- ou du figne —,,<br />
aucune racine réelle de l'équation ne fera pofitive ; car s'il<br />
y en avoit feulement une , il fe trouveroit au moins une<br />
variation de fignes. De méme auífi, fi dans une équation<br />
tous les termes ont fucceífivement des fignes difTemblables y<br />
elle n'aura point de racine réelle négative, puifque fi elle en<br />
avoit une feule , on y verroit au moins une permanence de<br />
fignes. Concluons donc qu'en general dans route équation<br />
dont toutes les racines font réelles, le nombre des variations<br />
de fignes 4- •— SC h eft égal au nombre de fes<br />
racines pofitives, Sc le nombre des permanences 4—h Sc<br />
. égal au nombre des racines négatives de la méme<br />
équation. En effet, foient n le nombre des racines négatives Se<br />
N le nombre des permanences -+- 4- Sc —• — de cette équation<br />
; foient m le nombre de fes racines pofitives Sc Ai le nombre<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 309<br />
des variations 4 Sc h; on auta n 4- m — N-A- M;<br />
or N ne peut pas étre moindre que n ; fi done on fuppofé<br />
N>n, on aura M) &c - - M
ni.<br />
m<br />
510 N O T E S<br />
pourra s'aíTurer fans peine que le produit de ces deux fadeurs<br />
ne peut étre réel, qu'aurant que m —- p ; n = — q;k=rt<br />
Sc /=-• — s ; ce qu'on trouvera, en égalant féparément a zéro<br />
la fomme des coéfficients imaginaires de chaqué puiílance<br />
de \.<br />
fe) ART. 39. Lorfqu'il s'agit de décompofer une foncTion<br />
fradionnaire proprement dite, dont le dénominateur ne<br />
renferme que des fadeurs premiers entr'eux , en autant<br />
de fradions partielles, qu'il y a de fadeurs dans ce dénominareur<br />
, il eft vifible que la decompofition ne peut<br />
s'effeduer que d'une maniere ; mais il en eft autrement<br />
lorfque la fondion renferme un entier ; car alors on peut<br />
fuppofer indiíTéremment que l'une quelconque des fradions<br />
partielles réfultantes déla décompoíition contienne cet entier.<br />
Si la fradion fuppofée irrédudible, ce qui eft toujours<br />
permis , renfermoit dans fon dénominateur des fadeurs<br />
égaux, tels que (p — q%) n Se qu'on l'égalat á la fomme des<br />
fradions 4- 4- H . . • . . . 4- -. En<br />
• P r~ ql s P ~¡Í' L .?~K , S<br />
les réduifant á un dénominateur commun Sc égal á celui<br />
de la fradion propofée, le numérateur de la fradion réfultante<br />
auroit néceíTairement le fadeur¿> — q -£ commun avec<br />
le dénominateur. Donc cette derniere fradion pourroit étre<br />
réduite á une plus fimple expreflion, Se ne pourroit, par<br />
conféquent, étre égale á la premiere, qui, par hypothéfé<br />
eft irrédudible.<br />
M<br />
(f) ART. 46. Prenons au lieu de ¿7<br />
M<br />
(p-nrs<br />
(Autant:<br />
(p — qiYS)-h quantité - - - ou piutot (,_„)./•- ><br />
égalons cette quantité á -¡—¿y "+" f~.-+• |< Done -? =<br />
M±Hp — HYS __ ¿ __ B M-±k(p—9lys.-A$-(p-n)BS<br />
(p-qiYS ~ (P-HIY P—¡I~ O-ft)* s 1 •<br />
II eft clair qu'en divifant par p —-q •{ , Sí faifant % = p ,<br />
on aura pour déterminera l'équation M_, AS=o,<br />
ü le numérateur eat été fimplement —_ M.<br />
comme<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S .<br />
CHAPITRE III.<br />
311<br />
(g) ART. 51. Soity = V f—p -A-q% —PVÜ- P° ur favoir<br />
dans quel cas la valeur de y fera réelle ou imaginaire, j'obferve,<br />
i°. que pour qu'elle foit réelle , la quantité — p -A- q-,<br />
— r%%, qui eft fous le tadical, doit étre >o,our^ — q-.<br />
4»" 1<br />
•4pr<br />
. Or, le premier membre étant le quarré d'une<br />
quantité réelle eft néceíTairement pofitif. Donc á plus forte<br />
raifon le fecond doit l'étre auífi. Donc q* doit étre>-40r.<br />
-°. Pour que la valeur de y foit imaginaire, il faut que<br />
- Z + í í - a t foit, Sc le fecond —<br />
ttftl — b TU — et/t<br />
_?~5<br />
teq+r<br />
«elle-ci:.<br />
A{ m -A-Byf*7^<br />
¿ fubftituant ces valeurs dans l'équation<br />
*q—ftq + r a q — » q4- r<br />
•By^i p -H Vy't<br />
aq — Sq itq—yq<br />
cyyx<br />
____<br />
«—c •A-Cy*x<br />
(u-y)rt<br />
m<br />
P<br />
4- Scc = ay »<br />
Scc. elle fe changera en<br />
SCC:<br />
ay*-A-by^{\ c<br />
y'\ •—c 4- Scc<br />
D'ailleurs p, q Sc r font des nombres entiers, qu'on peut<br />
méme fuppofer premiers entr'eux. Cela pofé, fi on faifoit<br />
p = k (a — cj , á caufe de — —- —£->, on auroit q = hn,,<br />
Sc pat conféquent r*=k (*m — Cm — *nf. Donc p, q Se r<br />
auroient un fadeur commun k ; ce qui eft contre l'hypothefe»<br />
•Ü<br />
A
i<br />
•1<br />
i<br />
•i<br />
ii i<br />
I<br />
312 N O T E S<br />
Done k == 1 ; doncp = * — C; q = n ; Sc r=**.m — Cm<br />
— a.n.* Un raifonnement femblable aura lieu pour la feconde<br />
r r . teq-r-r 0 ¡cq—i«f4-r<br />
fuppofition -2— = m Sc — 2 — = n.<br />
(i) AR.T. 54. Au lieu d'augmenter ou de diminuer l'une Sc<br />
l'autre variable d'une conftante, il fuíflra d'augmenrer ou de<br />
diminuer feulemenr l'une des variables y ou -( d'une quantité<br />
quelconque, qu'on déterminera aprés la fub'íitution, en égalant<br />
á zéro la fomme des termes conttants; ce qui eft<br />
toujours permis, puifque la conftante eft arbitraire.<br />
(k) ART. 55. Ces cas, Sc tous ceux oü la fomme des<br />
expofants des variables de chaqué terme donne deux dimenfions<br />
difTérentes, font renfermés dans la formule de l'Article<br />
53 ; il n'y a qu'á fuppofer q=>p = n = * — 4*.<br />
C H A P I T R E IV.<br />
(1) ART. 66. Pout avoir en general l'expreflion du coéfficient<br />
de r" dans la ferie, qui réfulte du développement de la<br />
fradion(7_^;on fe rappellera que ^-^p =(i-^ n =ii4:<br />
m-f-i . , IB 4-1 «4-2 , , flí-t-i m + " m-_J ,4,0, _<br />
7mi-¡rm.--^-^m.-r.-j- x'-A-m.—_.—._ fA-Scc.<br />
Donc le coéfficient d'un terme quelconque fera . . . .<br />
*i.íí--+-i.*n4-a.«--f-3<br />
1 . a . 3...m—1.m<br />
m+n—i<br />
«<br />
B.W4-I.H¡+. 3.. ../n—i a.n-f ,m. i.....n+w—i<br />
, n— 1 ,n<br />
1 •<br />
n-t-i.n-t-a.n4-3 ......n-f-m—I<br />
3< ,.m- m—1<br />
II eft aifé de conclure de-lá í'expreífion genérale du coéfficient<br />
d'un terme de la féríe, qui provient de la fradion<br />
\<br />
314 N o<br />
A 3 y=m.m—1.7»—z.x m ' 3 b 3 T E S<br />
4- m.m-i.m—a.m-3. 3¿ ^m-4^4.<br />
s 1. a. 3. 4-<br />
A'y'^m.m—i.m—z.x m -'b'-A- m ' m - um -*' m -' i ' 60x m '«¿ 4<br />
3-<br />
J 1. a. 3. 4<br />
A*y = m<br />
Scc.<br />
m-r- 1 . — — 2<br />
Scc.<br />
772 3 . X'"- 4 ¿*4- SCC.<br />
Scc.<br />
Scc.<br />
On voit á préfent, fans aller plus loin, que la difTérence<br />
m' dey eft une quantité conftante m.m — 1. — — 2 . . . .<br />
' 2 . ib m . Donc la fuite a m 4- (a 4- ¿j m -A- (a-\- zb) M<br />
._•_. /4-D^+&c.<br />
—y 1 x Scc 4-Scc. Divifant pat y ; fuppofant enfuite ^ = o<br />
Se faifant difparoítre les dénominateurs , on aura fym-A-Atym,<br />
xA-B r y'm.x 1 -l-Ci/m.x 3 -l-D{/m.x*-A-Scc.c=a<br />
\ A 4- 2 Bx 4- 3 Cx* •+• 4 Dx 3 4- 5 £x 4 4- &c.vn J_m<br />
l -hAxA-zBx x -*-}Cx 3 -A-4Dx*-A-Scc.í UOaC *=*<br />
:R ij
_•'•<br />
3i6 N O T E S<br />
Í /m . K __ "____ Vm.i/m—i. £.__ __y__) -yw.yffl^-I.y-a-^i,<br />
fl =, C _^) a _^.^V.^-a.>-3, &^ DoQC ^xf" B<br />
i +'Jm. *•+• .*•* •V"" 1 • x*+ ty/m -V*T , -^"-- > : x'4-Scc.<br />
r i. a i, 2. 3<br />
II eft inutile de faire obferver que la méme démonftration<br />
fubíifteroit quand memefym feroit imaginaire, donc la formule<br />
du binóme de Newton a toute la généralité qu'on puiíle<br />
defirer.<br />
(n) ART. 76. Sans recpurir expreíTément au Calcul difTérentiel,<br />
voici comment on peut démontrer la loi de cette progreífion.<br />
Soit, : x l . . A „ .„,„., =i+a4? + £r»<br />
*? (l— al— Gl 1 —yl s — il*—&c.) m+ " . •> T-<br />
4- C% 3 4- £) ;r+ -4- &c ; on aura par la méme raifon . . ,<br />
( ^ H r ! t M W ) ' * r = , + _ ( W ) + S W +<br />
C*( y + y)' 4- D (^4-j/) 4 4- Scc , quelque foit la valeur dey,<br />
Faifons, pour abréger, Z = 1— a.x — e£— yx 3 — f^—Sec;<br />
la premiere équation deviendra ---^ou Z"*"' = i 4-^-(4-<br />
Z<br />
_B ^* 4- C-j' 4- P *( 4 4- Scc, Sc la feconde équation , qui eft<br />
la méme chofe que<br />
1<br />
• • • — • ' .<br />
[1— *? — Gf— y?'—«*•{*—Scc—y(«4-aff4- 3 y í J 4-4
IIII _____r<br />
1<br />
31S N O T E S<br />
regles ordinaires de l'Algébre les fix équations, qu'on trouvera.<br />
Mais il fera plus commode de décompofer la quantité<br />
#y x 4- by •{4-cxy 4- dx^4-exx -A- f\\ en deux fadeurs,<br />
en la traitant comme une équation du fecond degré Sc regar-<br />
Aanty, par exemple, comme l'inconnue; ce qui donnera les<br />
' deux fadeurs^ -• -t-- "~ W--A
3 20 N O T E<br />
dont il s'agit, fera donc =
312 N O T E S<br />
ou „4-i5t + 3^l , + 4^t , ^5^l 4 ^ &c « z (i^<br />
«+_. _L_ J 2— 4 ^r- 4- Scc. ^ ou bien ( en mettant á<br />
i-t-C^ i-t-yr i4-ít /<br />
la place de Z fa valeur , en développant les fradions en<br />
feries , Sc ordonnant pat rapport á x) =<br />
r a—S7+.4>?~«*l>+Slx" - '4fx<br />
n ~ x 4- 4- A = o; la méme chofe auroit lieu á<br />
i<br />
'égard des coéfficients compares aux racines a, b, c,d,<br />
Scc, de l'équation; Sc á 1 égard des puiíTances íemblabJes<br />
des racines compatées aux coéfficients p,q,r,s, Scc. Je<br />
remarque a préfent que a,b,c,d, Scc, défignant toujours<br />
les racines de l'équation propofée, on pourra obrenir la<br />
fomme des termes de la forme a m b m ',oua m b m ' c m ", ou<br />
Scc, en fondion rationnelle des coéfficients de l'équation.<br />
Cherchons d'abord la fomme des termes de la forme a m b m ';<br />
je multiplie la fomme des puiíTances a m par la fomme des<br />
puiíTances a""; le produit fera formé de la fomme des puif<br />
fauces a m + m ',Scde la fomme des produirsde Ja forme a m b m/ .<br />
On obriendra donc cette derniere fomme au moyen de<br />
ccl^e des puiíTances , Sc par conféquent en fondion rationnelle<br />
des coéfficients p,q,r,s,Scc, de l'équation.<br />
Pour avoir la fomme des termes de la forme a m b m 'c m ",<br />
je multiplie la fomme des termes a m b ml yar la fomme des<br />
puiíTances a m "; Je produit fera compofé de trois parries,<br />
favoir, i°. De Ja fomme des termes de la formeíZ m '¿ m+m ";<br />
2°. De la fomme des termes de la forme a m b m '+ m "; 3 0 . De<br />
h fomme des termes de la forme a m b m 'c m ''. On pourra donc<br />
avoir cette derniere fomme en fondion rationnelle des coéfficients<br />
de l'équation ; ainfi de fuite. 2S ij<br />
•
I<br />
3x4 N O T E S<br />
Cela pofé , nous allons paífer á la démonftration annoncée<br />
dans la note precedente.<br />
Prenóns une équation du degré z'k, k étant un nombre<br />
impair, Se fuppofons que fes différentes racines foient<br />
a3b, c, Scc ; il eft clair que le nombre en fera z'k; Sc<br />
que celui des fommes différentes, ou des produits diíTérents<br />
qu'elles donneront en les prenant deux á deux fera<br />
exprimé, d'aprés la théorie des combinaifons, par z'-'k(z l k-i}.<br />
Par conféquent 1 équation, qui aura pour racines aA-b A-m a b,<br />
m étant un nombre quelconque, fera du degré 2' ' k, k' étanc<br />
un nombre impair. De plus, les coéfficients de cette nouvelle<br />
équation feront rationnels, puifqu'il n'entrera dans leur<br />
formarion que des puiíTances des racines a, b, c, Scc, Sc<br />
des produits de la forme donnée ci-deflus; a m b m ', a m b m 'c n ", Scc ;.<br />
lefquels font, comme nous l'avons vu, des fondions rationnelles<br />
des coéfficients de l'équation primitiva<br />
Si i —• 1, l'équation du degré k>, qui derive de la premiere,<br />
fera d'un degré impair, Sc aura par conféquent au moins<br />
une racine réelle ; Sc comme on peut fuppofer a «une<br />
infinité de valeurs difTérentes, il y aura auíli une infinite<br />
de fondions. de la forme a4- b 4- ma b qui auront des valeurs<br />
réelles ; Se parmi ces fondions, il sen trouvera néceflairement<br />
qui renfermeront les mémes racines de la propofée<br />
Suppofons a Sc b ces racines, a-A-b->rmab Sea-A-b -A-m a b<br />
deux fondions, dont les valeurs foient réelles.; leur diítérence<br />
rm _ ri) ab fera auíli réelle. Donc abSe a-A-b feront féparément<br />
des quantités réelles. Donc, dans ce cas, la propofée<br />
aura un fadeur réel du fecond degré x x — (a-A- b)<br />
Je dis á préfent qu'en general la propofée. aura nn facteut<br />
réel du fecond degré, fi toute équation du degre 2' '/?<br />
a un facleur réel du fecond degré. En effet, on fait que les<br />
racines imaginaires d'une équation du fecond degré íont de<br />
la forme tt±C]f—i,Scde plus, que de que que. maniere<br />
qu'on combine des quantités de cette forme par les opérations<br />
ordinaires de l'Algébre, on arrive toujours ádes réfultats ele<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 325<br />
la méme forme: d'ailleurs on en peut voir la démonftration<br />
ci-deffous. Donc on aura, dans le cas préfent, une infinité<br />
de fondions a-A-b 4- mab, dont la valeut eft de Ja forme<br />
g-A^fy— 1. On prouvera en raifonnant comme ci-deflus,<br />
qu'il y a deux racines a Se b teiles, que a-A-b Se ab foient<br />
de la méme fotme. Le fadeur x 1 —(aArb) x 4- ab prend<br />
alors la forme x*4- *oc + .+ V— 1 . (a! x 4- CJ, ou xMeeXA-C—K—<br />
1 (.'x + íj. Donc l'équation propofée fera<br />
divifible ou par x*4-ax4-£-+- V— 1 (*'x A- &J, ou par<br />
x*4- a.x 4-É — \f—1 (*'x-A- d'J. Mais comme une équation<br />
divifible pat l'un de ces fadeurs l'eft auíli néceíTairement par<br />
l'autre ; Sc que leur produit eft un fadeur réel du quatrieme<br />
degré, qui, comme on fait, eft toujours réfoluble en deux<br />
fadeurs réels du fecond degré, il s'enfuit que la propofée<br />
eft décompofable en deux fadeurs réels du fecond degré,<br />
du moins s'ils n'ont point de divifeut commun.<br />
Si les deux fadeurs précédents avoient un divifeur commun<br />
, il ne pourroit etre que »'x 4- £', puifqu'il devroit<br />
divifer leur difTérence; mais aprés la divifiorí le quotient<br />
feroit une fondion d'un degré impair, qui auroit par conféquent<br />
un fadeur fimple réel. Donc la fondion propofée<br />
auroit encoré dans ce dernier cas un fadeur réel du fecond<br />
degré, qui feroit le réfultat du produit de ces deux facleurs<br />
du premier.<br />
Ainfi toute^ équation du degré z'k a un fadeur réel du<br />
fecond degré, fi toute équation du degré z'—'k' a un tel<br />
fadeur. De méme toute équation du degré 2'—' k' aura un<br />
fadeur réel du fecond degré, fi toute équation du degté z r — *As tV<br />
a auffi un fadeur réel du fecond degré. On peut
•Jl<br />
I<br />
•<br />
¡I m<br />
1<br />
326 N O T E S<br />
On voit en méme-temps, par ce qui precede , que les racines<br />
imaginaires des équations.des degrés fupérieurs peuvent<br />
étre ramenées á la forme A 4- Blf—i. Dalembert l'avoit<br />
demontre dans les Mémoires de l'Académie de Berlín; Sc<br />
fa démonftration s'étend aux autres quantités algébriques,<br />
quelque foit leur compofition. En effet, il n'y a point de<br />
difficu té pour les cas, oü les imaginaires fonr combinées<br />
entr'elles par voie d'addition , de fouftradion, de multipiication<br />
Sc de divifion. Car, i°. a 4- b V— 1 _ c -± g V— I<br />
= ,,_f4.(¿±^/__.i_=_Í4.5y-i. 2 o . (a-\-bV— \)<br />
tg-hagVac-hbcy/—l<br />
(«4-V-OC'-jV'-O -¥bg—agV-i<br />
o a-4-V—I<br />
h 3 -c+gv-t<br />
cas qui préfente plus de difficulté, Sc pour lequel le célebre<br />
Géométre que je viens de citer a employé le calcul diíférentiel;<br />
c'eft celui oü l'on auroit une puilTance imaginaire<br />
de la forme (a-A-b V— 1 )B+h'-i_t En Voici une démonftration<br />
qui ne fuppofé que íes principes expofés dans l'Introdudion<br />
á l'Analyfe infinitéfimale.<br />
Je fais (a-A-bV— i>+*v-.—„ 4- B •— 1; AScBétant<br />
fuppofés des quantités réelles , qu'il s'agit de determiner. En<br />
prenantde part Se d'autre les logarithmes, on aura l(A-A-BV-\)<br />
*=*(g-A-hV—\)l(a-A-bV—i)> Or, l(A-A-B\f—\)<br />
=>lA + l(l->r~V—\)<br />
2A* 'í<br />
-^•^ ^S-i+&c;gl(aA-b^-i)==g(laA-jlS-i<br />
4-~— Íi^-I-^4--^v/-i4-Scc) SchV-i.<br />
/(^¿/-OB^-^/a+^-i-l-^-,;,/-»<br />
S-*-?^--*•**><br />
IA<br />
ET É c L A I R . C I S S E M E N S.<br />
317<br />
2f* JB*<br />
Done<br />
£< „ ?Y_I-ÍV--I4.-<br />
A V l ¡A" 1P4 "S*7».<br />
** b * «, v t fb i><br />
J/— i — Sec=Mg(la<br />
^__&c)4-^_,(f-^4-^--SCc)^^-i<br />
n - - + Scc.) — h ( —,+.<br />
Ang. Tang.^^g(la-A-\l(i-A-^))—k.Ang. Tang. I<br />
+g»/- 1 (Ang. Tang.í) 4-¿K- 1 (la 4- ¿ l (1 4- £ )).*<br />
Mais lorfque les deux membres d'une équation renferment<br />
des quantités réelles Sc des quantités imaginaires, la fomme<br />
des quantités réelles du premier membre eft égale á celle<br />
des quantités réelles du fecond membre, Sc par conféquent<br />
celle des quantités imaginaires eft auffi égale de part Sc d'autre.<br />
Donc / p /r A i +£> =gll/"i¿+l¿ — h. Ang. Tang. -=glK~4¿-<br />
— k. Ang. Tang. -Ie3 e étant le nombre dont le logarithme<br />
hypetbolique = 1; Sc Ang. Tang. | = g(Ang.Tang. -\ 4-<br />
h ly/s+b*; ou enfin A*-A- B x = (a 1 4-¿') f x e — *hA„g. Tang. L<br />
*i 9<br />
& A = Tan S- An i' (ff x An S- Tan g- ^•*'hlV*A*yi ce qui<br />
donne évidemment des valeurs réelles pour A Sc pour B.<br />
Done une quantité algébrique , compofée d'autant d'imaginaires<br />
qu'on voudra , peut toujours étre ramenée á la<br />
forme A 4- B V—1.<br />
(x) ART. 168. On a, comme on le voit á I'article 181<br />
l'équation --—.i.,—-L_ . _1 j-&c=— - •<br />
* ir—trr 4«*—m 1 ~pn 1 . «* aw s zmn tang. *}<br />
ce qui donne, en faifant m —- j ,<br />
'-",,<br />
I 'i<br />
I<br />
I<br />
318 N O T E S<br />
En réduifant chacune de ces fradions en feries, on aura<br />
* __JL_H±- I--4--4--4- — 4- Scc.<br />
• -14._L4.J-<br />
1 1<br />
I<br />
9^ = ¿ ^ + ^^ +&C -<br />
i - = A 4- -¿-i 4- Scc.<br />
1<br />
4'«" ~^ 4 4 _„•» «'<br />
Scc.<br />
&c. = Scc.<br />
Faifant enfuite une fomme des termes de chaqué colonne,<br />
& fuppofant, pour cet effet,<br />
• 4_.IJ-Í4---74----4-SCC = „-»*<br />
1 4 9 16 a5<br />
&c.<br />
I<br />
"9*<br />
l'équation deviendra -—<br />
a si- i*<br />
i a tang. -<br />
B** C**____D«*<br />
7Z+ /I 4 •Scc.<br />
Soit á préfent - =<br />
/*.<br />
x pour faire difparoitre á la fois les<br />
1<br />
lettres „ Sc n, on aura- — -<br />
*<br />
^<br />
finx — xcofx<br />
ou —-^-<br />
JV*_L.<br />
^* 4-<br />
I?x 4 4- Cx 6 4- #x 8 4- Scc, que pour abréger, je repréfenterai<br />
par,. Ainfi S**&^^ ou s. finx=\finx -\xcofx.<br />
Or , fin x = * x — C x' 4- y *' —
I<br />
I,"<br />
I<br />
fr<br />
I<br />
330 N O T E S -<br />
Sc enfin en écrivant b au lieu de 6* Se \/ b au lieu de b,<br />
»4* 44/-.* 44-3 "•"* 04-* 94-* i = —b x * x , on aura - ^ j^r^T, - ^ = I^T> + 4""<br />
—xb xb<br />
94- *»<br />
r¿ xJ si - 51J$»« "íí _r^i<br />
e —e e —f<br />
—»4TJ ^ cau -~ e «le a cofh.v\f—\ = e~ '-A-e 'Sede 2-/—* r.<br />
A " ¿<br />
ñnbvyJ- 1—=>«? *" —e . Done enfin en écrivant b pour i*,<br />
«r V b — x^b<br />
on aura-—., 4-^4-;^-*- -^4-Scc— ' _v¿ '_v¿aK*<br />
—*<br />
E T É C L A I R C I S S E M E N S . 33*<br />
k'7ri^¿—-^. Ces réfultats, comme on voit, s'accordent<br />
exadement avec ceux qu'Euler a donnés.<br />
C H A P I T R E XI.<br />
(\\) ART. 179. II ne faut qu'une légere attention pour voir<br />
que la féríe ¿4-^4-¿4-^_4-8cc, peiit fe déduire de la<br />
ferie--f-^-f.-_i__--f--ÍH-Scc, en retranchant celle-ci<br />
de la ferie ¿ 4- ^ .+. ^.+. ^ 4- Scc.<br />
CHAPITRE XII.<br />
(aa) ART. 203. II ne faut pas croire que la méthode donnée<br />
ici par Euler, foit toujours la plus commode Sc la plus expedita<br />
ve. On arrivera plus promptement au but, en faifant dans<br />
le premier exemple, **_,.= __t£j 4. £±£_-£r___;'<br />
Apres avoir reduit les deux membres au meme dénominateur<br />
Sc fait paífer tous les termes d'un méme cote , on égalera á<br />
2éro, féparément, la fomme des coéfficients des mémes<br />
puiíTances de x; ce qui donnera autant d'éqüations que<br />
d'inconnues ; lefquelles on traitera fuivant les tegles ordinaires.<br />
On pourroit femblablement faire dans le fecond<br />
exemple(|^a^^^4-t-)-a^l4-a 4- ^ ^ J &c dans<br />
le troifieme , , • + ' t+t ' „ = -^-_i- .+. J&8L.<br />
Le calcul ieroit plus fimple Sc plus facile. II en fera de<br />
méme des autres cas, oü le nombre des indéterminées ne<br />
fera pas trop grand. Cette derniere méthode confifte,<br />
comme on voit, á égaler la fondion fradionnaire á autant<br />
d'autres fradions partielles qu'il y a de fadeurs dans fon<br />
dénominateur , Sc á donner á chacune de ces fradions un<br />
numérateur dans lequel le plus grand expofant de la variable<br />
foit moindre d'une unité que ceíui du dénominateur.<br />
s 2 T ij<br />
i ; I
•<br />
itf<br />
332 N O T E S<br />
(bb) ART. 217. Quoiqu'on n'appercoive pas du premier<br />
coup-d'ceil quel eft le terme general de la ferie, on voit<br />
cependant, en y regardant de plus prés , que pour les termes<br />
oü l'expofant de % eft impair, le terme general eft zAp n<br />
(cof. 9 4- cof 3 p 4- cof. 5 9 4- 4- cof. n 9), Sc que pour ceux<br />
oü l'expofant eft pair, le terme general eft 2 Ap"(cof 2 9<br />
4- cof. Af -+* -+• co f n v 4- \) ; or, (art. 260 ) la fomme<br />
des cofinus d'un certain nombre d'arcs, qui forment une<br />
progreífion arithmétique , Se dont le premier eft a, la difTérence<br />
b Sc le dernier a 4- k b = cof(a+\kb)(fin{(k+i)b)<br />
En<br />
finkb<br />
fubftituant dans cette derniere formule au lieu dea3b Se k¿<br />
les valeurs qui eonviennent; c'eft-á-dire , pour le premier<br />
cas, faifant a = 9, b =¡zp , (n—1) 9= k . 2 9 , ou k= —-J<br />
& pour le fecond, a = o, b = 2 9, Se k — ^, ou plus fimplement,<br />
faifant attention que la fomme dont ón vient de<br />
iarler eft égale au produit du cofinus de Ja moitié de la<br />
Íbrame du plus grand Sc du plus petit are multiplie par le<br />
finus de la moitié de la difTérence des mémes ares augmentée<br />
de Ja raifon de Ja'progreífion, Sc divifé par le íinus<br />
de la moitié de la raifon , il fera facile de ramener les.<br />
deux premieres expreflions á la forme genérale "^" »<br />
(cc). ÁRT. 222. Je vais détailler ici le calcul qu'il faut faire<br />
en fuivant un procede analogue aux précédents pour trouver<br />
le terme general de la ferie , qui réfulte du développement<br />
de la fradion , * + *P* • & Cela afín de mettre eeux<br />
(•i — íp^cofy-i-p-i 1 )*'que<br />
fa longueur ne rebutera pas, áportée de s'exercer utilement..<br />
i°. La quantité fuivante., que je défigne pat (A)<br />
f-4P\ (fcofi9-gfi»-9)+ 6p i ?(f¿or.i9-gfi n -i9)-4P , V(f c °fW-gfi n - 19)+P*J , (f c °fi'l—&fi f >-W)-<br />
~~ : (1— ipif°f--9A-p\ x )*<br />
a pour terme ^ixúí^^^ ) (fcofn^gfin.nf)^C. (Q-<br />
ET. É C L A I R C 1<br />
S S E M E N S . J33<br />
a 4- bpi-hcp*?<br />
*(i— */»i ¿o/? 4r/> Y)'<br />
a 4- bp 1 4- cp'i *<br />
—xapicof.9- ibp'i 1 (a ^bpiAcp'i<br />
cof.p — xcp'^cof.p<br />
1 ) (r—ip icof. p+p 1 ?)<br />
(t— tpico/.p-i-p'i')*<br />
+ «/>'?* bp^ 4- cp'i*<br />
(i — ipicof.p-i~p*i*)*<br />
general<br />
• - • - ' • • — — — ; — •• . , ; . — - — ' »<br />
ou enfin<br />
(B) a pour terme<br />
ap»? /(n4-f)(/i4-4)^ /(n4-í)(«4-4) , , N («4-0 ("+5) r r , \ . ("-+-• X" 4-1) ., , . .<br />
» \ s . % fi tt '( n + i y*~-.—r_-——>.("-t-J>-i- -~-~fin.(n4-j) A<br />
i6(Jin.p)<br />
i6(fin.9)\ 1 . 1<br />
.. 'P*C /C«+j)(«+0<br />
J V<br />
.fin.(n-.)9-¿?^^fin.(n+x)9+<br />
1 • x<br />
lequel je repréfente par (D). Soit (A)-A- (B) = ——<br />
. f n 4- 4 ) _> . * *" (*** 4- i ] \<br />
-i-~^/>i.(a4-*>4- ^ _ -^jfo. («+4) A<br />
_____"" 'J n<br />
-/«.(. .«4-3)?)<br />
1 . i<br />
*picof.p-hp\ x y<br />
Donc fi-^^wY;* aura P our terme S énéral ( C ) + ( D )-<br />
Cela pofé, on aura pour trouver les cinq indétetminées<br />
n, b, c,f,g, les cinq équations fuivantes : i°. a 4-/"= A ;<br />
2 o . Afcof.9 — Agfi n '9- J r- 2 a cof 9— b = o; 3 0 . 6fcof zp<br />
— 6 g fi n - z * — * b cof. 9 4- a 4- c = o; 4 0 . Af c °fi 3 9<br />
—-Agfin.}.9-hz ccof.9 — b = o;) 0 .fcof.A9 — gfin.A9-A-c = o.<br />
Sí on elimine fuivant les regles ordinaires a3 b, c, Se g, en<br />
obfervant qu'en general 2 cof 9 • co/? m 9 = cof. (m -A- 1)<br />
p 4- co/T (m — J) 9, Sc que 2 co/T 9 fin. m 3 9><br />
•A-fin. 59)] = A [Afin. 9 — 3 fin. 3
N O T E S<br />
quantité fin. $ —• 3 fin. 3 9 4- 3_/S>e. 5 0 —fin. y 9. Done, onaura<br />
pour/",g, a, b, c,les valeurs fuivantes:<br />
r__ j. í fin.9 — _\fm.i9+. i, fin. % 4 (./"»• í>)<br />
T-r- a pour terme general<br />
i-- ( . ,fin.(n+i)9 — »•.- . i.A(- + J ?>'<br />
ͱL 2±Í . fm. (r, 4. f )«> f?4l-fa»-.8^.s»4-4jg-M»N . /__4 . £_ #<br />
I ' t • \ í6(/mpY J \ 1 t-<br />
i. ,fin.(n—1)9— *.—-. 2./n.Cn4-i)?H .—-j&-.(n4-J> 1<br />
I - I I I • ft f<br />
4. -/n.(n-ti Í) .f —ys«. («4-7) A], Sc en mettantpour 34//Z. f—'<br />
18.fin. 3 9-A'Afin. J 0»47^- 2 P — ^yívz. 49,Sc afin. 3 -— 6y?«. 9<br />
leurs valeurs 64 fy£n. pf— 8 (fin. 9)*, 2 cof 9. 8 ¿/z/z. p)>, —<br />
8 (7Í72. P^', le terme general deviendra<br />
4- i,fin.(n-A-
I<br />
I<br />
33 -a c0r9A. '-.;.> en ne confetvant que les<br />
puiíTances pofitives de e* , fera<br />
( (n+i)(n+x) (nA-i-i)e n ^-^<br />
4- ia . (n+i). (nA-i^e^W-'i<br />
Í-V<br />
-i=r\+-l—( n — l ) n (nA-i—5)e K<br />
"iTT (nr-t)(n-i) f/z-K-V ¿ ;P<br />
Scc.<br />
Si on multiplie ce fecond fadeur, par lá fuite, ¿í"- 1 )?-/--..<br />
ai— 1 (z 1—3)9 V— 1 ai—1 ai— 1 (zi-j)pV—r ii-i JÍ-J<br />
EULER¿ Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. 2 V<br />
'.«.
K<br />
I í<br />
("•)<br />
338 N O T E S<br />
ai —3 (ai—7)9V—1 ai—1 ai—a ai—3 ai—4 (il— 9)^^—1 -<br />
• e 4— • .• '. . £ - occ,<br />
3 ~^ 1 a 3 4 '<br />
laquelle exprime la valeur de(e lp """ — c" - * ~~ 1J ' =<br />
(2/—1 f"* (fin 9)""; on aura pour le coéfficient de<br />
(a + li-ir-i )(p y"—1<br />
i (i+0(Í4-a)... .(i+r—1)(«—r4-iX«—-r+a)... .(*4-i—r— 1)<br />
í— —.'('+ OC'+a) (i+r—2)(/i—r4-a)(n—r4-3) («4*—r)(ii—1)<br />
a" *• 1 ...<br />
- -J.'-T^.^—-.'(*-*-i)('+ a ) (1+-—4)(«-»4-4)(«-»4-J) («+aW4-a)1<br />
&c.<br />
1<br />
(si—i)(2i—a)(ai-3)<br />
On doit obferver dans cette fondion, d'écrire l'unité au<br />
lieu du produit i (i 4- 1) (/+ 2 ) (¿4-r—1), íi<br />
r = o , c'eft-á-dire, fi le fadeur i+r— 1 eft plus petit que i.<br />
Dans ce cas Se dans les cas femblables , cela indique que le<br />
produit de ces fadeuts fe reduit á l'unité.<br />
Máintenant, fi on fuppofé dans la fondion (a'),n=s—z i,<br />
elle deviendra<br />
i.(¿4-t) (i+a). • • .(i+r—i)(¿+rs+i) (ai+r—s— 1)<br />
r r—x<br />
i.i.3..(;-i)i.2.3...A + 7*~ ,i(i+I ) ,,,,( ^<br />
i.(i+i) (í"4r—a)(i4-r—i )..... .(ii-4-r—Í—2)(ai—1)<br />
— 7.^.'—- a .i(i4i)..(i4r—4X*-t- r — *—*)•• .(aiA-T— s—4)(ai—i)(ai—a)(ai—3) 1<br />
.4- Scc.<br />
J ai mis au commencement le double figne _-, parce<br />
qu'ayant change les fignes des fadeurs , dans lefquels fe<br />
trouve Ja lettre s, leur produit feroit négatif, lorfqu'ils feroient<br />
en nombre impair ; Sc fi on fait s = ou > 1, mais<br />
1<br />
Sc z4-2/— 2) («4- zi — 3) (n-k-zi — r). D'aiU<br />
leurs , tous fes fadeuts font multíplices par le produit<br />
^"*Tr I ,)í /í " + "- 2 U /I " +, 3) (nA-i—r—i), comme il<br />
n í*? - Sen a " urer -* , en obTervant que le coéfficient de<br />
en. _, £-era comp0^¿ ¿>un nQfribfg r _!_. j ¿e termes^ &•<br />
que par conféquent, le dernier terme aura pour un de fes<br />
fadeurs, n — r-A- r4- 1, ou n 4- 1. Donc cette fondion eft de<br />
Ja forme £ f«4- 1J//14-2,1... (nA-i— r-- ijfn+xt — xj<br />
(n-A-zi—%) (n-A-zi—r)i(b);Q étant une fondion<br />
de 2 Sc de r, indépendante de n, puifque dans la fondion (b)<br />
la plus haute dimenfion eft (i — 1), comme dans la fonction<br />
(a!). Pour determiner Q, nous ferons n infinie; en<br />
comparant ators les deux fondions (b) Se (a!), Sc ne confidérant<br />
que les coéfficients de n'~ l , nous aurons<br />
•(4-0(4-2) (i4-r— 1)<br />
i — '-.'•('+*) (i+r—a)(si-i)<br />
—7*-7- .-j-.'-C'+O (''-+"--4)(«'-aX4Í-3)<br />
&c.<br />
Ce qui donne, en fuppofant i = ou
. i<br />
'.'•I<br />
•<br />
1<br />
I<br />
1<br />
•• II<br />
I II<br />
I<br />
I<br />
340 N O T E S<br />
de la forme rO-W-*)C>-».-...( 1 -') P étant une fon*i.z.j....(i—171.2.3<br />
r •'<br />
tion de r indépendante de i.<br />
Pour la détetminer , nous fuppoferons i infini dans les<br />
deux expreflions de Q, Sc nous aurons, en n'ayant égard<br />
qu'á la puiffance la plus élevée de / , P = 1 — r . z<br />
4- -!/-=_._»»- -I/—-—. aM-Scc. onPr-f- 1/.<br />
Done la fondion (V,) BS<br />
(-i)'(i--i) (i-2J(i-i)...(i-r)(n+i)(n+a)...[n+Í-r--i)(n+ai-i )(n+al-a) ...(n+zt-f)<br />
1 . a . 3...... (i— 1) I • 2 • 3...... '<br />
Maintenant il eft aifé de voir que dans le produit de la quantité<br />
(aw)^-x . (2Í-3W-1 ^I)(2Í-a). (aH ^ / - 1 .)- (•+*'-•)<br />
i • ,a . 3...
• •<br />
-i y.. • _ ~ aflB<br />
1<br />
342 N O T E S<br />
p n q n r n : 1. Effeduant les multiplications, réduifant, Sc fe<br />
rappellant c\x\cp-A-q-A-r — *.,pq-\-pr-4-qr=-£ Scpqr=7t<br />
on atrivera au réfultat indiqué.<br />
C H A P I T R E XIV.<br />
(fifi) ART. 234. Cherchons diredementl'expteífion de fin. n x.<br />
Pour cela, je fais<br />
fin.ni=x(A [ - n y- 1 —B w y n - 3 -A-C- n y^—D^y-'-A-E^y^—Scc).<br />
La lettre n, mife entre deux crochets, indique la mulriplicité<br />
de l'arc, auquel le coéfficient, qu'elle aíTedé, appattient. En<br />
confervant la méme notation, on aura<br />
finfn-ih'xfA^y-^—B^y^A-G^y- 6 —D^y-t-A-E^y-^—sec)<br />
scfin.(n-z)x=x(A in - x y-'-B^y-^c i ^y^<br />
Or fin. n-{— zyfin. (n — 1) x—fin.(n — 2) x ; done on aura<br />
cette feconde valeur,<br />
/&.»yBxf2¡#-f-y^<br />
ri-x( _[«--w-!_4_. BL*-*y-i— o-iy-r-t- D íní y->—Scc.)<br />
Comparant cette feconde valeur de fin. n\ á la premiere,<br />
Se éo-alant les coéfficients des puiíTances femblables dey,<br />
on aura pour determiner A, Bt O-, Pw, E3Scc ; les<br />
équations fuivantes :<br />
_#[*] = ./ít>* 3 4- i gi>'..<br />
CM = _B r -"' l] 4- z G nt \<br />
Z)w= C>^-4- zD lr -'\<br />
Ei»-i = DW-A-zEi n -'\<br />
Or, par la méme raifon que ¿&-*_ a 4 ^ _#r>e_1 •*#*•£<br />
ainfi des autres. Donc _¿t"- = 2 if«J¿p 2^--*= i'-áfc?? =, en<br />
general, z x A ínx \ Mais fi on fuppofé n — je = 1, x —«n — 1,<br />
& .¿t**]-devient ^-' 3 = 1; doiíc ^¡-"i — a"-.<br />
*ET É C L A I R C I S S E M E N S . 343<br />
L'équation _gw — _¿&-*34- a _flt»-o, á caufe de 2Ji> l i—- A ln ^-{iB^\<br />
donne B^^A^-A- 2Z?»*]—- A^-A- ZA^^-Az<br />
% Bí*-^=, en continuant de fubftituer, A 1 "' 1 ) 4- a ^"-ri 4-<br />
#JfrQ+* 2 J £t«-oj & en general,<br />
2*+«_[«-*-'].<br />
Mais, íi on fait n — x — 1 —- 2, ou n —x 2 = 1 alors<br />
B^TB=o Sc A = 1, Sc *==*- 3. Done ¿w„<br />
f« — z) i-». De méme<br />
^p fl<br />
Lli<br />
R<br />
• a<br />
• •"V.:-<br />
/-<br />
344 N O T E S<br />
Mais le terme general de la fuite i. i.34-i.J.4+3-4-5<br />
4- -A-(n—%)(n—1)(n — 6) = t.(t-A'i)(t-4-z)<br />
ou ¿'4- 3 £ l -r- z t. Done cette fuite = S. /'4- 3 . S. t x -A- z S. t.<br />
. 1 C % t.(t+ l) (tt+l),<br />
OrS.t 3 = i.t x (t x -A- 2 í 4- i; ; 3 • S . ¿* = ¡ »<br />
aS.z = í.fí4- i). Done<br />
_ rg-o(»-6)(»_"7)___) z«-. &c.<br />
* c — i . a . 3 . 4<br />
JVbM La détermination des lettres F"-,
•<br />
•I,<br />
•<br />
I<br />
346<br />
a=A<br />
, n— 1<br />
;A+B'<br />
N O T E S<br />
c = _i/_=i B 4- m -=±. B' 4- C"<br />
z a a<br />
¿- f 1=1. C4- i. n -^- 5 C?4-^ C" 4- D'"<br />
É = i^ 7 i)4.i/^D'4-{.^ 7 iJ''4--=- 7 IJ'''4-í:' r<br />
Scc.<br />
C* f • • A TV ".(n—i)(n — a) Ql<br />
¿>i on fait attention que A = n,o = 1# ip ? > ^<br />
».(« —ij.(«-a).(-i-3).(«-4) &c on trouvera fans peine en<br />
i; a. 3. 4. $ ' • -_.<br />
faifant le calcul,<br />
« = n<br />
¿<br />
= --T:T"<br />
c=3 »-(»•-O t>*-9)<br />
1. 2. 3. 4. $<br />
fl/_ **.(«*— i)(n*-9)(-.'-25)<br />
I. 2. 3....... O. 7<br />
-..(-,- —.)(«* — 9)t>' — 2S)C" t — 49).<br />
1. 2. 3 8. 9<br />
Scc.<br />
II eft inutile, fans doute , d'obfetver que les valeurs de<br />
b3d,f, Scc, c'eft-á-dire, les coéfficients de rang pair, doivent<br />
étre pris négativement.<br />
(¿i) ART. 238. La formule genérale/». nx = (nx~<br />
»-K-4) xi + _. z"-' JC"- 4 ) V\~^¿<br />
euc auíTl<br />
P<br />
fe<br />
déduke 3 de la formule donnée (Art. 133)- H ne s'agira^que<br />
de développer les puiíTances fradionnaires (1 — x x ) T »<br />
(1—x 1 )'^T 1 , (1 —x 1 /"^", &c i de tuer leurs valeurS<br />
-bft-<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 347<br />
Sc de multiplier enfuite Je tout par VTZ^X. En défignant,<br />
comme dans la note precedente, les coéfficiens de x, x 3 ,<br />
x 7 , Scc pat a3 b, c, d, Scc, Sc les termes dont ils font<br />
compofés par A, B 4- B', CA- C 4- G", Scc; on aura<br />
a = A<br />
¿> = n -=J A-A-B'<br />
.-_____ « "~ 4 fí<br />
n — 6<br />
n — 4 B' 4- C"<br />
a C4-T--— C ¿=7-<br />
'<br />
Scc.<br />
On trouvera, comme ci-deffus,<br />
a = n<br />
j_ _"•("'—4)<br />
i . a . 3<br />
n — 6 C" 4- Z)"'<br />
f _/..(/,* -4)(**-I
H<br />
I<br />
i<br />
348 N O T E S .<br />
A M =2A í "- 1 ' i<br />
_M _- ^t«-*3 4- a BE*-'!<br />
O 3 = JB^ 1 - 4- 2 G"- ¡1<br />
jy.'ü __ O' 1 - 4- a 2^"-'-<br />
_E*#-a»$C.-<br />
La premiere équation A = z A^ donne auffi „ w =<br />
2«/í[n-1]== &Jti*\ Se en general__4 [n] = z"A ín -"\ Orfm — x<br />
—- 1, ,#*} = 1, Sc * = n -*. 1. Donc A w = 2"-'.<br />
L'équation £W = jjpM 4- 2 #»'- fe change en B-»-=Jf**<br />
4- 2 i_PH34- 2-^-4]4- -+. 2* jfiT*»+> z*+'#" XI] . Si<br />
onfait/z — x— 1 = 2,ou« — x — 2 = 1, ce qui donne<br />
x= n— 3 , ,4 [,] = 1 Sc i***B*»*m 2" l .# 1] =2" l x 1 =<br />
a""'. 2 ; on aura _5M = z"-> (%-z-n—z) == n. %*K De méme,<br />
(7w __ _r«-*a 4-2B c "- 3] -A-z x B ín * i 4- 4-2 !í S CnK " 1] *+- z x+I O"-*-*.<br />
Or fionfaitzz —x—1 =4-- ou>z — x— 2 = 3 , on aura »<br />
_ fl c 1* /J[»-*-»l = 2»-f. 3 SC 2* +I O"*-'' = l^XI- J¿"< X 2><br />
Donc C lrf =f24-3 -4-4-4- 5 4-...4-*— *>"" t! ~TTT 1 "' í -<br />
¿jw^Cf^-h 2 O" 4- 2'Ct"-"34---4- 2*t>-*- i] 4-- 2^L>~-i_<br />
Soit « — * — i = 6,ou/z— x — 2 = 5 ; ce qui donne*--*-<br />
/z — 7, on aura pour O^-ou C [ .-¿iji Sc pour l?f, 1; par<br />
conféquent ^J>*^* i*** 1 = *"- x 2 = z^. ~4. Done<br />
U¿-» (i_í4-i-14 (»-tU"-Q)2-7. Qr le terme ge<br />
neral de la ferie 1 . 4-+- 2 • 5 -*" 3 • ¿ + Scc. = M¿ 4- 3 ) =<br />
^4-3,-S.^ = , .<br />
( ^ - ^ ^ S c 3 * S . , = = 3 . - ^<br />
Donc S. z*4- 3 • S . t- *.H±l2Si±n. Done<br />
nt«i_ » (»-4>(ft —sJ. Qn aura encoré<br />
— —'•** • i . a . 3<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 349<br />
£t»j_. JJD.-^ -¿j^M^,a*Z? tK «H- 4-2*¿3&*-* l3 4-1»4-_***•«,-.<br />
Soit n — x —1 = 8 , ou n — x — 2 = 7, ce qui donne x =<br />
n —- 9, z x J)^- x -^= 2"-9JD t 7 1 s= 2<br />
2"-? x 2 = 2 n - ? n-?<br />
*'•*•*. on aura<br />
1 ..a . 3 '<br />
1.a;¿ a.3.7 3.4.8<br />
'•¡•7<br />
i.a.3 &z"+.p]-^Xl =<br />
JE 1 »;<br />
1.2.3 ' *«*«5 ' *.__-,"3 '<br />
(n —7) (a-«)(«—»)<br />
1 . 2 . 3 *<br />
terme general de la fuite 1.2.64-2.3.74-3.4.84- Scc,<br />
eft t. (t 4- 1) (t 4- 'y) = t* 4- 6 ¿ l 4- 5 Í. D'ailleurs S. ¿' =<br />
i*Y'-H 1/; 6 . S . 1= íf¿ 4- 1) (z t 4- 1;; & 5 . S. / =<br />
5 . t. t - : ~* Donc S. ¿'4- 6S. z 2 4- 5 S. ¿_= í.'-^. (t-t-z) (t-A-~l)-<br />
Donc<br />
jPnl — '•('-OÍ'"0("-'J z«-s<br />
1 . a . 3 . 4<br />
&c.<br />
-<br />
(II) ART. 262. Pour faire voir que cette Ioí eft genérale ,<br />
j'obferve qu'on a 2 V— ifin.x=ei* / - , ~ «-tV-« & (2 V- \f<br />
(fin x)"= (e^~ l — e-^- l ) n = e tt ^- , — n.e ( - n - 1 Uv'-'<br />
c_ . + -.1,/.<br />
n.(n—i) (» — 4)W—« 4-«e « -**•-*<br />
4<br />
fuivant<br />
-<br />
que<br />
e<br />
n eíl pair<br />
—...<br />
ou impair. On fait par la formarion du<br />
bitaome de Newton que lorfque n eft un nombre impair tel<br />
que 2-¡+ 1, le nombre des termes eft pair, Sc de plus que<br />
les termes extremes, Sc les termes á égale diftanee des extrémes<br />
ont des coéfficients numériquement égaux. Or la fomme<br />
de deux de ces termes, abftradion faite de leurs coéfficients<br />
étant divifée par 2V— 1, eft l'expreífion du finus d'un are<br />
múltiple determiné par l'expofant de e. Donc on aura, pour<br />
le cas oii n eft un nombre impair,<br />
_-, 2"-'(fin. xf=fin. n?L— nfin, (n—z) x-A-n.~,fin.(n—4^—...<br />
•Azkfin. x, k exprimant chacun des coéfficients des termes<br />
f .
11<br />
1<br />
i<br />
I<br />
9<br />
350 N Q T E S<br />
moyens de la fuite; prenant d'ailleurs le figne4-lorfque dans<br />
la valeur de n = 2 m 4-1» ~ eft un nombre pair, Se le figne<br />
— lorfque m eft impair.<br />
Lorfque zz eft un nombro pair, le nombre des termes eft<br />
impair, Sc alors on a<br />
± 2"-ffin.7^cofnx—n.cof(n-z)i •+• "'["'¿'cof.fi—A)\——<br />
+ — ; parce que dans ce cas les termes extremes, Sc ceux qui<br />
font á égale diftance des extremes, ont des coéfficients égaux<br />
avec le méme figne, ce qui donne, en divifant leur fomme<br />
par 2, des expreflions de cofinus, Sc -pour le terme moyen.<br />
On trouvera d'une maniere femblable l'expreífion genérale<br />
des puiíTances des cofinus , en développant la puiffance<br />
(ei V-- -.+_. e-i v ~ I ) n = (2Cof.x) n , Sc en faifant les mémes obfervations<br />
qu'á l'égard des finus.<br />
C H A P I T R E XV.<br />
(mm). ART. 279. La fomme de toutes ces feries réunies,<br />
excepté la premiere, ne peut faire qu'une quantité affez<br />
petite. En effet, il eft évident qu'elle eft fenfiblement moindre<br />
que la fomme de ces fuites :<br />
1 , _ • . T T<br />
(3<br />
Scc.<br />
3- 1<br />
?<br />
l<br />
5 1<br />
1<br />
1<br />
"5<br />
3" ' 5<br />
Scc)<br />
ti'<br />
1<br />
7i«<br />
1<br />
Tí 1<br />
Scc)<br />
Scc)<br />
Scc)<br />
Or la fomme de ees dernieres feries = lN(&n. 278J =<br />
^ I + i + i +Í4-^+¿-r-te.) Sc cette derniere ferie<br />
_Í4_-L-f-l4-Scc=-^-, dont le logarithme<br />
__ 2 Iv —. 16 eft une quantité aííez peu confidérable.<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 3JI<br />
(nn) ART. 282. Quand on a les fommes des puiffances un<br />
peu confidérables, on peut employer, pour trouver les fommes<br />
des puiíTances moins élevées, les formules precedentes, (art.<br />
278), savoir:<br />
' « - } W - í + { ^ + i + ^ Scc)<br />
H-7(rr-4-p4-p4-p4-Scc)<br />
, / l I 1 i o \<br />
"•"" * vi - •+* p"+" 7^ •+* 5~ •+• &C J<br />
4- SCC<br />
OU IM=S+i(± + ± + ± + ¿¡'+ Scc)<br />
-H (¿*-*r£*H-pH-p 4- Scc)<br />
-h • (^ H- jjí 4- ~. 4- ~sH- Scc)<br />
4- SCC.<br />
CHAPITRE XVI.<br />
^ ART. 320. La fradion ^-^t donne la fuite des nom<br />
bres triangulaires Sc la fradion r- - í donne<br />
(i—*)(i—x*)(i—*')<br />
la troifieme fuite verticale de la table; or, en fuppofant<br />
.'I<br />
.."A<br />
352 N O T E S<br />
il faudra multiplier cette derniere ferie par i + x, ce qui<br />
donnera pour le coéfficient de chacune des puiffances de x de<br />
la ferie réfultante, la fomme des coéfficients du terme correfpondant<br />
Se de celui qui precede.<br />
On peut faire un raifonnement analogue pour les autres<br />
nombres figures; ce qui fait connoítte la connexion de<br />
ceux-ci avec ceux de la Table.<br />
(pp) ART. 323. On a ( art. 306) Z = (1 -hxx) (1 -\-x x x)<br />
(iA-x\)x(i-A-x\) (1 A-x\) x Scc.= 1 4-P/L-+- Ql z<br />
.+. R7 3 -A- 5? 4 4- T^A-Scc, Sc par conféquent en faifant<br />
^ _ _L j , (\ __ X) (l — x x ) (l — X 3 ) (1 — *) x Scc.<br />
_! — p+Q — R-z-S— T 4- Scc. Mais (att. 307) P =<br />
1 --• x 7 ^<br />
;R =<br />
(1-x) (i-x*) ' "" " (i-x)(i-x>) (i-x 2R» S s )<br />
^,.^^.T=&cc.Donc(i-x)(i-x^(i-x 3 )(i-x')(i-x s )xSec.<br />
= *~~ TI - "*"" (i-x)(i-x*) ~~ (i-x)(i-x-)(i-x>)~*~(i-x)(i-x")(i-^)(j-x*)<br />
, Scc. Or la nature du premier membre de cette équation<br />
fait voir clairement que le fecond, qui fe préíénte íbus la<br />
forme de plufieurs fondions fradionnaires , doit fe convertir<br />
en une fondion entiere. Voici un moyen aflez fimple d'arriver<br />
au but , Se dont l'idée m'a été donnée par le<br />
C. Legendre. J'écris le fecond membre de l'équation ci-deffus<br />
fous cette forme 1<br />
__.x-t_.jt» —_e» (1 — x l ) + x* —x*<br />
(i-x) (i-**)<br />
x'*(i-x<br />
10,<br />
14,<br />
18,<br />
22,<br />
26,<br />
*5><br />
20,<br />
M><br />
3°»<br />
35 »<br />
40,<br />
ai ><br />
2 7#.<br />
31 ><br />
39»<br />
45 ><br />
5* ><br />
57,<br />
28,<br />
35-<br />
42,<br />
49 ><br />
f**<br />
63,<br />
7°-<br />
77»<br />
3€»<br />
Scc<br />
Scc<br />
Scc<br />
Scc<br />
Scc<br />
Scc<br />
Scc.<br />
Si on vouloit continuer cette Table, on remarquera que<br />
chacune des fuires a un terme de moins que la precedente,<br />
Sc que chacune des colonnes verricales forme une progreífion<br />
arithmétique, dont les diíTérences font fucceífivement les<br />
nombres o, 1,2,3,4, Scc. D'ailleu-s, d'aprés les opérations<br />
precedentes Sc la formarion de ces différentes fuites,<br />
il eft évident qu'il n'y a que les deux premiers termes de<br />
chacune, qui faffent patrie des expofants de x dans la fétie<br />
EULER , Introducción a lAnal, infin. Tome I. 2 Y<br />
Scc
•<br />
354 N O T E S<br />
cherchée. J'écris maintenant la fuite naturelle des nombres ,<br />
en commengant par o , Sc á cóté le terme general n ; je place<br />
au-deffous les feries precedentes- dans l'ordre qui fuit, avec<br />
le terme general de chacune , n repréfentant toujours le<br />
nombre correfpondant de la premiere fuite.<br />
J 3 > 4» , 6, Scc. .... «<br />
1 > 3*<br />
6, IO, IJ , 2i , Scc. n . «4-i<br />
5» 9 ^ H- 1Q > 2 7> &c. a .<br />
7, 12, 18, 2j, 33, Scc. /z .<br />
15, 22, 30, 39, Scc. n .<br />
a6, 35, 45, Scc. n.<br />
%<br />
B-I-I<br />
9<br />
» -í- I<br />
a<br />
«4-1<br />
2<br />
«4-1<br />
40, 51, Scc. n. n<br />
4- 5 *<br />
o **4- , _-<br />
57, Scc /z. —-— 4- 6 /»<br />
Scc.<br />
D'oü il fuit que le premier terme de chaqué fuite fera<br />
repréfente par n . —— 4- n* = } nn + n • &; comme le fecond<br />
2 n<br />
3*<br />
4*2<br />
terme de la fuite precedente doit faire partie des expofants<br />
de *, Sc qu'il eft repréfente pat n. ^--— -A-(n—\)n = --^p— ,<br />
il eft clair qu'il n'y aura d'autres puiffances de x, que celles<br />
qui font renfermées dans la formule •' ~ •.<br />
A préfent qu'on a un moyen facile Sc infailíible de trouver<br />
les termes de la ferie, qui réfulte de la njultiplication du<br />
nombro infini de fadeurs 1 — x, 1 — *% 1 — x 3 , Scc, Sc<br />
qu'on eft affuré, qu'elle n'admet pour expofants de * que<br />
ceux q«ui font renfermés dans la formule<br />
%nn +• n<br />
je ne<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 3 y «y<br />
puis m'empécher de m'arréter un moment fut une quef-'<br />
tion traitée ailleurs par Euler , Sc faite pour piquer la<br />
curiofité. Je veux parler de la maniere de trouver la íomme<br />
des divifeurs des nombres ; on fera étonné de voir combien<br />
la folution de ce probléme eft étroitement liée a ce<br />
qui precede. Reprenons en conféquence l'équation<br />
P=(i-X) (y.x*) (-xy (f^*) (^J (t.x6j fijjkj fr_xs;x&c_ _<br />
- i—* — x x -\-x'-A-x 7 — x' x — * ,y 4-;x:"4-*' s —Scc.<br />
Soit P' ce que devient chacune de ces expreflions en augmentant<br />
x d'une quantité quelconque y, la premiere valeur de<br />
P deviendra<br />
P'^(i-[x-Ay])(i-íx-^y] x )(i-[x+y] 3 )(i-lxA-yr)(i-ÍXA-yy)xSec,<br />
Se la. feconde valeur de P deviendra<br />
P'=i -(X-z-y)-(x+y) x A-(xA-y)<br />
s A-(x-A-y) 7 —(xA-y) tl —(x+y)' s -i-Scc.<br />
Nous aurons d'abord, en prenant les logarithmes des premieres<br />
valeurs de P Sc de, P'} les deux équations fuivantes :<br />
/p.W(i—*;4-/A—*V+*f*-*V+¿fi —X*)A-1(I-X*) 4. Scc.<br />
IP'*=l( 1 -x-y)+I( 1 -x x -zxy)+l(i -x 3 - 3 x x y)-A-l(i -xt-^yjA- Scc.<br />
Je négligé les puiffances dey fupérieures á la premiere, parce<br />
que dans la fuppofition que nous fetons de y = o, elles donneroient<br />
des quantités nuiles. En rettanchant la feconde<br />
équation de la premiere, j'aurai<br />
/ ^ = .<br />
L p<br />
zy x<br />
—x 1 — x x<br />
OU<br />
3__<br />
1— x><br />
4yx* <br />
SCC.<br />
Multipliant chaqué membre par — , fuppofant y =o, Sc défignant<br />
parí le réfultat, nous aurons pour- premiere valeur<br />
de — t,<br />
x 2 "4* 3*' 4 x* ti' _<br />
2 Y ij<br />
•l<br />
%
i<br />
356 N O T E S<br />
Nous aurons enfuite, en divifant la feconde valeur de P' par<br />
la feconde de P, Sc négligeant, comme auparavant Se par la<br />
méme raifon. les termes, qui feroient affedés de y,y, Scc,<br />
le quotient . *<br />
P> —y—z yx+ ¡yx* + 7yx 6 - 11 y *" — ify»'«4- &c. .<br />
p~ ~ 1 — x — x* 4- * 5 4- * 7 — &* — *" 4- &c.<br />
Se en prenant les logarithmes de part 8c d'autre,<br />
. P' —y — iyx + jyx 4 'A-7yx í — \%y »" —15yx' * 4- &c.<br />
* • p"* - 1—x — x* + x*+x 7 — x' 1 — x' •>+x" + x*" — 8ÍC.<br />
Multipliant comme auparavant les deux membres par — , Sc<br />
faifant y = o, nous aurons cette autre valeur de — *,<br />
x4.2x l — f J- s —yx 7 + izx'* 4-15 *'' — 22 re" — &c<br />
*"~* == 1— x -s'+a'-t»' — *'*— *'' 4- *"4-*"* *<br />
La premiere valeur de — / donne, en développant en feries<br />
chaqué rerme ,<br />
— í BS x 4- ** 4- *' 4- * 4 4- ** 4- *'•+• * 7 4- *M- x 9 4- *" Scc<br />
4-2 H-*<br />
+ 3 4-4<br />
4-5<br />
4-2<br />
H-3<br />
4-6<br />
H-7<br />
4-2 4-2<br />
4-3<br />
•4-9<br />
4- 10<br />
expreflion , dans laquelle il eft manifefte que le coéfficient<br />
de chaqué puifTance de * eft la fomme des divifeurs de<br />
l'expofant correfpondant ; donc, fi nous défignons par fn<br />
la fomme des divifeurs du nombre n} cette derniere expreífion<br />
fe changera en celle-ci:<br />
-.fB^/i^yi^y^y^^^<br />
8<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 3 57<br />
Comparant cette derniere valeur de t avec celle trouvée en<br />
r , i. «4-2 x l — K *• — 7-e 7 4-i2«'*4- 15 « ,J — &c.<br />
lecond lieu —• t =- -— y - = -—' . fo + $tc.<br />
Se faifant difparoitre le dénominateur , nous aurons<br />
*/iH-*y24-*y34-*V44r*y54-*y^ 0 4- SCC<br />
- / ' - / * -/3 -Z4--/5 -f6-fj-fZ~f9-&c<br />
~fi "fi ~fi -/4~/5 ~/6-/ 7-/8-Scc<br />
4-/i-4-/i 4- /3 4- fA -4- /5 -í-Scc<br />
•+• /- •+- /-• + /3 4- Scc<br />
f—*4-i** — 5* y —-7* 7<br />
ce qui donne les égalités fuivantes :<br />
/i=i,/2 =/i 4- 2,/3 =/2 4-/i,/4=/3 H-/ 2 ,/5=/4-t-/3<br />
-5, /6=/54-/4-/i,/7=/6-t-/5-/ 2 -7^=/7-f-A<br />
•-/3-/I ,/9=/8+/7-/4-/ 2 ,/o=/?4-/J-/5 -/3,<br />
/i i=/io4-/9—/6—/4,/I I==/I I 4-/IO—/7—/54-12 Scc.<br />
lefquelles reviennent évidemment á celles-ci:<br />
/? =/t 7-0+-A 7-^)-/í' 7-?)-7<br />
/8 =7( 8-i)-h/{ 8-2)-/? 8-T)-/( 8-7)<br />
/9 */( 9-0+/19--0-A 9-l)-/í 9-7)<br />
flO=fi_10—O4./ÍIO-2)—/(io—5)-:/(io—7)<br />
/! = ,<br />
/2=/(2—1)42<br />
/3-=/(3-.H-/r3-2)<br />
/4=/(4-i)4-/(4-*)<br />
/5=yr5-»H-/tí->)-5<br />
n-;,-; __;—,,,- -, fll=J(ll — l)4/(ll_2)-/(il — y)-^H—7)<br />
/6_=/x
B<br />
358 N O T E S<br />
en prolongeáne la ferie, jufqu'a ce qu'on trouve un nombre<br />
négatif fous le figne/, Sc-ayant l'attention de prendre pour<br />
nn — n)9 lorfqu'on arrive á un réfultat de cette forme, le<br />
nombre méme n.<br />
CHAPITRE XV I I.<br />
(qq) ART. 338. Les fradions ^ font alternativement plus<br />
grandes Sc plus petites que la vraie racine. En effet -p =—<br />
Ap»+> + Bq"+' ___<br />
^fLitrJ). Or dans cet exemple q eft né-<br />
Ap A n"4-CS' , 4-&c><br />
ET ÉCLAIRCISSEMENS. 3 yp<br />
il ne faut qu'une légére attention'pour voir que les coéfficients<br />
zz 4-• z, n 4- i,empécheront que cette quantité ne fe<br />
réduiíe fitot á p. ,<br />
(uu) ART. 349. II eft bien clair que pour que les racines<br />
imaginaires n'empéchent pas de trouver Ja plus grande ráeme<br />
q, il faut quep foit < ? ; mais dans le fadeur trinóme<br />
\ — Z P\ co ff -H-/»*í% qui ne peut provenir que du produit de<br />
deux fadeurs fimples de la forme 1 — (* 4- QV— r)\Sc<br />
i — (* — e y— 1) ^ p* eft le produit des deux imaginaires<br />
« 4- ¿ V— 1, Sc *. — C iS— 1 ; done q x doit étre plus grand<br />
que le produit des deux racines imaginaires, qui compofent<br />
un fadeur réel.<br />
C H A P I T R E XVIII.<br />
(vv) ART. 362. II n'eft pas généralement vrai que chaqué<br />
fradion approché plus prés de la véritable valeur de x qu aucune<br />
des precedentes. Vexemple le plus fimple peut en con-<br />
vaincre. Soit x __ _ abc+Sa + uc<br />
" —T7+1—' Ja P rem b+e_<br />
iere va-<br />
c<br />
leur approchée de x = a, la feconde == íi±f. La difféb<br />
rence de ' ^ g ^ á a = *¿ L,, & ía différence de !___-<br />
bc+ :<br />
abe + £ a -\-uc<br />
bc + £<br />
¿(¿c<br />
'bc + g-<br />
*(*'•
360<br />
N O T E S<br />
on aura pour les<br />
valeurs approchées de x i valeurs vraies de i<br />
a<br />
ab+ i<br />
x =- b<br />
abe + a 4- c<br />
X = be + i<br />
abcd + ab + ad + cd+i<br />
X = — bed+b + d<br />
X=BSCC<br />
A = a<br />
B*=bA-A>i<br />
C = cB-\-A<br />
D = dC-t*B<br />
E^cV-A-C<br />
X =<br />
x<br />
ab'+i<br />
b'<br />
abe'+a+e'<br />
Scc.<br />
Sec. CCC A<br />
1?<br />
«hed' + ab + ad'+cd'+t^<br />
x — bed'+b + d'<br />
XB=SCC.<br />
ou bien en faifant -<br />
A'=i .<br />
B'=a<br />
C'^cB'+A'<br />
D'=dG-A-B'<br />
E'=eD'-A-G<br />
les valeurs approchées Sc fucceffives de x í e r o ^><br />
B<br />
£<br />
D E<br />
- Scc, Sc les vraies valeurs feront x = A,b, ><br />
Bc' + A j CJ + B . __5i__:- x•= Scc; Sc fi on<br />
X =<br />
confidere, qu'en multipliant en croix les termes des frac<br />
tions voifines dans la fuite ±, §, §., Scc , on a en general<br />
BA'-AB'-i, GBi~BG=-*,DC-CD'= i,<br />
ED'~ DE'=; — i , Scc , les vraies valeurs de x deviendront<br />
*_B¿-4--¿r; *«-§» — 5W4^) ;x = C' + c'(W+B')í<br />
U - . v.=Scc. Donc les valeurs .approchées<br />
_B" -<br />
grandes que *• Cela<br />
ET É C L A I R C I S S E M E N S . ' 361<br />
Cela pofé, commeb'eft >• b, c'>c, d'>d, Scc, on aura<br />
¿'> 5', fi'c'4- -¿'> Be 4, ^' ou >
m<br />
I<br />
I<br />
362 N O T E S<br />
fi n eft plus petite que D'. Donc toute fradion , dont la valeur<br />
B<br />
tombe entre deux fradions voifines de la ferie -j(J j, Scc<br />
aura néceflairement un dénominateur plus grand. Or, la<br />
vraie valeur de x tombe toujours entre deux fradions<br />
confécutives de cette ferie. Done il eft impoflible d'avoir<br />
une valeur plus approchée de x, que celle qu'on trouvera<br />
de cette maniere , á moins que la fradion n'ait un dénominateur<br />
plus grand.<br />
Ceüx qui voudront avoir plus de détails fur les fradions<br />
continúes, peuvent confulter les excellentes additions du<br />
celebro Lagrange, qui fe trouvent imprimées á la fin du fecond<br />
volume de l'Algébre d'Euler, Sc dont j'ai extrait ce<br />
qu'on vient de lire.<br />
(xx) ART. 363. Soient a, a!, a", a'", a'% a', aT, Scc, les valeurs<br />
approchées Sc fucceífives de x; Sc ¿, a", d"3 d!", d", Scc,<br />
les diíTérences de ces valeurs, on aura a
• 1<br />
•<br />
364. NOTES ET ÉCL A IRC IS s EMENS.<br />
fuppofé x -_*£., on aura e -r~——* = — l — 1<br />
•*+• * 2_H 6 + i, x<br />
10 * «1 4- &c.<br />
OU e*4-í<br />
e-e<br />
= ,<br />
at<br />
- ^ r 0 + i<br />
a 4- —<br />
6 4--i-<br />
104—<br />
1*4- &c.<br />
e— 1<br />
2<br />
2 e<br />
-4 4- &c. t —e<br />
, ou bien<br />
- ; Sc enfin<br />
1 + -<br />
í+i.<br />
10 4- J_ 1<br />
14 + ¡8 4- &c;<br />
Cette démonftration eft tirée d'une des Notes intéreffantes<br />
«que le citoyen Legendre a mifes á la fin de fes Éléments de<br />
Géométrie, ouvrage fupérieur á la plupart des autres Traites du<br />
méme genre, Sc dont la ledure ne peut étre trop recommandée<br />
aux jeunes Géométres, pour les accoutumer de<br />
bonne heure aux démonftrations rigoureufemenc exades.<br />
fal) ART. 382. Ce feroit ici le cas de faire voir que íes<br />
différentes valeurs des fradions continúes trouvees par les<br />
méthodes precedentes, font approchées de maniere qu'il<br />
feroit impoffible d'en avoir une valeur plus exade en moindres<br />
termes; c'eft ce qui a été demontre d'avance á la fin de la<br />
note relativo á I'article 362.<br />
Fin des Notes & des Éclairciffements.<br />
\\ Be ."^primerie de BAÜDELOT & EBERHART, me S.-Jacques, N» 30.
t. -ifc_,._, -'íi. -.v^<br />
S&fatx<br />
^#^V **^_-t*!.-r<br />
,<br />
M ______ 9<br />
I \i • '<br />
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. M . ¡T — 'tapate •"•*<br />
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404<br />
1<br />
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